Thác triển của hàm phân hình tách với kỳ dị đa cực

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKHOA TỐNPHẠM QUỲNH TRANGTHÁC TRIỂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH TÁCHVỚI KỲ DỊ ĐA CỰCLUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKHOA TOÁNPHẠM QUỲNH TRANGT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN PHẠM QUỲNH TRANG THÁC TRIỂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH TÁCH VỚI KỲ DỊ ĐA CỰC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2021 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN PHẠM QUỲNH TRANG THÁC TRIỂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH TÁCH VỚI KỲ DỊ ĐA CỰC Ngành: Sư phạm Toán học Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI Thái Nguyên, năm 2021 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực, không trùng lặp với các đề tài khác và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng 06 năm 2021 Tác giả Phạm Quỳnh Trang ii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Em xin được gửi đến cô sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của thầy đối với bản thân trong suốt thời gian làm luận văn Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán và các thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để em hoàn thành luận văn này Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy em rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý của các quý thầy cô và các bạn để luận văn của em được hoàn thiện hơn Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ và hỗ trợ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 05 năm 2019 Tác giả Phạm Quỳnh Trang iii Mục lục Lời nói đầu 1 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 4 1.1 Miền Riemann và miền Hartogs 4 1.2 Độ đo Lebesgue 6 1.3 Định lý Baire 8 1.4 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình 9 1.5 Miền giả lồi 14 1.6 Đa tạp phức n chiều 17 Chương 2 Thác triển của hàm phân hình tách với kỳ dị đa cực 21 2.1 Thác triển của hàm phân hình lên một lân cận mở 22 2.2 Thác triển của hàm phân hình tách lên bao phân hình 30 2.3 Thác triển của hàm phân hình tách với kỳ dị đa cực 33 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iv Lời nói đầu Thác triển ánh xạ chỉnh hình và phân hình là một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích phức Các kết quả cơ bản trong lĩnh vực này gắn liền với những tên tuổi như Riemann, Hartogs, Cartan, Oka, Grauert, Marek Jarnicki và Peter Pflug, Đỗ Đức Thái Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó Cho đến đầu thập kỷ 80 việc thác triển ánh xạ chỉnh hình đã được khảo sát chủ yếu trên hai hướng Cụ thể là thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình và thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng, chẳng hạn qua siêu mặt cũng như tập đa cực Marek Jarnicki và Peter Pflug đã đạt được một số kết quả đẹp đẽ trong hướng nghiên cứu này Cụ thể Marek Jarnicki và Peter Pflug đã chứng minh được định lý sau về thác triển của hàm chỉnh hình tách với kỳ dị giải tích Cho Dj ⊂ Ckj là một miền giả lồi và Aj ⊂ Dj là tập đa chính quy địa phương, j = 1, · · · , N M ⊂ U là một tập con giải tích của lân cận mở liên thông U của X := X (A1, · · · , AN ; D1, · · · , DN ) (M có thể rỗng) Khi đó tồn tại một tập con giải tích 1−chiều M ⊂ X sao cho 1 M ∩ U0 ⊂ M với một lân cận mở U0 của X, U0 ⊂ U 2 Với mỗi f ∈ OS(X \ M ) tồn tại một f ∈ O(X \ M ) với f |X\M = f 1 Hơn nữa, nếu U = X thì ta có thể lấy M là tập hợp tất cả các phần tử bất khả quy 1−chiều của M Với cùng kỹ thuật chứng minh như định lý trên, Marek Jarnicki và Peter Pflug cũng đã chứng minh được định lý sau về thác triển của hàm chỉnh hình tách với các kỳ dị đa cực Cho Dj ⊂ Cnj là một miền giả lồi và Aj ⊂ Dj là một tập đa chính quy địa phương, j = 1, , N U là một lân cận mở của X := X (A1, · · · , AN ; D1, · · · , DN ) Gọi M ⊂ U là một tập con đóng tương đối của U sao cho với mọi j ∈ 1, , N tập Σj = Σj (A1, · · · , AN ; M ) := {(z , z ) ∈ (A1 × · · · × Aj−1) × (Aj+1 × · · · × AN )} (M(z ,·,z ) không đa cực) là đa cực Đặt X := T(A1, · · · , AN ; D1, · · · , DN ; Σ1, · · · , ΣN ) Khi đó tồn tại một tập con đa cực đóng tương đối M ⊂ X sao cho 1 M ∩ U0 ⊂ M với một lân cận mở U0 của X, U0 ⊂ U 2 Với mỗi f ∈ OS(X \ M ) tồn tại một f ∈ O(X \ M ) với f |X\M = f 3 M là kỳ dị đối với họ f : f ∈ OS(X \ M ) 4 X \ M là giả lồi Đặc biệt, X \ M là bao chỉnh hình của X \ M đối với không gian của hàm chỉnh hình tách Cùng thời điểm, Marek Jarnicki và Peter Pflug đã chứng minh được định lý sau về thác triển của hàm phân hình tách với các kỳ dị đa cực 2 Cho (Aj, Dj)j=1 N , X, M , và M ⊂ X là một tập con đóng tương đối S ⊂ X \ M là đóng tương đối và f : (X \ M ) \ S → C là một hàm phân hình tách trên X \ M sao cho các tập Σ1(S), · · · , ΣN (S) là đa cực Đặt Qf := M ∪ S Khi đó tồn tại một hàm f ∈ M(X \ M ) sao cho 1 f ∈ O(X \ Qf ) với Qf ⊂ M 2 f |Xf \Qf = f với X := T(A1, · · · , AN ; D1, · · · , DN ; Σ1(Qf ), · · · , ΣN (Qf )) Do đó, bao của X \ M đối với hàm phân hình tách trùng với bao chỉnh hình tách của nó Luận văn Thác triển của hàm phân hình tách với các kỳ dị đa cực nghiên cứu và trình bày lại một cách chi tiết và có hệ thống kết quả nghiên cứu của Marek Jarnicki và Peter Pflug về thác triển của hàm phân hình tách với kỳ dị đa cực Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản, là cơ sở cho nội dung chính của luận văn ở chương 2 Chương 2 trình bày định lý về thác triển của hàm phân hình lên một lân cận mở Qua đó, mở rộng lên định lý về thác triển của hàm phân hình tách lên bao phân hình và với kỳ dị đa cực 3 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 1.1 Miền Riemann và miền Hartogs Định nghĩa 1.1.1 Cho G là một miền trên không gian phức Cn Một miền Riemann trên Cn là cặp (G, π) thỏa mãn 1 G là không gian tô pô liên thông 2 Với hai điểm x1, x2 ∈ G với x1 = x2, có các lân cận U1 = U1(x1) ⊂ G, U2 = U2(x2) ⊂ G với U1 ∩ U2 = ∅ 3 π : G → Cn là ánh xạ tô pô địa phương (Nếu x ∈ G và ξ := π(x) là cơ sở của x, khi đó tồn tại các lân cận mở U = U (x) ⊂ G và V = V (ξ) ⊂ Cn sao cho π |U : U → V là tô pô) Ví dụ 1.1.2 1 Cho G ⊂ Cn là một miền π := idG Hiển nhiên (G, π) là miền Riemann trên Cn √ 2 Miền Riemann của z, trong đó G := (w, z) ∈ C2 : w2 = z, z = 0 4 là tô pô trong C2 và song ánh π : C \ {0} → G t → (t, t2) √ Hình 1.1: Miền Riemann của hàm f (z) = z Định nghĩa 1.1.3 Cho 0 < r < 1 và ∆ là đĩa đơn vị trong C Đặt H2(r) = (z1, z2) ∈ ∆2 sao cho |z1| < r hoặc |z2| > 1 − r H2(r) được gọi là miền Hartogs hai chiều Định nghĩa 1.1.4 Trong R2, xét tập D = {0 ≤ x < 1, a < y < 1} ∪ {0 ≤ x < ρ, 0 < y < 1} với 0 ≤ a < 1 và 0 < ρ < 1 Xét ánh xạ ϕ : Cn × CN → R2 xác định bởi ϕ(t1, · · · , tn; z1, · · · , zN ) = (x; y) 5