(Luận văn thạc sĩ) thác triển dấu hiệu hội tụ trong nhóm tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHĨM TƠPƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHĨM TƠPƠ Chun ngành : Hình học tơpơ Mã số :60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh Nội dung luận văn có tham khảo, trình bày lại phát triển khái niệm, định lý báo [10] Lin, Shou, Fucai Lin, and Li-Hong Xie (2015), “The extensions of some convergence phenomena in topological groups”, Topology and its Applications, 180, pp.167180 Những trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Học viên thực luận văn Dư Ngọc Minh Anh LỜI CÁM ƠN Để hoàn thành luận văn em nhận nhiều giúp đỡ chuyên môn từ Giảng viên khoa Toán, giáo viên đồng nghiệp bạn lớp Hình học tơpơ khóa 26 anh chị khóa Đầu tiên em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Hà Thanh Người hướng dẫn khoa học, trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Thầy nhiệt tình hướng dẫn em nghiên cứu chuyên môn, truyền đạt kiến thức lẫn động viên tinh thần, nhiệt tình giúp em chỉnh sửa luận văn để có luận văn tốt Em xin gửi lời cám ơn đến Thầy, Cơ cơng tác phịng Đào tạo Sau Đại học quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn thủ tục để em hồn thành luận văn yêu cầu tiến độ Em xin chân thành cảm ơn Giảng viên công tác khoa Tốn giảng dạy em suốt q trình học tập lớp cao học Em xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Thanh Đa giáo viên đồng nghiệp quan tâm động viên giúp đỡ để em có thời gian nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn thành viên gia đình động viên, tạo điều kiện để em yên tâm nghiên cứu Em xin cảm ơn chị Phan Ngọc Yến chị Nguyễn Phương Anh (email phanngocyen.dhsp@gmail.com nguyenphuonganhintel@gmail.com) giúp đỡ em trình tìm tài liệu chia sẻ kinh nghiệm trình làm luận văn Cảm ơn bạn Hoàng Dũng, Hương anh Xuân Trung lớp cao học Hình học tơpơ khóa 26 học tập, nghiên cứu, hỗ trợ, giúp đỡ lẫn nhau, để hồn thành khóa học Xin chân thành cảm ơn Dư Ngọc Minh Anh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất khơng gian tơpơ 1.2 Các tiên đề tách 1.3 Dãy hội tụ tôpô 10 1.4 ∑ −không gian 11 1.5 Compact 12 1.6 Nhóm tơpơ 15 1.7 Không gian khả mêtric 16 Chương TÍNH CHẤT BA KHƠNG GIAN ĐỐI VỚI CÁC TẬP COMPACT DÃY 18 2.1 Không gian dãy Không gian Fréchet 18 2.2 Tính chất thớ nghịch đảo Tính chất ba khơng gian tập compact dãy 25 Chương NHÓM THƯƠNG ĐỐI VỚI NHÓM CON THỎA TIÊN ĐỀ ĐẾM ĐƯỢC THỨ HAI VÀ NHÓM CON COMPACT ĐỊA PHƯƠNG KHẢ MÊTRIC 35 3.1 Lưới không gian tôpô   không gian 35 3.2 Sự thác triển tính chất nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai 37 3.3 Nhóm thương nhóm khả mêtric compact địa phương 43 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 MỞ ĐẦU Giới thiệu đề tài Trong tơpơ đại cương, khơng gian thương tính chất đối tượng thu hút nhiều nhà tốn học quan tâm, tìm hiểu Bài tốn sau chủ đề nghiên cứu chuyên sâu tỉ mỉ nhà toán học thời gian dài Cho H nhóm đóng nhóm tôpô G , G / H không gian thương Giả thiết H G / H thoả tính chất khơng gian tơpơ Khi kết luận G có tính chất đó? Nhóm G gọi thác triển nhóm H khơng gian thương G / H Năm 1949, Jean-Pierre Serre - nhà toán học Pháp - chứng minh H tập đóng nhóm tơpơ G , hai không gian H G / H compact địa phương, nhóm tơpơ G compact địa phương Kết dựa thác triển tính chất từ G / H lên G , từ mở hướng nghiên cứu cho câu hỏi nêu Chúng ta có khái niệm tính chất ba khơng gian: Cho H nhóm đóng nhóm tơpơ G G / H không gian thương tương ứng, giả thiết không gian H G / H thoả tính chất P (tơpơ, đại số, hai), G thoả tính chất P , P gọi tính chất ba khơng gian J P Serre khẳng định tính compact địa phương tính chất ba khơng gian Thực tế có nhiều cơng trình chứng minh tính compact, tính đầy đủ, tính liên thơng, tính giả compact tính mêtric tính chất ba khơng gian lớp nhóm tơpơ Vào năm gần đây, kế thừa phát A.V Arhangel’skiˇı, M Bruguera, M G Tkachenko V V Uspenskij đưa nhiều kết dựa mở rộng nhóm tơpơ nhóm đóng chuẩn tắc, nhóm compact địa phương hay nhóm khả mêtric compact địa phương Điều cho thấy nghiên cứu tính chất ba khơng gian lớp nhóm tơpơ nhiều nhà toán học nghiên cứu, phát triển Tuy nhiên, đề tài nhiều vấn đề mở liên quan đến ứng dụng tính chất tơpơ đại số q trình tạo nhóm thương Mặt khác, hội tụ dãy (tập hợp) đề tài quan tâm tôpô Vào năm 2008, A V Arhangel’skii trình bày [3] phát ban đầu thác triển tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Đây vấn đề mở thu hút nhiều nghiên cứu nhà tốn học Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu nội dung liên quan đến số tính chất ba không gian dấu hiệu hội tụ tập compact dãy Các tính chất liên quan đến lưới nhóm tơpơ có thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai, nhóm mêtric, compact địa phương phát biểu chứng minh Từ giải số vấn đề nghiên cứu thác triển số tiêu chuẩn hội tụ nhóm tơpơ Phương pháp nghiên cứu Trình bày lý thuyết tính chất ba không gian, lý thuyết không gian thương, đưa kết qua lập luận chứng minh chi tiết Tổng hợp, bổ sung hoàn thiện từ báo có, tài liệu khoa học có liên quan đến đề tài, vấn đề cần nghiên cứu Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày sau: Mở đầu gồm có giới thiệu đề tài, nội dung luận văn, phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức tổng quan Trình bày kiến thức chuẩn bị cho luận văn gồm khái niệm, Định nghĩa tính chất khơng gian tơpơ Chương 2: Trình bày tính chất ba khơng gian tập compact dãy Chương 3: Trình bày thác triển tính chất liên quan đến lưới khơng gian thương nhóm thỏa tiên đề đếm thứ hai tính chất khơng gian thương nhóm khả mêtric, compact địa phương Kết luận: Hệ thống kết đạt chương chương Tài liệu tham khảo Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất khơng gian tơpơ 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng  họ tập X cho: , X  i ii U , V  U  V  iii U i  , i   Ui   iI  I Khi ta gọi  tôpô X X;  không gian tôpô 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X;  điểm x  X , U  X tồn V   cho x  gọi lân cận x V V U 1.1.3 Định nghĩa Tập A  X tập mở với x  A có lân cận U x x chứa A Tập B  X gọi tập đóng X \ B tập mở 1.1.4 Định nghĩa Cho không gian tôpô X , A  X Trên A ta xét tôpô  A    A U :U mở X họ tập mở A Dễ thấy A tôpô cảm sinh từ tôpô  Khi X, A  gọi khơng gian tôpô không gian tôpô X , 1.1.5 Định nghĩa Cho họ không gian tôpô đôi rời   Đặt: X  i iI X  iI  i    U  X :U  X Xi mở Xi ,i I Khi  tơpơ X X,  gọi tôpô tổng không gian tơpơ X  iI Kí hiệu:   i i I X i