Một số định lí về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VANGTY NOULORVANG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ TÍNH DUY NHẤT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội, 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VANGTY NOULORVANG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ TÍNH DUY NHẤT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH Chun ngành: Hình học Tôpô Mã số: 9.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Phạm Đức Thoan PGS TS Phạm Hoàng Hà Hà Nội, 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án mới, cơng bố tạp chí Tốn học có uy tín giới Các kết nêu luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Vangty Noulorvang ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành quan tâm hướng dẫn tận tình PGS TS Phạm Đức Thoan PGS TS Phạm Hồng Hà Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy, cảm ơn thầy bảo, sẻ chia tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Tơi xin gửi lời cảm ơn đến GS TSKH Đỗ Đức Thái, người định hướng khuyến khích tơi nghiên cứu khoa học, tạo nhiều hội để tơi học tập giao lưu với nhà khoa học hướng nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi dành cho Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy anh chị em seminar Hình học phức Bộ mơn Hình học Tơ pơ, đặc biệt GS TSKH Sĩ Đức Quang GS TSKH Trần Văn Tấn Đồng thời, muốn gửi lời cảm ơn đến NCS Trần An Hải NCS Nguyễn Văn An động viên, trợ giúp trao đổi khoa học hữu ích trình tơi học tập nghiên cứu Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Đại sứ quán nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào Việt Nam, Viện Nghiên cứu Giáo dục Lào, anh chị em đồng nghiệp quan giúp đỡ, quan tâm chia sẻ để tơi ln có điều kiện thuận lợi suốt trình học nghiên cứu sinh Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn từ tận đáy lịng đến gia đình người thân ln bên tơi, khích lệ động viên tơi, chia sẻ khó khăn để tơi hồn thành luận án Tác giả iii MỤC LỤC Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh mục quy ước kí hiệu vi MỞ ĐẦU 1 TỔNG QUAN Tính lớp hàm phân hình có siêu bậc nhỏ 21 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 21 2.2 Tính lớp hàm phân hình có siêu bậc nhỏ 24 2.3 Tính tuần hồn lớp hàm phân hình có siêu bậc nhỏ 29 Tính lớp ánh xạ phân hình có bậc 32 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị 32 3.2 Định lí Cơ thứ hai q-dịch chuyển 35 3.3 Định lí kiểu Picard 43 Tính phụ thuộc đại số tính hữu hạn họ ánh xạ phân 50 hình chia sẻ 2n + siêu phẳng 4.1 Một số tính chất kết phụ trợ 50 4.2 Tính phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phẳng 53 4.3 Tính hữu hạn họ ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phẳng 60 Kết luận kiến nghị 68 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 70 iv 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO v DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong toàn luận án, ta thống số kí hiệu sau • Pn (C): khơng gian xạ ảnh phức n-chiều • z = |z1 |2 + · · · + |zm |2 1/2 với z = (z1 , , zm ) ∈ Cm • B(r) := {z ∈ Cm : z < r} hình cầu mở bán kính r Cm • S(r) := {z ∈ Cm : z = r} mặt cầu bán kính r Cm √ −1 (∂ − ∂): toán tử vi phân • d = ∂ + ∂, dc := 4π • βn−1 := (ddc z )n−1 , σn := dc log z ∧ (ddc log z )n−1 : dạng vi phân • O(1): hàm bị chặn r • O(r): vơ lớn bậc với r r → +∞ • o(r): vơ bé bậc cao r r → +∞ • log+ r = max{log r, 0}, r > • “ || P ”: có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) nằm tập Borel E [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞ • S : lực lượng tập hợp S • I(x): số ngun lớn khơng vượt x • Pole(h): Tập cực điểm hàm h • Zero(h) : tập khơng điểm hàm h • supp(ν) : giá divisor ν vi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phân bố giá trị bắt đầu xây dựng nhà toán học tiếng R Nevanlinna [23, 31] từ năm 20 kỉ trước Ngay từ đời, lý thuyết thu hút nhiều nhà toán học lớn giới quan tâm nghiên cứu Nhiều kết đặc sắc ứng dụng to lớn lý thuyết ngành toán học khác phát Nội dung lí thuyết phân bố giá trị thiết lập định lí Cơ bản thứ thứ hai Các định lí nói mối quan hệ hàm đếm không điểm với độ tăng hàm đặc trưng Định lí Cơ thứ hai có nhiều áp dụng việc nghiên cứu vấn đề nhất, tính hữu hạn, tính phụ thuộc đại số, quan hệ số khuyết phân bố mặt giá trị ánh xạ phân hình Chẳng hạn, từ đầu, R Nevanlinna ứng dụng định lí thứ hai ông thiết lập để mở rộng định lí Picard nhỏ Cơng trình gây tiếng vang lớn khởi đầu cho nhiều kết quan trọng công bố nhiều tác A Bloch [3], H Cartan [7], H Weyl F J Weyl [57] Lý thuyết phân bố giá trị tiếp tục mở rộng nhà tốn học H Cartan H Weyl Các ơng mở rộng lý thuyết cho đường cong chỉnh hình khơng gian xạ ảnh phức sau L Ahlfors [1] đưa cách tiếp cận hình học cho kết H Cartan H Weyl Những năm tiếp theo, W Stoll [49], P Griffiths [20] B Shiffman [47] tổng quát kết cho trường hợp nhiều biến phức đồng thời phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh Để thiết lập định lí thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn (C), người ta dựa vào bổ đề Đạo hàm logarit tính chất định thức Wronski Tuy nhiên, năm 2006, R Halburd R J Korhonen [22] thiết lập định lí thứ hai cho ánh xạ phân hình từ C vào Pn (C) giao với siêu phẳng cố dịnh siêu phẳng di động vị trí tổng quát cách thay định thức Wronski định thức Casorati (c-Casorati p-Casorati) thay bổ đề Đạo hàm logarit bổ đề tương tự, có tên bổ đề q -dịch chuyển c-dịch chuyển cho ánh xạ phân hình bậc cho ánh xạ phân hình có siêu bậc nhỏ tương ứng Từ đó, họ nghiên cứu tính ánh xạ phân hình theo kiểu định lí Picard tổng quát Định lí Cơ thứ hai loại gọi định lí Cơ thứ hai p-dịch chuyển c-dịch chuyển giao với mục tiêu Bằng cách tiếp cận theo hướng này, năm 2016, T B Cao R J Korhonen [6] thiết lập định lí Cơ thứ hai p-dịch chuyển cho ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn (C) giao với siêu phẳng vị trí tổng quát Một cách tự nhiên cần xây dựng định lí Cơ thứ hai p-dịch chuyển ánh xạ phân hình bậc từ Cm vào Pn (C) giao với siêu mặt vị trí tổng quát thông qua định thức p-Casorati việc áp dụng vào nghiên cứu vấn đề kiểu định lí Picard tổng quát Trong trường hợp chiều, kể từ R Halburd R J Korhonen [22] đưa Bổ đề c-dịch chuyển Định lí Cơ thứ hai c-dịch chuyển cho hàm phân hình có siêu bậc nhỏ 1, định lí kiểu Picard tương tự định lí điểm R Nevanlinna nghiên cứu mạnh mẽ Có nhiều kết thú vị theo hướng nghiên cứu Chẳng hạn, năm 2009, J Heittokangas đồng nghiệp [25] chứng minh hàm phân hình f (z) có bậc hữu hạn chia sẻ giá trị phân biệt đếm bội với hàm dịch chuyển f (z + c) f hàm tuần hồn với chu kì c, tức f (z) = f (z + c) với z ∈ C Định lí kiểu Picard tác giả cải tiến cho trường hợp chia sẻ hai giá trị đếm bội giá trị không đếm bội Đầu năm 2016, K S Charak, R J Korhonen G Kumar [8] đưa phản ví dụ để khơng có định lí cho trường hợp giá trị chia sẻ đếm bội hai giá trị chia sẻ không đếm bội Chú ý rằng, định lí điểm R Nevanlinna giá trị chia sẻ khơng cần đếm bội Một câu hỏi đặt liệu có định lí kiểu Picard trường hợp số giá trị chia sẻ không đếm bội không? Trong [8], tác giả cố gắng trả lời câu hỏi có kết theo hướng cho hàm phân hình có siêu bậc nhỏ chia sẻ giá trị điều kiện số khuyết Năm 2018, W Lin, X Lin A Wu [29] có phản ví dụ kết khơng cịn bội giá trị chia sẻ bị ngắt Từ đó, họ đặt vấn đề nghiên cứu tính kiểu định lí Picard giá trị bị ngắt bội Một mục tiêu nghiên cứu vấn đề giảm số giá trị chia sẻ Theo đó, chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu cải tiến kết qủa W Lin, X Lin A Wu Sau R Nevanlinna đưa định lí điểm, nhiều tác giả mở rộng định lí lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) Các kết thuộc H Fujimoto [17] L Smiley [48] Nhưng kết tốt theo hướng thuộc Z Chen Q Yan [10], H H Giang, L N Quỳnh S Đ Quang [14] ảnh ánh xạ phân hình cần nằm 2n + siêu phẳng nằm vị trí tổng quát Khi số siêu phẳng khơng đủ 2n + ta khơng thể suy kết luận toán Tuy nhiên, với số điều kiện định, ta ánh xạ xét có liên hệ đại số với chúng có hữu hạn Bài tốn phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) bắt đầu nghiên cứu báo S Ji [27] có nhiều kết công bố Một số kết tốt gần thuộc Z Chen Q Yan [11], S Đ Quang [41], S Đ Quang L N Quỳnh [42] Chú ý rằng, việc nghiên cứu tính phụ thuộc đại số hàm phân hình có ảnh ngược giao với 2n + siêu phẳng vị trí tổng quát giúp S Đ Quang khẳng định tính hữu hạn lớp ánh xạ phân hình Tuy nhiên, nói việc giảm số siêu phẳng chia sẻ kết đích quan trọng lí thuyết phân bố giá trị Do vậy, chúng tơi đặt mục đích nghiên cứu tính hữu hạn ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn (C) với số siêu phẳng tham gia nhỏ 2n + thơng qua tính phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình Từ lý trên, lựa chọn đề tài “Một số định lí tính tính hữu hạn họ ánh xạn phân hình”, để sâu vào nghiên cứu tốn ánh xạ phân hình ánh xạ dịch chuyển chúng, toán tính hữu hạn cho ánh xạ phân hình Mục đích nghiên cứu Kí hiệu P tập hợp tất i ∈ {1, , 2n + 1} thỏa mãn tồn j ∈ {1, , 2n + 1} \ {i} cho Vi ∼ = Vj Φαij ≡ với α ∈ Zm + với |α| ≤ Ta tách thành ba trường hợp sau • Trường hợp 1: P ≥ Suy P chứa hai phần tử i, j Khi đó, ta nhận Φαij = Φαji = với α ∈ Zm + mà |α| ≤ Theo Bổ đề 4.1.3, tồn hai hàm, chẳng hạn F1ij F2ij , số λ cho F1ij = λF2ij Theo Bổ đề 4.3.2, ta có F1ij = F2ij Từ Bổ đề 4.3.4 (ii), ta dễ dàng thấy Vi ∼ = Vj , nghĩa Vi Vj thuộc nhóm phân hoạch Ta giả thiết i = j = Vì giả thiết f , f , f khác nên số lượng nhóm phân hoạch nhỏ n + Do đó, ta nhận V1 ∼ = V2 ∼ = Vt với t ∈ {n + 1, , 2n + 1} Theo Bổ đề 4.3.4 (ii), ta đạt [1] [1] N(f,H1 ),≤k1 (r) + N(f,Ht ),≤kt (r) [1] [1] N(f,Hs ),≤ks (r) − ≥ N(f u ,Hs ),>ks (r), u=1 s=1,t s=1,t [1] [1] N(f,H2 ),≤k2 (r) + N(f,Ht ),≤kt (r) [1] [1] N(f,Hs ),≤ks (r) − ≥ N(f u ,Hs ),>ks (r) u=1 s=2,t s=2,t Bằng cách cộng hai vế hai bất đẳng thức trên, ta thu [1] [1] N(f,Ht ),≤kt (r) ≥ N(f,Hs ),≤ks (r) s=1,2,t [1] − [1] [1] N(f u ,H1 ),>k1 (r) + N(f u ,H2 ),>k2 (r) + 2N(f u ,Ht ),>kt (r) u=1 Bằng cách cộng hai vế bất đẳng thức qua tất t ∈ {n+1, , 2n+ 1}, ta 2n+1 (n + 1) [1] [1] N(f u ,H1 ),>k1 (r) + N(f u ,H2 ),>k2 (r) u=1 ≥ (n + 1) 2n+1 [1] ≥ (n − 1) [1] N(f,Ht ),≤kt (r) + (n − 1) t=3 2n+1 n−1 N(f u ,Ht ),>kt (r) t=n+1 n ≥ [1] +2 [1] N(f,Ht ),≤kt (r) ≥ t=3 2n+1 [1] N(f,Ht ) (r) − u=1 t=3 n−1 n−1 N(f,Ht ),≤kt (r) t=n+1 2n+1 [1] N(f u ,Ht ),≤kt (r) u=1 t=3 2n+1 [1] N(f u ,Ht ),>kt (r) u=1 t=3 62 n−1 ≥ 3n ≥ 2n+1 [n] N(f,Ht ) (r) − u=1 t=3 (n − 1)(n − 2) n−1 T (r) − 3n n−1 3 2n+1 [1] N(f u ,Ht ),>kt (r) u=1 t=3 2n+1 [1] N(f u ,Ht ),>kt (r) + o(T (r)) t=3 Do đó, ta nhận (n − 1)(n − 2) T (r) ≤ (n + 1) 3n 2n+1 [1] N(f,Ht ),>kt (r) + o(T (r)) u=1 t=1 2n+1 ≤ (n + 1) u=1 t=1 2n+1 ≤ t=1 [1] N(f,Ht ) (r) + o(T (r)) kt + n+1 T (r) + o(T (r)) kt + Cho r → +∞, ta có 2n+1 t=1 (n − 1)(n − 2) n−4 ≥ > , kt + 3n(n + 1) 2n(2n + 1) mâu thuẫn • Trường hợp 2: P = Giả thiết P = {1} Ta dễ dàng nhận thấy V1 ∼ = Vi với i = 2, , 2n + Theo Bổ đề 4.3.4 (ii), ta có [1] N(f,H1 ),≤k1 (r) [1] [1] [1] N(f,Hs ),≤ks (r) − N(f,Hi ),≤ki (r) − ≥ N(f u ,Hs ),>ks (r) u=1 s=1,t s=1,t + o(T (r)) Cộng hai vế bất đẳng thức qua tất i = 2, , 2n + 1, ta nhận 2n+1 [1] 2nN(f,H1 ),≤k1 (r) 2n+1 [1] N(f,Hi ),≤ki (r) − ≥ (2n − 2) [1] N(f,Hi ),>ki (r) u=1 i=2 i=2 [1] N(f u ,H1 ),>k1 (r) + o(T (r)) − · 2n u=1 Ta thấy i ∈ P với i = 2, , 2n + Bây giờ, đặt  i + n, if i ≤ n + σ(i) = i − n, if n + < i ≤ 2n + 1, 63 (4.2) i σ(i) thuộc nhóm riêng biệt, nghĩa Vi ∼ = Vσ(i) với i = 2, , 2n + Φαiσ(i) ≡ với số α ∈ Zm + với |α| ≤ Theo Bổ đề 4.3.5, ta nhận [n] T (r) ≥ [1] [1] N(f u ,Ht ),≤kt (r) − (2n + 1)N(f,Hi ),≤ki (r) − (n + 1)N(f,H σ(i) ),≤kσ(i) (r) u=1 t=i,σ(i) 2n + [1] n + [1] N(f u ,Hi ),>ki (r) + N(f u ,H ),>k (r) σ(i) σ(i) 3 − u=1 2n+1 [1] +2 N(f,Ht ),≤kt (r) + o(T (r)) t=1,t=i,σ(i) Cộng hai vế bất đẳng thức qua i ∈ {2, , 2n + 1} sử dụng (4.2), ta đạt 2n+1 2n+1 [n] N(f u ,Hi ),≤ki (r) + (n − 6) 2nT (r) ≥ i=2 u=1 [1] N(f,Hi ),≤ki (r) i=2 2n+1 [1] [1] + · 2nN(f,H1 ),≤k1 (r) − (n + 1) N(f u ,Hi ),>ki (r) + o(T (r)) u=1 i=2 2n+1 2n+1 [n] N(f u ,Hi ),≤ki (r) + (5n − 10) ≥2 i=2 u=1 2n+1 [1] N(f u ,Hi ),≤ki (r) i=2 [1] − (n + 5) [1] N(f u ,Hi ),>ki (r) − 8n u=1 i=2 2n+1 11n − 10 ≥ 3n N(f u ,H1 ),>k1 (r) + o(T (r)) u=1 [n] N(f u ,Hi ) (r) − i=2 u=1 14n + 3 2n+1 [1] N(f u ,Hi ),>ki (r) u=1 i=2 [1] − 8n N(f u ,H1 ),>k1 (r) + o(T (r)) u=1 11n − 10 ≥ 3n ≥ 2n+1 3 2n+1 [1] [n] N(f u ,Hi ) (r) − 8n i=2 u=1 N(f u ,Hi ),>ki (r) + o(T (r)) u=1 i=1 (11n − 10)(n − 1) T (r) − 8n 3n 2n+1 i=1 T (r) + o(T (r)) ki + Cho r → +∞, ta nhận 2n+1 i=1 5n2 − 21n + 10 n−4 ≥ > , ki + 24n 2n(2n + 1) 64 mâu thuẫn • Trường hợp 3: P = Với i = j Bổ đề 4.3.5, ta nhận 3 T (r) ≥ N(f,Ht ),≤kt (r) N(f u ,Hj ),≤kj (r) + u=1 u=1 [1] [n] [n] N(f u ,Hi ),≤ki (r) + t=1,t=i,j 1 − (2n + 1)N(f,H (r) − (n + 1)N(f,H (r) + N (r, νj ) i ),≤ki j ),≤kj − 1+ u=1 n − [1] 2n − [1] N(f u ,Hj ),>kj + + N(f u ,Hi ),>ki + o(T (r)) 3 Cộng hai vế bất đẳng thức qua cặp (i, j), ta thu [1] N(f,Ht ),≤kt (r) + [n] N(f u ,Ht ),≤kt (r) + (n − 4) (2n + 1)T (r) ≥ 2n+1 2n+1 2n+1 u=1 t=1 t=1 N (r, νt ) t=1 2n+1 [1] − (n + 1) N(f u ,Ht ),>kt + o(T (r)) u=1 t=1 (4.3) Theo Bổ đề 4.3.3, ta thấy Vj ∼ = Vl với j = l Do đó, ta có jl Pst := (f s , Hj )(f t , Hl ) − (f t , Hj )(f s , Hl ) ≡ 0, s = t, j = l Ta kí hiệu Ti := {z : ν(f,Hi ),≤ki (z) > 0} Khi đó, ta nhận νP jl ≥ 4χTi (z) − χνi (z) st 1≤skt (r) + o(T (r)) u=1 t=1 2n+1 [n] N(f u ,Ht ),≤kt (r) − u=1 t=1 2n+1 2(2n + 1) T (r) 2n − [1] − (n + 1) N(f u ,Ht ),>kt (r) + o(T (r)) u=1 t=1 14n2 − 13n − 20n2 + 2n − ≥ T (r) − 3(2n − 1) 3(2n − 1) 2n+1 i=1 T (r) + o(T (r)) ki + Bất đẳng thức kéo theo 2n+1 i=1 2n2 − 13n − n−4 ≥ > ki + 20n2 + 2n − 2n(2n + 1) với n ≥ 8, điều Định lí 4.3.1 chứng minh 67 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án nghiên cứu số kiểu tốn nhất, tính phụ thuộc đại số tính hữu hạn ánh xạ phân hình Luận án đạt số kết sau: • Đưa chứng minh số định lí cho hàm phân hình có siêu bậc nhỏ mặt phẳng phức C • Đưa chứng minh định lí Cơ thứ hai cho ánh phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn (C) có bậc giao với siêu mặt vị trí tổng quát Áp dụng để mở rộng định lí kiểu Picard cho ánh xạ phân hình giao với siêu mặt • Đưa chứng minh định lí phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn (C) giao với 2n + siêu phẳng vị trí tổng quát Áp dụng đưa định lí tính hữu hạn ánh xạ phân hình Kiến nghị Trong q trình nghiên cứu vấn đề luận án, suy nghĩ số hướng nghiên cứu sau • Trong luận án, chúng tơi chứng minh định lí Cơ thứ hai định lí kiểu Picard cho ánh xạ phân hình có bậc không từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn (C) giao với họ siêu mặt Trong thời gian tới, nghiên cứu cách làm để đưa định lí cho ánh xạ phân hình loại với họ siêu mặt mà số siêu mặt tham gia nhỏ • Chúng tơi tiếp tục nghiên cứu định lí kiểu Picard hàm phân hình bậc khơng hàm phân hình có siêu bậc nhỏ mặt phẳng phức 68 • Chúng tơi nghiên cứu để tìm cách tổng qt hóa định lí phụ thuộc đại số tính hữu hạn cho họ ánh xạ phân hình lên đa tạp tổng quát hơn, chẳng hạn đa tạp Kăahler Chỳng tụi cng t nghiờn cu cỏc nh lí họ tham gia siêu mặt siêu phẳng xét điều kiện tổng quát bội chặn ánh xạ phân hình 69 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] N Vangty and P D Thoan, On partial value sharing results of meromorphic functions with their shifts and its applications, Bull Korean Math., 57 (2020), No 5, 1083-1094 [2] P D Thoan, N H Nam and N Vangty, q -differences theorems for meromorphic maps of several complex variables intersecting hypersurfaces, AsianEuropean J Math., Vol 14, No (2021) 2150040 (21 pages) [3] P D Thoan and N Vangty, Algebraic dependences and finitenness of meromorphic mappings sharing 2n + hyperplanes with truncated multiplicities, Kodai Math J., 43 (2020), 504-523 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L Ahlfors (1941), The theory of meromorphic curves, Ada Soc Sci Fenn Nova Ser., Ser A, (4), 171-183 [2] D C Barnett, R G Halburd, R L Korhonen and W Morgan (2007), Nevanlinna theory for the q -difference operator and meromorphic solutions of q -difference equations, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A., 137, No 3, 457-474 [3] A Bloch (1926), Sur les systemes de fonctions uniformes satisfaisant a l’equation d’une variete algebrique dont l’irregularite depasse la dimension, J De Math., 5, 19-66 [4] G Brosch (1989), Eindeutigkeitssă atze fă ur meromorphic Funktionen, Thesis, Technical University of Aachen [5] T B Cao (2014), Difference analogues of the second main theorem for meromorphic functions in several complex variables, Math Nachr., 287 (5-6), 530545 [6] T B Cao, R J Korhonen (2020), Value distribution theory of q -differences in several complex variables, Analysis Mathematica, 46 (4), 699-736 [7] H Cartan (1933), Sur lés zeros des combinaisons linéaires de fonctions holomorphes données, Mathematica Cluj, 7, 5-31 [8] K S Charak, R J Korhonen and G Kumar (2016), A note on partial sharing of values of meromorphic functions with their shifts, J Math Anal Appl., 435, No 2, 1241-1248 71 [9] S J Chen and W C Lin (2017), Periodicity and uniqueness of meromorphic functions concerning Three sharing values, Houston J Math., 43 (3), 763-781 [10] Z Chen and Q Yan (2009), Uniqueness theorem of meromorphic mappings into PN (C) sharing 2N + hyperplanes regardless of multiplicities, Internat J Math., 20, 717-726 [11] Z Chen and Q Yan (2011), A Degeneracy Theorem For Meromorphic Mappings With Truncated Multiplicities, Acta Mathematica Scientia, 31B (2), 549-560 [12] S J Chen and A Z Xu (2012), Periodicity and unicity of meromorphic functions with three sharing values, J Math Anal Appl., 385 (3), No 1, 485-490 [13] P Corvaja, U Zannier (2004), On a general Thue’s equation, Amer J Math., 126, 1033-1055 [14] H H Giang and L N Quynh and S D Quang (2012), Uniqueness theorems for meromorphic mappings sharing few hyperplanes, J Math Anal Appl., 393, 445-456 [15] G G Gundersen (1992), Meromorphic functions that share three values IM and a fourth value CM, Complex Variables Theory Appl., 20, No 1-4, 99-106 [16] H Fujimoto (1975), The uniqueness problem of meromorphic maps into the complex projective space, Nagoya Math J., 58, 1-23 [17] H Fujimoto (1999), Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, II, Nagoya Math J., 155, 161-188 [18] H Fujimoto (1998), Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math J., 152, 131-152 [19] H Fujimoto (1986), A unicity theorem for meromorphic mappings of a complete Kăahler manifold into PN (C), Tohoku Math J., 38, No , 327-341 [20] P Griffiths (1974), Entire holomorphic mappings in one and several complex variables, Ann Math Studies, No 85, Princeton Univ Press 72 [21] R Halburd, R J Korhonen, K Tohge (2014), Holomorphic curves with shift-invariant hyperplane preimages, Trans Amer Math Soc., 366 (8), 42674298 [22] R G Halburd, R J Korhonen (2006), Nevanlinna theory for the difference operator, Ann Acad Sci Fenn Math., 31 (2), 463-478 [23] W K Hayman (1994), Meromorphic Functions, Oxford Mathematical Monographs Clarendon Press, Oxford [24] J Heittokangas, R J Korhonen, I Laine and J Rieppo (2011), Uniqueness of meromorphic functions sharing values with their shifts, Complex Var Elliptic Equ., 56, No 1-4, 81-92 [25] J Heittokangas, R J Korhonen, I Laine, J Rieppo and J L Zhang (2009), Value sharing results for shifts of meromorphic function and conditions for perodicity, J Math Anal Appl., 355, No 1, 352-363 [26] Z B Huang (2013), Value distribution and uniqueness on q -differences of meromorphic functions, Bull Korean Math Soc., 50, No 4, 1157-1171 [27] S Ji (1988), Uniqueness problem without multiplicities in value distribution theory, Pacific J Math., 135, 323-348 [28] R J Korhonen (2012), A difference Picard theorem for meromorphic functions of several variables, Comput Methods Funct Theory, 12 (1), 343-361 [29] W Lin, X Lin and A Wu (2018), Meromorphic functions partially shared values with their shifts, Bull Korean Math Soc., 55, No 2, 469-478 [30] X M Li and H X Yi (2016), Meromorphic functions sharing four values with their difference operators or shifts, Bull Korean Math Soc., 53, No 4, 1213-1235 [31] R Nevanlinna (1926), Einige Eideutigkeitssă atze in der Theorie der meromorphen Funktionen, Acta Math., 48, 367-391 73 [32] Nguyễn Thị Nhung (2018), Phân bố giá trị ánh xạ phõn hỡnh t a Kă ahler vo a xạ ảnh ứng dụng, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm [33] N T Nhung and P D Thoan (2019), On degeneracy of three meromorphic mappings from complete Kă ahler manifolds into projective spaces, Comput Methods Funct Theory, 19, 353-382 [34] J Noguchi (2005), A note on entire pseudo-holomorphic curves and the proof of Cartan-Nochka’s theorem, Kodai Math J., 28, 336-346 [35] M Ru (2001), Nevanlinna theory and Its Relation to Diophantine Approximation, World Science, Singapore [36] M Ru (2004), A defect relation for holomorphic curves intersecting hypersurfaces, Amer J Math., 126, 215-226 [37] X Qi and L Yang (2014), Sharing sets of q−differenece of meromorphic functions, Math Slovaca, 64, No 1, 51-60 [38] X Qi, K Liu and L Yang (2011), Value sharing results of meromorphic function f (z) and f (qz), Bull Korean Math Soc., 48, No 6, 1235-1243 [39] S D Quang (2019), Degeneracy and finiteness theorems for meromorphic mappings in several complex variables, Chin Ann Math Series B, 40, No 2, 251-272 [40] S D Quang (2019), Degeneracy second main theorems for meromorphic mappings into projective varieties with hypersurfaces, Trans Amer Math Soc., 371, 2431-2453 [41] S D Quang (2012), A Finiteness theorem for meromorphic mappings with few hyperplanes, Kodai Math J., 35, 463-484 [42] S D Quang and L N Quynh (2015), Algebraic dependences of meromorphic mappings sharing few hyperplanes counting truncated multiplicities, Kodai Math J., 38, 97-118 74 [43] S D Quang, N T Q Phuong and N T Nhung (2017), Non-integrated defect relation for meromorphic maps from a Kăahler manifold intersecting hypersurfaces in subgeneral of Pn (C), J Math Anal Appl., 452, 1434-1452 [44] Lê Ngọc Quỳnh (2016), Mối liên hệ đại số ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm [45] D D Thai and S D Quang (2006), Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables, Internat J Math., 17, No 10, 1223-1257 [46] L T Tuyet, N D Tuyen and P D Thoan (2018), Second main theorem and uniqueness problem of zero-order meromorphic mappings for hyperplanes in subgeneral position, Bull Korean Math Soc., 55, No 1, 205-226 [47] B Shiffman (1984), A general second main theorem for meromorphic functions on Cm , Amer J Math., 106, 508-531 [48] L Smiley (1983), Geometric conditions for unicity of holomorphic curves, Contemp Math., 25, 149-154 [49] W Stoll (1989), On the propagation of dependences, Pacific J Math 139, 311-337 [50] Q Yan and Z Chen (2011), A Degeneracy Theorem For Meromorphic Mappings With Truncated Multiplicities, Acta Mathematica Scientia, 31B, No 2, 549-560 [51] T V Tan and V V Truong (2008), Three meromorphic mappings sharing some common hyperplanes, J Math Anl Appl., 348, 562-570 [52] Tran Van Tan and Vu Van Truong (2012), A non-integrated defect relation for meromorphic maps of complete Kă ahler manifolds into a projective variety intersecting hypersurfaces, Bull Sci Math., 136, 111-126 [53] K Yamanoi (2004), The second main theorem for small functions and related problems, Acta Math., 192, No 2, 225-294 75 [54] C C Yang and H X Yi (2003), Uniqueness Theory of Meromorphic Functions, Kluwer Academic Publisher [55] Z T Wen (2014), The q -difference theorems for meromorphic functions of several variables, Abstract and Applied Analysis, ID 736021 [56] P M Wong, H F Law, P P W Wong (2009), A second main theorem on Pn for difference operator, Sci China Ser A, 52 (12), 2751-2758 [57] H Weyl and F J Weyl (1943), Meromorphic Functions and Analytic Curves, Princeton University Press, Princeton [58] J L Zhang (2010), Value distribution and shared sets of differences of meromorphic functions, J Math Anal Appl., 367, No 2, 401-408 [59] J Zhang, R J Korhonen (2010), On the Nevanlinna characteristic of f (qz) and its applications, J Math Anal Appl., 369, 537-544 [60] H J Zheng (1992), Unicity theorem for period meromorphic functions that share three values, Chi Sci Bull., 37, No 1, 12-15 76 ... số ánh xạ phân hình Từ lý trên, lựa chọn đề tài ? ?Một số định lí tính tính hữu hạn họ ánh xạn phân hình? ??, để sâu vào nghiên cứu toán ánh xạ phân hình ánh xạ dịch chuyển chúng, tốn tính hữu hạn. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VANGTY NOULORVANG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ TÍNH DUY NHẤT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 9.46.01.05... 43 Tính phụ thuộc đại số tính hữu hạn họ ánh xạ phân 50 hình chia sẻ 2n + siêu phẳng 4.1 Một số tính chất kết phụ trợ 50 4.2 Tính phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình chia sẻ