Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp kähler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụng

B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ N I Nguyen Thị Nhung PHÂN BO GI TR CA NH X PHN HèNH ă HLER VO ĐA TẠP XẠ ẢNH VÀ ỨNG DỤNG TỪ ĐA TẠP KA LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC Hà N i, 2019 B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ N I Nguyen Thị Nhung PHN BO GI TR CA NH X PHN HèNH ă HLER VÀO ĐA TẠP XẠ ẢNH VÀ ỨNG DỤNG TỪ ĐA TẠP KA Chun ngành: Hình hoc Tơpơ Mã so: 9.46.01.05 LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC NGƯ I HƯ NG DȀN KHOA HOC: PGS.TS Sĩ Đfíc Quang Hà N i, 2019 L I CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan ket trình bày lu n án mới, công bo tạp chí Tốn hoc có uy tín the giới Các ket nêu lu n án trung thực, đong tác giả cho phép sả dụng chưa tàng công bo bat kỳ công trình khác Nghiên cáu sinh Nguyen Thị Nhung ii L I CẢM ƠN Lu n án hoàn thành quan tâm hướng dan t n tình PGS.TS Sĩ Đác Quang Tơi xin gải lời cảm ơn chân thành sâu sac nhat đen Thay, cảm ơn Thay bảo, sẻ chia tạo moi đieu ki n thu n lợi cho tơi suot q trình hoc t p nghiên cáu Tôi xin gải lời cảm ơn đen GS.TSKH Hà Huy Khối, người định hướng khuyen khích tơi nghiên cáu khoa hoc, tạo nhieu h®i đe tơi có the hoc t p giao lưu với nhǎng nhà khoa hoc hướng nghiên cáu Tôi xin gải lời cảm ơn đen Trường Đại hoc Sư Phạm Hà N®i, Phịng Sau đại hoc, Ban Chủ nhi m Khoa Toán-Tin ve giúp tạo đieu ki n thu n lợi dành cho Tôi xin gải lời cảm ơn đen thay anh chị em seminar Hình hoc phác B® mơn Hình hoc Tơ pơ, đ c bi t TS Phạm Đác Thoan TS Lê Ngoc Quỳnh, ve đ®ng viên, trợ giúp nhǎng trao đői khoa hoc hǎu ích q trình tơi hoc t p nghiên cáu Tôi xin gải lời cảm ơn sâu sac đen Trường Đại hoc Thăng Long, Ban Chủ nhi m Khoa Toán-Tin, anh chị em đong nghi p B® mơn Tốn giúp đơ, quan tâm chia sẻ đe tơi ln có nhǎng đieu ki n thu n lợi nhat suot trình hoc nghiên cáu sinh Cuoi cùng, tơi xin bày tỏ lòng biet ơn tà t n đáy lòng đen gia đình người thân ln bên tơi, khích l đ®ng viên tơi, chia sẻ khó khăn đe tơi có the hồn thành lu n án Tác giả iii MỤC LỤC L i cam đoan ii L i cảm ơn iii Danh mnc quy c kí hi u vi M ĐAU 1 TONG QUAN QUAN H SO KHUYET KHƠNG LAY TÍCH PHÂN CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH GIAO V I HO SIÊU M T DƯ I TONG QUÁT 18 2.1 M®t so kien thác chuȁn bị 19 2.2 Định lý ve quan h so khuyet khơng lay tích phân cho ánh xạ phân hình 27 VAN ĐE DUY NHAT CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CĨ CÙNG ẢNH NGƯ C CỦA M T SO SIÊU PHANG 3.1 53 Định lý thá hai cho ánh xạ phân hình tà hình cau ho siêu phȁng vị trí tőng quát 54 3.2 Định lý nhat cho ánh xạ phân hình có ảnh ngược m®t so siêu phȁng 57 SỰ PHỤ THU C ĐẠI SO CỦA BA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CÙNG ẢNH NGƯ C CỦA M T SO SIÊU PHANG 4.1 67 Định lý thá hai cho ánh xạ phân hình tà hình cau ho siêu phȁng vị trí tőng quát 68 4.2 Định lý ve phụ thu®c đại so ba ánh xạ phân hình có ảnh ngược m®t so siêu phȁng 73 iv Ket lu n kien nghị 92 Danh mnc cơng trình cơng bo liên quan đen lu n án 94 95 TÀI LI U THAM KHẢO v DANH MỤC CÁC QUY Ư C VÀ KÍ HI U Trong tồn b® lu n án, thong nhat m®t so kí hi u sau • Pn(C): không gian xạ ảnh phác n− chieu • ǁzǁ = |z1|2 + · · · + |zm|2 1/2 với z = (z , , z ) ∈ Cm m • B(r) := {z ∈ Cm : ǁzǁ < r} hình cau mở bán kính r Cm • S(r) := {z ∈ Cm : ǁzǁ = r} m t cau bán kính r Cm √ −1 c d = ∂ + ∂, d := (∂ ∂): toán tả vi phân • − 4π • βn−1 := (ddcǁzǁ2)n−1, σn := dclogǁzǁ2 ∧ (ddclogǁzǁ2)n−1: dạng vi phân • O(1): hàm bị ch n đoi với r • O(r): vơ lớn b c với r r → +∞ • o(r): vô bé b c cao r r → +∞ • log+r = max{log r, 0}, r ≥ • “|| P ”: có nghĩa m nh đe P với moi r ∈ [0, +∞) nam ngồi m®t t p Borel E [0, +∞) thoả mãn ∫ E dr < +∞ • |S|: lực lượng t p hợp S • I(x): so ngun lớn nhat khơng vượt q x • BCNN{d1, , dq}: b®i so chung nhỏ nhat so nguyên dương d1, , dq • Zero(h) : t p không điem hàm h • supp(ν) : giá divisor ν vi M ĐAU Lý chon đe tài Lý thuyet Nevanlinna bat đau bang nhǎng nghiên cáu ve phân bo giá trị hàm phân hình m t phȁng phác Năm 1926, R Nevanlinna mở r®ng định lý Picard nhỏ bang cách cháng minh hai định lý quan mà thường goi định lý thá nhat định lý thá hai Công trình R Nevanlinna l p tác quan tâm mạnh mě có nhieu ket quan công bo tác A Bloch [2], H Cartan [4],[5], H Weyl F J Weyl [42] Đ c bi t, H Cartan mở r®ng lý thuyet Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình khơng gian xạ ảnh phác sau L Ahlfors [1] đưa cách tiep c n hình hoc cho ket H.Cartan Weyls Vào nhǎng năm tiep theo, W Stoll [35] m®t so nhà tốn hoc khác P Griffiths, B Shiffman tőng quát ket cho trường hợp nhieu bien phác đong thời phát trien lên cho trường hợp ánh xạ phân hình tà đa tạp parabolic vào đa tạp xạ ảnh Trong nhǎng th p kỉ vàa qua, nhieu nhà toán hoc quan tâm đen toán tőng quát lý thuyet Nevanlinna lên cho trường hợp ánh xạ phõn hỡnh t a Kăahler vo a x ảnh Năm 1985, H Fujimoto [14] xây dựng lý thuyet phân bo giá trị cho trường hợp đa tạp Kăahler M ay v cú ph song chnh hỡnh vi m®t hình cau B(R0) khơng gian phác nhieu chieu Cm iem khỏc bi t l trờn a Kăahler tőng qt khơng có hàm vét cạn parabolic, không the xây dựng khái ni m thông thường cho hàm đem divisor, hàm đ c trưng hàm xap xỉ ánh xạ Đe vượt qua khó khăn này, dựa vào tính giảm khoảng cách không gian sở so với không gian phủ, Fujimoto chuyen toán cho ánh xạ phân hình f tà M thành tốn cho f tà B(R0) vào không gian xạ ảnh Pn(C) Đong thời, H Fujimoto đưa khái ni m phương pháp đe giải quyet nhǎng trường hợp khác bi t áp dụng lý thuyet Nevanlinna hình cau B(R0) so với Cm Cụ the là, ông đưa khái ni m so khuyet không lay tích phân thiet l p quan h so khuyet cho ánh xạ phân hình tà M vào không gian xạ ảnh Pn(C) giao với ho siêu phȁng Sau ket H Fujimoto, T V Tan V V Trường [38] cháng minh định lý ve so khuyet khơng lay tích phân cho ánh xạ phân hình tà M giao với ho siêu m t vị trí tőng quát Tuy nhiên, khái ni m “dưới tőng quát” tác giả đ c bi t can thêm m®t đieu ki n so với định nghĩa thông thường Bang m®t cách khác, M Ru S Sogome [32] mở r®ng ket H Fujimoto cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh với siêu m t vị trí tőng quát Theo nghĩa tự nhiên khái ni m “dưới tőng quát”, m®t so tác giả sau thiet l p quan h so khuyet cho ánh xạ phân hình siêu m t vị trí tőng quát Q Yan [43], Đ Đ Thái S Đ Quang [40] Tuy nhiên, ket tác giả van chưa phải nhǎng mở r®ng thực cho ket M Ru S Sogome quay ve ho siêu m t vị trí tőng quát Do đó, m®t câu hỏi tự nhiên đ t là: “Li u có the thiet l p đưạc quan h so khuyet khơng lay tích phân tot cho trưàng hạp ho siêu m t vị trí dưái tőng quát không?” Trong lu n án này, chúng tơi sě đưa m®t phương pháp đe trả lời cho câu hỏi Sau R Nevanlinna đưa định lý năm điem hay goi định lý nhat, nhieu tác giả mở r®ng định lý lên cho trường hợp ánh xạ phân hình tà Cm vào Pn(C) Nhǎng ket đau tiên thu®c ve H Fujimoto [11] L Smiley [34], L Smiley cháng minh rang hai ánh xạ phân hình sě trùng neu chúng bang ảnh ngược 3n + siêu phȁng giao ảnh ngược hai siêu phȁng tùy ý có đoi chieu nhat hai Vi c có thêm đieu ki n đoi chieu giao ảnh ngược hai siêu phȁng giúp thực hi n nhieu bien đői hàm đem cho đen có nhieu ket cải tien định lý L Smiley đưa Nhǎng ket tot nhat theo hướng thu®c ve Z Chen Q Yan [6], H H Giang, L N Quỳnh S Đ Quang [16] Năm 1986, sau thiet l p thành công quan h so khuyet khơng lay tích phân, H Fujimoto [15] đưa định lý nhat cho ánh xạ phân hình tà M vào Pn(C ) với ho siêu phȁng Tuy nhiên, định lý H Fujimoto khơng thu®c hướng có thêm đieu ki n ve đoi chieu nên không khái quát nhǎng ket đe c p quay ve trường hợp Cm Do v y, mục đích tiep theo chúng tơi lu n án mở r®ng định lý nhat H Fujimoto đong thời tőng quát ket đạt Cm Khi so siêu phȁng khơng đủ lớn ta khơng the suy ket lu n toán nhat Tuy nhiên, với m®t so đieu ki n nhat định, ta có the ánh xạ xét có liên h đại so với Bài tốn ve phụ thu®c đại so ánh xạ phân hình tà Cm vào Pn(C) bat đau nghiên cáu báo S Ji [18] cho đen có nhieu ket cơng bo M®t so ket tot nhat gan thu®c ve Z Chen Q Yan [7], S Đ Quang [24], S Đ Quang L N Quỳnh [26] Tà đó, m®t cách tự nhiên, chúng tơi đ t câu hỏi: “Có the má r®ng ket q ve phn thu®c đại so ánh xạ phân hình tù Cm thành ánh xạ tù M vào Pn(C) đưạc không?” Chúng lưu ý cho đen nay, chưa có ket đưa cho phụ thu®c đại so ánh xạ phân hình M , m c dù toán nhat cho ánh xạ phân hình tà M m®t so tác giả nghiên cáu sau báo H Fujimoto năm 1986 Nguyên nhân nhǎng ky thu t sap xep hàm đem ho c sap xep lại ho siêu phȁng dùng nhǎng toán Cm hay định lý nhat M , đeu khơng sả dụng làm tốn suy bien M Do đó, chương cuoi lu n án, đe xuat nhǎng ky thu t khac phục khó khăn này, đe xây dựng moi liên h đại so ánh xạ phõn hỡnh t a Kăahler T nhng lý trên, lựa chon đe tài “Phân bo giá tr cia ánh xạ phân hình tG đa tạp Kă ahler vo a x anh v Gng ding ”, đe sâu vào nghiên cáu vi c thiet l p quan h so khuyet khơng lay tích phân cho trường hợp ánh xạ phân hình siêu m t vị trí tőng quát, đong thời nghiên cáu toán nhat toán ve phụ thu®c đại so cho nhǎng ánh xạ phân hình giao với ho siêu phȁng Mnc đích nghiên cfíu Mục đích đau tiên lu n án thiet l p quan h so khuyet không lay tích phân cho ánh xạ phân hình tà đa Kăahler vo a x nh vi ho siờu m t vị trí tőng quát Tiep theo lu n án nghiên cáu tốn nhat tốn suy bien hay phụ thu®c đại so ánh xạ phân hình tà đa tạp Kăahler vo khụng gian x nh giao vi ho cỏc siêu phȁng vị trí tőng quát ho c tőng quát Y Bây giờ, ta đ t P := Y PI Khi đó, ta |R|=q−1 I∈IR Y Σ νP I νP (z) = |R|=q−1 I∈IR q 1Σ Σ ≥3 = u=1 u=1 ≥ (q − 1) [n] [1] (q − 1) νHv (fu) (z) − ν Hv (fu) (z) + v=1 q−1 Σ ! q Σ q [n] νHv (fu) (z) + v=1 2q(q − 1) Σ 2q [1] − 1) v=1 ! Σ q [1] νHv (fu) v=1 νHv (fu) q 2q + 3n − Σ Σ [n] ν Hv (fu) (z) 9n u=1 v=1 Trưàng hạp 3: q ≡ ( mod 3) Tương tự Trường hợp 2, xét t p tùy ý R = {i1, , iq−2} {1, , q} Ta có ! q Σ Σ Σ 2(q − 2) [n] [1] [1] νHv (fu) (z) − ν Hv (fu) (z) + νHv (fu) νPI (z) ≥ 3 u=1 Y Đ t P := Y v=1 v∈R PI, tà ta có |R|=q−2 I∈IR Σ Σ νP I νP (z) = |R|=q−2 I∈IR q Σ Σ (q − 1)(q − 2) ≥3 = v=1 u=1 ≥ [n] [1] νHv (fu) (z) − ν Hv (fu) (z) + q (q − 1)(q − 2) Σ Σ u=1 [n] νHv (fu) (z) + v=1 ! q 2q 2q(q − 1)(q − 2) Σ ! Σ q − 1) [1] νHv (fu) v=1 [1] v=1 νHv (fu) q (q − 1)(q − 2) 2q + 3n − Σ Σ [n] · ν Hv (fu) (z) 9n u=1 v=1 Neu q ≡ ( mod 3), đ t β := 9n q 2q + 3n − 9n γ := (q − 1)q (2q + 3n − 3)(q − 1) 9n q(q − 1)(q − 2) Neu q ≡ ( mod 3), đ t β := · γ := (2q + 3n − 3) (q − 1)(q − 2) Neu q ≡ ( mod 3), đ t β := 85 γ := Khi đó, tà trường hợp trên, ta nh n α := βγ = 3nq 2q + 3n − q ΣΣ [n] ν Hv (fu) (z) ≤ βνP (z) u=1 v=1 với moi z ∈ / S Chú ý rang moi trường hợp, ton γ phan tả PI Ta lại có |P |β ≤ C(ǁf 1ǁǁf ǁǁf ǁ)βγ = C(|f ||f ||f 3|)α , C hang so dương Tà Bő đe 4.2.2, ta suy q ≤ 2N − n + + ρn(n + 1) + α = 2N − n + + ρn(n + 1) + 3nq 2q + 3n − , đieu trái với giả thiet Như v y f ∧ f ∧ f ≡ M Định lj 4.2.5 Giả sủ M , f 1, f 2, f H1, , Hq cho Đ nh lý 4.2.3 Cho n ≥ p ≤ n so nguyên dương Giả sủ khȁng đ nh sau thóa mãn: (a) min{νHi(f 1), p} = min{νHi(f 2), p} = min{νHi(f 3), p} (1 ≤ i ≤ q), Sq (b) f = f = f i=1 (f 1)−1(Hi) q(2n + p) Neu q > 2N n + + ρn(n + 1) + ánh xạ f × f × f tù M vào − P n (C) × P n (C) × 2q − + 3p P n (C ) suy bien tuyen tính Chfíng minh Giả sả rang f × f × f : M → Pn(C) × Pn(C) × Pn(C) khơng suy bien tuyen tính, Pn (C)× P n (C)× Pn (C) nhúng P(n+1) Segre Khi đó, với moi s, t, l ta có −1 (C) phép nhúng P := Det (Hs(fi), Ht(fi), Hl(fi); ≤ i ≤ 3) /≡ Theo Bő đe 4.2.1, ta nh n νP (z) ≥ Σ ( {ν Hi(f u ) (z)} − ν Hi(fk) (z)) + i=s,t,l q Σ [1] 1≤u≤3 ν[1] / S Hi(fk) (z), z ∈ i=1 Lay tőng hai ve bat đȁng thác theo moi b® (s, t, l), ta có q νP (z) ≥ 1Σ q (3 {ν Hi(fu) (z)} + (2q − 3)ν [1] Hi(fk) (r)) i=1 1≤u≤3 86 (4.5) Bây giờ, với moi so nguyên a, b, c thỏa mãn min{a, p} = min{b, p} = min{c, p}, ta sě rang min{a, b, c} + (2q − 3) ≥ 2q − + 3p (min{a, n} + min{b, n} + min{c, n}) 2n + p (4.6) Th t v y, bang cách thay a, b, c lan lượt min{a, n}, min{b, n}, min{c, n}, khơng mat tính tőng quát, có the giả sả rang n ≥ a ≥ b ≥ c Neu c ≥ p, ta suy 2q − + 3p (min{a, n} + min{b, n} + min{c, n}) 2n + p 2q − + 3p (6n − 2p + 3)(c − p) ≥ 3c + (2q − 3) − (2n + c) = ≥ 2n + p 2n + p min{a, b, c} + (2q − 3) − Trường hợp ngược lại, neu c < p a = b = c, tà 2q − + 3p (min{a, n} + min{b, n} + min{c, n}) 2n + p 2q − + 3p (2q − 3)(2n + p − 3c) + 6c(n − p) = 3c + (2q − 3) − 3c = ≥ 2n + p 2n + p min{a, b, c} + (2q − 3) − Do đó, bat đȁng thác (4.6) cháng minh Tà ket bat đȁng thác (4.5), ta suy ν P (z) ≥ Tà đó, bang cách đ t β = q 2q − + 3p Σ Σ [n] (z) ν u (2n + p)q u=1 i=1 Hi(f ) (2n + p)q 2q − + 3p , ta nh n q Σ Σ (n) ν Hi(fu) (z) ≤ βνP (z) (4.7) u=1 i=1 De thay |P | ≤ Cǁf 1ǁǁf 2ǁǁf 3ǁ, với C hang so dương Tà đó, |P |β ≤ Cα(ǁf 1ǁǁf 2ǁǁf 3ǁ)α, q(2n + p) α = β = Tà Bő đe 4.2.2, suy 2q − + 3p q ≤ 2N − n + + ρn(n + 1) + q(2n + p) 2q − + 3p Đieu trái với giả thiet Do đó, f × f × f suy bien tuyen tính M Ta ket thúc cháng minh Định lý 4.2.5 Định lj 4.2.6 Cho M , f 1, f 2, f H1, , Hq thóa mãn giả thiet giong Đ nh lý 4.2.3 Giả sủ đieu ki n sau thóa mãn: 87 (a) min{νHi(f 1), 1} = min{νHi(f 2), 1} = min{νHi(f 3), 1} (1 ≤ i ≤ q), Sq (b) f = f = f i=1 (f 1)−1(Hi) Khi đó, neu q > 2N n + + ρn(n + 1) + − 3nq 2q + 2n − f ∧ f ∧ f ≡ Nói riêng, ánh xạ f 1, f f phự thu®c đại so M Tương tự cháng minh Định lý 4.2.3, trước cháng minh Định lý 4.2.5, ta can cháng minh bő đe then chot sau Bő đe rang moi ho gom m®t so chȁn véc tơ khơng gian véc tơ ba chieu, ln có the phân hoạch thành nhóm gom hai véc tơ đ®c l p tuyen tính Bo đe 4.2.7 Cho q, N hai so nguyên thóa mãn q ≥ 2N + 2, N ≥ q so chȁn Xét ho {a1, , aq} véc tơ khơng gian véc tơ 3−chieu thóa mãn rank {aj }j∈R = với moi t¾p R ⊂ Q = {1, , q} có lực lượng |R| = N + Khi đó, ton phân hoạch với moi j = 1, , q/2 Sq/2 j=1 Ij {1, , q} thóa mãn |Ij | = rank {ai }i∈I j = Chfíng minh Trước het, tà giả thiet, có the chon m®t hốn vị (i1, , iq) {1, , q} cho ho véc tơ {aiq , aiq−1 }, {aiq−2 , aiq−3 }, , {aik+2 , aik+1 } đ®c l p tuyen tính {aik , aik−1 , , ai1 } phụ thu®c tuyen tính Đieu suy rank {aiq , aiq−1 } = · · · = rank {aik+2 , aik+1 } = rank {aik , aik−1 , , ai1 } = Hien nhiên, ta có ≤ k = 2l ≤ N , với so nguyên không âm l Đ t A = {{aiq , aiq−1 }, {aiq−2 , aiq−3 }, , {aik+2 , aik+1 }} B = {aik , aik−1 , , ai1 } Neu l = hien nhiên khȁng định Bő đe 4.2.7 Khi l ≥ 1, ta sě cháng minh ket lu n Bő đe 4.2.7 bang quy nạp theo l Với l = ta có B = {ai2 , ai1 } Ký hi u span(B) không gian véc tơ sinh véc tơ B Neu tat b® A đeu có m®t véc tơ span(B) 88 q ≥ 2N + 2, ta nh n N + véc tơ span(B) Tà đó, ton t p cháa nhat N + véc tơ có hạng Đieu trái với giả thiet Do đó, ton b® đơi A, chȁng hạn {aiq , aiq−1 } cho rank {aiq , ai1 } = rank {aiq−1 , ai2 } = Khi đó, (A, B) phân hoạch can tìm Bây giả sả Bő đe 4.2.7 với l ≤ t, ≤ t Ta sě cháng minh Bő đe 4.2.7 với l = t + Th t v y, đ t B J = B \ {ai 2, 1} Ta có ′ |B | = t theo giả thiet quy nạp, (A, BJ) chia thành b® đơi đ®c l p tuyen tính Sả dụng giả thiet quy nạp tiep cho phân hoạch {ai2 , ai1 }, ta có the ket thúc Bő đe 4.2.7 Chfíng minh Định lj 4.2.6 Xét M3 không gian véc tơ trường M ký hi u Q = {1, , q} Với moi i ∈ Q, ta đ t Vi = Hi(f 1), Hi(f 2), Hi(f 3) ∈ M3 Giả sả f ∧ f ∧ f /≡ Vì ho siêu phȁng {H1, , Hq} vị trí N −dưới tőng quát nên với moi t p R ⊂ Q có lực lượng |R| = N + 1, ton ba so l, t, s ∈ R cho véc tơ {Vl, Vt, Vs} đ®c l p tuyen tính Đieu có nghĩa H (f 1) H (f 1) H (f 1) PI := det t Hl(f 2) Ht(f 2) Hs(f 2) sl /≡ 0, Hl(f 3) Ht(f 3) Hs(f 3) với ký hi u I = {l, t, s} Trưàng hạp q ≡ ( mod 2) Áp dụng Bő đe 4.2.7, có the tìm phân hoạch {J1, , Jq/2} Q thỏa mãn |Jj | = rank {Vv }v∈Jj = với moi j = 1, 2, , q/2 Với moi j (1 ≤ j ≤ q/2), chon véc tơ Vsj cho rank {Vi }i∈Jj ∪{sj } = Đ t Ij = Jj ∪ {sj}, ta có PIj /≡ với moi j = 1, , q/2 Xét z khơng thu®c S Đ t Σ [n] Hi(fu) ν (z) = (z) − (2n + 1)ν[1] Hi(fk) (z) (1 ≤ k ≤ 3, i ∈ Q) u=1 νi Ta ý với so dương a, b, c ta có (min{a, b, c} − 1) ≥ min{a, n} + 89 min{a, n} + min{a, n} − 2n − Khi Σ {ν Hi(f u ) (z)} − ν Hi(fk) (z) ≥ [1] 1≤u≤3 [1] ν[n] Hi(fu) (z) − (2n + 1)ν Hi(fk) (z) u=1 với moi z ∈ Supp νHi(fk) Đieu kéo theo Σ {ν u (z)}) − ν (z) ≥ ν 1≤u≤3 [1] Hi(fk) Hi(f ) [n] Hi(fu) (z) − (2n + 1)ν[1] Hi(fk) (z) = νi(z) u=1 Theo Bő đe 4.2.2, ta có Σ Σ (z) ≥ νPIj q [1] Hi(fk) Σ Σ (z) ≥ i=1 i∈Ij ν (z) + [1] Hi(fk) (z) i=1 i∈Jj νi q ν (z) + νi Bây giờ, đ t PQ = q/2 Y PIj j=1 Khi đó, ta nh n q νPQ (z) ≥ q Σ Σ νi(z) + q i=1 q ΣΣ i=1 [n] Hi(fu) = i=1 u=1 (q 3ν ΣΣ = i=1 ν u=1 ≥ 1+ ν[1] Hi(fk) (z) q Σ (z)) + q (z) − (2n + 1)ν[1] Hi(fk) ν[1] Hi(fk) (z) i=1 [n] Hi(fu) Σ q (z) + (q − 2n − 1) [1] Hi(fk) (z) i=1 q − 2n − 3n νq Σ Σ [n] νHi(fu) (z) i=1 u=1 Bang cách đ t P := PQ, bat đȁng thác suy q ΣΣ 3n [n] ν Hi(fu) (z) ≤ q + n − νP (z) i=1 u=1 Trưàng hạp q ≡ ( mod 2) Xét m®t t p bat kỳ R = {j1, , jq−1} {1, , q} Ta thay rang (q − 1) ≡ ( mod 2) L p lu n hoàn toàn tương tự Trường hợp cho 90 R, ta có νPR (z) ≥ Y Đ t P := Σq−1 i=1 νi j (z) + (q − 1) Σq ν[1] i=1 Hi(fk) (z) PR Khi đó, ta nh n |R|=q−1 Σ νP (z) = νP R |R|=q−1 q ≥ (q − 1) Σ q νi(z) + q(q − 1) i=1 q = (q − 1) = (q − 1) ν[1]Hi(fk) (z) i=1 ΣΣ ( q [1] ν [n] Hi(fu) (z) − (2n + 1)ν Hi(fk) (z)) + q(q − 1) i=1 u=1 q Σ Σ ! q [n] νHi(fu) (z) + (q − 2n − 1) i=1 u=1 ≥ (q − 1) + Σ ν[1] Hi(fk) (z) i=1 [1] νHi(fk) (z) i=1 q q Σ −2n −1 3n Σ Σ Σ [n] νHi(fu) (z) i=1 u=1 Tà đó, ta có q ΣΣ 3n [n] ν Hi(fu) (z) ≤ (q + n − 1)(q − 1) νP (z) i=1 u=1 Neu q Neu q ≡ ( mod 2), đ t β := ≡ ( mod 2), đ t β := 3n q (q + n − 1) 3n γ := (q + n − 1)(q − 1) γ := (q − 1)q De thay trường hợp trên, ta ln có 3nq α := βγ = 2(q + n − 1) q Σ Σ [n] ν Hi(fu) (z) ≤ βνP (z) u=1 i=1 Ta có |P |β ≤ C(ǁf 1ǁǁf 2ǁǁf 3ǁ)βγ = C(ǁf 1ǁǁf 2ǁǁf 3ǁ)α, C hang so dương Tà Bő đe 4.2.2, ta suy q ≤ 2N − n + + ρn(n + 1) + α = 2N − n + + ρn(n + 1) + 3nq 2(q + n − 1) , đieu trái với giả thiet V y f ∧ f ∧ f ≡ M tà Định lý 4.2.6 cháng minh 91 KET LU N VÀ KIEN NGH± Ket lu n Lu n án nghiên cáu nhǎng toán lý thuyet phân bo giá trị cho ánh xạ phân hình t a Kăahler vo a x nh, õy a Kăahler cú ph ph dng song chnh hình với m®t hình cau Cm Lu n án ó t c mđt so ket qu sau: ã Chỏng minh định lý ve quan h so khuyet không lay tích phân cho ánh xạ phân hình tà đa tạp Kăahler vo khụng gian x nh giao vi ho siờu m t vị trí tőng qt • Cháng minh định lý ve quan h so khuyet không lay tích phân cho ánh xạ phân hình tà đa tạp Kăahler vo a x nh giao vi ho siờu m t vị trí tőng qt • Cháng minh định lý nhat cho ánh xạ phân hình t a Kă ahler vo khụng gian x nh giao ho siêu phȁng vị trí tőng quát với đieu ki n đoi chieu giao ảnh ngược k siêu phȁng bat kỳ ho nhat l hai ã Chỏng minh mđt so nh lý ve phụ thu®c đại so ba ánh xạ phân suy bien tuyen tính ánh x tớch t a Kăahler vo khụng gian x ảnh giao với ho siêu phȁng vị trí tőng quát 92 Kien nghị Trong trình nghiên cáu van đe lu n án, suy nghĩ ve m®t so hướng nghiên cáu tiep theo sau • Trong lu n án, chúng tơi cháng minh định lý nhat cho ánh xạ phân hình t a Kăahler vo khụng gian x nh giao với ho siêu phȁng mà không xét đen trường hợp siêu m t neu theo phương pháp đe Chương hai, so siêu m t tham gia lớn Trong thời gian tới, sě nghiên cáu cách làm đe đưa nhǎng định lý nhat cho ỏnh x phõn hỡnh t a Kaăhler vo đa tạp xạ ảnh giao với ho siêu m t mà so siêu m t tham gia nhỏ Ngoài ra, chúng tơi nghiên cáu tốn nhat cho ỏnh x phõn hỡnh t a Kăahler vo đa tạp xạ ảnh giao với ho siêu m t b®i ch n ánh xạ phân hình xét với nhǎng đieu ki n tőng quát • Chúng tơi tiep tục nghiên cáu phụ thu®c đại so cho ho ánh xạ phân hình tà đa Kăahler vo khụng gian x nh ho c a tạp xạ ảnh ho tham gia siêu m t ho c ho tham gia siêu phȁng xét nhǎng đieu ki n tőng quát ve b®i ch n ánh xạ phân hình • Chúng tơi dự định nghiên cáu toán lý thuyet phân bo giá trị cho ánh x phõn hỡnh t a Kăahler vi lp a Kăahler tng quỏt hn so vi a cú phủ song chỉnh hình với m®t hình cau Cm mà xem xét lu n án 93 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH Đà CƠNG BO LIÊN QUAN ĐEN LU N ÁN [1] S D Quang, N T Q Phuong and N T Nhung (2017), Non-integrated defect relation for meromophic maps from a Kahler manifold intersecting hypersurfaces in subgeneral of Pn (C), Journal of Mathematical Analysis and Application, 452 (2017), pp 1434–1452 [2] N T Nhung and L N Quynh, Unicity of meromorphic mappings from complete Kăahler manifolds into projective spaces, Houston Journal of Mathematics, 44(3) (2018), pp 769–785 [3] N T Nhung and P D Thoan, On degeneracy of three meromorphic mappings from complete Kahler manifolds into projective spaces, Comput Methods Funct Theory, 19(3) (2019), pp 353–382 [4] S D Quang, L N Quynh and N T Nhung, Non-integrated defect relation for meromorphic mappings from a Kăahler manifold with hypersurfaces of a projective variety in subgeneral position, gải đăng 94 TÀI LI U THAM KHẢO [1] L Ahlfors (1941), “The theory of meromorphic curves”, Ada Soc Sci Fenn Nova Ser., Ser A, 3(4) , pp 171–183 [2] A Bloch (1926), “Sur les systemes de fonctions uniformes satisfaisant a l’equation d’une variete algebrique dont l’irregularite depasse la dimension”, J de Math., , pp 19–66 [3] H Cao (2018), “Algebraical Dependence and Uniqueness Problem for Meromorphic Mappings with Few Moving Targets”, Bull Malays Math Sci Soc., 41(2), pp 837–853 [4] H Cartan (1928), “Sur les systeme de fonctions holomorphes a varietes lineaires lacunaires et leurs applications”, Ann Sci Ecole Norm Sup C, 45, pp 255–346 [5] H Cartan (1933), “Sur les zeros des combinaisons lineaires de p fonctions holomorphes donnees”, Mathematica (Cluf), , pp 5–31 [6] Z Chen and Q Yan (2009), “Uniqueness theorem of meromorphic mappings into PN (C) sharing 2N + hyperplanes regardless of multiplicities”, Internat J Math., 20 , pp 717–726 [7] Z Chen and Q Yan (2011), “A Degeneracy Theorem For Meromorphic Mappings With Truncated Multiplicities”, Acta Mathematica Scientia, 31B(2), pp 549–560 [8] P Corvaja and U Zannier (2004), “On a general Thue’s equation”, Amer J Math., 126, pp 1033–1055 95 [9] J Evertse and R Ferretti (2002), “Diophantine inequalities on projective variety”, Internat Math Res Notices, 25, pp 1295–1330 [10] J Evertse and R Ferretti (2008), “A generalization of the subspace theorem with polynomials of higher degree”, Developments in Mathematics, 16, pp 175– 198, Springer-Verlag, New York [11] H Fujimoto (1975), “The uniqueness problem of meromorphic maps into the complex projective space”, Nagoya Math J., 58, pp 1–23 [12] H Fujimoto (1983), “On the Gauss map of a complete minimal surface in Rm”, J Math Soc Japan, 35(2), pp 279–288 [13] H Fujimoto (1983), “Value distribution of the Gauss maps of complete minimal surfaces in Rm”, J Math Soc Japan, 35, pp 663–681 [14] H Fujimoto (1985), “Non-integrated defect relation for meromorphic maps of complete Kăahler manifolds into PN1 (C) × · · · × PNk (C)”, Japan J Math., 11(2), pp 233–264 [15] H Fujimoto (1986), “A unicity theorem for meromorphic maps of a complete Kăahler manifold into PN (C)”, Tohoku Math J., 38(2), pp 327–341 [16] H H Giang and L N Quynh and S D Quang (2012), “Uniqueness theorems for meromorphic mappings sharing few hyperplanes”, J Math Anal Appl., 393, pp 445–456 [17] W K Hayman (1964), Meromorphic functions, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, Oxford [18] S Ji (1988), “Uniqueness problem without multiplicities in value distribution theory”, Pacific J Math., 135, pp 323–348 [19] L Karp (1982), “Subharmonic functions on real and complex manifolds”, Math Z., 179, pp 535554 [20] R Nevanlinna (1926), Einige Eideutigkeitssăatze in der Theorie der meromorphen Funktionen”, Acta Math., 48, pp 367–391 96 [21] E I Nochka (1983), “On the theory of meromorphic functions”, Sov Math Dokl., 27, pp 377–381 [22] J Noguchi (2005), “A note on entire pseudo-holomorphic curves and the proof of Cartan–Nochka’s theorem”, Kodai Math J., 28, pp 336–346 [23] J Noguchi and T Ochiai (1990), Introduction to Geometric Function Theory in Several Complex Variables, Trans Math Monogr 80, Amer Math Soc., Providence, Rhode Island, 1990 [24] S D Quang (2012), “A Finiteness theorem for meromorphic mappings with few hyperplanes”, Kodai Math J., 35, pp 463–484 [25] S D Quang (2013), “Algebraic dependences of meromorphic mappings sharing few moving hyperplanes”, Ann Polonici Math., 108(1) , pp 61–73 [26] S D Quang and L N Quynh (2015), “Algebraic dependences of meromorphic mappings sharing few hyperplanes counting truncated multiplicities”, Kodai Math J., 38, pp 97–118 [27] S D Quang (2019), “Degeneracy and finiteness theorems for meromorphic mappings in several complex variables”, Chin Ann Math Ser B, 40(2), pp 251–272 [28] S D Quang (2019), “Degeneracy second main theorems for meromorphic mappings into projective varieties with hypersurfaces”, Trans Amer Math Soc., 371 , pp 2431–2453 [29] Le Ngoc Quynh, “Uniqueness problem of meromorphic mappings from a complete Kăahler manifold into a projective variety”, arXiv:1610.08822v1 [math.CV] [30] M.Ru (2001), “A uniqueness theorem with moving targets without counting multiplicity”, Proc Amer Math Soc., 129, pp 2701–2707 [31] M.Ru (2009), “Holomorphic curves into algebraic varieties”, Ann Math., 169, pp 255–267 97 [32] M Ru and S Sogome (2012), “Non-integrated defect relation for meromorphic maps of complete Kăahler manifolds into Pn (C) intersecting hypersurfaces, Trans Amer Math Soc., 364(3), pp 1145–1162 [33] M Ru and S Sogome (2013), “A uniqueness theorem for meromorphic maps of a complete Kăahler manifold into Pn (C) sharing hypersurfaces, Proc Amer Math Soc., 141(12), pp 4229-4239 [34] L Smiley (1983), “Geometric conditions for unicity of holomorphic curves”, Contemp Math., 25, pp 149–154 [35] W Stoll (1953)(1954), “Die beiden Hauptsatze der Wertverteilungstheorie bei Punktionen mehrerer komplexen Veranderlichen”, Acta Math., 90, pp.1–15 and 92, pp 55–169 [36] W Stoll (1989), “On the propagation of dependences”, Pac J Math 139(2), pp 311–337 [37] T V Tan and V V Truong (2008), “Three meromorphic mappings sharing some common hyperplanes”, J Math Anl Appl., 348, pp 562–570 [38] Tran Van Tan and Vu Van Truong (2012), A non-integrated defect relation for meromorphic maps of complete Kăahler manifolds into a projective variety intersecting hypersurfaces”, Bull Sci Math., 136, pp 111–126 [39] D D Thai and S D Quang (2006), “Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables”, Internat J Math., 17, pp 1223–1257 [40] D D Thai and S D Quang (2019), “Non-integrated defect relation meromorphic maps of Kăahler manifolds into projective varieties, S.D Math Z., 292(1–2), pp 211–229 [41] P D Thoan, P V Duc and S D Quang (2013), “Algebraic dependence and unicity theorem with a truncation level to of meromorphic mappings sharing moving targets”, Bull Math Soc Sci Math Roumanie, 56(104) [42] H Weyl and F.J Weyl (1943), Meromorphic Functions Curves, Princeton University Press, Princeton 98 and Analytic [43] Q Yan (2013), “Non-integrated defect relation and uniqueness theorem for meromorphic maps of a complete Kaăhler manifold into P n (C)”, J Math Anal Appl., 398, pp 567–581 [44] S.T Yau (1976), “Some function-theoretic properties of complete Riemannian manifolds and their applications to geometry”, Indiana U Math J., 25, pp 659–670 99 ... khơng lay tích phân cho ánh xạ phân hình tà M vào đa tạp xạ ảnh Định lj 2.2.10 Cho M đa tạp Kahler đay chieu m có phủ phő dựng M song hình với m®t hình cau Cm Cho f ánh xạ phân hình khơng suy... lay tích phân cho ánh xạ phân hình Trong mục này, chúng tơi cháng minh hai định lý ve quan h so khuyet khơng lay tích phân cho ánh xạ phân hình tà M vào khơng gian xạ ảnh đa tạp xạ ảnh giao với... hợp ánh xạ phân hình tà đa tạp parabolic vào đa tạp xạ ảnh Trong nhǎng th p kỉ vàa qua, nhieu nhà toán hoc quan tâm đen toán tőng quát lý thuyet Nevanlinna lên cho trường hợp ánh xạ phân hình