Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp kähler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thị Nhung PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CA NH X PHN HèNH ă T A TP KAHLER VÀO ĐA TẠP XẠ ẢNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 9.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Sĩ Đức Quang Hà Nội, 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án mới, công bố tạp chí Tốn học có uy tín giới Các kết nêu luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Nhung ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành quan tâm hướng dẫn tận tình PGS.TS Sĩ Đức Quang Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Thầy, cảm ơn Thầy bảo, sẻ chia tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn đến GS.TSKH Hà Huy Khoái, người định hướng khuyến khích tơi nghiên cứu khoa học, tạo nhiều hội để tơi học tập giao lưu với nhà khoa học hướng nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi dành cho Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô anh chị em seminar Hình học phức Bộ mơn Hình học Tơ pơ, đặc biệt TS Phạm Đức Thoan TS Lê Ngọc Quỳnh, động viên, trợ giúp trao đổi khoa học hữu ích q trình tơi học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Trường Đại học Thăng Long, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn-Tin, anh chị em đồng nghiệp Bộ mơn Tốn giúp đỡ, quan tâm chia sẻ để ln có điều kiện thuận lợi suốt q trình học nghiên cứu sinh Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn từ tận đáy lòng đến gia đình người thân ln bên tơi, khích lệ động viên tơi, chia sẻ khó khăn để tơi hồn thành luận án Tác giả iii MỤC LỤC Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh mục quy ước kí hiệu vi MỞ ĐẦU 1 TỔNG QUAN QUAN HỆ SỐ KHUYẾT KHƠNG LẤY TÍCH PHÂN CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH GIAO VỚI HỌ SIÊU MẶT DƯỚI TỔNG QUÁT 18 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 19 2.2 Định lý quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình 27 VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CĨ CÙNG ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ SIÊU PHẲNG 3.1 53 Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu họ siêu phẳng vị trí tổng quát 54 3.2 Định lý cho ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng 57 SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA BA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CÙNG ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ SIÊU PHẲNG 4.1 67 Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu họ siêu phẳng vị trí tổng quát 68 4.2 Định lý phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng 73 iv Kết luận kiến nghị 92 Danh mục cơng trình công bố liên quan đến luận án 94 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO v DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong tồn luận án, thống số kí hiệu sau • Pn (C): khơng gian xạ ảnh phức n− chiều • z = |z1 |2 + · · · + |zm |2 1/2 với z = (z1 , , zm ) ∈ Cm • B(r) := {z ∈ Cm : z < r} hình cầu mở bán kính r Cm • S(r) := {z ∈ Cm : z = r} mặt cầu bán kính r Cm √ −1 (∂ − ∂): toán tử vi phân • d = ∂ + ∂, dc := 4π • βn−1 := (ddc z )n−1 , σn := dc log z ∧ (ddc log z )n−1 : dạng vi phân • O(1): hàm bị chặn r • O(r): vơ lớn bậc với r r → +∞ • o(r): vô bé bậc cao r r → +∞ • log+ r = max{log r, 0}, r • “ || P ”: có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) nằm tập Borel E [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞ • |S|: lực lượng tập hợp S • I(x): số ngun lớn khơng vượt x • BCNN{d1 , , dq }: bội số chung nhỏ số nguyên dương d1 , , dq • Zero(h) : tập không điểm hàm h • supp(ν) : giá divisor ν vi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết Nevanlinna bắt đầu nghiên cứu phân bố giá trị hàm phân hình mặt phẳng phức Năm 1926, R Nevanlinna mở rộng định lý Picard nhỏ cách chứng minh hai định lý quan trọng mà thường gọi định lý thứ định lý thứ hai Cơng trình R Nevanlinna quan tâm mạnh mẽ có nhiều kết quan trọng công bố tác A Bloch [2], H Cartan [4],[5], H Weyl F J Weyl [42] Đặc biệt, H Cartan mở rộng lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình khơng gian xạ ảnh phức sau L Ahlfors [1] đưa cách tiếp cận hình học cho kết H.Cartan Weyls Vào năm tiếp theo, W Stoll [35] số nhà toán học khác P Griffiths, B Shiffman tổng quát kết cho trường hợp nhiều biến phức đồng thời phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào đa tạp xạ ảnh Trong thập kỉ vừa qua, nhiều nhà toán học quan tâm đến toán tổng quát lý thuyết Nevanlinna lên cho trng hp ỏnh x phõn hỡnh t a Kăahler vào đa tạp xạ ảnh Năm 1985, H Fujimoto [14] xây dựng lý thuyết phân bố giá trị cho trng hp a Kăahler M y v cú ph song chỉnh hình với hình cầu B(R0 ) không gian phức nhiều chiều Cm Điểm khác biệt l trờn a Kăahler tng quỏt khụng cú hm vét cạn parabolic, khơng thể xây dựng khái niệm thông thường cho hàm đếm divisor, hàm đặc trưng hàm xấp xỉ ánh xạ Để vượt qua khó khăn này, dựa vào tính giảm khoảng cách khơng gian sở so với khơng gian phủ, Fujimoto chuyển tốn cho ánh xạ phân hình f từ M thành tốn cho f từ B(R0 ) vào không gian xạ ảnh Pn (C) Đồng thời, H Fujimoto đưa khái niệm phương pháp để giải trường hợp khác biệt áp dụng lý thuyết Nevanlinna hình cầu B(R0 ) so với Cm Cụ thể là, ông đưa khái niệm số khuyết khơng lấy tích phân thiết lập quan hệ số khuyết cho ánh xạ phân hình từ M vào khơng gian xạ ảnh Pn (C) giao với họ siêu phẳng Sau kết H Fujimoto, T V Tấn V V Trường [38] chứng minh định lý số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ M giao với họ siêu mặt vị trí tổng quát Tuy nhiên, khái niệm “dưới tổng quát” tác giả đặc biệt cần thêm điều kiện so với định nghĩa thông thường Bằng cách khác, M Ru S Sogome [32] mở rộng kết H Fujimoto cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh với siêu mặt vị trí tổng quát Theo nghĩa tự nhiên khái niệm “dưới tổng quát”, số tác giả sau thiết lập quan hệ số khuyết cho ánh xạ phân hình siêu mặt vị trí tổng quát Q Yan [43], Đ Đ Thái S Đ Quang [40] Tuy nhiên, kết tác giả chưa phải mở rộng thực cho kết M Ru S Sogome quay họ siêu mặt vị trí tổng qt Do đó, câu hỏi tự nhiên đặt là: “Liệu thiết lập quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân tốt cho trường hợp họ siêu mặt vị trí tổng quát không?” Trong luận án này, đưa phương pháp để trả lời cho câu hỏi Sau R Nevanlinna đưa định lý năm điểm hay gọi định lý nhất, nhiều tác giả mở rộng định lý lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) Những kết thuộc H Fujimoto [11] L Smiley [34], L Smiley chứng minh hai ánh xạ phân hình trùng chúng ảnh ngược 3n + siêu phẳng giao ảnh ngược hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai Việc có thêm điều kiện đối chiều giao ảnh ngược hai siêu phẳng giúp thực nhiều biến đổi hàm đếm có nhiều kết cải tiến định lý L Smiley đưa Những kết tốt theo hướng thuộc Z Chen Q Yan [6], H H Giang, L N Quỳnh S Đ Quang [16] Năm 1986, sau thiết lập thành công quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân, H Fujimoto [15] đưa định lý cho ánh xạ phân hình từ M vào Pn (C) với họ siêu phẳng Tuy nhiên, định lý H Fujimoto không thuộc hướng có thêm điều kiện đối chiều nên khơng khái quát kết đề cập quay trường hợp Cm Do vậy, mục đích chúng tơi luận án mở rộng định lý H Fujimoto đồng thời tổng quát kết đạt Cm Khi số siêu phẳng không đủ lớn ta khơng thể suy kết luận toán Tuy nhiên, với số điều kiện định, ta ánh xạ xét có liên hệ đại số với Bài toán phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) bắt đầu nghiên cứu báo S Ji [18] có nhiều kết công bố Một số kết tốt gần thuộc Z Chen Q Yan [7], S Đ Quang [24], S Đ Quang L N Quỳnh [26] Từ đó, cách tự nhiên, chúng tơi đặt câu hỏi: “Có thể mở rộng kết phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ Cm thành ánh xạ từ M vào Pn (C) không?” Chúng lưu ý nay, chưa có kết đưa cho phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình M , tốn cho ánh xạ phân hình từ M số tác giả nghiên cứu sau báo H Fujimoto năm 1986 Nguyên nhân kỹ thuật xếp hàm đếm xếp lại họ siêu phẳng dùng toán Cm hay định lý M , khơng sử dụng làm tốn suy biến M Do đó, chương cuối luận án, đề xuất kỹ thuật khắc phục khó khăn này, để xây dựng mối liên hệ đại số ánh xạ phân hình t a Kăahler T nhng lý nh trờn, lựa chọn đề tài “Phân bố giá trị ca ỏnh x phõn hỡnh t a Kă ahler vào đa tạp xạ ảnh ứng dụng ”, để sâu vào nghiên cứu việc thiết lập quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho trường hợp ánh xạ phân hình siêu mặt vị trí tổng quát, đồng thời nghiên cứu toán toán phụ thuộc đại số cho ánh xạ phân hình giao với họ siêu phẳng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án thiết lập quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hỡnh t a Kăahler vo a x nh với họ siêu mặt vị trí tổng quát Tiếp theo luận án nghiên cứu tốn toán suy biến hay phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ đa Kăahler vo khụng gian x nh giao vi h siêu phẳng vị trí tổng quát tổng quát 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân, vấn đề vấn đề phụ thuộc đại số ỏnh x phõn hỡnh t a Kăahler vo a tạp xạ ảnh Đề tài nghiên cứu phạm vi lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình trờn a Kăahler Phng phỏp nghiờn cu giải vấn đề đặt luận án, sử dụng phương pháp lý thuyết phân bố giá trị hình học phức Bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật truyền thống, đưa kỹ thuật nhằm đạt mục đích đặt đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm sâu sắc kết quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hỡnh t a Kăahler vo a x nh với họ siêu mặt vị trí tổng quát Bên cạnh làm phong phú thêm toán nhất, luận án đưa kết cho phụ thuộc đại số nhng ỏnh x phõn hỡnh t a Kăahler vo không gian xạ ảnh với họ siêu phẳng Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án Cấu trúc luận án bao gồm bốn chương Chương Tổng quan dành để phân tích số kết nghiên cứu tác giả nước liên quan đến nội dung đề tài Ba chương lại trình bày kiến thức chuẩn bị chứng minh chi tiết cho kết đề tài Chương I Tổng quan Chương II Quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình giao với họ siêu mặt tổng quát Chương III Vấn đề cho ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng Chương IV Sự phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng ... quát đa tạp xạ ảnh sau Định lý 2.2.10 Cho M a Kă ahler y chiu m, cú ph ph dụng song chỉnh hình với hình cầu Cm Cho V đa tạp xạ ảnh chiều k Pn (C) f ánh xạ phân hình không suy biến đại số từ M vào. .. hợp ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn (C) Ơng hai ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) trùng có ảnh ngược 3n+2 siêu phẳng tính bội Năm 1983, cách thêm điều kiện đối chiều giao ảnh. .. chọn đề tài ? ?Phân bố giá trị ánh xạ phân hình t a Kă ahler vo a x nh ứng dụng ”, để sâu vào nghiên cứu việc thiết lập quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho trường hợp ánh xạ phân hình siêu mặt