ứng dụng một số định lí về tập có thứ tự trong giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Khoa: Tốn – Tin  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ TẬP CĨ THỨ TỰ TRONG GIẢI TÍCH CHUN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY SINH VIÊN THỰC HIỆN: DƯƠNG THÙY VÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -2012- LỜI CẢM ƠN  Lời khóa luận này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Tốn – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, người thầy tận tình giúp đỡ, động viên, hướng dẫn cung cấp đầy đủ tài liệu để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp cách tốt Tơi xin chân thành cảm ơn Q thầy hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp dành thời gian q báu để đọc cho lời nhận xét khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn Q thầy, khoa Tốn – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh truyền đạt kiến thức cho tơi suốt thời gian học tập Sau tơi xin kính chúc Q thầy, khoa Tốn – Tin Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tất bạn dồi sức khỏe, ln đạt nhiều thành cơng cơng việc sống Tơi xin chân thành cảm ơn Sinh viên thực Dương Thùy Vân MỤC LỤC  Trang Lời mở đầu Chương I: Một số ngun lý tập có thứ tự Bổ đề Zorn dạng tương đương 1.1 Các định nghĩa 1.2 Tiên đề chọn 1.3 Bổ đề 1.4 Liên hệ định lý Ngun lý Entropy 2.1 Định lý (Brezis – Browder) 2.2 Hệ Chương II: Các ứng dụng 11 Ứng dụng vào lý thuyết tập hợp 11 a Một số kết điểm bất động tập có thứ tự 11 b Định lý Berstein 13 c Ứng dụng vào tốn lực lượng tập hợp 13 Ứng dụng vào lý thuyết độ đo 15 Ứng dụng vào tơpơ, giải tích hàm 17 a Tồn tập bất biến compắc ánh xạ liên tục 17 b Định lý Hahn – Banach 18 c Định lý Tychonoff 21 d Ngun lý biến phân Ekerland 24 Ứng dụng vào tốn điểm bất động 27 a Định lý Caristi 27 b Các định lý điểm bất động khơng gian có thứ tự 28 Tài liệu tham khảo 35 LỜI MỞ ĐẦU Chúng ta biết vai trò quan trọng quan hệ thứ tự  nghiên cứu hàm biến Tuy nhiên học Hàm nhiều biến, Hàm phức, Khơng gian Tơpơ, Lý thuyết độ đo tích phân chưa thấy vai trò quan hệ thứ tự Chỉ cuối học phần Giải tích hàm ta thấy ứng dụng quan hệ thứ tự qua việc sử dụng bổ đề Zorn để chứng minh định lý Hahn – Banach Ví dụ ví dụ nêu khóa luận vai trò quan trọng quan hệ thứ tự chứng minh định lý phức tạp Giải tích; tốn ban đầu khơng liên quan đến thứ tự việc đưa vào thứ tự thích hợp làm cho chứng minh định lý rõ ràng hơn, ngắn gọn Mặt khác, nghiên cứu ánh xạ điều kiện liên quan đến thứ tự, đặt lên ánh xạ thay cho tính chất Tơpơ Ví dụ, tốn điểm bất động tính tăng ánh xạ thay cho tính liên tục Để tìm hiểu ngun lý tập thứ tự ứng dụng đa dạng quan hệ thứ tự, tơi chọn đề tài làm khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu khóa luận là: • Trình bày định lý tập có thứ tự, mối liên hệ chúng • Tìm hiểu chứng minh số kết Giải tích cách đưa vào thứ tự thích hợp sử dụng định lý • Tìm hiểu tốn mà sử dụng tính chất thứ tự để thay cho tính chất Tơpơ Các kết trình bày khóa luận tham khảo từ nhiều tài liệu khác Nay chúng tập hợp lại tài liệu, với chứng minh chi tiết hệ thống Do khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Tốn tìm hiểu quan hệ thứ tự ứng dụng Khóa luận có hai chương Chương I trình bày định lý Zorn, định lý Hausdorff xích cực đại, tiên đề chọn, định lý tốt; mối liên hệ ngun lý Chương giới thiệu ngun lý Entropy Chương II trình bày ứng dụng khác hai định lý Giải tích ứng dụng vào tốn so sánh lực lượng tập hợp, vào Tơpơ Giải tích hàm, vào lý thuyết Độ đo, vào tốn điểm bất động Sinh viên thực Dương Thùy Vân CHƯƠNG I: MỘT SỐ NGUN LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CĨ THỨ TỰ BỔ ĐỀ ZORN VÀ CÁC DẠNG TƯƠNG ĐƯƠNG 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA • Định nghĩa 1: Cho X tập hợp ≤ quan hệ thứ tự X, tức là: ∀ x, y, z ta có: i) Tính phản xạ: x ≤ x, ∀x ∈ X ii) Tính phản đối xứng : ( x ≤ y, y ≤ x) ⇒ x =y iii) Tính bắc cầu: ( x ≤ y, y ≤ z ) ⇒ x ≤ z Tập X quan hệ thứ tự X gọi tập • Định nghĩa 2: Cho tập X, A tập X Ta nói: i) A xích X cặp phần tử ( x, y ) ∈ A so sánh x ≤ y y≤ x được, nghĩa : ∀ x, y ∈ A ⇒  ii) Phần tử x0 ∈ X gọi phần tử tối đại nếu: (∀x ∈ X , x0 ≤ x) ⇒ x =x0 Phần tử x0 ∈ X gọi phần tử tối tiểu nếu: (∀x ∈ X , x ≤ x0 ) ⇒ x =x0 iii) Phần tử x0 ∈ X gọi cận A nếu: a ≤ x0 , ∀ a ∈ A Phần tử x0 ∈ X gọi cận A nếu: x0 ≤ a, ∀ a ∈ A Nếu x0 cận (hay cận dưới) A x0 ∈ A x0 gọi phần tử lớn (hay nhỏ nhất) A iv) Một tập gọi tốt tập khác rỗng có phần tử nhỏ • Định nghĩa 3: Ánh xạ S : X → X gọi tăng( giảm) S ( x) ≤ S ( y )(hay S ( x) ≥ S ( y )) x, y ∈ X x ≤ y 1.2 TIÊN ĐỀ CHỌN: Cho tập I ≠ ∅ họ tập X i ≠ ∅ , ∀ i ∈ I Khi tồn ánh xạ f : I →  X i thoả mãn f ( i )∈ X i , ∀ i ∈ I i∈I Phát biểu khác tiên đề chọn: Cho X ≠ ∅ tồn ánh xạ f :2 X / {∅} → X thoả f ( A)∈ A, ∀ A ≠ ∅ ( f gọi hàm chọn tập X) 1.3 BỔ ĐỀ CƠ BẢN: Cho X ≠ ∅ , ta xét thứ tự " ≤ " X theo A ≤ B ⇔ A ⊂ B Cho ∅ ≠ F ⊂ X / {∅} g : F → F thoả mãn: 1) Nếu F ' ⊂ F xích  A∈ F A∈ F ' 2) ∀A∈ F A ⊂ g ( A) g ( A) \ A chứa khơng q phần tử Khi tồn B ∈ F thoả g(B)= B Chứng minh Ta cố định B ∈ F Một họ µ ⊂ F gọi “tốt” B ∈ µ thoả: a) Nếu µ ' ⊂ µ xích  A∈ µ A∈ µ ' b) ∀A∈ µ ⇒ g ( A) ∈ µ Họ { A∈ F : B ⊂ A} tốt Gọi µ0 giao tất họ tốt Nếu có µ0 xích B =  A cần tìm.Vì A∈µo Β∈ µ0 (do µ0 xích tốt) ⇒ g ( Β) ∈ µ ⇒ B ⊂ g ( Β) mà g (Β) ⊂ B (do g hàm chọn) nên g (Β) =B   A1 ⊂ A  A ⊂ A1 Tập µ1=  A1 ∈ µ0 :∀A∈ µ0 ⇒     xích  Nếu µ1 tốt µ1 = µ0 ( định nghĩa µ0 ) nên µ0 xích Chứng minh µ1 tốt • Chứng minh µ1 thoả tính chất a Nếu µ ' xích µ1 , đặt A1 =  A' ∈ µ ' A' , cần chứng minh A1 ∈ µ1  A' ⊂ A : ∀ A' ∈ µ ' ⇒ A1 ⊂ A Ta có: ∀A∈ µ0 ⇒  ' ' ' ∃ A ∈ µ : A ⊂ A ⇒ A ⊂ A1 Vậy µ1 thoả tính chất a • Xét A1 ∈ µ1 Ta chứng minh g ( A1 )∈ µ1   g ( A1 ) ⊂ A  Ta chứng minh họ µ=  A∈ µ0 :   tốt A  A ⊂ A1   ⇒ µ A1 = µ0 a)Nếu µ ' xích µ A , ta có A ⊂ A1 , ∀ A∈ µ ' ⇒  A∈ µ ( µ ' ⊂ µ , µ tốt) A∈ µ '  A ⊂ A1 A∈ µ ' ∃ A∈ µ ' , g ( A1 ) ⊂ A ⇒ g ( A1 ) ⊂  A A∈ µ ' b) Xét tuỳ ý A∈ µ A có trường hợp sau: (i) g ( A1 ) ⊂ A (ii) A = A1 (iii) A ⊂ A1 , A ≠ A1 Nếu (i) (ii) xảy g ( A1 ) ⊂ A , A ⊂ g ( A) ⇒ g ( A1 ) ⊂ g ( A) ⇒ g ( A)∈ µ A Nếu (iii) xảy A1 ∈ µ1 g ( A)∈ µ1  A1 ⊃ g ( A) ⇒ g ( A)∈ µ A1 ⇒  g ( A) ⊇ A1 ⇒ g ( A) \ A có phần tử( vô lý) Chứng minh g ( A1 )∈ µ1 Ta có ∀A∈ µ0  g ( A1 ) ⊂ A ⇒  A ⊂ A1 ⇒ A ⊂ g ( A1 ) Vậy g ( A1 )∈ µ1 1.4 LIÊN HỆ GIỮA CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN Bốn mệnh đề sau tương đương với nhau: a) Bổ đề Zorn: Nếu tập hợp khơng rỗng X với thứ tự phận, xích có cận X có phần tử tối đại b) Định lý tốt: Mọi tập khác rỗng X tốt c) Tiên đề chọn d) Ngun lý tối đại Hausdorff : Mọi tập hợp X với thứ tự phận tồn xích tối đại, tức S xích X cho với xích T X , S ⊂ T kéo theo S = T Chứng minh a ) ⇒ b) Kí hiệu W họ quan hệ thứ tự tốt tập X Xét W họ tập X , W thứ tự quan hệ bao hàm (⊂ ) W thoả a) nên W có phần tử tối đại E với quan hệ tốt ≤ E Ta chứng minh E=X Thật vậy, tồn x0 ∈ X \ E , đặt x0 ≤ x, ∀x ∈ E tồn quan hệ tốt E ∪ { x0 } : mâu thuẫn với E tối đại Vậy X = E tập tốt b) ⇒ c) Đặt X =  X i i∈I Theo b) cố định quan hệ thứ tự tốt X Đặt f (i ) phần tử nhỏ X i , ∀ i ∈ I Ta có : f : I →  X i i∈ I ( f ∈∏ X i ) i∈I X i rời ⇒ f ( I )  X i có phần tử ∀ i ∈ I hay f ( i ) ∈ X i , ∀ i ∈ I c) ⇒ d ) Cho ( X , ≤) Ta định nghĩa A ≤ B ⇔ A ⊂ B Đặt F họ xích X F ≠ ∅ ( tập điểm xích) { x ∈ X \ A : A  { x}∈ F ∀ A∈ F , đặt A* = }  A A* = ∅ Gọi f hàm chọn X, g : F → F , g ( A) =  * *  A  f ( A ) , A ≠ ∅ { } Ánh xạ g thoả tính chất bổ đề Tập F thoả tính chất bổ đề Vậy theo bổ đề ta có B ∈ F thoả g( B ) = B Ta có B* = ∅ nên B tập cần tìm d ) ⇒ a ) Xét tập xích X với quan hệ bao hàm ⊂ Theo ngun lý tối đại Haussdorff, có xích tối đại, xích có cận nên cận phần tử tối đại NGUN LÝ ENTROPY TRỪU TƯỢNG 2.1 ĐỊNH LÝ(BREZIS, BROWDER) Giả sử: (1) X tập thứ tự cho dãy đơn điệu tăng X có cận trên, nghĩa từ un ≤ un +1 với n ∈Ν ln suy tồn v ∈ X cho un ≤ v , với n ∈Ν (2) S : X → [ −∞; +∞ ) hàm đơn điệu tăng bị chặn trên, nghĩa từ u ≤ v , ln ln suy S (u ) ≤ S (v) tồn số thực c cho S (u ) ≤ c , với u ∈ X Thế tồn u ∈ X cho: (3) Với v ∈ X , u ≤ v S (u ) = S (v) Chứng minh: Vậy hàm h xác định ∀ x, y ∈ DA ; α , β ∈  ⇒ ∃ g , g ' ∈ A: x ∈ Dg , y ∈ Dg ' Giả sử g ' ≤ g ⇒ x, y ∈ Dg α x + β y ∈ Dg ⊂ DA Suy DA khơng gian vectơ X Mặt khác: h(α x + β y ) = g (α x + β y )= α g ( x) + β g ( y )= α h( x) + β h( y ) Suy h phiếm hàm tuyến tính DA Mà h ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ DA ⇒ h ∈ χ g ≤ h, ∀g ∈ A ⇒ h cận tập A Theo bổ đề Zorn χ tồn phần tử tối đại F : G → K Ta chứng minh miền xác định F tồn khơng gian (G ≡ X ) Giả sử trái lại, tồn y ∈ X \ G Xét D = {λ y + z : λ ∈ , z ∈G} : khơng gian sinh y G Với u, v ∈G , ta có: F (u ) + F (v) = F ( u + v) ≤ p (u + v) = p ( u − y + y − v) ≤ p ( u − y ) + p ( y − v) ( p nửa chuẩn) ⇒ − p( u − y ) + F (u ) ≤ p ( y + v) − F (v) Do u , v tuỳ ý nên sup {− p( u − y ) + F (u )} ≤ inf { p(v + y ) − F (v)} v ∈G u ∈G Đặt ξ= sup {− p(u − y ) + F (u )} u ∈G Xác định hàm k : D → , λ y + z → λξ + F ( z ), ∀ λ ∈ , z ∈G ( z ) F ( z ), ∀z ∈G k tuyến tính k= Ta chứng minh k (λ y + z ) ≤ p (λ y + z ) , ∀λ ∈ , z ∈G = λ : k (= z ) F ( z ) ≤ p ( z ), ∀z ∈G λ > : k (λ y + z ) = λξ + F ( z )   z  z   z  z  = λ ξ + F    ≤ λ  p  + y  − F   + F     λ   λ  λ    λ   z + λ y  = λ  p =   p ( λ z + y ), ∀ z ∈G   λ  λ =− µ < ( µ > 0) = − ξ inf { p ( u − y ) − F (u )} , u ∈G k (λ y + z ) = λξ + F ( z ) = − µξ + F ( z )   z  = µ  −ξ + F     u    z  z  z  ≤ µ  p − y − F  + F    u  u   u   z − µ y  =µ  p    u  = p ( z − µ y) = p (λ y + z ) Vậy k ( x) ≤ p( x), ∀x ∈ D ⇒ k ∈ χ F ≤ k F ≠ k trái với tính tối đại F Suy điều phải chứng minh 3.3 ĐỊNH LÝ TYCHONOFF 3.3.1 Định nghĩa : Cho khơng gian tơpơ X • Họ (Gi )i ∈ I - phủ tập A G ⊃ A i i∈I • Phủ (Gi )i ∈ I A gọi phủ mở Gi tập mở • A ⊂ X - tập compắc từ phủ mở A ln lấy phủ gồm hữu hạn tập hợp      A ⊂  Gi , Gi mở ∀i ∈ I  ⇒  ∃ J ⊂ I , J hữu hạn ,A ⊂  Gi  i∈ I i∈ J     • Nếu X tập compắc ta nói X khơng gian compắc  =  X  G , G i i i∈ I   mở ∀i ∈ I  ⇒  ∃ J ⊂ I , J = hữu hạn , X     G  i i∈ J  • Cho τ tơpơ X Một họ σ τ gọi tiền sở τ họ tất giao hữu hạn tập thuộc σ sở τ Như họ σ τ tiền sở τ G ∈τ x ∈G tồn W1 , W2 , , Wn ∈ σ cho x ∈ W1 ∩ W2 ∩ ∩ Wn ⊂ G Cho ( X α ,τ α )α∈I họ khơng gian tơpơ Đặt X = ∏ X α π α : X → X α phép chiếu hay ánh xạ toạ độ thứ α Các khơng α ∈I gian X α gọi khơng gian toạ độ Ta gọi tơpơ tích X tơpơ yếu để tất phép chiếu π α liên tục Như tơpơ tích có tiền sở họ tất tập πα−1(Uα ),Uα ∈τα ,α ∈ I hay có sở họ tất tập dạng π α (Uα ) , Uα ∈ τ α ; α , , α n −1 i =1 i i i i n ∈I Tơpơ tích gọi tơpơ Tichonoff Tập X với tơpơ Tichonoff gọi tích họ khơng gian cho 3.3.2 Bổ đề Alexandrov Cho ξ tiền sở khơng gian X Khi phủ mở bao gồm tập thuộc ξ có phủ hữu hạn X compắc Chứng minh Phản chứng : Giả sử trái lại X khơng compắc Gọi U họ phủ mở khơng có phủ hữu hạn X Sắp thứ tự U quan hệ bao hàm {Α β }β ∈ E họ phủ tuyến tính U U1 , , Un ∈  Aβ ⇒ ∃ β ∈ E : U1 , , Un ∈Α β0 β ∈E n ⇒ U i ≠ X ⇒ =i  Αβ β∈ E cận {Α β } β ∈E Theo bổ đề Zorn, U có phần tử tối đại Α Khi Α phủ mở X khơng có phủ hữu hạn Với tập mở U X,U∉ A,A  {U } có phủ hữu hạn Đặt B = A  ξ Chứng minh B phủ X Thật vậy, tồn x ∈ X \ Β B∈ B Lấy U∈ A cho x ∈U Vì ξ tiền sở nên ∃V1 ,V2 , ,Vn ∈ ξ cho n x ∈Vi ⊂ U , ∀ i i =1 Do A  {Vi } có phủ hữu hạn nên tồn hữu hạn phần tử thuộc Α , kí hiệu Wi : Vi  Wi = X n   n   n U ∪  Wi ⊃  Vi     Wi  = X =i =  i 1=  i  Do A có phủ hữu hạn ( vơ lý) B phủ X Vì B ⊂ ξ nên B có phủ hữu hạn A có phủ hữu hạn ( vơ lý) Vậy X compắc 3.3.3 Định lý Tychonoff Tích tơpơ khơng gian tơpơ compắc khơng gian compắc, tức X = ∏ X α compắc X α , α ∈ I compắc α ∈I Chứng minh Nếu X compắc π α : X → X α liên tục nên X α compắc Giả sử X α compắc Để chứng minh X compắc, theo bổ đề Alexandrov, ta chứng minh phủ G X gồm tập dạng π α (V ), α ∈ I , V mở X α −1 , có phủ hữu hạn Với α ∈ I , kí hiệu Gα họ tập mở V X α :π α ( V ) ∈G −1 ⇒ ∃α ∈ I : Gα0 phủ mở X α0 Vì trái lại ∃ x ∈ X cho π α ( x) ∉  V , ∀α ⇒ x∉  V ∈ Gα Do X α compắc nên Gα có phủ hữu hạn 0 {π α−1 (Vi )} ⊂ G n i =1 o n π α (V ) = i =1 {Vi } n i =1 −1 π= α ( Xα ) X −1 W W ∈G i 0 3.4 NGUN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND 3.4.1 Định nghĩa: Một ánh xạ F : X →  gọi nửa liên tục {u ∈ X : F (u ) > α } tập mở với α ∈  Ánh xạ nửa liên tục có tính chất: un = u lim F (un ) ≥ F ( u ) Nếu lim n →∞ n →∞ 3.4.2 Ngun lý biến phân Ekeland Giả sử: i) (X,d) khơng gian metric đầy đủ ii) F : X →  nửa liên tục bị chặn F (v ) + ε Cho ε , λ > xε ∈ X thoả mãn: F ( xε ) < inf v∈ X Khi tồn phần tử uε cho: 1) F (uε ) ≤ F ( xε ) 2) d (uε , xε ) ≤ λ 3) F (v) ≥ F (uε ) − ε d (uε , v) λ , với v ∈ X , v ≠ uε Chứng minh d Coi λ = ( khơng xét d ' = ) λ Đặt Y = {u ∈ X : F (u ) ≤ F ( xε ), d (u, xε ) ≤ 1} Đặt Y1 = {u ∈ X : F (u ) ≤ F ( xε )} , Y2 = {u ∈ X : d (u, xε ) ≤ 1} Ta có: Y= Y1 ∩ Y2 mà Y1 , Y2 đóng nên Y đóng Suy (Y,d) đầy đủ Trong Y ta xét thứ tự: u ≤ v ⇔ F (v) ≤ F (u ) − ε d (u, v) Ta kiểm tra " ≤ " quan hệ thứ tự Y Hiển nhiên ta có u ≤ u ∀u ∈ Y Ta có: u ≤ v, v ≤ u ⇒ F (v) ≤ F (u ) − ε d (u , v), F (u ) ≤ F (v) − ε d (u, v) ⇒ d (u , v) = ⇒u = v Nếu u ≤ v, v ≤ w F (v) ≤ F (u ) − ε d (u, v), F (w) ≤ F (v) − ε d (v, w) Suy d (u, v) ≤ F (u ) − F (v) ε , d (v, w) ≤ F (v) − F (w) ε Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: d (u , w) ≤ d (u , v) + d (v, w) ≤ F (u ) − F (v) + F (v) − F (w) ε F (u ) − F (w) = ε Suy F (w) ≤ F (u ) − ε d (u, w) hay u ≤ w Ta áp dụng ngun lý Entropy cho Y phiếm hàm S(u) = -F(u) Từ định nghĩa thứ tự Y ta có u ≤ v thì: − F (u ) ≤ − F (v) nên (-F) tăng, bị chặn Ta cần kiểm tra dãy tăng Y có cận Ta có: un ≤ un +1 với n∈ ⇔ F (un +1 ) ≤ F (un ) − ε d (un , un +1 ) ⇔ ≤ ε d (un , un +1 ) ≤ F (un ) − F (un +1 ) (1) ⇒ F (un +1 ) ≤ F (un ) Suy {F (un )}n dãy giảm bị chặn nên {F (un )}n hội tụ (2) Ta chứng minh dãy hội tụ cách chứng minh {un } dãy Cauchy Coi n 0: S (a) > α > Vì S (a) > α nên tồn u1 , u2 ∈ M :u2 ≥ u1 ≥ a , F (u2 ) − F (u1 ) ≥ α Vì u2 ≥ a nên S (u2 ) = S (a) hay S (u2 ) ≥ α Do tồn u3 , u4 ∈ M :u4 ≥ u3 ≥ u2 , F (u3 ) − F (u4 ) ≥ α , Tiếp tục q trình ta xây dựng dãy: a ≤ u1 ≤ u2 ≤ , F (u2 n ) − F (u2 n −1 ) ≥ α Suy dãy {F (u )} khơng hội tụ, trái giả thiết Vậy S(a) = hay F(u) = F(v), ∀(u, v)∈ Aa Do ( F (a), a)∈ Aa nên F(F(a)) = F(a) Vậy F(a) điểm bất động Định lí 2: Cho sử ( X , ≤) khơng gian Banach có thứ tự sinh nón, M tập đóng, bị chặn F : M → M ánh xạ tăng thỏa: 1) Tồn x0 ∈ M : x0 ≤ F ( x0 ) 2) Mọi dãy tăng {F n ( xn )} ( xn ∈ M ) hội tụ Khi F có điểm bất động M Chứng minh: Đặt M = { x ∈ M : x ≤ F ( x)} ( x) sup { F n (u ) − F n (v) : u , v ∈ M , F n (u ) ≥ F n (v) ≥ x} , S= ( x) lim S n ( x) Đặt Sn= n →∞ Ta chứng minh S(x) tồn Thật vậy, ta đặt: Ax = {( u , v)∈ M : F n (u ) ≥ F n (v) ≥ x} Ay = {( u , v)∈ M : F n (u ) ≥ F n (v) ≥ y} Khi đó: Sn ( x) = sup F n (u ) − F n (v) , Sn ( y ) = sup F n (u ) − F n (v) ( u , v ) ∈ Ax ( u , v ) ∈ Ay S n ( x) ≥ S n ( y ) x ≤ y Thật vậy: Với (u, v)∈ Ay , ta có F n (u ) ≥ F n (v) ≥ y suy F n (u ) ≥ F n (v) ≥ x ⇒ (u , v)∈ Ax ⇒ Ay ⊂ Ax S n +1 ( x) ≤ S n ( x) Thật vậy: Với (u, v)∈ M , F n +1 (u ) ≥ F n +1 (v) ≥ x , ta có: F n ( Fu ) ≥ F n ( Fv) ≥ x, Fu ∈ M , Fv ∈ M ⇒ F n ( Fu ) − F n ( Fv) ≤ S n ( x) ⇒ F n +1 (u ) − F n +1 (v) ≤ S n ( x) Do đó: = S n +1 ( x) sup ( u , v ) ∈ Ax {F n +1 } (u ) − F n +1 (v) : u , v ∈ M , F n +1 (u ) ≥ F n +1 (v) ≥ x ≤ S n ( x) S n ( x) tồn Dãy {Sn ( x)} giảm, bị chặn nên lim n →∞ S n ( x) ≥ lim S n ( y ) =S ( y ) S giảm Thật x ≤ y S ( x) =lim n →∞ n →∞ Ta cần chứng minh { xn } dãy tăng M { xn } có cận thuộc M Ta xét bảng sau: F ( x1 ) F ( x2 ) F ( xn ) F ( x1 ) F ( x2 ) F ( xn ) n F ( x1 ) n n F ( x2 ) F ( xn ) Do { xn } dãy tăng F tăng nên phần tử thuộc hàng tạo thành dãy tăng Do xk ≤ F ( xk ) ( ( xk ⊂ M ) nên phần tử thuộc cột tạo thành dãy tăng Suy ra: F ( x1 ) ≤ F ( x2 ) ≤ ≤ F n ( xn ) ≤ F n ( xn ) xn ≤ x0 Đặt x0 = lim n →∞ Mặt khác F n −1 ( xn ) ≤ F n ( xn ) ≤ xo nên F n ( xn ) ≤ F ( x0 ) với n∈* Cho n → ∞ ta có x0 ≤ F ( x0 ) hay x0 ∈ M Vậy dãy tăng { xn } có cận M x0 Áp dụng ngun lý Entropy cho (-S) ta tìm a ∈ M thoả: Với x ≥ a ⇒ S ( x) =S (a) Ta cần chứng minh S(a) =0 Giả sử trái lại tồn α > : S (a) > α > Do S (a) > α nên S1 (a) ≥ α tồn u1 , v1 ∈ M , F (u1 ) ≥ F (v1 ) ≥ a, F (u1 ) − F (v1 ) ≥ α Mà S ( Fu= S (a ) ≥ α S ( Fu1 ) ≥ α 1) Suy tồn : u2 , v2 ∈ M , F (u2 ) ≥ F (v2 ) ≥ a, F (u2 ) − F (v2 ) ≥ α , Tiếp tục q trình ta xây dựng dãy: a ≤ F (u1 ) ≤ F (u2 ) ≤ , F n (un ) − F n (vn ) ≥ α Suy dãy {F n (un )} khơng hội tụ, trái giả thiết Sn (a) = Vậy S(a) =0 hay lim n →∞ (1) Do a ∈ M nên ta có: a ≤ F (a) ≤ F (a) ≤ b = lim F n (a ) n →∞ Vì F n −1 (a) ≤ b nên F n (a) ≤ F (b) với n∈* Cho n → ∞ ta có b ≤ F (b) hay b ∈ M Mặt khác ta có: F n (a ) ≤ b ≤ F (b) ≤ ≤ F n (b) với n∈* Do đó: ≤ F (b) − b ≤ F n (b) − F n (a) (2) a ≤ F n (a) ≤ Fn (b) nên F n (a) − F n (b) ≤ Sn (a) F n (a ) − F n (b) = Từ (1) (3) ta có: lim n →∞ (3) (4) Từ (2) (4) ta có F(b) –b =0 hay b điểm bất động F KẾT LUẬN Trong khóa luận tơi trình bày hai định lý tập hợp có thứ tự, bổ đề Zorn dạng tương đương ngun lý Entropy trừu tượng trình bày ứng dụng khác hai định lý Giải tích Trong q trình làm khóa luận tốt nghiệp, tơi thấy phần mối liên hệ lý thuyết ứng dụng học phần Giải tích: Giải tích cổ điển, Tơpơ, Độ đo tích phân Do khả thời gian có hạn nên tơi chưa tìm nhiều ứng dụng lĩnh vực Giải tích Tơi mong nhận nhận xét góp ý Q thầy bạn để khóa luận hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp Tơpơ đại cương NXB Giáo dục, 2005 Nguyễn Định, Nguyễn Hồng Hàm số biến số thực NXB Giáo dục, 2007 J Dugundji, A.Granas Fixed point theory, V.1 Polish scientific publishers, 1982 Zeidler E Nonlinear Functional Analysis and its applications, Springer Verlag, 1987 [...]... ⊂ X có một cận trên Áp dụng ngun lý Entropy (X, u ⇒ − S (u ) = − S (v) Hay với mọi v ∈ X , v ≤ u ⇒ S (u ) = S (v ) CHƯƠNG II CÁC ỨNG DỤNG 1 ỨNG DỤNG VÀO LÝ THUYẾT TẬP HỢP 1.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG TẬP CĨ THỨ TỰ 1.1.1 Định lý 1 Giả sử ( X , ≤) là một tập có thứ tự và f : X → X thoả mãn: a) Mỗi xích thuộc X có cận... của F KẾT LUẬN Trong bài khóa luận tơi đã trình bày hai định lý cơ bản về tập hợp có thứ tự, đó là bổ đề Zorn cùng các dạng tương đương của nó và ngun lý Entropy trừu tượng và trình bày các ứng dụng khác nhau của hai định lý trên trong Giải tích Trong q trình làm khóa luận tốt nghiệp, tơi đã thấy được phần nào mối liên hệ giữa lý thuyết và ứng dụng trong các học phần của Giải tích: Giải tích cổ điển,... Y 1.3 ỨNG DỤNG VÀO BÀI TỐN LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỢP 1.3.1 Mệnh đề Cho các tập X, Y Khi đó tồn tại ít nhất 1 trong 2 khả năng sau: 1) Có một đơn ánh từ X vào Y 2) Có một đơn ánh từ Y vào X Chứng minh Xét tậpA các tập (A,f) trong đó: A ⊂ X , f : A → Y là đơn ánh Trong A ta xét thứ tự: ( A1 , f1 ) ≤ ( A2 , f 2 ) nếu A1 ⊂ A2 , f1 ( x) = f 2 ( x) với mọi x ∈ A1 Ta chứng minh A có phần tử tối đại Xét một xích... nghĩa trong X quan hệ thứ tự mới “ ... TRONG TẬP CĨ THỨ TỰ 1.1.1 Định lý Giả sử ( X , ≤) tập có thứ tự f : X → X thoả mãn: a) Mỗi xích thuộc X có cận b) x ≤ f ( x) , với x ∈ X Khi f có điểm bất động Chứng minh Ta có X tập có thứ tự xích... tập thứ tự ứng dụng đa dạng quan hệ thứ tự, tơi chọn đề tài làm khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu khóa luận là: • Trình bày định lý tập có thứ tự, mối liên hệ chúng • Tìm hiểu chứng minh số kết Giải. .. 2.1 Định lý (Brezis – Browder) 2.2 Hệ Chương II: Các ứng dụng 11 Ứng dụng vào lý thuyết tập hợp 11 a Một số kết điểm bất động tập có thứ tự 11 b Định