Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKHOA TỐNPHẠM QUỲNH TRANGTHÁC TRIỂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH TÁCHVỚI KỲ DỊ ĐA CỰCLUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKHOA TOÁNPHẠM QUỲNH TRANGT
Miền Riemann và miền Hartogs
Định nghĩa 1.1.1 Cho G là một miền trên không gian phức C n Một miền Riemann trên C n là cặp (G, π) thỏa mãn
1 G là không gian tô pô liên thông.
2 Với hai điểm x 1 , x 2 ∈ G với x 1 6= x 2 , có các lân cận U 1 = U 1 (x 1 ) ⊂G,
3 π : G → C n là ánh xạ tô pô địa phương (Nếu x ∈ G và ξ := π(x) là cơ sở của x, khi đó tồn tại các lân cận mở U = U(x) ⊂ G và
V = V(ξ) ⊂ C n sao cho π | U :U →V là tô pô).
1 Cho G ⊂ C n là một miền π := id G Hiển nhiên (G, π) là miền Riemann trên C n
2 Miền Riemann của √ z, trong đó
G :(w, z) ∈ C 2 :w 2 = z, z 6= 0 là tô pô trong C 2 và song ánh π : C\ {0} → G t 7→(t, t 2 )
Hình 1.1: Miền Riemann của hàm f(z) = √ z Định nghĩa 1.1.3 Cho 0 < r < 1 và ∆ là đĩa đơn vị trong C Đặt
H 2 (r) được gọi là miền Hartogs hai chiều. Định nghĩa 1.1.4 Trong R 2 , xét tập
Xét ánh xạ ϕ : C n ×C N → R 2 xác định bởi ϕ(t 1 ,ã ã ã , t n ;z 1 ,ã ã ã , z N ) = (x;y) với x = max
1≤j≤N |z j | trong đú t 1 ,ã ã ã , t n là tọa độ của C n và z 1 ,ã ã ã , z N là tọa độ của C N
D = ϕ −1 (D 0 ) được gọi là miền Hartogs bậc n.
Độ đo Lebesgue
Định nghĩa 1.2.1 Cho tập X là một tập tùy ý khác rỗng Một họ X các tập con của X được gọi là đại số các tập con của X nếu X thỏa mãn
3 C1, C2,ã ã ã , Cn ∈ X thỡ Sn i=1Ci ∈ X. Định nghĩa 1.2.2 Cho X là một tập hợp khác rỗng Một họ C các tập con của X được gọi là σ−đại số nếu C thỏa mãn
3 C1, C2,ã ã ã , Cn ∈ C thỡ S+∞ i=1 Ci ∈ C. Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian thực R Một σ−đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong R được gọi là σ−đại số Borel của không gian
R và tập thuộc σ−đại số này được gọi là tập Borel trong không gian R. Định nghĩa 1.2.4 Cho X là tập tùy ý trong không gianR,C làσ−đại số cỏc tập con của X Xột hàm à : C → [0,+∞].
1 à được gọi là cộng tớnh nếu C1, C2 ∈ C, C 1 ∩C2 = ∅, C1∪C2 ∈ C thỡ à(C 1 ∪ C 2 ) =à(C 1 ) +à(C 2 ).
2 à được gọi là cộng tớnh hữu hạn nếu cú một họ hữu hạn cỏc tập hợp đụi một rời nhau C 1 , C 2 ,ã ã ã , C n ∈ C thỡ à n
3 à được gọi là σ−cộng tớnh nếu cú một họ đếm được cỏc tập hợp đụi một rời nhau C 1 , C 2 ,ã ã ã , C n ∈ C thỡ à
X i=1 à(Ci). Định nghĩa 1.2.5 à được gọi là độ đo trờn σ −đại số nếu thỏa món
2 à là σ −cộng tớnh. Định nghĩa 1.2.6 Độ đo à được gọi là độ đo đủ nếu mọi tập con của tập có độ đo bằng 0 đều là tập đo được và có độ đo bằng 0. Định nghĩa 1.2.7 Một hàm à ∗ xỏc định trờn một lớp cỏc tập con của không gian R được gọi là độ đo ngoài nếu
3 C ⊂S∞ i=1C i thỡ à ∗ (C) ≤ P∞ i=1à ∗ (C i ). Định nghĩa 1.2.8 Cho hàm à ∗ : R→ [0,+∞] thỏa món à ∗ (C) =inf
) với ∆ i là các gian rời nhau được gọi là độ đo ngoài Lebesgue trên R. Định nghĩa 1.2.9 Hàm à ∗ : L → [0,+∞] trong đú L là lớp cỏc tập con
A của R sao cho à ∗ (E) = à ∗ (E∩A) +à ∗ (E \A) với mọi E ⊂R. được gọi là độ đo Lebesgue trên R. Định nghĩa 1.2.10 Tập N bất kỳ được gọi là tập có độ đo Lebesgue khụng nếu à ∗ (N) = 0.
1 Tập số tự nhiên N có độ đo Lebesgue không.
2 Tập số hữu tỉ có độ đo Lebesgue không.
Định lý Baire
Định nghĩa 1.3.1 Không gian tô pô X được gọi là T 1 −không gian nếu hai điểm x, y bất kỳ khác nhau củaX đều có một lân cận mở của x không chứa y và một lân cận mở của y không chứa x.
Không gian tô pô X được gọi làT 2 −không gian hay không gian Haus- dorff nếu hai điểm x, y bất kỳ khác nhau của X tồn tại các lân cận mở
U của x và V của y sao cho U ∩V = ∅. Định nghĩa 1.3.2 Cho E là một không gian véc tơ Tập con A của E được gọi là tập hút nếu
[ n=1 nA = E. Định nghĩa 1.3.3 Cho D là tập con của không gian tô pô X D được goi là trù mật trong A nếu A ⊂D với D là bao đóng của D. Định lý 1.3.4 Định lý Baire Cho (X, T) là một không gian tô pô Haus- dorff, thỏa mãn một (hoặc hai) tính chất sau:
1 Tồn tại một metric d trên X với (X, d) là một không gian metric đầy và T là một tô pô metric.
Giả sử một dãy (F n ) n≥1 các tập con đóng của X sao cho X = S∞ n=1F n Khi đó tồn tại số nguyên n≥ 1 sao cho Int(F n ) 6= ∅.
Hàm chỉnh hình và hàm phân hình
Định nghĩa 1.4.1 Giả sử X là một tập mở trong C n và f : X → C là một hàm số Hàm f được gọi là khả vi phức tại x 0 ∈ X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính λ : C n → C sao cho lim
. Định nghĩa 1.4.2 Hàm f được gọi là chỉnh hình tại x 0 ∈ X nếu f khả vi phức trong một lân cận nào đó của x 0 và được gọi là chỉnh hình trên
X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X.
Một ỏnh xạ f : X → C m cú thể viết dưới dạng f = (f 1 ,ã ã ã , f m ), trong đú f i = π i ◦f : X → C, i = 1,ã ã ã , m là cỏc hàm tọa độ Khi đú f được gọi là chỉnh hình trên X nếu fi chỉnh hình trên X với mọi i = 1, , m. Ánh xạ f :X →f(X) ⊂ C n được gọi là song chỉnh hình nếu f là song ánh, chỉnh hình và f −1 cũng là ánh xạ chỉnh hình.
3 f(z) = (z−2)(z+4) z 2 +1 2 chỉnh hình trên C\ {2;−4}. Định nghĩa 1.4.4 Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trong vành tròn
{z ∈ C| 0 < |z −a| < ρ}. Điểm a được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) nếu hàm f(z) không thể thác triển thành hàm chỉnh hình trong toàn đĩa {|z−a| < ρ}. Điểm bất thường cô lập z = a của hàm chỉnh hình f(z) được gọi là
1 Điểm bất thường bỏ được của f(z) nếu lim z→a f(z) =c với c là hằng số.
2 Điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại lim z→a f(z).
3 Cực điểm của f(z) nếu lim z→a f(z) =∞. Định nghĩa 1.4.5 Hàm f(z) chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức C được gọi là hàm nguyên. Định nghĩa 1.4.6 Ánh xạ chỉnh hình π : X 0 → X được gọi là phủ chỉnh hình nếu với mọi x ∈ X, có lân cận mở U chứa x mà π −1 (U) là hợp rời rạc những tập mở U α của X 0 (tức là π −1 (U) = S a∈IU α , U α là các tập mở trong X 0 và U α ∩ U β nếu α, β ∈ I, α 6= β) thỏa mãn π | U α :Uα → U là song chỉnh hình
Khi đó X 0 gọi là không gian phủ, X gọi là đáy của phủ và với mỗi x ∈ X, π −1 (x) gọi là thớ trên x của phủ π. Định nghĩa 1.4.7 Cho miền D ⊂ C Hàm f(z) trong D được gọi là hàm phân hình nếu tồn tại một tập hợp điểm (hữu hạn hoặc vô hạn) các điểm cô lập {a i } i∈D , a i ∈ D,∀i ∈ I, sao cho mỗi điểm trong tập đó là một cực điểm của hàmf(z) và f là hàm chỉnh hình trên D\ {a i } i∈I Nói cách khác trong miền D hàm f không có các điểm bất thường nào ngoài cực điểm. Nếu D = C thì ta nói f(z) phân hình trên C hay đơn giản là f(z) là hàm phân hình.
Nhận xét 1.4.8 Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì trong lân cận của mỗi điểm z ∈ D, f(z) có thể biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnh hình.
1 f(z) = 1 +z+z 2 , f(z) =sin(πz), Γ(z) phân hình trên C với tập cực rỗng.
2 f(z) =e 1 z , f(z) = 1 z phân hình trên C với tập cực là {0}.
3 f(z) = 1+z 1 2 phân hình trên C với tập cực là {−i;i}.
Nhận xét 1.4.10 Gọi z 0 là cực điểm của hàm phân hình f(z) = p(z) g(z) ,trong đó p(z) và g(z) là các hàm chỉnh hình Khi đó z0 là không điểm của
Hình 1.2: Hình ảnh hàm phân hình Γ(z) g(z) Đặt g(z) = (z −z 0 ) m φ(z 0 ) với φ(z 0 ) 6= 0 Khi đó f(z) = p(z) g(z) = p(z)
(z −z 0 ) m−1 +ã ã ã+a m +a m+1 (z −z 0 ) + ã ã ã với a n = d n dz n p(z) g(z) | z=z 0 và a 0 = p(z0) g(z 0 ). Định lý 1.4.11 Nếu f(z) là một hàm phân hình không suy biến trên tập con đóng trong C và có hữu hạn cực điểm trong C Khi đó
C f 0 (z) f(z)dz = N −P với N, P lần lượt là số không điểm và số cực điểm (kể cả bội) của f(z) trong C.
Ví dụ 1.4.12 Cho f(z) = sin(πz) Tìm R
C f 0 (z) f(z)dz khi C là hình tròn
1 Tìm số không điểm của f(z). sin(πz) = 0 = sin(nπ) (n∈ Z) πz = nz z = n
2 Tìm số cực điểm của f(z) Dễ thấy P = 0.
C f 0 (z) f (z)dz khi C là hình tròn |z| ≤ 3.
1 Tìm số không điểm của f(z). z 2 + 12
Vì |z| ≤ 3 nên các nghiệm trên đều thỏa mãn Suy ra N = 4 (kể cả bội).
2 Tìm số cực điểm của f(z). z 2 + 5z + 43
Vì |z| ≤ 3 nên z = −1 (bội 3) thỏa mãn Suy ra P = 3.
Miền giả lồi
Định nghĩa 1.5.1 Cho không gian phức C n Đa đĩa mở tõm a ∈ C n bỏn kớnh vộc tơ r = (r1,ã ã ã , rn) (với rj > 0,
∀j ∈ {1,ã ã ã , n}) được định nghĩa là tập
∆ a (r) z ∈ C n : |z j −a j | < r j ,∀j = 1, n Đa đĩa đúng tõm a ∈ C n bỏn kớnh vộc tơ r = (r 1 ,ã ã ã , r n ) (với r j > 0,
∀j ∈ {1,ã ã ã , n}) được định nghĩa là tập
∆a(r) z ∈ C n :|z j −aj| ≤ rj,∀j = 1, n Đặc biệt khi r = (r,ã ã ã , r) ta gọi ∆ a (r) là đa trũn tõm a bỏn kớnh r. Định nghĩa 1.5.2 Cho D là không gian tô pô Hàm u : D →[−∞,+∞) xác định trong lân cận của điểm z 0 được gọi là nửa liên tục trên tại điểm đó nếu z→zlim 0 u(z) ≤u(z 0 ). Hàm u được gọi là nửa liên tục trên trong miền D ⊂ C n , nếu nó nửa liên tục trên tại mỗi điểm z 0 ∈ D.
Hàm thực u : D → [−∞,+∞) gọi là nửa liên tục trên trong miền
D ⊂ C n nếu và chỉ nếu với ∀λ ∈ R, ta có tập {z ∈ D : u(z) < λ} là tập mở.
Hàm thực u : D → [−∞,+∞) gọi là nửa liên tục dưới trong miền
D ⊂ C n nếu −u là nửa liên tục trên. Định nghĩa 1.5.3 Giả sử D là miền trong C Một C 2 -hàm h xác định trên D được gọi là điều hòa nếu
∂z∂z = 0. Định nghĩa 1.5.4 Hàm u : D → [−∞,+∞) được gọi là điều hòa dưới trong miền D nếu u thỏa mãn hai điều kiện sau:
1 u là nửa liên tục trên trong D, tức là tập {z ∈ D : u(z) < s} là tập mở với mỗi số thực s.
2 Với mỗi tập con mở compact tương đối GcủaD và mọi hàm h : G→
R là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u ≤ h trên ∂G thì u ≤h trên G.
Nhận xét 1.5.5 Điều kiện cần và đủ để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D là với mỗi điểm z ∈ D, tồn tại r 0 (z) > 0 sao cho với mọi r < r 0 (z) u(z) ≤ 1
0 u z+ re it dt. Định nghĩa 1.5.6 Giả sử G là một tập con mở trong C n Một hàm ϕ : G→ [−∞,+∞) được gọi là đa điều hòa nếu
1 ϕ là nửa liên tục trên và ϕ không đồng nhất với −∞ chỉ trên thành phần liên thông của G.
2 Với mỗi z0 ∈ G và a ∈ C n mà a 6= 0, và với mỗi ánh xạ τ : C → C n , τ (z) = z 0 +az, hàmϕ◦τ trên mỗi thành phần liên thông của τ −1 (G) (là các miền trong C) hoặc bằng −∞ hoặc là điều hòa dưới.
Trong không gian phức bất kỳ ta có định nghĩa Định nghĩa 1.5.7 Cho X là một không gian phức Một hàm đa điều hòa dưới trên X kí hiệu PSH(X) là một hàm ϕ : X → [−∞,+∞) thỏa mãn với mỗi x ∈ X tồn tại một lân cận mở U của x sao cho mọi ánh xạ song chỉnh hình h : U → V lên không gian phức đóng V ⊂ G ⊂ C m tồn tại một hàm đa điều hòa ϕ˜: G →[−∞,+∞) sao cho ϕ| U = ˜ϕ◦h.
1 Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương.
2 Hàm nửa liên tục trên ϕ : X → [−∞,+∞) trên một không gian phức X là đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu ϕ ◦f hoặc là điều hòa dưới, hoặc bằng −∞ với mọi ánh xạ chỉnh hình f : E → X, trong đó E là đĩa đơn vị trong C.
3 Hàm ϕ : X → [−∞,+∞) được gọi là hàm vét cạn nếu ϕ −1 ([−∞, c]) là compact với mọi c ∈ R. Định nghĩa 1.5.9 Giả sử Ω là miền trong C n , K là tập con compact của Ω Tập
K ϕ ∈ PSH(Ω) gọi là bao đa điều hòa dưới của K trong Ω. Đặt δ(z, ∂Ω) = inf {δ(z −w) :∈ ∂Ω} Rõ ràng δ(z, ∂Ω) là hàm liên tục trên Ω. Định lý 1.5.10 Nếu Ω là một miền trong C n thì các điều kiện sau đây là tương đương
1 −log δ(z, ∂Ω) là đa điều hòa dưới.
2 Tồn tại hàm đa điều hòa dưới vét cạn Ω, có nghĩa là với mọi c ∈ R thì Ωc = {ϕ(z) < c} là tập compact tương đối trong Ω.
3 K¯ Ω P là compact nếu K là tập con compact của Ω. Định nghĩa 1.5.11 Miền Ω trong C n gọi là giả lồi nếu nó thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương của định lý 1.5.10 và gọi là giả lồi mạnh nếu −log δ(z, ∂Ω) là đa điều hòa dưới mạnh. Định nghĩa 1.5.12 Giả sửΩ là một miền trongC n Với mỗi tập compact
Kb Ω = {z ∈ Ω : kfk K ,∀f ∈ O(Ω,C)}, trong đó O(Ω,C) là tập các hàm chỉnh hình từ Ω vào C Tập KbΩ gọi là bao lồi chỉnh hình của K Miền Ω gọi là lồi chỉnh hình nếu Kb Ω là compact với mọi tập compact K trong Ω.
Thác triển của hàm phân hình tách với kỳ dị đa cực 21
Thác triển của hàm phân hình lên một lân cận mở
Kí hiệu E là đĩa đơn vị Với a ∈ C k , r > 0, cho ∆a(r) = ∆ k a (r) là đa đĩa với tâm a, bán kính r.
Mệnh đề 2.1.1 Giả sử Ω là một tập con mở của C và D là một lân cận mở liên thông của 0 trong C Gọi f là một hàm phân hình trên Ω×D. Với mỗi z ∈ Ω, xác định bán kính phân hình r(z) của f là sup ρ sao cho f có thể thác triển phân hình lên một lân cận mở của {z} ×∆(ρ) Khi đó
−log r(z) là điều hòa dưới trên Ω.
Chứng minh Gọi K là một đĩa đóng chứa trong Ω Gọi h là một hàm điều hòa xác định trên một lân cận mở của K sao cho −log r(z) ≤ h(z) với z ∈ ∂K Ta cần chỉ ra rằng −log r(z) ≤ h(z) với z ∈ K Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng K = ∆ h = Re f với các hàm chỉnh hình trên f xác định trên một lân cận mở của ∆.
Gọi ϕ : C 2 →C 2 (z, ζ) 7→(z, w) với w = ζe −f (z) là ánh xạ song chỉnh hình Với |z| = 1 và |ζ| < 1, ta có
Khi đó f ◦ ϕ có thể được thác triển phân hình lên một lân cận mở của {|z| = 1,|ζ| < 1} Tồn tại > 0 sao cho ảnh của ϕ lên Ω × D là {|z| ≤1,|ζ| < }.f◦ϕđược xác định và phân hình trên {|z| ≤ 1,|ζ| < }. Khi đó, f ◦ϕ có thể được thác triển phân hình lên một lân cận mở của {|z| ≤1,|ζ| < 1}.
Với ảnh của {|z| ≤ 1,|ζ| < 1}qua ϕ là
|z| ≤1,|w| < e −h(z) , f có thể được thác triển phân hình lên
|z| ≤ 1,|w| < e −h(z) Vì vậy −log r(z) ≤ h(z) với |z| ≤ 1 Do đó −log r(z) là điều hòa dưới trên Ω.
Bổ đề 2.1.2 [9] Cho d > 0 Gọi Dv (v ∈ I) là một tập con mở liên thông của ∆ sao cho đường kính của D v là ≥ d với mọi v ∈ I Gọi D = S v∈ID v và z 0 ∈ ∆∩∂D Nếu u là một hàm điều hòa dưới trên ∆ và u ≤ A trên
Bổ đề 2.1.3 [9] Cho V 1 , V 2 là các tập con mở liên thông của C sao cho
∆ ⊂V 1 ∪v 2 Gọi f : ∆×(V 1 ∪V 2 ) → C∪ {∞} là chỉnh hình khác không trờn ∆ì∆ và với mọi z ∈ ∆, fz = f(z,ã) là phõn hỡnh trờn V1 ∪V2 Gọi
A < ∞ và N là tập tất cả z ∈ ∆ sao cho kf z k V
2 f là chỉnh hình trên N 0 ×V 1 và f 1 là chỉnh hình trên N 0 ×V 2 Định lý 2.1.4 [9] (Định lý Rothstein) Cho r > 1 Giả sử f là một hàm phõn hỡnh trờn ∆ì∆ sao cho f z = f(a,ã) thỏc triển phõn hỡnh lờn ∆(r) với ∀z ∈ ∆ Khi đó f thác triển phân hình lên ∆×∆(r).
Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng f là hàm chỉnh hình khác không trên ∆×∆.
Gọi r(z) là bán kính phân hình của f Nói cách khác r(z) = sup ρ sao cho f được thác triển phân hình lên một tập con mở của {z} ×∆ (ρ) Cho u(z) = −log r(z) Theo Mệnh đề 2.1.1, u là đa điều hòa dưới Cố định tùy ý 1 < q < r Gọi G là tập các điểm z ∈ ∆ sao cho các lân cận mở W của z trong ∆, f có thể được thác triển phân hình lên W ×∆(q) Ta sẽ chỉ ra rằng G= ∆.
Thật vậy, ta chỉ ra rằng G là trù mật trong ∆ Gọi A > 0, > 0 và a1,ã ã ã , as, b1,ã ã ã , bt ∈ ∆(q) sao cho ∆ 1 2
, ∆ (ai, ), ∆ (bj, ) (1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ t) là rời nhau, với ∆ (a i , ) là bao đóng tô pô của đĩa ∆ (a i , ) với tâm là a i và bán kính Ta kí hiệu N (A, ,{a i },{b j }) là tập của tất cả z ∈ ∆ sao cho kf z k V
Ta nói rằng tập hợp (A, ,{a i },{b j }) là hữu tỉ nếu A và là các số hữu tỉ và mỗi a i , b j (1 ≤i ≤ s, 1 ≤j ≤ t) có cả phần thực hữu tỉ và phần ảo. Gọi W là một tập con mở khác rỗng của ∆ Với mỗi N(A, ,{a i },{b j }) là một tập con đóng của ∆ và mỗi điểm của ∆ thuộc tập N (A, ,{a i },{b j }) với (A, ,{a i },{b j }) là hữu tỉ, theo định lý Baire, ta suy ra rằng tồn tại một tập mở khác khỗng W 0 của W và một hệ hữu tỉ (A, ,{a i },{b j }) sao cho
Theo Bổ đề 2.1.3, W 0 ⊂G Vì vậy G là trù mật.
Gọi B = ∆\G Ta cần chỉ ra rằng B = ∅.
Giả sử B 6= ∅ Áp dụng định lý Baire cho B, ta được một tập con mở
W ∩B ⊂N (A, ,{a i },{b j }) với tập hữu tỉ (A, ,{a i },{b j }) Từ W * G ta chỉ ra rằng tồn tại z 0 ∈
Chọn η > 0 sao cho ∆(z0, η) ⊂ W Gọi {G α } là tập tất cả các cơ sở tô pô của G Khi đó tồn tại 0 < δ < η 2 sao cho đường kính của G α là < η 2 Khi đó G α giao ∆(z 0 , δ) Nói cách khác, với mọi 1 ≤ v < ∞, tồn tại các αv sao cho đường kính của Gα v là ≥ η 2 và Gα v giao ∆(z0, v 1 ).
Ta có z 0 ∈ ∂(S vG α v ) Với r(z) ≥ q trên G, ta có u(z) ≤ −log q trên
G Theo Bổ đề 2.1.2, u(z 0 ) ≤ −log q, mâu thuẫn với r(z 0 ) < q Khẳng định trên được chứng minh.
Gọi z 1 là một điểm bất kỳ của ∆ (z 0 , δ) \B Khi z 1 ∈ G α ∩ ∆ (z 0 , δ), đường kính của G là < η 2 Nếu δ < η 2 thì G α ⊂∆ (z 0 , δ) ⊂ W Từ đó ta có
Khi z 1 là một điểm bất kỳ của ∆ (z 0 , δ)\B, ta có
Khi N(A, ,{a i },{b j }) là đóng và B là không đâu trù mật trong ∆, ta có
Theo Bổ đề 2.1.3, f là phân hình trên ∆ (z0, δ)×∆(q), mâu thuẫn với z 0 ∈/ G Ta kết luận rằng B = ∅. Định lý 2.1.5 (Định lý cho hàm phân hình) Giả sử Z là một tập con của ∆×∆ sao cho ({z} ×∆)∩Z và (∆× {w})∩Z là hữu hạn địa phương trong ∆×∆ với mọi z, w ∈ ∆ Giả sử f là một hàm số trên ∆×∆\Z sao cho f(z,ã) và f(ã, w) lần lượt là phõn hỡnh trờn {z} ì∆ và ∆ì {w} với mọi z, w ∈ ∆ Khi đó f là hàm phân hình hạn chế trên ∆×∆.
Chứng minh Cố định tùy ý 0 < q < 1 Ta chỉ cần chỉ ra rằng f là phân hình trên ∆×∆(q) Tập N (A, ,{a i },{b j }) được xác định như Định lý 2.1.4 Với f(ã, w) là phõn hỡnh trờn ∆ì {w}, w ∈ ∆, N (A, ,{a i },{b j }) là tập con đóng của ∆ Theo định lý Baire, tồn tại một tập con mở khác rỗng U sao cho U ⊂N (A, ,{a i },{b j }).
Từ đó ta suy ra f là phân hình trên U ×∆(q).
Theo Định lý 2.1.4 ta có f là phân hình trên ∆×∆(q).
Nhận xét 2.1.6 Định lý 2.1.4 và 2.1.5 cũng đúng trong trường hợp n chiều. Để chứng minh kết quả nghiên cứu về Thác triển của hàm phân hình lên một lân cận mở, Marek Jarnicki và Peter Pflug đã sử dụng một số Bổ đề và Định lý sau
Bổ đề 2.1.7 Gọi ϕ : (X, p) → (Y, q) là cấu xạ của miền Riemann sao cho (Y, q) là giả lồi Cho q : C n → R + là một chuẩn phức Khi đó nếu (X, p) là giả lồi thì −log d X,q ∈ PSH(X).
Bổ đề 2.1.8 Cho ξ ∈ C n , kξk = 1 và cho q ξ,ε (z) := max
, z ∈ C n (ε > 0) với h, i là chuẩn trong C n Khi đó d X,q ξ,ε %δ X,ξ với ξ & 0. Định lý 2.1.9 [4] Cho (X, p) là một miền Riemann trên C n Nếu (X, p) là giả lồi thì ta có
1 Với mọi chuẩn q : C n → R + , hàm số −log d X,q là đa điều hòa dưới trên X.
2 Với mọi ξ ∈ C n , hàm số −log δ X,ξ là đa điều hòa dưới trên X.
Mệnh đề 2.1.10 [4] Gọi (X, p) là một miền Riemann trên C n Giả sử rằng M là một tập con giải tích (n−1)−chiều của X Gọi M = S i∈IMi là khai triển với các phần tử bất khả quy Khi đó M S,ζ = S
M i ⊂M S,ζ M i Đặc biêt, tập M S,ζ cũng là giải tích.
Bổ đề 2.1.11 [4] Cho G ⊂D ×C k là một miền Hartogs với thớ k−tròn liên thông khác rỗng sao cho
Khi đó các hàm chỉnh hình trên G thác triển lên miền Hartogs với các thớ k−tròn hoàn toàn
Do đó, nếu G ⊂ D ×C k là miền Hartogs với các thớ k−tròn liên thông khác rỗng sao cho G∩ (D × {0}) 6= ∅ Khi đó các hàm chỉnh hình trên
G thác triển lên miền Hartogs với các thớ k−tròn hoàn toàn
Bổ đề 2.1.12 [6] Cho A ⊂ E p là đa chính quy địa phương, cho R > 1. Đặt
X := X (A, E q ;E p ,∆ q 0 (R)), và U ⊂ E p ×∆ q 0 (R) một lân cận mở của X Gọi M ⊂ U là một tập đóng tương đối sao cho M ∩E p+q = ∅ và với a ∈ A bất kỡ, thớ M (a,ã) là đa cực. Khi đó
2 Mỗi hàm f ∈ O S (X \M), tồn tại một hàm fb∈ O(Xb\Mc) với fb= f trên X \M.
3 Tập Mc là chính quy đối với họ n fb: f ∈ O S (X \M) o Định lý 2.1.13 [7] Cho f ∈ M(E p ×E q ) Giả sử rằng A ⊂ E p là một tập đa chớnh quy địa phương sao cho với mọi a ∈ E p ta cú (P f ) (a,ã) 6= E q , với Pf là tập cực của f, cụ thể, Pf là hợp của tất cả các cực của f và tập tất cả các điểm bất định của f Cho G⊂ C p là một miền sao cho E q ⊂ G. Giả sử rằng với mọi a ∈ A, cỏc hàm f(a,ã) thỏc triển phõn hỡnh lờn G. Khi đó tồn tại một lân cận mở Ω của (E p ×E q ) ∪(A×G) và một hàm fb∈ M(Ω) sao cho fb= f trên E p ×E q
Chứng minh Trường hợp A = E p , q = 1, G = ∆ 0 (R) (R > 1), và f ∈ O(E p ×E) Áp dụng Định lý 2.2.4 với E = ∆ và ∆ 0 (R) = ∆(r) ta được điều phải chứng minh.
Trường hợp A= E p , q = 1, và G= ∆ q 0 (R) Ta đó cú (P f ) (a,ã) 6= E q với a ∈ E p , vì vậy, với mọi a ∈ E p tồn tại một điểm b ∈ E q sao cho f chỉnh hình trên một liên thông của (a, b) Áp dụng trường hợp 1 ta được điều phải chứng minh.
Thác triển của hàm phân hình tách lên bao phân hình
hình Để chứng minh kết quả nghiên cứu về Thác triển của hàm phân hình tách lên bao phân hình, Marek Jarnicki và Peter Pflug đã sử dụng một số
Bổ đề và Định lý sau
S j ⊂ A 1 ì ã ã ã ìA j−1 ìA j+1 ì ã ã ã ìA N là đa cực, j = 1,ã ã ã , N Đặt
Khi đó các hàm f ∈ O S (T)∩C(T) thác triển chỉnh hình lên Xb. Định lý 2.2.2 [6] Cho D ⊂ C n là một miền và Db là bao chỉnh hình của
D Giả sử rằng S là tập con đa cực đóng tương đối của D Khi đó tồn tại một tập con đa cực đóng tương đối Sb của Db sao cho Sb∩D ⊂S và Db \Sb là bao chỉnh hình của D \S. Định lý 2.2.3 [2] Cho D là đĩa mở đơn vị trong C Gọi φ : D → C là hàm liên tục có sup z∈D |φ(z)| < 1 và S là bản đồ của φ Gọi Ω là lân cận mở của S ∪ (∂D×D) chứa trong tập
(z, w) ∈ C 2 : |w| < 1 Nếu f ∈ O(Ω) thì f thác triển chỉnh hình lên D 2 Định lý 2.2.4 [5] Cho Dj ⊂ C n j là một miền giả lồi, Aj ⊂ Dj là một tập đa chính quy địa phương, j = 1, , N, M ⊂ X là một tập con đóng tương đối của giao N −đa tạp X := X(A 1 , , A N ;D 1 , , D N ) Giả sử rằng với mỗi j ∈ {1, , N}, tập Σj = Σj(M) chứa tất cả các điểm (z 0 , z 00 ) ∈ (A 1 ì ã ã ã ì A j−1 ) ì(A j+1 ì ã ã ã ì A N ) là đa cực sao cho thớ
M (a 0 ,ã,a 00 ) khụng là đa cực Đặt
Khi đó tồn tại một tập đa cực đóng tương đối Mc⊂Xb sao cho:
Với mọi f ∈ O s (X \M) tồn tại duy nhất một fb∈ O s (Xb \ Mc) với fb= f trên X 0 \M;
Mc là kỳ dị đối với họ {fb:f ∈ O s (X \M)} Đặc biệt, Xb \Mc là bao chỉnh hình của X \M đối với không gian các hàm chỉnh hình tách. Hơn nữa i) Nếu M là đa cực thì Σ 1 , ,Σ N là đa cực; ii) Nếu M = X ∩ Mf, với Mf là một tập con giải tích của một lân cận mở của một tập con của X, thì Mc là tập giải tích.
Dễ thấy rằng bao chỉnh hình (của mọi miền Riemamn trên C) trùng với bao phân hình Vì vậy, ta hoàn toàn có thể giả sử rằng trong định lý trên miền Xb \ Mc cũng là bao phân hình của X \ M đối với hàm phân hình tách. Định lý 2.2.5 [7] Cho (Aj, Dj) N j=1 , X, M, và Mc⊂ Xb thỏa mãn Định lý 2.2.4 Cho S ⊂ T \M là đóng tương đối và f : (X \M) \S → C là một hàm phân hình tách trên X \ M sao cho các tập Σ 1 (S), ,Σ 1 (S) là đa cực Đặt Q f := M ∪S Khi đó tồn tại duy nhất một hàm fb∈ M(Xb\Mc) sao cho: fb ∈ O(Xb \ Qb f ), với tập Qb f được xây dựng dựa trên Định lý 2.2.4 (giống với cách xác định Mccủa M); (chú ý rằng Mc⊂Qb f ); fb= f trên X f 0 \ Q f , với
Khi đó, bao của X \M đối với các hàm phân hình tách thỏa mãn các điều kiện trên trùng với bao chỉnh hình tách của nó.
Chứng minh Cố định một hàmf ∈ M S (X\M)∩O S (X\Q f ) Theo Định lý 2.2.4, tồn tại chính xác một fb∈ O(Xb \Qb f ) với fb= f trên X f 0 \ Q f
Dễ chứng minh được rằng fb∈ M(Xb \Mc).
Ta chỉ cần chứng minh fb∈ M(Ω \Mc), với Ω ⊂ Xb là một lân cận mở của X 0
Thật vậy, theo Bổ đề 2.2.1, Định lý 2.2.3 và Định lý 2.2.2, ta có bao chỉnh hình của Ω ⊂ Mc trùng với Xb \Mc Do đó, hàm fbthác triển phân hình lên Xb \Mc.
Cố định một j ∈ 1, , N và một điểm
Lấy một điểm aj ∈ Dj\(Q f ) (a 0 ,ã,a 00 ) và chor > 0sao cho ∆a(r) ⊂ Xb\Qbf, với a = (a 0 , a j , a 00 ) Lấy D 0 j b D j \Mc (a 0 ,ã,a 00 ) với a j ∈ D 0 j Ta cú thể giả sử rằng ∆ (a 0 ,a 00 ) (r)×D j 0 ⊂ Xb \Mc và ∆ a j (r) ⊂ D j 0 Theo Định lý Rothstein (Định lý 2.1.13) với p:= n1 +ã ã ã+nj−1 + nj+1 +ã ã ã+nN, q := nj,
A := ((A 1 ì ã ã ã ìA j−1 )ì(A j+1 ì ã ã ã ìA N ))∩∆ (a 0 ,a 00 ) (r), ta được một tập mở Ωa ⊃A×D j 0 sao cho fbthác triển phân hình lên Ωa.Việc chứng minh định lý được hoàn thành.
Thác triển của hàm phân hình tách với kỳ dị đa cực
Sử dụng chủ yếu nghiên cứu của Rothstein, Marek Jarnicki và Peter Pflug đã chứng minh được một kết quả rất đẹp đẽ về Thác triển của hàm phân hình tách với kỳ dị đa cực Cụ thể như sau Định nghĩa 2.3.1 Một tập con M của tập mở Ω ⊂ C n được gọi là mỏng trong Ω nếu với mọi điểm a ∈ Ω tồn tại một đa đĩa ∆ a (r) ⊂ Ω và một hàm ϕ chỉnh hình trên ∆ a (r) sao cho M ∩ ∆ a (r) ⊂ ϕ −1 (0).
1 Nếu M là mỏng thì int M = ∅.
2 Nếu M là mỏng trong Ω và N ⊂ M thì N là mỏng trong Ω.
3 Nếu M 1 , M 2 là mỏng trong Ω thì M 1 ∩M 2 là mỏng trong Ω. Định nghĩa 2.3.3 Cho E ⊂ C n và E 0 là tập các điểm giới hạn của nó. Khi đó E được gọi là đa mỏng tại z 0 bất kỳ có thể thuộc E 0 hoặc không nếu tồn tại một lân cận U của z 0 và một hàm u(z) ∈ PSH(U) sao cho với mọi z ∈ E \ z 0 z→zlim 0 u(z) < u(z 0 ).
Nhận xét 2.3.4 Nếu tập E là không mỏng tại điểm z 0 thì mọi hàm đa điểu hòa dưới u(z) trong lân cận của z 0 đều thỏa mãn lim z→z 0 u(z) = u(z 0 ).
Nhận xét 2.3.5 [7] a) Nếu A, B ⊂ C n là các đa mỏng ở một điểm a ∈ C n thì A∪B là đa mỏng ở a Ta nói rằng A ∈ C n là đa mỏng ở một điểm a ∈ C n nếu a /∈ A hoặc a ∈ A và lim sup A\{a}3z→a u(z) < u(a) với một hàm đa điều hòa dưới u trong lân cận của a. b) Mỗi tập cực P ⊂ C là mỏng ở mọi điểm a ∈ C. c) Nếu A ⊂ C không mỏng ở một điểm a ∈ A thì với mỗi tập cực
P ⊂ C, tập A\P không mỏng ở a Khi đó c) được suy ra từ a) và b). d) Nếu A ⊂ C n là đa chính quy địa phương ở một điểm a ∈ A thì A không mỏng ở a Nếu A ⊂ C không mỏng ở điểm a ∈ A thì A là đa chính quy địa phương ở a.
Thật vậy, giả sử rằng A⊂ C n là đa chính quy địa phương ở a và lim sup
A\{a}3z→a u(z) < c < u(a) với u ∈ PSH(V), trong đó V là lân cận mở của a Ta có thể thừa nhận rằng u ≤ 0 trên V Lấy một lân cận mở U ⊂ V của a sao cho u < c trên (A\ {a}) ∩U Đặt v := (u/−c) + 1 Khi đó v ≤ 1 trên
U và v ≤ 0 trên (A\ {a})∩U Vì vậy v ≤ h ∗ (A\{a})∩U,U = h ∗ A∩U,U trên
U Đặc biệt 0 =v(a) = (u(a)/−c) (trái giả thiết).
Bây giờ, giả sử rằng A ⊂C không mỏng ở avà h ∗ A∩U,U (a) > 0với mọi lân cận U của a Cho P ⊂ U là một tập cực sao cho h ∗ A∩U,U = h A∩U,U trên U\P Đặc biệt,h ∗ A∩U,U = 0trên A\P Theo c), tập A\P không mỏng ở a Vì vậy, 0 < h ∗ A∩U,U (a) = lim sup A\P 3z→a h ∗ A∩U,U (z) = 0 (trái giả thiết). e) Nếu A ⊂ C là mỏng ở điểm a ∈ A thì có một dãy r k & 0 sao cho {z ∈ A :|z −a| = rk} = ∅, k = 1,2, f) Với một tập 0−đa cực A ⊂ C n , ta kí hiệu A ∗ là tập của tất cả các điểm a ∈ A sao cho A là đa chính quy địa phương ở a Khi đó A\A ∗ là đa cực. Định lý 2.3.6 [7] Cho D ⊂ C p , G ⊂ C q là các miền giả lồi, cho ∅ 6A ⊂ D, ∅6= B ⊂G là các tập đa chính quy địa phương, và cho
Cho S ⊂ X là một tập đóng tương đối Ta có: i) Với mọi (a, b) ∈ (AìB) ta cú int C q S (a,ã) = ∅; int C p S (ã,b) = ∅ ii) A×B ⊂ (A×B)\S; và tồn tại tập hút (D j ) ∞ j=1 và (G j ) ∞ j=1 lần lượt của D và G sao cho: iii) Dj, Gj là các miền con giả lồi compact tương đối lần lượt của D và G; iv) A j := A∩D j 6= ∅, B j := B ∩G j 6= ∅; v) Với mọi (a, b) ∈ (A j ì B j ) ta cú B j \ S (a,ã) 6= ∅, A j \ S (ã,b) 6= ∅, j = 1,2,
Khi đó, với mỗi hàm f : X \S → C là phân hình tách trên X, tồn tại một hàm fb∈ M(Xb) sao cho fb= f trên X \S.
Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh rằng với mỗi j, tồn tại một lân cạn mở Ωj của tập giao
X j := X(A j , B j ;D j , G j ) = (A j ×G j )∪(D j ×B j ) sao cho tồn tại một fe j ∈ M(Ω j ) với fe j = f trên X j \S.
Thật vậy, ta có thể giả sử rằng Ω j ⊂ Xb j Khi đó Xb j % Xb Theo Bổ đề 2.2.1 suy ra bao chỉnh hình của Ω j bằng Xb j Do đó, hàm fe j thác triển đến một hàm fbj ∈ M(Xbj) Với Xj \S không là đa cực (theo giả thiết), ta kết luận rằng fe j = fe j+1 trên Xb j Cuối cùng, ta kết hợp các hàm (fb j ) ∞ j=1 và được thác triển cần tìm.
Cố định (a, b) ∈ Aj×Bj\S và chor > 0sao cho∆ (a,b) (r) ⊂Dj×Gj\S. Gọi
Khi đó f ∈ O S (Y) và vì vậy, theo Định lý 2.2.4, f| Y thác triển chỉnh hình trên Yb Đặc biệt, f thác triển chỉnh hình lên lân cận mở của (a, b).
Theo Định lý Rothstein (Định lý 2.1.13), ta được một tập mở
Ω j,a,b = (∆ a (r a,b )×G j )∪(D j ×∆ b (r a,b )) ⊂ D j ×G j trong đó, tồn tại một hàm fb j,a,b ∈ M(Ω j,a,b ) sao cho fb j,a,b = f trên X ∩
Bây giờ, ta chỉ ra rằng, nếu Ω j,a,b ∩ Ω j,a 0 ,b 0 6= ∅, khi đó fb j,a,b = fb j,a 0 ,b 0 trên Ω j,a,b ∩Ω j,a 0 ,b 0 Nhận xét rằng
Thứ nhất, fb j,a,b = f = fb j,a 0 ,b 0 trên (A j ×B j )∩(∆ a (r a,b )×∆ b 0 (r a 0 ,b 0 ))\S.
Vì vậy, theo giả thiết, fbj,a,b = fbj,a 0 ,b 0 trên ∆a(ra,b) × ∆b 0 (ra 0 ,b 0 ) Nói cách khác ∆ a 0 (r a 0 ,b 0 )×∆ b (r a,b ).
Nếu ∆ a (r a,b )∩∆ a 0 (r a 0 ,b 0 ) 6= ∅, khi đú với mỗi β ∈ B j , ta cú fb j,a,b (ã, β) f(ã, β) trờn Aj ∩∆a(ra,b)\S (ã,β) Do đú fbj,a,b(ã, β) = f^(ã, β) trờn ∆a(ra,b), và vỡ vậy fb j,a,b (ã, β) = f^(ã, β) = fb j,a 0 ,b 0 (ã, β) trờn ∆ a (r a,b ) ∩ ∆ a 0 (r a 0 ,b 0 ) với mọi β ∈ B j
Nguyên lý đồng nhất chỉ ra rằng fb j,a,b = fb j,a 0 ,b 0 trên (∆ a (r a,b )∩ ∆ a 0 (r a 0 ,b 0 ))×G j
Hay chính là trên tập D j ×(∆ b (r a,b )∩ ∆ b 0 (r a 0 ,b 0 )).
Dễ thấy, theo giả thiết, Ω j := S
(a,b)∈A j ×B j \SΩ j,a,b là một lân cận mở của X j
Việc chứng minh Định lý 2.3.6 hoàn thành.
Từ Định lý này, Marek Jarnicki và Peter Pflug đã chứng minh được 2 kết quả sau
Hệ quả 2.3.7 [7] (Trường hợp D và G là các đĩa đơn vị E) Cho S ⊂
E ×E là một tập đóng tương đối sao cho: intS = ∅;
Với mọi miền U ⊂ E×E, tập U \S là liên thông.
Gọi A và B lần lượt là tập gồm tất cả các điểm a ∈ E, b ∈ E sao cho int C q S (a,ã) = ∅, int C p S (ã,b) = ∅ Đặt
Khi đó, mỗi hàm f : X \ S → C là phân hình tách trên X, tồn tại fb∈ M(E ×E) sao cho fb= f trên X \S.
Chứng minh Đầu tiên, ta kiểm tra rằng các tập A và B không mỏng tại mọi điểm của E (đặc biêt, chúng là trù mật trong E).
Thật vậy, giả sử rằng A là mỏng tại điểm a ∈ E Theo nhận xét 2.3.5, tồn tại một hình trìn C ⊂ E sao cho C ∩A = ∅ Sử dụng lý luận phạm trù Baire, ta kết luận rằng tồn tại một cung mở khác rỗng Γ ⊂ C và một đĩa mở ∆ ⊂ E sao cho mặt thực ba chiều Γ×∆ được chứa trong S Vì vậy, do S không trù mật và không là các miền tách (mâu thuẫn).
Do đó, theo Nhận xét 2.3.5, các tập A và B là chính quy địa phương và h ∗ A,E = h ∗ B,E = 0 Đặc biệt Xb = E ×E.
Vì A và B là trù mật trong E, dễ thấy các giả thiết của Định lý 2.3.6 (D = G = E) được thỏa mãn với tập hút tùy ý D j := ∆ 0 (r j ), G j :∆ 0 (r j ), 0< r j % 1 (thỏa mãn Định lý 2.3.6).
∆ 1−1/k (1/k 2 ) ⊂ E × E Khi đó S thỏa mãn tất cả các giả thiết của
Hệ quả 2.3.7 nhưng trong trường hợp phần trong của A = E \(Q+ iQ) là rỗng.
(a) Cho S ⊂E n là đóng tương đối sao cho intS = ∅ và S không là miền tách Cho f : E n \S →C là hàm sao cho với mọi j ∈ 1, , n và mọi(a 0 , a 00 ) ∈ E j−1 ìE n−j mà int C Sa 0 ,ã,a 00 = ∅, hàm f(a 0 ,ã, a 00 ) thỏc triển phân hình lên E Khi đó, f thác triển phân hình lên E n
(b) ChoD ⊂C p , G ⊂ C q là các miền giả lồi và cho S ⊂D×Glà một tập đóng tương đối sao cho intS = ∅và S không là miền tách Kí hiệu A,
B lần lượt là tập của cỏc điểm a ∈ D, b ∈ G sao cho int C q S (a,ã) = ∅ và int C p S (ã,b) = ∅ Đặt X := X(A, B;D, G) = (AìG)∪ (D ìB). Khi đó, với mọi hàm f : X \S → C là phân hình tách trên C, tồn tại một hàm fb∈ M(D ×G) sao cho fb= f trên Xb \S.
Hệ quả 2.3.10 [7] Cho D, G, A, B, X như ở Định lý 2.3.6 Giả sử rằng
S ⊂ X là một tập đóng tương đối sao cho:
Tập D \A là độ đo Lebesgue không;
Với mọi a ∈ A thỡ thớ S (a,ã) là đa cực;
Với mọi b ∈ B thỡ thớ S (ã,b) là độ đo Lebesgue khụng.
Khi đó với mọi hàm f : X \S → C là phân hình tách trên X, tồn tại một hàm fb∈ M(D ×G) sao cho fb= f trên X \S.
Chứng minh Dễ kiểm tra rằng tất cả các giả thiết của Định lý 2.3.6 được thỏa mãn (với các tập khử liên tiếp tùy ý) Dễ thấy h ∗ A,D ≡ 0 (vì h ∗ A,D = 0 trên A và tập D \A là độ đo không) Vì vậy, Xb = D ×G.
Thác triển ánh xạ chỉnh hình và phân hình là một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích phức Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết đa thế vị phức, bài toán thác triển được xem xét đối với các ánh xạ chỉnh hình và phân hình tách biến trên các tập đặc biệt Nói khác đi là xét tính chỉnh hình và phân hình của các ánh xạ chỉnh hình và phân hình tách biến.
Với mục đích nghiên cứu và trình bày lại một cách chi tiết và có hệ thống kết quả của Marek Jarnicki và Peter Pflug về thác triển của hàm phân hình tách với kỳ dị đa cực Luận văn Thác triển của hàm phân hình tách với kỳ dị đa cực đã đạt được những kết quả sau:
Trình bày được một số kết quả liên quan đến nội dung chính ở Chương
2 như Miền Riemann và miền Hartogs, Độ đo Lebesgue, Định lý Baire, Hàm chỉnh hình và hàm phân hình, Miền giả lồi, Đa tạp phức n−chiều. Trình bày lại được kết quả nghiên cứu của Marek Jarnicki và Peter Pflug về thác triển của hàm phân hình tách với các kỳ dị đa cực Cụ thể
- Thác triển hàm phân hình lên một lân cận mở.
- Thác triển hàm phân hình tách lên bao phân hình.
- Thác triển hàm phân hình tách với kỳ dị đa cực.
[1] Phạm Việt Đức, 2005, Mở đầu về lý thuyết các không gian phức hy- perbolic.
[2] E Chirka, 1993, The extension of pluripolar singularity sets, Proc. Steklov Inst Math 200, 369–373.
[3] Eduard Emelyanov, 2007,Introduction to measure theory and lebesgue integration.
[4] Marek Jarnicki và Peter Pflug, 2000,Extension of Holomorphic Func- tions, de Gruyter Expositions in Mathematics, 34 Walter de Gruyter.
[5] Marek Jarnicki và Peter Pflug, 2003, An extension theorem for sep- arately holomorphic functions with analytic singularities, Ann Pol. Math 80, 143-161.
[6] Marek Jarnicki và Peter Pflug, 2003, An extension theorem for separately holomorphic functions with pluripolar singularities,Trans. Amer Math 355, 1251-1267.
[7] Marek Jarnicki và Peter Pflug, 2003, An extension theorem for sepa- rately meromorphic functions with pluripolar singularities, Vol Math.