Một số định lí về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình

B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ N I VANGTY NOULORVANG M T SO бNH LÍ VE TÍNH DUY NHAT VÀ TÍNH HữU HẠN CỦA HO CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH LU N ÁN TIEN SĨ TỐN HOC Hà N i, 2021 B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ N I VANGTY NOULORVANG M T SO бNH LÍ VE TÍNH DUY NHAT VÀ TÍNH HữU HẠN CỦA HO CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH Chun ngành: Hình hoc Tơpơ Mã so: 9.46.01.05 LU N ÁN TIEN SĨ TỐN HOC NGƯ I HƯ NG DȀN KHOA HOC: PGS TS Phạm Đfíc Thoan PGS TS Phạm Hồng Hà Hà N i, 2021 L I CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan ket trình bày lu n án mới, cơng bo tạp chí Tốn hoc có uy tín the giới Các ket nêu lu n án trung thực, đong tác giả cho phép sả dụng chưa tàng cơng bo bat kỳ cơng trình khác Nghiên cáu sinh Vangty Noulorvang ii L I CẢM ƠN Lu n án hoàn thành quan tâm hướng dan t n tình PGS TS Phạm Đác Thoan PGS TS Phạm Hoàng Hà Tôi xin gải lời cảm ơn chân thành sâu sac nhat đen thay, cảm ơn thay bảo, sẻ chia tạo moi đieu ki n thu n lợi cho suot trình hoc t p nghiên cáu Tơi xin gải lời cảm ơn đen GS TSKH Đo Đác Thái, người định hướng khuyen khích tơi nghiên cáu khoa hoc, tạo nhieu h®i đe tơi có the hoc t p giao lưu với nhǎng nhà khoa hoc hướng nghiên cáu Tôi xin gải lời cảm ơn đen Trường Đại hoc Sư Phạm Hà N®i, Phịng Sau đại hoc, Ban Chủ nhi m Khoa Toán-Tin ve giúp tạo đieu ki n thu n lợi dành cho Tôi xin gải lời cảm ơn đen thay cô anh chị em seminar Hình hoc phác B® mơn Hình hoc Tơ pơ, đ c bi t GS TSKH Sĩ Đác Quang GS TSKH Tran Văn Tan Đong thời, muon gải lời cảm ơn đen NCS Tran An Hải NCS Nguyen Văn An ve đ®ng viên, trợ giúp nhǎng trao đői khoa hoc hǎu ích q trình tơi hoc t p nghiên cáu Tôi xin gải lời cảm ơn sâu sac đen Đại sá quán nước C®ng hòa Dân chủ Nhân dân Lào Vi t Nam, Vi n Nghiên cáu Giáo dục Lào, anh chị em đong nghi p quan giúp đơ, quan tâm chia sẻ đe tơi ln có nhǎng đieu ki n thu n lợi nhat suot trình hoc nghiên cáu sinh Cuoi cùng, xin bày tỏ lòng biet ơn tà t n đáy lòng đen gia đình người thân ln bên tơi, khích l đ®ng viên tơi, chia sẻ khó khăn đe tơi có the hồn thành lu n án Tác giả iii MỤC LỤC L i cam đoan ii L i cảm ơn iii Danh mnc quy c kí hi u vi M ĐAU 1 TONG QUAN Tính nhat l p hàm phân hình có siêu b c nhỏ 21 2.1 M®t so kien thác chuȁn bị 21 2.2 Tính nhat lớp hàm phân hình có siêu b c nhỏ 24 2.3 Tính tuan hồn lớp hàm phân hình có siêu b c nhỏ 29 Tính nhat l p ánh xạ phân hình có b c 32 3.1 M®t so kien thác chuȁn bị 32 3.2 Định lí Cơ thá hai q-dịch chuyen 35 3.3 Định lí nhat kieu Picard 43 Tính phn thu c đại so tính hfiu hạn ho ánh xạ phân 50 hình chia sẻ 2n + siêu phang 4.1 M®t so tính chat ket phụ trợ 50 4.2 Tính phụ thu®c đại so ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phȁng 53 4.3 Tính hǎu hạn ho ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phȁng Ket lu n kien nghị 60 68 Danh mnc cơng trình cơng bo liên quan đen lu n án 70 iv 71 TÀI LI U THAM KHẢO v DANH MỤC CÁC QUY Ư C VÀ KÍ HI U Trong tồn b® lu n án, ta thong nhat mđt so kớ hi u nh sau ã Pn(C): khơng gian xạ ảnh phác n-chieu • ǁzǁ = |z1|2 + · · · + |zm|2 1/2 với z = (z , , z ) ∈ Cm m • B(r) := {z ∈ Cm : ǁzǁ < r} hình cau mở bán kính r Cm • S(r) := {z ∈ Cm : ǁzǁ = r} m t cau bán kính r Cm √ −1 d = ∂ + ∂, dc := (∂ ∂): tốn tả vi phân • − 4π • βn−1 := (ddcǁzǁ2)n−1, σn := dclogǁzǁ2 ∧ (ddclogǁzǁ2)n−1: dạng vi phân • O(1): hàm bị ch n đoi với r • O(r): vơ lớn b c với r r → +∞ • o(r): vơ bé b c cao r r → +∞ • log+r = max{log r, 0}, r > • “|| P ”: có nghĩa m nh đe P với moi r ∈ [0, +∞) nam ngồi m®t t p ∫ Borel E [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞ • ]S: lực lượng t p hợp S • I(x): so nguyên lớn nhat khơng vượt q x • Pole(h): T p cực điem hàm h • Zero(h) : t p khơng điem hàm h • supp(ν) : giá divisor ν vi M ĐAU Lý chon đe tài Lý thuyet phân bo giá trị bat đau xây dựng nhà toán hoc női tieng R Nevanlinna [23, 31] tà nhǎng năm 20 the kỉ trước Ngay tà đời, lý thuyet thu hút nhieu nhà toán hoc lớn the giới quan tâm nghiên cáu Nhieu ket đ c sac nhǎng dụng to lớn lý thuyet nhǎng ngành toán hoc khác phát hi n N®i dung lí thuyet phân bo giá trị thiet l p định lí Cơ bản thá nhat thá hai Các định lí nói ve moi quan h giǎa hàm đem khơng điem với đ® tăng hàm đ c trưng Định lí Cơ thá hai có nhieu áp dụng vi c nghiên cáu van đe nhat, tính hǎu hạn, tính phụ thu®c đại so, quan h so khuyet phân bo ve m t giá trị ánh xạ phân hình Chȁng hạn, tà đau, R Nevanlinna dụng định lí thá hai ơng thiet l p đe mở r®ng định lí Picard nhỏ Cơng trình gây m®t tieng vang lớn khởi đau cho rat nhieu ket quan công bo nhieu tác A Bloch [3], H Cartan [7], H Weyl F J Weyl [57] Lý thuyet phân bo giá trị tiep tục mở r®ng nhà tốn hoc H Cartan H Weyl Các ơng mở r®ng lý thuyet cho đường cong chỉnh hình khơng gian xạ ảnh phác sau L Ahlfors [1] đưa cách tiep c n hình hoc cho ket H Cartan H Weyl Nhǎng năm tiep theo, W Stoll [49], P Griffiths [20] B Shiffman [47] tőng quát ket cho trường hợp nhieu bien phác đong thời phát trien lên cho trường hợp ánh xạ phân hình tà đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh Đe thiet l p định lí thá hai cho ánh xạ phân hình tà Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn(C), người ta dựa vào bő đe Đạo hàm logarit tính chat định thác Wronski Tuy nhiên, năm 2006, R Halburd R J Korhonen [22] thiet l p định lí thá hai cho ánh xạ phân hình tà C vào Pn(C) giao với siêu phȁng co dịnh siêu phȁng di đ®ng vị trí tőng qt bang cách thay định thác Wronski định thác Casorati (c-Casorati p-Casorati) thay bő đe Đạo hàm logarit m®t bő đe tương tự, có tên bő đe q-dịch chuyen ho c c-dịch chuyen cho ánh xạ phân hình b c ho c cho ánh xạ phân hình có siêu b c nhỏ tương Tà đó, ho có the nghiên cáu tính nhat ánh xạ phân hình theo kieu định lí Picard tőng quát Định lí Cơ thá hai loại goi định lí Cơ thá hai p-dịch chuyen ho c c-dịch chuyen giao với mục tiêu Bang cách tiep c n theo hướng này, năm 2016, T B Cao R J Korhonen [6] thiet l p định lí Cơ thá hai p-dịch chuyen cho ánh xạ phân hình tà Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn(C) giao với siêu phȁng vị trí tőng qt M®t cách tự nhiên can xây dựng định lí Cơ thá hai p-dịch chuyen ánh xạ phân hình b c tà Cm vào Pn(C) giao với siêu m t vị trí tőng qt thơng qua định thác p-Casorati vi c áp dụng vào nghiên cáu van đe nhat kieu định lí Picard tőng qt Trong trường hợp m®t chieu, ke tà R Halburd R J Korhonen [22] đưa Bő đe c-dịch chuyen Định lí Cơ thá hai c-dịch chuyen cho hàm phân hình có siêu b c nhỏ 1, định lí nhat kieu Picard tương tự định lí điem R Nevanlinna nghiên cáu rat mạnh mě Có rat nhieu ket thú vị theo hướng nghiên cáu Chȁng hạn, năm 2009, J Heittokangas đong nghi p [25] cháng minh rang neu hàm phân hình f (z) có b c hǎu hạn chia sẻ giá trị phân bi t đem b®i với hàm dịch chuyen f (z + c) f m®t hàm tuan hồn với chu kì c, tác f (z) = f (z + c) với moi z ∈ C Định lí kieu Picard tác giả cải tien cho trường hợp chia sẻ hai giá trị đem b®i m®t giá trị khơng đem b®i Đau năm 2016, K S Charak, R J Korhonen G Kumar [8] đưa phản ví dụ đe rang khơng có định lí nhat cho trường hợp giá trị chia sẻ đem b®i hai giá trị chia sẻ khơng đem b®i Chú ý rang, định lí điem R Nevanlinna giá trị chia sẻ khơng can đem b®i M®t câu hỏi đ t li u có định lí kieu Picard trường hợp so giá trị chia sẻ khơng đem b®i không? Trong [8], tác giả co gang trả lời câu hỏi có nhǎng ket theo hướng cho hàm phân hình có siêu b c nhỏ chia sẻ giá trị m®t đieu ki n ve so khuyet Năm 2018, W Lin, X Lin A Wu [29] có m®t phản ví dụ rang ket khơng cịn nǎa b®i giá trị chia sẻ bị ngat Tà đó, ho đ t van đe nghiên cáu tính nhat kieu định lí Picard giá trị bị ngat b®i M®t nhǎng mục tiêu nghiên cáu van đe nhat giảm so giá trị chia sẻ Theo đó, chúng tơi đ t van đe nghiên cáu cải tien ket qủa W Lin, X Lin A Wu Sau R Nevanlinna đưa định lí điem, nhieu tác giả mở r®ng định lí lên cho trường hợp ánh xạ phân hình tà Cm vào Pn(C) Các ket đau tiên thu®c ve H Fujimoto [17] L Smiley [48] Nhưng nhǎng ket tot nhat theo hướng thu®c ve Z Chen Q Yan [10], H H Giang, L N Quỳnh S Đ Quang [14] ảnh nhǎng ánh xạ phân hình can nam 2n + siêu phȁng nam vị trí tőng qt Khi so siêu phȁng khơng đủ 2n + ta khơng the suy ket lu n toán nhat Tuy nhiên, với m®t so đieu ki n nhat định, ta có the ánh xạ xét có liên h đại so với ho c chúng có hǎu hạn Bài tốn ve phụ thu®c đại so ánh xạ phân hình tà Cm vào Pn(C) bat đau nghiên cáu báo S Ji [27] cho đen có nhieu ket cơng bo M®t so ket tot nhat gan thu®c ve Z Chen Q Yan [11], S Đ Quang [41], S Đ Quang L N Quỳnh [42] Chú ý rang, bang vi c nghiên cáu tính phụ thu®c đại so hàm phân hình có ảnh ngược giao với 2n + siêu phȁng vị trí tőng quát giúp S Đ Quang khȁng định tính hǎu hạn lớp ánh xạ phân hình Tuy nhiên, nói vi c giảm so siêu phȁng chia sẻ ket m®t nhǎng đích quan trong lí thuyet phân bo giá trị Do v y, chúng tơi đ t mục đích nghiên cáu tính hǎu hạn ánh xạ phân hình tà Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) với so siêu phȁng tham gia nhỏ 2n + thông qua tính phụ thu®c đại so ánh xạ phân hình Tà nhǎng lý trên, chúng tơi lựa chon đe tài “M t so đ nh lí ve tính nhat tính hGu hạn cia ho ánh xạn phân hình”, đe sâu vào nghiên cáu toán nhat ánh xạ phân hình ánh xạ dịch chuyen chúng, tốn ve tính hǎu hạn cho nhǎng ánh xạ phân hình Mnc đích nghiên cfíu Kí hi u P t p hợp tat i ∈ {1, , 2n + 1} thỏa mãn rang ton j ∈ {1, , 2n + 1} \ {i} cho Vi ∼ /= Vj Φijα ≡ với moi α ∈ Z+m với |α| ≤ Ta tách thành ba trường hợp sau • Trư ng h p 1: ]P ≥ Suy P cháa hai phan tả i, j Khi đó, ta nh n Φ αij = Φ αji = với moi α ∈ Zm + mà |α| ≤ Theo Bő đe 4.1.3, ton hai hàm, ij ij chȁng hạn F F , m®t hang so λ cho F ij = λF ij Theo Bő đe 4.3.2, ta 2 có F = F Tà Bő đe 4.3.4 (ii), ta de dàng thay rang Vi ∼ = Vj , nghĩa Vi Vj ij ij thu®c m®t nhóm phân hoạch Ta có the giả thiet rang i = j = Vì giả thiet f 1, f 2, f khác nên so lượng moi nhóm phân hoạch nhỏ n + Do đó, ta nh n V1 ∼ /= Vt với moi t ∈ {n + 1, , 2n + 1} Theo = V2 ∼ Bő đe 4.3.4 (ii), ta đạt (r) N [1] (f,H1),≤k1 +N Σ [1] (f,Ht),≤kt (r) ≥ N ΣΣ3 [1] (r) − (f,Hs),≤ks Σ (r) ≥ (f,Ht),≤kt [1] (fu,Hs),>ks (r) N + N [1] (r), u=1 s=1,t s=1,t (r) N [1] (f,H2),≤k2 [1] (fu,Hs),>ks ΣΣ3 N [1] (r) − (f,Hs),≤ks u=1 s=2,t s/=2,t N Bang cách c®ng hai ve hai bat đȁng thác trên, ta thu Σ [1] [1] N (f,H ),≤k (r) ≥ t t N (f,H ),≤k (r) s s s=1,2,t Σ − [1] (fu,H1),>k1 [1] (r) + N (f[1] (r) + 2N (fu,Ht),>kt (r) u,H ),>k 2 u=1 N Bang cách c®ng hai ve bat đȁng thác qua tat t ∈ {n+1, , 2n+ 1}, ta Σ [1] [1] (n + 1) N(fu,H1),>k1 (r) + N (fu,H2),>k2 (r) + u=1 Σ Σ N(f,Ht), ≤kt (r) + (n − 1) t=3 2n+1 ≥ (n − 1) Σ N [1] (r) ≥ (f,H ),≤k t=3 2n+1 t t [1] N(fu,Ht),>kt (r) [1] N (f,H (r) ),≤k [1] ≥ (n + 1) ! t=n+1 2n+1 n 2n+1 Σ t=n+1 2n+1 t t n − Σ Σ [1] N (fu,H ),≤k (r) t t u=1 t=3 2n+1 ΣΣ n − Σ Σ [1] (r) − n − N [1] ≥ N (fu,Ht),>kt (r) 3 u=1 t=3 (f,Ht) u=1 t=3 63 ≥ ≥ 3n 2n+1 n − Σ Σ [1] [n] N (r) N (f,Ht) (r) − (fu,Ht),>kt 2n+1 n−1ΣΣ u=1 t=3 u=1 t=3 2n+1 (n − 1)(n − 2) n − Σ [1] T (r) − N (fu,H ),>k (r) + o(T (r)) t t 3n t=3 Do đó, ta nh n (n − 1)(n − 2) T (r) ≤ (n + 1) 3n 2n+1 Σ Σ N [1] (f,Ht),>kt ≤ (n + 1) Σ 2n+1 ≤ t=1 u=1 t=1 2n+1 Σ Σ u=1 t=1 n+1 kt + 1 (r) + o(T (r)) N [1] (f,Ht) kt + (r) + o(T (r)) T (r) + o(T (r)) Cho r → +∞, ta có 2n+1 Σ t=1 (n − 1)(n − 2) kt + ≥ 3n(n + 1) > n−4 2n(2n + 1) , m®t mâu thuan • Trư ng h p 2: ]P = Giả thiet rang P = {1} Ta de dàng nh n thay rang V1 ∼ /= Vi với moi i = 2, , 2n + Theo Bő đe 4.3.4 (ii), ta có (r) N [1] (f,H1),≤k1 Σ N ≥ [1] (r) − N (f,Hi),≤ki [1] (f,Hs),≤ks ΣΣ (r) − [1] (fu,Hs),>ks (r) u=1 s=1,t s=1,t N + o(T (r)) C®ng hai ve bat đȁng thác qua tat i = 2, , 2n + 1, ta nh n 2nN [1] (f,H1),≤k1 Σ ΣΣ3 2n+1 (r) ≥ (2n − 2) N [1] (f,Hi),≤ki − · 2n (r) − u=1 i=2 i=2 Σ 2n+1 [1] (fu,H1),>k1 N (r) + o(T (r)) u=1 N Ta thay rang i ∈ P với moi i = 2, , 2n + Bây giờ, đ t σ(i) = i + n, if i ≤ n + i − n, if n + < i ≤ 2n + 1, 64 [1] (r) (f,Hi),>ki (4.2) i σ(i) thu®c nhóm riêng bi t, nghĩa Vi ∼ /= Vσ(i) với moi i = 2, , 2n + Φαiσ(i) /≡ với m®t so α ∈ Z+m với |α| ≤ Theo Bő đe 4.3.5, ta nh n T (r) ≥ Σ Σ u=1 t=i,σ(i) − (r) − (2n + 1)N [1] (r) − (n + 1)N [1] N [n] (r) (fu,Ht),≤kt (f,Hi),≤ki (f,Hσ(i)),≤kσ(i) Σ 2n + u=1 n+2 [1] N(fu,Hi),>ki (r) + [1] N(fu,Hσ(i)),>kσ(i) (r) 2n+1 Σ [1] N (f,H (r) + o(T (r)) ),≤k +2 t t t=1,t/=i,σ( i) C®ng hai ve bat đȁng thác qua i ∈ {2, , 2n + 1} sả dụng (4.2), ta đạt 2nT (r) Σ 2n+1 Σ Σ N [n] 2≥ 2n+1 N [1] (r) + (n − 6) (fu,Hi),≤ki i=2 u=1 (f,Hi),≤ki (r) i=2 2n+1 + ·2nN [1] (r) − (n + 1) (f,H1),≤k1 ΣΣ N [1] (fu,Hi),>ki (r) + o(T (r)) u=1 i=2 ΣΣ 2n+1 2≥ Σ [n] N (fu,H ),≤k i i i=2 u=1 Σ 2n+1 − (n + 5) 2n+1 Σ N [1]u (r) + (5n − 10) [1] (fu,Hi),>ki Σ (f ,Hi),≤ki i=2 (r) − 8n u=1 i=2 2n+1 (r) [1] (fu,H1),>k1 u=1 (r) + o(T (r)) 2n+1 N N 11n − 10 Σ Σ [n] 14n + Σ Σ [1] ≥ N (fu,H ) (r) − N (fu,H ),>k (r) i i i 3n i=2 u=1 Σ u=1 i=2 − 8n [1] (fu,H1),>k1 (r) + o(T (r)) u=1 2n+1 3 2n+1 Σ Σ N 11n − 10 Σ Σ [n] (r) − 8n N [1] (r) + o(T (r)) ≥ N (fu,Hi) (fu,Hi),>ki 3n i=2 u=1 ≥ u=1 i=1 2n+1 Σ (11n − 10)(n − 1) T (r) − 8n 3n i=1 T (r) + o(T (r)) ki + Cho r → +∞, ta nh n 2n+1 Σ i=1 5n − 21n + 10 n−4 ≥ > , 24n 2n(2n + 1) ki + 65 ú l mđt mõu thuan ã Trư ng h p 3: ]P = Với moi i /= j Bő đe 4.3.5, ta nh n Σ3 T (r) ≥ N [n] (r) + (fu,Hi),≤ki u=1 Σ Σ N (f u[n] (r) + ,Hj ),≤kj u=1 N [1] (r) (f,Ht),≤kt t=1,t i,j 1 — (2n + 1)N(f,Hi ),≤ki (r) − (n + 1)N(f,Hj ),≤kj (r) + N (r, νj ) — Σ 1+ u=1 n−1 2n − [1] [1] 1+ N(f N(fu,Hi),>ki u,H ),>k + j j 3 + o(T (r)) C®ng hai ve bat đȁng thác qua c p (i, j), ta thu 2n+1 (2n + 1)T (r) ΣΣ Σ Σ N [n]u 2≥ (f 2n+1 Σ N [1] (r) + (n − 4) ,Ht),≤kt u=1 t=1 Σ 2n+1 2n+1 (f,Ht),≤kt (r) + t=1 − (n + 1) [1] (fu,Ht),>kt N (r, νt) t=1 + o(T (r)) u=1 t=1 (4.3) N Theo Bő đe 4.3.3, ta thay rang Vj ∼ /= Vl với moi j /= l Do đó, ta có Pstjl := (f s , Hj )(f t , Hl ) − (f t , Hj )(f s , Hl ) /≡ 0, s = / t, j l Ta kí hi u Ti := {z : ν(f,Hi),≤ki (z) > 0} Khi đó, ta nh n Σ 1≤skt (r) + o(T (r)) u=1 t=1 2n+1 = 2n − 7n Σ Σ [n] (fu,Ht),≤kt u=1 t=1 2n+1 [1] + 1) (fu,Ht),>kt u=1 t=1 (r) − 2(2n + 1) 2n − T (r) (r) + o(T (r)) 2n+1 2 N 14n − 13n − 20n + 2n − Σ ≥ T (r) − ki + T (r) + o(T (r)) 3(2n − 1) 3(2n − 1) i=1 Bat đȁng thác kéo theo 2n+1 Σ i=1 2n − 13n − ≥ > ki + 20n2 + 2n − n−4 2n(2n + 1) với n ≥ 8, đieu khơng the Định lí 4.3.1 cháng minh 68 Q KET LU N VÀ KIEN NGH± Ket lu n Lu n án nghiên cáu m®t so kieu tốn nhat, tính phụ thu®c đại so tính hǎu hạn ánh xạ phân hình Lu n án ó t c mđt so ket qu sau: ã a cháng minh m®t so định lí nhat cho hàm phân hình có siêu b c nhỏ m t phȁng phác C • Đưa cháng minh định lí Cơ thá hai cho ánh phân hình tà Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn(C) có b c giao với siêu m t vị trí tőng quát Áp dụng đe mở r®ng định lí nhat kieu Picard cho ánh xạ phân hình giao với siêu m t • Đưa cháng minh định lí ve phụ thu®c đại so ba ánh xạ phân hình tà Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) giao với 2n + siêu phȁng vị trí tőng quát Áp dụng đưa định lí ve tính hǎu hạn nhǎng ánh xạ phân hình Kien nghị Trong q trình nghiên cáu van đe lu n án, chúng tơi suy nghĩ ve m®t so hướng nghiên cáu tiep theo sau • Trong lu n án, chúng tơi cháng minh định lí Cơ thá hai định lí nhat kieu Picard cho ánh xạ phân hình có b c khơng tà Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn(C) giao với ho siêu m t Trong thời gian tới, sě nghiên cáu cách làm đe đưa nhǎng định lí nhat cho ánh xạ phân hình loại với ho siêu m t mà so siêu m t tham gia nhỏ • Chúng tơi tiep tục nghiên cáu định lí nhat kieu Picard hàm phân hình b c khơng ho c hàm phân hình có siêu b c nhỏ m®t m t phȁng phác 69 • Chúng tơi nghiên cáu đe tìm cách tőng qt hóa định lí ve phụ thu®c đại so tính hǎu hạn cho ho ánh xạ phân hình lên đa tạp tőng quát hơn, chȁng hạn đa Kăahler Chỳng tụi cng t nghiờn cỏu định lí ho tham gia siêu m t ho c siêu phȁng xét nhǎng đieu ki n tőng quát ve b®i ch n ánh xạ phân hình 70 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH Đà CƠNG BO LIÊN QUAN ĐEN LU N ÁN [1] N Vangty and P D Thoan, On partial value sharing results of meromorphic functions with their shifts and its applications, Bull Korean Math., 57 (2020), No 5, 1083-1094 [2] P D Thoan, N H Nam and N Vangty, q-differences theorems for meromorphic maps of several complex variables intersecting hypersurfaces, AsianEuropean J Math., Vol 14, No (2021) 2150040 (21 pages) [3] P D Thoan and N Vangty, Algebraic dependences and finitenness of meromorphic mappings sharing 2n + hyperplanes with truncated multiplicities, Kodai Math J., 43 (2020), 504-523 71 TÀI LI U THAM KHẢO [1] L Ahlfors (1941), The theory of meromorphic curves, Ada Soc Sci Fenn Nova Ser., Ser A, (4), 171-183 [2] D C Barnett, R G Halburd, R L Korhonen and W Morgan (2007), Nevanlinna theory for the q-difference operator and meromorphic solutions of q-difference equations, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A., 137, No 3, 457474 [3] A Bloch (1926), Sur les systemes de fonctions uniformes satisfaisant a l’equation d’une variete algebrique dont l’irregularite depasse la dimension, J De Math., 5, 19-66 [4] G Brosch (1989), Eindeutigkeitssăatze fu ăr meromorphic Funktionen, Thesis, Technical University of Aachen [5] T B Cao (2014), Difference analogues of the second main theorem for meromorphic functions in several complex variables, Math Nachr., 287 (5-6), 530545 [6] T B Cao, R J Korhonen (2020), Value distribution theory of q-differences in several complex variables, Analysis Mathematica, 46 (4), 699-736 [7] H Cartan (1933), Sur lés zeros des combinaisons linéaires de fonctions holomorphes données, Mathematica Cluj, 7, 5-31 [8] K S Charak, R J Korhonen and G Kumar (2016), A note on partial sharing of values of meromorphic functions with their shifts, J Math Anal Appl., 435, No 2, 1241-1248 72 [9] S J Chen and W C Lin (2017), Periodicity and uniqueness of meromorphic functions concerning Three sharing values, Houston J Math., 43 (3), 763-781 [10] Z Chen and Q Yan (2009), Uniqueness theorem of meromorphic mappings into PN (C) sharing 2N + hyperplanes regardless of multiplicities, Internat J Math., 20, 717-726 [11] Z Chen and Q Yan (2011), A Degeneracy Theorem For Meromorphic Mappings With Truncated Multiplicities, Acta Mathematica Scientia, 31B (2), 549560 [12] S J Chen and A Z Xu (2012), Periodicity and unicity of meromorphic functions with three sharing values, J Math Anal Appl., 385 (3), No 1, 485-490 [13] P Corvaja, U Zannier (2004), On a general Thue’s equation, Amer J Math., 126, 1033-1055 [14] H H Giang and L N Quynh and S D Quang (2012), Uniqueness theorems for meromorphic mappings sharing few hyperplanes, J Math Anal Appl., 393, 445-456 [15] G G Gundersen (1992), Meromorphic functions that share three values IM and a fourth value CM, Complex Variables Theory Appl., 20, No 1-4, 99-106 [16] H Fujimoto (1975), The uniqueness problem of meromorphic maps into the complex projective space, Nagoya Math J., 58, 1-23 [17] H Fujimoto (1999), Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, II, Nagoya Math J., 155, 161-188 [18] H Fujimoto (1998), Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math J., 152, 131-152 [19] H Fujimoto (1986), A unicity theorem for meromorphic mappings of a complete Kăahler manifold into PN (C), Tohoku Math J., 38, No , 327-341 [20] P Griffiths (1974), Entire holomorphic mappings in one and several complex variables, Ann Math Studies, No 85, Princeton Univ Press 73 [21] R Halburd, R J Korhonen, K Tohge (2014), Holomorphic curves with shift-invariant hyperplane preimages, Trans Amer Math Soc., 366 (8), 42674298 [22] R G Halburd, R J Korhonen (2006), Nevanlinna theory for the difference operator, Ann Acad Sci Fenn Math., 31 (2), 463-478 [23] W K Hayman (1994), Meromorphic Functions, Oxford Mathematical Monographs Clarendon Press, Oxford [24] J Heittokangas, R J Korhonen, I Laine and J Rieppo (2011), Uniqueness of meromorphic functions sharing values with their shifts, Complex Var Elliptic Equ., 56, No 1-4, 81-92 [25] J Heittokangas, R J Korhonen, I Laine, J Rieppo and J L Zhang (2009), Value sharing results for shifts of meromorphic function and conditions for perodicity, J Math Anal Appl., 355, No 1, 352-363 [26] Z B Huang (2013), Value distribution and uniqueness on q-differences of meromorphic functions, Bull Korean Math Soc., 50, No 4, 1157-1171 [27] S Ji (1988), Uniqueness problem without multiplicities in value distribution theory, Pacific J Math., 135, 323-348 [28] R J Korhonen (2012), A difference Picard theorem for meromorphic functions of several variables, Comput Methods Funct Theory, 12 (1), 343-361 [29] W Lin, X Lin and A Wu (2018), Meromorphic functions partially shared values with their shifts, Bull Korean Math Soc., 55, No 2, 469-478 [30] X M Li and H X Yi (2016), Meromorphic functions sharing four values with their difference operators or shifts, Bull Korean Math Soc., 53, No 4, 1213-1235 [31] R Nevanlinna (1926), Einige Eideutigkeitssăatze in der Theorie der meromorphen Funktionen, Acta Math., 48, 367-391 74 [32] Nguyen Thị Nhung (2018), Phân bo giá tr ánh x phõn hỡnh tự a Kăahler vo a xạ ảnh úng dựng, Lu n án Tien sĩ Toán hoc, Trường Đại hoc Sư phạm [33] N T Nhung and P D Thoan (2019), On degeneracy of three meromorphic mappings from complete Kăahler manifolds into projective spaces, Comput Methods Funct Theory, 19, 353-382 [34] J Noguchi (2005), A note on entire pseudo-holomorphic curves and the proof of Cartan-Nochka’s theorem, Kodai Math J., 28, 336-346 [35] M Ru (2001), Nevanlinna theory and Its Relation to Diophantine Approximation, World Science, Singapore [36] M Ru (2004), A defect relation for holomorphic curves intersecting hypersurfaces, Amer J Math., 126, 215-226 [37] X Qi and L Yang (2014), Sharing sets of q−differenece of meromorphic functions, Math Slovaca, 64, No 1, 51-60 [38] X Qi, K Liu and L Yang (2011), Value sharing results of meromorphic function f (z) and f (qz), Bull Korean Math Soc., 48, No 6, 1235-1243 [39] S D Quang (2019), Degeneracy and finiteness theorems for meromorphic mappings in several complex variables, Chin Ann Math Series B, 40, No 2, 251-272 [40] S D Quang (2019), Degeneracy second main theorems for meromorphic mappings into projective varieties with hypersurfaces, Trans Amer Math Soc., 371, 2431-2453 [41] S D Quang (2012), A Finiteness theorem for meromorphic mappings with few hyperplanes, Kodai Math J., 35, 463-484 [42] S D Quang and L N Quynh (2015), Algebraic dependences of meromorphic mappings sharing few hyperplanes counting truncated multiplicities, Kodai Math J., 38, 97-118 75 [43] S D Quang, N T Q Phuong and N T Nhung (2017), Non-integrated defect relation for meromorphic maps from a Kăahler manifold intersecting hypersurfaces in subgeneral of Pn(C), J Math Anal Appl., 452, 1434-1452 [44] Lê Ngoc Quỳnh (2016), Moi liên h đại so ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phúc, Lu n án Tien sĩ Toán hoc, Trường Đại hoc Sư phạm [45] D D Thai and S D Quang (2006), Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables, Internat J Math., 17, No 10, 1223-1257 [46] L T Tuyet, N D Tuyen and P D Thoan (2018), Second main theorem and uniqueness problem of zero-order meromorphic mappings for hyperplanes in subgeneral position, Bull Korean Math Soc., 55, No 1, 205-226 [47] B Shiffman (1984), A general second main theorem for meromorphic functions on Cm, Amer J Math., 106, 508-531 [48] L Smiley (1983), Geometric conditions for unicity of holomorphic curves, Contemp Math., 25, 149-154 [49] W Stoll (1989), On the propagation of dependences, Pacific J Math 139, 311-337 [50] Q Yan and Z Chen (2011), A Degeneracy Theorem For Meromorphic Mappings With Truncated Multiplicities, Acta Mathematica Scientia, 31B, No 2, 549-560 [51] T V Tan and V V Truong (2008), Three meromorphic mappings sharing some common hyperplanes, J Math Anl Appl., 348, 562-570 [52] Tran Van Tan and Vu Van Truong (2012), A non-integrated defect relation for meromorphic maps of complete Kăahler manifolds into a projective variety intersecting hypersurfaces, Bull Sci Math., 136, 111-126 [53] K Yamanoi (2004), The second main theorem for small functions and related problems, Acta Math., 192, No 2, 225-294 76 [54] C C Yang and H X Yi (2003), Uniqueness Theory of Meromorphic Functions, Kluwer Academic Publisher [55] Z T Wen (2014), The q-difference theorems for meromorphic functions of several variables, Abstract and Applied Analysis, ID 736021 [56] P M Wong, H F Law, P P W Wong (2009), A second main theorem on Pn for difference operator, Sci China Ser A, 52 (12), 2751-2758 [57] H Weyl and F J Weyl (1943), Meromorphic Functions and Analytic Curves, Princeton University Press, Princeton [58] J L Zhang (2010), Value distribution and shared sets of differences of meromorphic functions, J Math Anal Appl., 367, No 2, 401-408 [59] J Zhang, R J Korhonen (2010), On the Nevanlinna characteristic of f (qz) and its applications, J Math Anal Appl., 369, 537-544 [60] H J Zheng (1992), Unicity theorem for period meromorphic functions that share three values, Chi Sci Bull., 37, No 1, 12-15 77 ... đại so ánh xạ phân hình Tà nhǎng lý trên, lựa chon đe tài “M t so đ nh lí ve tính nhat tính hGu hạn cia ho ánh xạn phân hình? ??, đe sâu vào nghiên cáu toán nhat ánh xạ phân hình ánh xạ dịch chuyen... rang Định lí E đóng m®t vai trò thiet yeu vi c cháng minh S Đ Quang ve tính hǎu hạn ánh xạ phân hình Định lí G [39, Định lí 1.1] Cho f m®t ánh xạ phân hình tù Cm vào Pn(C) khơng suy bien tuyen tính. .. , m} f m®t ánh xạ hang III Tính phn thu c đại so tính hfiu hạn ánh xạ phân hình Bài tốn phụ thu®c đại so ánh xạ phân hình nhieu bien phác vào không gian xạ ảnh phác cho mục tiêu co định lan đau