Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp kähler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụng tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thị Nhung PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CA NH X PHN HèNH ă T A TP KAHLER VÀO ĐA TẠP XẠ ẢNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 9.46.01.05 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2019 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Sĩ Đức Quang Phản biện 1: GS.TS Phạm Hoàng Hiệp, Viện Toán học Phản biện 2: GS.TS Nguyễn Quang Diệu, Trường ĐHSP Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Thạc Dũng, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] S D Quang, N T Q Phuong and N T Nhung (2017), Non-intergrated defect relation for meromophic maps from a Kahler manifold intersecting hypersurfaces in subgeneral of P n (C), Journal of Mathematical Analysis and Application, 452 (2017), 434–1452 [2] N T Nhung and L N Quynh, Unicity of Meromorphic Mappings From Complete Kă ahler Manifolds into Projective Spaces, Houston Journal of Mathematics, 44(3) (2018), 769-785 [3] N T Nhung and P D Thoan, On Degeneracy of Three Meromorphic Mappings From Complete Kă ahler Manifolds into Projective Spaces, Comput Methods Funct Theory, 19(3) (2019), pp 353–382 [4] S D Quang, L N Quynh and N T Nhung, Non-integrated defect relation for meromorphic mappings from a Kăahler manifold with hypersurfaces of a projective variety in subgeneral position, gửi đăng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết Nevanlinna bắt đầu nghiên cứu phân bố giá trị hàm phân hình mặt phẳng phức Năm 1926, R Nevanlinna mở rộng định lý Picard nhỏ cách chứng minh hai định lý quan trọng mà thường gọi định lý thứ định lý thứ hai Cơng trình R Nevanlinna quan tâm mạnh mẽ nhiều nhà tốn học có nhiều kết quan trọng công bố Gần đây, số nhà toán học quan tâm đến toán tổng quát lý thuyết Nevanlinna lên cho trường hợp ánh xạ phõn hỡnh t a Kăaher vo a x ảnh Năm 1985, H Fujimoto xây dựng lý thuyết phõn b giỏ tr cho trng hp a Kăahler M đầy có phủ song chỉnh hình với hình cầu B(R0 ) khơng gian phức nhiều chiều Cm im khỏc bit l trờn a Kăahler tổng qt khơng có hàm vét cạn parabolic, xây dựng khái niệm thông thường hàm đếm divisor, hàm đặc trưng hàm xấp xỉ ánh xạ Để vượt qua khó khăn này, dựa vào tính giảm khoảng cách không gian sở so với không gian phủ, H Fujimoto chuyển tốn cho ánh xạ phân hình f từ M thành toán cho f từ B(R0 ) vào không gian xạ ảnh Pn (C) Đồng thời, ông đưa khái niệm phương pháp để giải trường hợp khác biệt áp dụng lý thuyết Nevanlinna hình cầu B(R0 ) so với Cm Cụ thể là, ông đưa khái niệm số khuyết khơng lấy tích phân thiết lập quan hệ số khuyết cho ánh xạ phân hình từ M vào khơng gian xạ ảnh Pn (C) giao với họ siêu phẳng Năm 2012, T V Tấn V V Trường chứng minh định lý số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ M giao với họ siêu mặt vị trí tổng quát Tuy nhiên, khái niệm "dưới tổng quát" tác giả đặc biệt cần thêm điều kiện so với định nghĩa thông thường Bằng cách khác, M Ru S Sogome mở rộng kết H Fujimoto cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh với giao họ siêu mặt vị trí tổng quát Theo nghĩa tự nhiên khái niệm "dưới tổng quát", số tác giả sau thiết lập quan hệ số khuyết cho ánh xạ phân hình siêu mặt vị trí tổng quát Q Yan, Đ Đ Thái S Đ Quang Tuy nhiên, kết tác giả chưa phải mở rộng thực cho kết M Ru S Sogome quay họ siêu mặt vị trí tổng quát Do đó, câu hỏi tự nhiên đặt là: "Liệu thiết lập quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho trường hợp họ siêu mặt vị trí tổng qt tốt khơng?" Trong luận án này, đưa phương pháp để trả lời cho câu hỏi Sau R Nevanlinna đưa định lý năm điểm hay định lý nhất, nhiều tác giả mở rộng định lý lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) Những kết thuộc H Fujimoto L Smiley, L Smiley chứng minh hai ánh xạ phân hình trùng chúng ảnh ngược 3n + siêu phẳng giao ảnh ngược hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai Việc có thêm điều kiện đối chiều giao ảnh ngược hai siêu phẳng giúp thực nhiều biến đổi hàm đếm có nhiều kết cải tiến định lý L Smiley đưa Những kết tốt theo hướng thuộc Z Chen Q Yan, H H Giang, L N Quỳnh S Đ Quang Năm 1986, sau thiết lập thành công quan hệ số khuyết không lấy tích phân, H Fujimoto đưa định lý cho ánh xạ phân hình từ M vào Pn (C) với họ siêu phẳng Tuy nhiên, định lý H Fujimoto khơng thuộc hướng có thêm điều kiện đối chiều nên không khái quát kết đề cập quay trường hợp Cm Do vậy, mục đích luận án đưa định lý mà đồng thời mở rộng định lý H Fujimoto tổng quát kết đạt Cm Bên cạnh toán nhất, toán phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) nghiên cứu mạnh mẽ nhiều tác giả Hướng nghiên cứu báo S Ji có nhiều kết công bố Một số kết tốt gần thuộc Z Chen Q Yan, S Đ Quang, S Đ Quang L N Quỳnh Từ đó, cách tự nhiên, chúng tơi đặt câu hỏi: "Có thể mở rộng kết phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ Cm thành ánh xạ từ M vào Pn (C) không?" Chúng lưu ý nay, chưa có kết đưa cho phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình M , toán cho ánh xạ phân hình từ M số tác giả nghiên cứu sau báo H Fujimoto năm 1986 Nguyên nhân kỹ thuật xếp hàm đếm xếp lại họ siêu phẳng dùng toán Cm hay định lý M , không sử dụng làm toán suy biến M Do đó, chương cuối luận án, đề xuất kỹ thuật khắc phục khó khăn này, để xây dựng mối liên hệ đại số ánh xạ phân hình từ đa Kăahler T nhng lý nh trờn, chỳng tụi lựa chọn đề tài "Phân bố giá trị ánh x phõn hỡnh t a Kă ahler vo a tạp xạ ảnh ứng dụng ", để sâu vào nghiên cứu việc thiết lập quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho trường hợp ánh xạ phân hình siêu mặt vị trí tổng quát, đồng thời nghiên cứu toán toán phụ thuộc đại số cho ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa Kăahler vo a x nh vi h siờu mặt vị trí tổng qt Tiếp theo đó, luận án nghiên cứu toán toán suy biến hay phụ thuộc đại số cỏc ỏnh x phõn hỡnh t a Kăahler vo không gian xạ ảnh giao với họ siêu phẳng vị trí tổng quát tổng quát Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án quan hệ số khuyết không lấy tích phân, vấn đề vấn đề phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ a Kăahler vo a x nh ti nghiên cứu phạm vi lý thuyết Nevanlinna cho ỏnh x phõn hỡnh trờn a Kăahler Phương pháp nghiên cứu Để giải vấn đề đặt luận án, sử dụng phương pháp lý thuyết phân bố giá trị hình học phức Bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật truyền thống, đưa kỹ thuật nhằm đạt mục đích đặt đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần vào làm sâu sắc kết quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa tạp Kăahler vo a x nh vi h siờu mt vị trí tổng quát Bên cạnh làm phong phú thêm toán nhất, luận án đưa kết cho phụ thuộc đại số ánh xạ phõn hỡnh t a Kăahler vo khụng gian x ảnh với họ siêu phẳng Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án Cấu trúc luận án bao gồm bốn chương Chương Tổng quan dành để phân tích số kết nghiên cứu tác giả nước liên quan đến nội dung đề tài Ba chương cịn lại trình bày kiến thức chuẩn bị chứng minh chi tiết cho kết đề tài Chương I Tổng quan Chương II Quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình giao với họ siêu mặt tổng quát Chương III Vấn đề cho ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng Chương IV Sự phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng Chương TỔNG QUAN Trong chương Tổng quan, sâu vào phân tích lịch sử, kết tác giả trước kết mà đạt tốn thiết lập quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân, tính phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ đa Kăahler M vo khụng gian x nh Pn (C), M có phủ song chỉnh hình với hình cầu B(R0 ) Cm I Quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình giao với họ siêu mặt tổng quát Cho M l a Kăahler y cú chiu l m Giả sử f : M −→ Pn (C) ánh xạ phân hình Ωf kéo lùi √ f dạng Fubini-Study Ω Pn (C) Giả −1 s trờn M vi dng Kăahler = i,j hij dzi ∧ dz j , ta định nghĩa Ricω = ddc log(det(hij )) Định nghĩa 1.0.1 Với ρ ≥ 0, ta nói f thỏa mãn điều kiện (Cρ ) tồn hàm thực h khác không, liên tục bị chặn h M cho ρΩf + ddc logh2 ≥ Ricω, √ đây, d = ∂ + ∂ dc = −1 (∂ − ∂) 4π Định nghĩa 1.0.2 Với số nguyên dương µ0 siêu mặt Q bậc d Pn (C) thỏa mãn f (M ) ⊂ Q, ký hiệu νf (Q)(p) bội giao ảnh f Q f (p) Số khuyết khơng lấy tích phân f siêu mặt Q chặn bội µ0 , ký hiệu [µ ] δf (Q), định nghĩa sau: [µ ] δf (Q) := − inf{η ≥ : η thỏa mãn điều kiện (∗)} Ở đây, điều kiện (*) có nghĩa tồn hàm không âm h liên tục, bị chặn M có bội khơng điểm khơng nhỏ min{νf (Q), µ0 }, cho √ −1 ¯ ∂ ∂logh2 ≥ [min{νf (Q), µ0 }], dηΩf + 2π với [ν] ký hiệu dòng kiểu (1, 1) sinh divisor ν Định nghĩa 1.0.3 Cho V đa tạp xạ ảnh Pn (C) có chiều k > Cho N, n, q số nguyên dương thỏa mãn N ≥ n q ≥ N + Q1 , , Qq siêu mặt Pn (C) Khi siêu mặt Q1 , , Qq gọi vị trí N -dưới tổng quát V Qj1 ∩ · · · ∩ QjN +1 ∩ V = ∅ với ≤ j1 < · · · < jN +1 ≤ q Khi N = n ta nói Q1 , , Qq vị trí tổng quát V Khi V = Pn (C) đơn giản ta nói Q1 , , Qq vị trí N -dưới tổng quát Năm 1985, H Fujimoto thiết lập quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình họ siêu phẳng vị trí tổng quát qua định lý sau Định lý A Cho M l a Kă ahler y có chiều m Giả sử phủ phổ dụng M song chỉnh hình với hình cầu Cm Giả sử f : M → Pn (C) ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính thỏa mãn điều kiện Cρ Khi đó, H1 , , Hq siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng qt ta có [n] q i=1 δf (Hi ) ≤ n + + ρn(n + 1) M Ru-S Sogome vào năm 2012 tổng quát Định lý A lên cho trường hợp ánh xạ phân hình giao với họ siêu mặt vị trí tổng quát sau Định lý B Cho M l a Kă ahler y chiu m có phủ phổ dụng song chỉnh hình với hình cầu Cm Giả sử f : M → Pn (C) ánh xạ phân hình khơng suy biến đại số thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ Cho Q1 , , Qq siêu mặt Pn (C) có bậc di , vị trí tổng qt gọi d = BCN N {Q1 , , Qq } ρu(u − 1) , d u ≤ 2n +4n en d2n (nI(ε−1 ))n I(x) số nguyên lớn không vượt x Khi đó, với > 0, ta có [u−1] q (Qj ) j=1 δf ≤n+1+ + Sau đó, Q Yan mở rộng Định lý B cách xem xét họ siêu mặt vị trí tổng quát đưa kết sau vào năm 2013 Định lý C Giả sử M f thỏa mãn giả thiết giống Định lý B Cho Q1 , , Qq siêu mặt Pn (C) có bậc di , vị trí N -dưới tổng quát gọi d = BCN N {d1 , , dq } u = K0 +n n ≤ (3eN dI( −1 ρu(u − 1) ,ở d K0 = 2N dn2 (n + 1)2 I( −1 ) [u−1] q (Qj ) j=1 δf > 0, ta có Khi đó, với ))n (n + 1)3n ≤ N (n + 1) + + Kết Yan Định lý C chưa tổng quát hóa cho kết H Fujimoto M Ru-S Sogome Thật vậy, họ siêu mặt vị trí tổng quát, tức N = n, số hạng vế phải bất đẳng thức quan hệ số khuyết n(n + 1), lớn n + thông thường Khi giải trường hợp họ siêu mặt vị trí tổng quát, ta thường tổng quát khái niệm trọng Nochka Tuy nhiên, trường hợp siêu mặt, trọng Nochka khơng xây dựng đầy đủ Để vượt qua khó khăn này, sử dụng kỹ thuật "thay siêu mặt" S Đ Quang Ý tưởng kỹ thuật tránh dùng trọng Nochka cách sau: "Mỗi lần thực đánh giá hàm phụ trợ, N + siêu mặt họ thay n + siêu mặt khác vị trí tổng qt mà khơng làm thay đổi ước lượng" Bằng cách sử dụng kỹ thuật này, cải tiến kết Yan Cụ thể chứng minh định lý sau Định lý 2.2.4 Cho M l a Kăahler y chiu m có phủ phổ dụng song chỉnh hình với hình cầu Cm Giả sử f : M → Pn (C) ánh xạ phân hình khơng suy biến đại số thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ Cho Q1 , , Qq siêu mặt Pn (C) có bậc di , vị trí N − tổng quát gọi d = BCN N {d1 , , dq } > 0, ta có Khi đó, với q [u−1] δf (Qj ) ≤ p(n + 1) + + j=1 L0 +n n −1 p = N − n + 1, u = L0 = (n + 1)d + p(n + 1)3 I( ρu(u − 1) , d ≤ en+2 (dp(n + 1)2 I( )d −1 ))n Trong định lý trên, f giả sử ánh xạ phân hình khơng suy biến đại số Để giải trường hợp f suy biến đại số, ta phải xây dựng quan hệ số khuyết cho ánh xạ phân hình từ M vào đa tạp xạ ảnh V Pn (C) giao với họ siêu mặt vị trí tổng quát V Tiếp tục sử dụng kỹ thuật "thay siêu mặt", mở rộng Định lý 2.2.4 cho trường hợp họ siêu mặt vị trí tổng quát đa tạp xạ ảnh III Sự phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng Xét f ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) khơng suy biến tuyến tính Với số nguyên dương d q siêu phẳng H1 , , Hq Pn (C) vị trí tổng quát thỏa mãn dim(f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj )) m − (1 i sau: 2n + + i q), q −1 i=1 (f ) (Hi ) √ 28n2 + 20n + ta có khẳng định (f u , Hi[ q ]+1 ) (f u , Hi1 ) (f u , Hi2 ) (i) Tồn +1 siêu phẳng cho v = v = ··· = v , (f , Hi1 ) (f , Hi2 ) (f , Hi[ q ]+1 ) 3 (ii) f ∧ f ∧ f ≡ q Định lý F phụ thuộc đại số ba ánh xạ với số siêu phẳng q 2n + cần điều kiện bội chặn d = n Năm 2018, S Đ Quang 10 chứng minh kết sau phụ thuộc ánh xạ mà số siêu phẳng giảm xuống q = 2n + bội chặn p n q = 2n + bội chặn Định lý G Cho f ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) Giả sử n ≥ p ≤ n số nguyên dương Giả sử H1 , , H2n+1 2n+1 siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát cho dim f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) m−2 (1 i < j 2n+2) Khi ánh xạ f ×f ×f từ Cm vào Pn (C)×Pn (C)× Pn (C) suy biến tuyến tính với ba ánh xạ f , f , f ∈ F(f, {Hi }2n+1 i=1 , p) Định lý H Giả sử ba ánh xạ f , f , f ∈ F(f, {Hi }2n+2 i=1 , 1), ta có m f ∧ f ∧ f ≡ C Từ suy f , f f phụ thuộc đại số Bằng cách đưa hàm bổ trợ xếp siêu phẳng thành nhóm, chúng tơi tổng qt Định lý F, G H cho ánh xạ phân hình f từ M vào Pn (C) Chúng đồng thời mở rộng kết cho họ siêu phẳng tham gia từ vị trí tổng quát thành vị trí tổng quát Cụ thể, chứng minh kết sau Định lý 4.2.3 Cho M đa tạp Kă ahler liờn thụng y cú ph song chnh hỡnh với B(R0 ) ⊂ Cm , < R0 ∞ Giả sử f , f , f : M → Pn (C) ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ q siêu phẳng H1 , , Hq Pn (C) vị trí N − tổng quát thỏa mãn dim f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) m − (1 i 2N − n + + ρn(n + 1) + 3nq khẳng định sau 2q + 3n − xảy ra: (i) Tồn q + siêu phẳng Hi1 , , Hi[ q ]+1 cho (f u , Hi[ q ]+1 ) (f u , Hi1 ) (f u , Hi2 ) = v = ··· = v , v (f , Hi1 ) (f , Hi2 ) (f , Hi[ q ]+1 ) (ii) f ∧ f ∧ f ≡ M Định lý 4.2.5 Giả sử M , f , f , f H1 , , Hq cho Định lý 4.2.3 Cho n p n số nguyên dương Giả sử khẳng định sau thỏa mãn: 11 (a) min{ν(f ,Hi ) , p} = min{ν(f ,Hi ) , p} = min{ν(f ,Hi ) , p} (1 (b) f = f = f i q), q −1 i=1 (f ) (Hi ) q(2n + p) ánh xạ f × f × f từ M 2q − + 3p vào Pn (C) × Pn (C) × Pn (C) suy biến tuyến tính Nếu q > 2N − n + + ρn(n + 1) + Định lý 4.2.6 Cho M , f , f , f H1 , , Hq thỏa mãn giả thiết giống Định lý 4.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (a) min{ν(f ,Hi ) , 1} = min{ν(f ,Hi ) , 1} = min{ν(f ,Hi ) , 1} (1 (b) f = f = f i q), q −1 i=1 (f ) (Hi ) 3nq f ∧ f ∧ f ≡ 2q + 2n − 2 M Nói riêng, ánh xạ f , f f phụ thuộc đại số M Khi đó, q > 2N − n + + ρn(n + 1) + 12 Chương QUAN HỆ SỐ KHUYẾT KHÔNG LẤY TÍCH PHÂN CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH GIAO VỚI HỌ SIÊU MẶT DƯỚI TỔNG QUÁT Như trình bày phần Tổng quan, mục đích chương hai thiết lập quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ỏnh x phõn hỡnh t a Kăahler vo đa tạp xạ ảnh giao với họ siêu mặt vị trí tổng quát Bằng cách sử dụng kỹ thuật "thay siêu mặt" đưa S Đ Quang, tổng quát thành công định lý M Ru-S Sogome cho trường hợp họ siêu mặt vị trí tổng quát đồng thời mở rộng kết tác giả trước Chương viết dựa hai báo [1] [4] (trong mục Các cơng trình cơng bố liên quan đến luận án) 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, phần đầu trình bày số khái niệm kết quan trọng lý thuyết Nevanlinna hình cầu liên quan đến phần sau luận án như: hàm bản, số khuyết cổ điển Nevanlinna, Wronskian, định lý thứ bổ đề đạo hàm logarit Phần đưa định nghĩa đặc điểm số khuyết khơng lấy tích phân phần cuối giới thiệu trọng Chow, trọng Hilbert tính chất sử dụng 13 2.2 Định lý quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình Mục dành để chứng minh hai định lý quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ M vào khơng gian xạ ảnh đa tạp xạ ảnh giao với họ siêu mặt vị trí tổng qt Trước trình bày chi tiết chứng minh hai định lý chính, chúng tơi đưa lại số bổ đề bổ trợ Trong đó, Bổ đề 2.2.1 Bổ đề 2.2.2 cho ta kết quan trọng là: Từ họ siêu mặt vị trí tổng quát (dưới tổng quát đa tạp xạ ảnh V ) bất kỳ, ta xây dựng họ siêu mặt vị trí tổng quát (tổng quát so với V ) mà siêu mặt biểu diễn tuyến tính qua siêu mặt họ cho Đây sở kỹ thuật "thay siêu mặt" đề cập phần Mở đầu phần Tổng quan kỹ thuật then chốt để tạo kết xây dựng quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho họ siêu mặt vị trí tổng quát Bổ đề 2.2.1 Cho V đa tạp xạ ảnh Pn (C) có chiều k Giả sử Q1 , , QN +1 N +1 siêu mặt Pn (C) có bậc d ≥ 1, cho i=1 Qi ∩ V = ∅ Khi tồn k siêu mặt P2 , , Pk+1 có dạng Pt = 2, , k + 1, cho k+1 t=1 Pt N −k+t ctj Qj , j=2 ctj ∈ C, t = ∩ V = ∅, P1 = Q1 Khi V = Pn (C), kết Bổ đề 2.2.1 phát biểu sau Bổ đề 2.2.2 Giả sử Q1 , , QN +1 siêu mặt Pn (C) có bậc N +1 d ≥ 1, cho i=1 Qi = ∅ Khi đó, tồn n siêu mặt P2 , , Pn+1 có dạng N −n+t Pt = j=2 ctj Qj , ctj ∈ C, t = 2, , n + 1, cho P1 = Q n+1 t=1 Pt = ∅, Bổ đề 2.2.3 Cho {Qi }i∈R họ siêu mặt Pn (C) có bậc chung d f ánh xạ phân hình từ B(R0 ) vào Pn (C) Giả sử i∈R Qi = ∅ Khi đó, tồn số dương α β cho α||f ||d ≤ maxi∈R |Qi (f )| ≤ β||f ||d Định lý 2.2.4 Cho M l a Kă ahler y chiu m v cú phủ phổ dụng song chỉnh hình với hình cầu Cm Xét Q1 , , Qq siêu mặt Pn (C) có bậc di , vị trí N − tổng quát đặt d = BCN N {d1 , , dq } Giả sử f : M → Pn (C) ánh xạ phân hình khơng suy biến đại số thỏa [u−1] mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ Khi đó, với > 0, ta có qj=1 δf (Qj ) ≤ ρu(u − 1) p(n + 1) + + , p = N − n + 1, d L +n u = 0n ≤ en+2 (dp(n + 1)2 I( −1 ))n L0 = (n + 1)d + p(n + 1)3 I( −1 )d 14 Bằng cách đặt =1+ > cho với −→ 0, ta đạt hệ sau Hệ 2.2.5 Với giả thiết giống Định lý 2.2.4, ta có q [u−1] δf (Qj ) ≤ p(n + 1) + + j=1 p = N − n + 1, u = 1)2 ) L0 +n n ρu(u − 1) , d ≤ en+2 (dp(n + 1)2 )n L0 = (n + 1)d(1 + p(n + Với số nguyên dương L, ta ký hiệu VL không gian véc tơ C[x0 , , xn ] bao gồm tất đa thức bậc L đa thức không Ta thấy L0 chia hết cho d Từ đó, với (i) = (i1 , , in ) ∈ Nn0 với σ(i) = ns=1 is ≤ Ld0 , ta đặt j1 jn I PI1 · · · PIn · VL0 −dσ(j) W(i) = (j)=(j1 , ,jn )≥(i) Bổ đề 2.2.6 Xét (i) = (i1 , , in ), (i) = (i1 , , in ) ∈ Nn0 Giả sử (i ) xếp I W(i) I sau (i) theo thứ tự từ điển, ta định nghĩa m(i) = dim I Khi đó, ta có W(i) I n m(i) = d dσ(i) < L0 − nd I I I Giả sử VN = W(i) ⊃ W(i) ⊃ · · · ⊃ W(i) , (i)s = (i1s , , ins ), K L I I W(i) xếp sau W(i) theo thứ tự từ điển (i)K = ( d0 , 0, , 0) Nhận thấy s+1 s K số gồm n thành phần (i1 , , in ) với ij ≥ i1 + · · · + in ≤ Ld0 Ta WI định nghĩa mIs = dim W I(i)s với s = 1, , K − đặt mIK = Ta đặt (i)s+1 bIj = K I s=1 ms ijs , b = minj,I bIj Bổ đề 2.2.7 Với L0 = (n + 1)d + p(n + 1)3 I( −1 )d giống giả thiết Định n n+2 lý 2.2.4, ta có puL dp(n + 1)2 I( −1 ) db ≤ (k − n + 1)(n + 1) + u ≤ e Mệnh đề 2.2.8 b q j=1 νQj (f ) q i=1 min{u − pνW α (φs (f )) ≤ b − 1, νQj (f ) } Định lý 2.2.9 Với giả sử Định lý 2.2.4 giả sử M = Bm (R0 ), ta có q (q − p(n + 1) − )Tf (r, r0 ) ≤ i=1 [u−1] N (r) + Sf (r), d Qi (f ) S(r) đánh sau: + log+ Tf (r, r0 )) với R0 − r dt < ∞ K số R0 − t (i) Trong trường hợp R0 < ∞, Sf (r) ≤ K(log+ < r0 < r < R0 tập E ⊂ [0, R0 ] với dương 15 E (ii) Trong trường hợp R0 = ∞, Sf (r) ≤ K(logr + log+ Tf (r, r0 )) với < r0 < r < ∞ tập E ⊂ [0, ∞] với E dt < ∞ K số dương Định lý 2.2.10 Cho M l a Kă ahler y chiu m v cú phủ phổ dụng M song chỉnh hình với hình cầu Cm Cho f ánh xạ phân hình khơng suy biến đại số từ M vào đa tạp xạ ảnh V chiều k Pn (C) thỏa mãn điều kiện (Cρ ), với ρ ≥ Giả sử Q1 , , Qq siêu mặt Pn (C) có bậc dj , vị trí N -dưới tổng quát V đặt d = BCN N {d1 , , dq } Khi đó, với ε > 0, ta có q [M0 −1] δf (Qj ) ≤ p(k + 1) + ε + j=1 p = N −k+1, M0 = I dk +k ρεM0 (M0 − 1) , d deg(V )k+1 ek pk (2k+4)k lk ε−k +1 , l = (k+1)q! Từ định lý trên, đạt hệ sau cho trường hợp ánh xạ phân hình suy biến đại số Hệ 2.2.11 Giả sử f : M → Pn (C) ánh xạ phân hình {Qi }qi=1 siêu mặt Pn (C) có bậc di , vị trí tổng quát Đặt d = BCN N {d1 , , dq } Khi đó, tồn số nguyên dương M0 cho q [M0 −1] δf j=1 (Qj ) ≤ n +1 2 +1+ ρM0 (M0 − 1) d Để chứng minh Định lý 2.2.10 ta cần kết định lý sau Định lý 2.2.12 Với giả thiết giống Định lý 2.2.10 Khi đó, ta có q (q − p(k + 1) − ε)Tf (r, r0 ) ≤ i=1 [M0 −1] (r) + Sf (r), N d Qi (f ) Sf (r) ước lượng sau + log+ Tf (r, r0 )), với R0 − r dt < ∞ K số R0 − t (i) Trong trường hợp R0 < ∞, S(r) ≤ K(log+ < r0 < r < R0 tập E ⊂ [0, R0 ] với dương E (ii) Trong trường hợp R0 = ∞, S(r) ≤ K(logr + log+ Tf (r, r0 )), với < r0 < r < ∞ tập E ⊂ [0, ∞] với E dt < ∞ K số dương 16 Chương VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CĨ CÙNG ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ SIÊU PHẲNG Chương ba tập trung vào mở rộng toán H Fujimoto cho ánh xạ phân hình từ đa tạp Kăahler M vo Pn (C) v ng thi tng quỏt định lý theo hướng L Smiley cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) Trong kết mình, H Fujimoto xét họ siêu phẳng {Hj }qj=1 vị trí tổng quát L Smiley đưa thêm điều kiện số chiều cho họ {Hj }qj=1 dim f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) ≤ m − 2, (1 ≤ i < j ≤ q) Chúng thay điều kiện thành dim f −1 k+1 j=1 Hij ≤ m − (1 ≤ i1 < · · · < ik+1 ≤ q) (∗) Khi đó, họ siêu phẳng vị trí tổng qt điều kiện (∗) ln thỏa mãn k = (∗) điều kiện L Smiley Như vậy, kết đưa mở rộng định lý H Fujimoto mà tổng quát kết quay trường hợp M = Cm Chương viết dựa hai báo [2] (trong mục Các cơng trình cơng bố liên quan đến luận án) 3.1 Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu họ siêu phẳng vị trí tổng quát Trong mục này, chứng minh số bổ đề chuẩn bị cho phần chứng minh định lý mục sau Bổ đề 3.1.1 Giả sử f ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính từ B(R0 ) vào Pn (C) H1 , , Hq q siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát Đặt l0 = |α0 | + · · · + |αn | chọn t, p cho < tl0 < p < Khi đó, với < r0 < R0 17 tồn số dương K cho với r0 < r < R < R0 , ta có z α0 +···+αn Wα0 , ,αn (f ) H1 (f ) · · · Hq (f ) t f q−n−1 t σm ≤ K R2m−1 p Tf (R, r0 ) R−r S(r) Bổ đề 3.1.2 Giả sử f ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính từ B(R0 ) vào Pn (C) H1 , , Hq q siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát Khi đó, ta có q [n] (q − n − 1)Tf (r, r0 ) ≤ NHj (f ) (r, r0 ) + Sf (r), j=1 Sf (r) đánh sau: + log+ Tf (r, r0 )) với R0 − r dt < r0 < r < R0 tập E ⊂ [0, R0 ) thỏa mãn E < ∞, K R0 − t số dương (i) Trong trường hợp R0 < ∞, Sf (r) ≤ K(log+ (ii) Trong trường hợp R0 = ∞, Sf (r) ≤ K(log+ Tf (r, r0 ) + logr) với < r0 < r < ∞ tập E ⊂ [0, ∞) thỏa mãn E dt < ∞, K số dương 3.2 Định lý cho ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng Trong mục này, chứng minh định lý cho ánh xạ phân hình từ M Định lý mở rộng cho Định lý E trình bày phần Tổng quan Định lý 3.2.1 Cho M l a Kă ahler liờn thơng đầy có phủ phổ dụng song chỉnh hình với hình cầu B(R0 ) ⊂ Cm , < R0 ≤ ∞ Giả sử f, g : M → Pn (C) ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính Giả sử f g thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với số không âm ρ có q siêu phẳng H1 , , Hq Pn (C) vị trí tổng quát cho (i) dim f −1 k+1 j=1 Hij ≤ m − (1 ≤ i1 < · · · < ik+1 ≤ q), (ii) f = g ∪qj=1 f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ) 2nkq > n + + ρn(n + 1) q + 2nk − 2k q < 2(n + 1)k q > (n + 1)(k + 1) + ρn(n + 1) f ≡ g Khi đó, q ≥ 2(n + 1)k q − 18 Từ kết Định lý trên, có số nhận xét sau 2nkq 1) Nếu k = q > 3n+1+ρn(n+1) q− q+2nk−2k ≥ q−2n > n+1+ρn(n+1) Do giả thiết định lý (3.2.1) thỏa mãn Từ đó, kết chúng tơi cho q > 3n + + ρn(n + 1) 2) Nếu k = n điều kiện (i) Định lý 3.2.1 ln họ siêu phẳng vị trí tổng quát Xét q > (n + 1)2 + ρn(n + 1) Ta dễ thấy • Nếu n = q > + 2ρ, suy q ≥ q − • Nếu n ≥ ρ < 2q > + 2ρ q n−1 2(n + 1)n > q > (n + 1)2 + ρn(n + 1) n Do giả thiết định lý 3.2.1 thỏa mãn Vậy trường hợp trên, định lý suy Định lý E 3) Trong trường hợp M = Cm , cách chọn ρ = 0, ta thấy • Nếu k = q = (n + 1)k + n + thỏa mãn điều kiện q ≥ 2(n + 1)k 2nkq > n + q − q + 2nk − 2k • Nếu k ≥ q = (n + 1)k + n + thỏa mãn điều kiện q < 2(n + 1)k q > (n + 1)(k + 1) Định lý 3.2.1 Do đó, kết tổng quát kết H H Giang, L N Quỳnh S Đ Quang tất nhiên kết Z Chen Q Yan 19 Chương SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA BA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CĨ CÙNG ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ SIÊU PHẲNG Trong Chương 4, sâu vào nghiên cứu phụ thuộc đại số ba ỏnh x phõn hỡnh t a Kăahler M m cụ thể tổng quát hóa kết tương ứng cho trường hợp ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) Bằng việc đưa cách làm dựa vào việc phân hoạch họ siêu phẳng thành nhóm xây dựng hàm bổ trợ phù hợp, chúng tơi thành cơng việc tổng qt hóa định lý phụ thuộc đại số lên a Kăahler M Chng c vit da báo [3] (trong mục Các cơng trình công bố liên quan đến luận án) 4.1 Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu họ siêu phẳng vị trí tổng qt Trong phần này, chúng tơi trình bày định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu vào khơng gian xạ ảnh giao với họ siêu phẳng vị trí tổng quát Mệnh đề 4.1.1 Cho H1 , , Hq (q > 2N − n + 1) siêu phẳng Pn (C) vị trí N -dưới tổng quát Khi đó, tồn hàm ω : {1, , q} → (0, 1], gọi trọng Nochka, số thực ω ˜ 1, gọi số Nochka, thỏa mãn điều kiện sau: (i) Nếu j ∈ {1, , q} < ω(j)˜ ω q (ii) q − 2N + n − = ω ˜ ( j=1 ω(j) − n − 1) (iii) Với R ⊂ {1, , q} có |R| = N + 20 i∈R ω(i) n + −n+1 ω ˜ 2Nn+1 (iv) Nn (v) Giả sử λ1 , , λq số thực thỏa mãn λj với j q R ⊂ {1, , q} có |R| = N + 1, đó, tồn tập R ⊂ R cho |R1 | = rank {Hi }i∈R1 = n + ω(j) λj λi i∈R1 j∈R Các Bổ đề 4.1.2 Định lý 4.1.3 tương ứng mở rộng Bổ đề 3.1.1 Định lý 3.1.2 Chương cho trường hợp họ siêu phẳng vị trí tổng quát Bổ đề 4.1.2 Giả sử f : B(R0 ) → Pn (C) ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính H1 , , Hq siêu phẳng Pn (C) vị trí N − tổng quát Đặt l0 = |α0 | + · · · + |αn | chọn t, p thỏa mãn < tl0 < p < Khi đó, tồn số dương K cho với r0 < r < R < R0 , ta có z α0 +···+αn Wα0 , ,αn (f ) H1 (f )ω(1) · · · Hq (f )ω(q) t q j=1 f ω(j)−n−1 t σm R2m−1 p Tf (R, r0 ) , K R−r S(r) ω(j) trọng Nochka tương ứng với Hj , j q Định lý 4.1.3 Cho f ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính từ B(R0 ) vào Pn (C) H1 , , Hq q siêu phẳng Pn (C) vị trí N −dưới tổng quát Khi đó, ta có q [n] (q − 2N + n − 1)Tf (r, r0 ) NHj (f ) (r, r0 ) + Sf (r), j=1 Sf (r) đánh sau: (i) Trong trường hợp R0 < ∞, Sf (r) K(log+ + log+ Tf (r, r0 )) R0 − r với < r0 < r < R0 tập E ⊂ [0, R0 ) thỏa mãn E dt < ∞, R0 − t K số dương (ii) Trong trường hợp R0 = ∞, Sf (r) K(log+ Tf (r, r0 ) + logr) với < r0 < r < ∞ tập E ⊂ [0, ∞) thỏa mãn K số dương 21 E dt < ∞, 4.2 Sự phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng Bổ đề 4.2.1 Giả sử f , f , f ba ánh xạ phân hình từ B(R0 ) vào Pn (C) H1 , H2 , , Hq q siêu phẳng Pn (C) thỏa mãn f = f = f ∪qj=1 (f )−1 (Hj ) ∪ (f )−1 (Hj ) ∪ (f )−1 (Hj ) Giả sử tồn s, t, l ∈ {1, · · · , q}  Hs (f )  P := Det  Hs (f ) Hs (f ) Khi đó, νP (z) ∀z ∈ / S cho 1  Ht (f ) Hl (f )  Ht (f ) Hl (f )  ≡ Ht (f ) Hl (f ) i=s,t,l (min1 u {νHi (f u ) (z)} [1] [1] q i=1 νHi (f ) (z), − νHi (f ) (z)) + Bổ đề 4.2.2 Cho M , f , f , f H1 , , Hq thỏa mãn giả thiết Định lý 4.2.3 Giả sử P hàm chỉnh hình M β số thực dương thỏa mãn q [n] νHv (f u ) (z) βνP (z) u=1 v=1 với z nằm S Nếu |P β | C( f f f )α với số dương C α, q 2N − n + + ρn(n + 1) + α Định lý 4.2.3 Cho M a Kă ahler liờn thụng y cú ph song chỉnh hình với B(R0 ) ⊂ Cm , < R0 ∞ Giả sử f , f , f : M → Pn (C), ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính thỏa mãn điều kiện (Cρ ) với ρ ≥ có q siêu phẳng H1 , , Hq Pn (C) vị trí N − tổng quát thỏa mãn dim f −1 (Hi ) ∩ f −1 (Hj ) m − 2, (1 i 2N − n + + ρn(n + 1) + 3nq khẳng định sau 2q + 3n − đúng: 22 (i) Tồn q + siêu phẳng Hi1 , , Hi[ q ]+1 cho Hi[ q ]+1 (f u ) Hi1 (f u ) Hi2 (f u ) , = = ··· = v v Hi1 (f ) Hi2 (f ) Hi[ q ]+1 (f v ) (ii) f ∧ f ∧ f ≡ M Bổ đề 4.2.4 Cho q, N hai số nguyên thỏa mãn q ≥ 3(N2+3) , N q mod = Giả sử {a1 , , aq } họ véc tơ không gian véc tơ ba chiều thỏa mãn rank {aj }j∈R = với tập R ⊂ Q = {1, , q} có |R| = N + Với số cố định i0 ∈ Q, đặt Ri0 = {j ∈ Q : aj ∧ ai0 = 0} Khi đó, q/3 |Ri0 | 3q với i0 ∈ Q tồn phân hoạch j=1 Ij {1, , q} thỏa mãn |Ij | = rank {ai }i∈Ij = với j = 1, , q/3 Định lý 4.2.5 Giả sử M , f , f , f H1 , , Hq cho định lý 4.2.3 Cho n p n số nguyên dương Giả sử khẳng định sau thỏa mãn: (a) min{νHi (f ) , p} = min{νHi (f ) , p} = min{νHi (f ) , p} (1 (b) f = f = f i q), q −1 i=1 (f ) (Hi ) q(2n + p) ánh xạ f × f × f từ M 2q − + 3p n n n vào P (C) × P (C) × P (C) suy biến tuyến tính Nếu q > 2N − n + + ρn(n + 1) + Định lý 4.2.6 Cho M , f , f , f H1 , , Hq thỏa mãn giả thiết giống định lý 4.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (a) min{νHi (f ) , 1} = min{νHi (f ) , 1} = min{νHi (f ) , 1} (1 (b) f = f = f i q), q −1 i=1 (f ) (Hi ) 3nq f ∧ f ∧ f ≡ Nói 2q + 2n − 2 riêng, ánh xạ f , f f phụ thuộc đại số M Khi q > 2N − n + + ρn(n + 1) + Bổ đề 4.2.7 Cho q, N hai số nguyên thỏa mãn q 2N + 2, N q số chẵn Xét {a1 , , aq } họ véc tơ không gian véc tơ 3−chiều thỏa mãn rank {aj }j∈R = với tập R ⊂ Q = {1, , q} có lực lượng q/2 |R| = N + Khi tồn phân hoạch j=1 Ij of {1, , q} thỏa mãn |Ij | = rank {ai }i∈Ij = với j = 1, , q/2 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án nghiên cứu toán lý thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ phân hình từ đa Kăahler vo a x nh, õy a Kăahler cú ph ph dng song chnh hỡnh vi hình cầu Cm đạt kết sau: • Chứng minh định lý quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phõn hỡnh t a Kăahler vo khụng gian x ảnh vào đa tạp xạ ảnh giao với họ siêu mặt vị trí tổng qt • Chứng minh định lý cho ánh xạ phõn hỡnh t a Kăahler vo khụng gian x ảnh giao họ siêu phẳng vị trí tổng quát với điều kiện đối chiều giao ảnh ngược k siêu phẳng họ hai • Chứng minh số định lý phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân suy biến tuyến tính ỏnh x tớch t a Kăahler vo khụng gian xạ ảnh giao với họ siêu phẳng vị trí tổng quát Kiến nghị Trong trình nghiên cứu vấn đề luận án, suy nghĩ số hướng nghiên cứu sau: • Trong luận án, chứng minh định lý cho ánh xạ phân hình từ đa Kăahler vo khụng gian x nh giao vi h siêu phẳng mà không xét đến trường hợp siêu mặt theo phương pháp đề Chương hai, số siêu mặt tham gia cịn lớn Chúng tơi nghiên cứu cách làm để đưa định lý cho ánh xạ phân hình từ đa tạp Kăahler vo khụng gian x nh giao vi h siờu mặt với số siêu mặt tham gia nhỏ • Chúng tiếp tục nghiên cứu phụ thuộc đại số cho họ ánh xạ phân hình từ đa Kăahler vo khụng gian x nh hoc a xạ ảnh trường hợp tổng quát họ tham gia siêu mặt thay cho họ siêu phẳng đưa luận án • Chúng tơi dự định nghiên cứu tốn lý thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ phân hình t a Kăahler vi lp a Kăahler tng quát so với đa tạp có phủ song chỉnh hình với hình cầu Cm mà xem xét luận án 24 ... Vấn đề cho ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng Năm 1975, H Fujimoto chứng minh định lý cho ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn (C) Ông hai ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C)... phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ Cm thành ánh xạ từ M vào Pn (C) không?" Chúng lưu ý nay, chưa có kết đưa cho phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình M , toán cho ánh xạ phân hình từ M số tác giả... chọn đề tài "Phân bố giá trị ánh xạ phõn hỡnh t a Kă ahler vo a xạ ảnh ứng dụng ", để sâu vào nghiên cứu việc thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho trường hợp ánh xạ phân hình siêu