Bài tiểu luận tính chất đồng liên tục và bị chặn địa phương của họ các ánh xạ chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ————oOo———— TIỂU LUẬN TÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Thực : Nhóm Lớp : Giải tích K09 Khóa học : 2014 - 2016 Đắk Lắk, 09/2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN TÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Học viên thực : Nhóm Lớp : Giải tích K09 NGƯỜI HƯỚNG DẪN PGS TS Thái Thuần Quang Đắk Lắk, 09/2015 DANH SÁCH HỌC VIÊN LÀM TIỂU LUẬN Huỳnh Thị Thanh Hương Hách Thị Hồng Hoa Phạm Thị Yên Ly Bùi Thị Phương Thảo Nguyễn Thị Thu Hiền Lê Vũ Nhất Trịnh Thanh Hùng Nguyễn Minh Phát Đinh Hoài Lưu i MỤC LỤC MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT iii MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm Tính chất đồng liên tục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình 2.1 Tính chất đồng liên tục họ ánh xạ chỉnh hình 2.2 Tính bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình 10 KẾT LUẬN 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT R : Tập số thực H (U ; F ) : Không gian vectơ tất ánh xạ chỉnh hình từ U → F (E, ) : Không gian định chuẩn (X, τ ) : Không gian tôpô iii MỞ ĐẦU Giải tích phức, hay cịn gọi lý thuyết hàm biến phức, nhánh toán học nghiên cứu hệ hàm số hay nhiều biến biến số số phức (các ánh xạ C n C m ) Khoảng 50 năm trước, dựa phát triển Giải tích hàm, Giải tích phức nghiên cứu ánh xạ không gian vector tôpô phức vô hạn chiều, đặc biệt không gian định chuẩn Giải tích phức có nhiều ứng dụng nhiều ngành khác tốn học, có lý thuyết số tốn ứng dụng Một đối tượng giải tích phức ánh xạ giải tích phức, thường gọi ánh xạ chỉnh hình Vì phần thực phần ảo hàm giải tích biến thỏa mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức ứng dụng rộng rãi toán vật lý hai chiều Nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình hướng nghiên cứu quan trọng Giải tích phức Các kết đạt theo hướng nghiên cứu ngày nhiều có nhiều ứng dụng thực tế Tiểu luận trình bày làm sáng tỏ vài vấn đề Tính chất đồng liên lục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình mong tài liệu tham khảo học viên quan tâm đến Giải tích phức mà cụ thể hàm chỉnh hình Nội dung tiểu luận trình bày hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương dành cho việc trình bày khái niệm, kiến thức sở cần cho việc trình bày chứng minh chương Chương 2: Tính chất đồng liên tục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình Chương giới thiệu tính chất đồng liên tục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình khơng gian Banach phức Bên cạnh giới thiệu số ví dụ tập liên quan Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sơ cần cho trình bày chứng minh chương 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E không gian tuyến tính trường K (thực phức) Hàm ||.|| : E → R gọi chuẩn E thỏa mãn điều kiện sau: (1) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ E x = ⇔ x = (2) kx = |k| x , ∀k ∈ K, ∀x ∈ E (3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ E Không gian tuyến tính E chuẩn gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn, hay nói gọn không gian định chuẩn ký hiệu (E, ) hay đơn giản E Nhận xét 1.1.2 Cho không gian định chuẩn (X, ) Với x, y ∈ X, đặt d(x, y) = x − y d metric X Do không gian định chuẩn không gian metric với metric xác định Các tính chất mệnh đề không gian metric cho không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) lim d(xn , xm ) = n,m→∞ Nhận xét 1.1.4 Mọi dãy hội tụ không gian metric dãy Cauchy Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric (X, d) gọi không gian đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach Điều nghĩa không gian Banach không gian định chuẩn E trường số thực hay số phức với chuẩn cho dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = x − y có giới hạn E) Định nghĩa 1.1.6 Cho tập X Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện: (1) X ∅ thuộc τ (2) Hợp họ tùy ý tập thuộc τ thuộc τ (3) Giao hữu hạn tập thuộc τ thuộc τ Một tập X tôpô X gọi không gian tôpô Để rõ τ tôpô không gian X ta viết (X, τ ) Định nghĩa 1.1.7 Cho U tập mở E Ánh xạ f : U → F ánh xạ chỉnh hình với a ∈ U tồn hình cầu mở B (a; r) ⊂ U chuỗi đa thức Pm ∈ P (m E, F ) cho f (x) = n Pm (x − a), ∀x ∈ m B (a, r) Chúng ta biểu thị H (U ; F ) không gian vectơ tất ánh xạ chỉnh hình từ U → F Khi F = C ta viết H (U ; C) = H (U ) Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian metric (X, d) a) Với r < 0, x ∈ X Tập S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} (hay S [x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}) gọi hình cầu mở (đóng) tâm x, bán kính r b) Điểm x gọi điểm dính tập hợp A với r > cho S(x, r) A = ∅ Tập điểm dính A gọi bao đóng A, kí hiệu A¯ hay [A] c) Điểm x gọi điểm tập hợp A tồn r(x) > cho S(x, r) ⊂ A Tập điểm A gọi phần A, kí hiệu Ao hay int A d) Điểm x gọi điểm biên tập hợp A x điểm dính A X A, tức r > ta có S(x, r) A = ∅và S(x, r) (X A) = ∅ Tập hợp điểm biên A gọi biên A kí hiệu ∂A Định nghĩa 1.1.9 Cho không gian metric (X, d) K ⊂ X Tập K gọi compact dãy {xn } ⊂ K có dãy hội tụ tới ¯ tập phần tử K Tập K gọi compact tương đối bao đóng K compact Ví dụ 1.1.10 + Trong không gian Rn , tập compact tương đối tập bị chặn + Trong không gian metric, tập compact tương đối tập hoàn toàn bị chặn (tức phủ số hữu hạn hình cầu có bán kính nhỏ tùy ý ↔ dãy rút dãy Cauchy) Định lí 1.1.11 Cho U tập mở E Khi với f : U → F mệnh đề sau tương đương: (a) f hàm chỉnh hình (b) f hàm liên tục G – chỉnh hình (c) f hàm liên tục f |U ∩ M hàm chỉnh hình hạn chế khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều M E Định lí 1.1.12 Cho U tập mở E, f : U → F (a) f G – chỉnh hình f G – chỉnh hình yếu (b) f hàm chỉnh hình f hàm chỉnh hình yếu Chương Tính chất đồng liên tục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình Trong chương chúng tơi giới thiệu tính chất đồng liên tục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình khơng gian banach phức.Trong suốt chương không gian không gian Banach phức Đặc biệt, chữ E F luôn đại diện cho không gian Banach phức 2.1 Tính chất đồng liên tục họ ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 2.1.1 Cho X không gian tôpô F không gian banach Họ F ⊂ F x gọi đồng liên tục với a ∈ X >0 tồn lân cận V a x cho: f (x) − f (a) ≤ , ∀x ∈ V, f ∈ F Họ F ⊂ F x gọi bị chặn địa phương với a ∈ X tồn lân cận V a X số c > cho: f (x) ≤ c, ∀x ∈ V, f ∈ F Định nghĩa 2.1.2 Một không gian tôpô X gọi k-không gian tập A ⊂ X mở A ∩ K mở K với tập compact K X Ví dụ 2.1.3 Mỗi khơng gian đếm k-không gian Mỗi không gian compact địa phương k-không gian Bổ đề 2.1.4 Cho X k-không gian Y không gian tôpô tùy ý Khi ánh xạ f : X → Y liên tục f /K liên tục với tập compact K X Mệnh đề 2.1.5 Nếu X k-khơng gian C ((X; F ) , τc ) đầy đủ với không gian Banach Chứng minh Giả sử (fi ) dãy suy rộng Cauchy C ((X; F ) , τc ) Khi (fi (x)) dãy suy rộng Cauchy F với x ∈ F Nếu định nghĩa f : X → F f (x) = lim fi (x) dễ thấy dãy (fi ) hội tụ tới f tập compact X Do f /K liên tục với tập compact K X, từ X k-không gian kết luận f liên tục Mệnh đề 2.1.6 Một không gian tôpô X nửa compact hay đếm vô tồn dãy (Kn )∞ n=1 tập compact X chứa Kn Ví dụ 2.1.7 Mỗi tập mở U ⊂ Cm nửa compact Thật thỏa mãn với Kn = {x ∈ U : x ≤ n, dU (x) ≥ 1/n} Dễ dàng có kết sau Mệnh đề 2.1.8 Nếu X khơng gian nửa compact C ((X; F ) , τc ) metric với không gian Banach F Giả sử X không gian tôpô F không gian Banach Khi thơng thường ta ký hiệu F X không gian vec tơ tất ánh xạ từ F vào X Không gian tôpô hội tụ theo điểm tôpô lồi địa phương τP F X sinh họ nửa chuẩn f → sup f (x) , A chạy qua tập x∈A hữu hạn X Tôpô hội tụ theo điểm F X tơpơ tích Tychonoff Định nghĩa 2.1.9 Cho X không gian tô pô F không gian Banach (a) Một họ F ⊂ F X gọi liên tục đồng bậc với a ∈ X, > , lân cận V a X thỏa mãn [ f (x) − f (a) ≤ ε với x ∈ V f ∈ F (b) Một họ F ⊂ F X gọi bị chặn địa phương với a ∈ X, lân cận V a X số c > thỏa mãn f (x) ≤ c với x ∈ V f ∈ F Ví dụ 2.1.10 Nếu F họ hữu hạn ánh xạ liên tục F họ liên tục đồng bậc Tính chất 2.1.11 Từ định nghĩa ta thấy F họ ánh xạ liên tục đồng bậc ánh xạ f thuộc F liên tục Điều ngược lại không Ví dụ 2.1.12 F = {fn : (0, 1) → R|n ∈ N, fn (x) = 1/xn } F gồm hàm liên tục F không liên tục đồng bậc Bổ đề 2.1.13 Cho X không gian tôpô F không gian Banach Nếu họ F ⊂ F X F đồng liên tục Khi đó, bao đóng F F với tơpơ hội tụ theo điểm đồng liên tục Mệnh đề 2.1.14 Cho X không gian tôpô F khơng gian Banach Khi đó, tơpơ hội tụ compact tôpô hội tụ theo điểm tạo tôpô tương tự tập đồng liên tục C (X; F ) Chứng minh Cho F tập đồng liên tục tập C (X; F ) Ta ln có τP ≤ τC tôpô trùng khớp F Lấy K tập compact X lấy > Khi đó, F đồng liên tục điểm a ∈ K, lấy lân cận Vα cho f (x) − f (α) < ε, ∀x ∈ Vα , ∀f ∈ F Khi K tập compact, lấy tập hữu hạn A ⊂ K cho K ⊂ {Vα : α ∈ A}, từ ta có: sup f (x) ≤ sup f (x) + ε ∀f ∈ F x∈K x∈A Tương tự cách lập luận ta tập F − F đồng liên tục Ta lấy tập hữu hạn B ⊂ K để sup f (x) − g(x) ≤ sup f (x) − g(x) + x∈K x∈B ε, ∀f, g ∈ F Vì f ∈ F : sup f (x) − f0 (x) ≤ 2ε ⊃ x∈K 2.2 sup f (x) − f0 (x) ≤ ε ∀f ∈ F x∈B Tính bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình Định nghĩa 2.2.1 Một hàm f ∈ H (D, F ) gọi bị chặn địa phương với z ∈ D, tồn lân cận U z D cho f (U ) bị chặn 10 Ví dụ 2.2.2 Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục với miền xác định hay miền giá trị không gian banach bị chặn địa phương Định lí 2.2.3 Cho E khơng gian metric, F không gian banach, f bị chặn địa phương tập compact E f bị chặn địa phương E Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử f bị chăn địa phương tập compact tồn điểm x0 ∈ E cho f không bị chặn lân cận x0 ∈ E Chọn dãy xn → x0 , f (xn ) ≥ n, ∀n ∈ N Khi tập x0 x1 , tập compac Do f bị chặn E (vơ lý) Vậy f bị chặn địa phương E Định lí 2.2.4 Cho X khơng gian tơpơ, đồng liên tục, tập bị chặn theo theo điểm C(X) compact tương đối C(X) với tôpô compact mở Chứng minh Cho F đồng liên tục, tập bị chặn theo điểm C(X), cho F bao đóng F C X Khi đó, F rõ ràng bị chặn theo điểm, compact C X định lí tích số Tychonoff Bây giờ, tập F đồng liên tục theo bổ đề 9.10 tơpơ tích tơpơ mở compact trùng F mệnh đề 9.11 Do F tập compact (C(X), TC ) chứng minh hồn thành Ví dụ 2.2.5 Cho I = [a, b], hiển nhiên I tập compact R Xét ánh xạ h : I → R, kí hiệu khơng gian hàm h đo được, bị chặn I có giá trị R B(I, R) = B(I) Dễ thấy B(I) không 11 gian Banach với chuẩn ||h||B(I) = sup|h(x)| x∈I Cho α, C1 , C2 số dương Kí hiệu K tập hợp hàm đo bị chặn h : I → cho |h (a)| ≤ C1 |h (x) − h (y)| ≤ C2 |x − y|α , ∀x, y ∈ I = [a, b] Ta chứng minh K bị chặn đoạn [a, b] K đồng liên tục [a, b] Vậy K tập compact B(I) Sau thiết lập số tính chất tơpơ không gian ánh xạ liên tục, ý đến ánh xạ chỉnh hình Mệnh đề 2.2.6 Nếu U tập mở E Khi H(U ; F ) khơng gian vectơ đóng (C(U ; F ), TC ).(H(U ; F ), TC ) nói riêng đầy đủ Chứng minh Cho (fi ) lưới H (U ; F ) hội tụ ánh xạ f ∈ C (U ; F ) với tôpô compact mở Cho a ∈ U, b ∈ E ψ ∈ F tập gi (λ) = ψo fi (a + λb) g (λ) = ψo f (a + λb), với λ ∈ Λ = {λ ∈ C : a + λb ∈ U } Khi gi chỉnh hình tập compact lưới (gi ) hội tụ g cho Theo định lí Weierstrass hàm chỉnh hình biến phức, hàm g chỉnh hình Khi theo định lí 1.1.11, 1.1.12 f ∈ H(U ; F ) Hệ 2.2.7 Nếu U tập mở C , (H(U ; F ), TC ) không gian Fréchet Mệnh đề 2.2.8 Cho U tập mở E Với họ F ⊂ (H(U ; F ), mệnh đề sau tương đương: (a) F bị chặn (H(U ; F ), TC ) 12 (b) F bị chặn địa phương (c) F đồng liên tục bị chặn Chứng minh (a)⇒(b) + Giả sử F không bị chặn địa phương ⇒ ∃a ∈ U, ∃(fn ) ⊂ F ; (an ) ⊂ U cho: ||an − a|| < + Ta đặt K = {an : n ∈ N} n |fn (an )| > n, ∀n ∈ N {a} tập hợp compact U Khi đó, F bị chặn K Thật vậy: ∀x ∈ K , F bị chặn lân cận x ∃Vx lân cận x cho: F bị chặn Vx Suy K⊂ Vx x∈K n Vì K compact ⇒ ∃x1 , , xn : K ⊂ xk k=1 Mặt khác F bị chặn Vxk ⇒ ∃Mk : ||f (x)|| ≤ Mk ∀x ∈ Vk , ∀f ∈ F Chọn M = max Mk > 1≤k≤n Khi f (x) < M ∀x ∈ K, ∀f ∈ F Suy ra, F bị chặn K + Vậy, dãy bị chặn (H(U ; F ), TC ) (b)⇒(a) Vì F bị chặn địa phương nên F bị chặn lân cận điểm chứa U ⇒ F bị chặn tập compact chứa U 13 ⇒ F bị chặn (H(U ; F ), TC ) (b)⇒(c) + Vì F bị chặn địa phương nên ∀a ∈ U , tồn lân cận V a, ∃M > cho ||f (x)|| ≤ M ∀x ∈ M, ∀f ∈ F Suy ||f (a)|| ≤ M, ∀f ∈ F ⇒F bị chặn điểm + F đồng liên tục := ∀a ∈ U, r > 0, c > cho B(a; r) ⊂ U sup ||f (x)|| ≤ C ∀x ∈ B(a; r), ∀f ∈ F x∈B(a;r) + Ta có: ∞ P m f (a)(x − a) f (x) = n=0 ∞ P m f (a)(x − a) = f (a) + n=1 ∞ P m f (a)(x − a) ⇒ ||f (x) − f (a)|| = n=1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy suy ra: ∞ P m f (a)(x − a) ||f (x) − f (a)|| ≤ n=1 ∞ ||x − a|| c ≤ r n=1 ≤ m = c ||x−a|| r 1− ||x−a|| r c||x − a|| r − ||x − a|| Khi x → a ⇒ f (x) → f (a) Suy ∀ > , tồn lân cận V điểm a cho f (x) − f (a) ≤ ∀x ∈ V , ∀f ∈ F 14 Vậy F đồng liên tục (c)⇒(b) + Cho a ∈ U Vì F bị chặn điểm ⇒ ∃c > cho ||f (a)|| ≤ c ∀f ∈ F + Vì F đồng liên tục nên tồn lân cận V a U, chọn = cho f (x) − f (a) ≤ ∀x ∈ V , ∀f ∈ F + Ta có ||f (x)|| = ||f (x) − f (a) + f (a)|| = ||f (x) − f (a)|| + ||f (a)|| ≤ + c ∀x ∈ V, ∀f ∈ F Do F bị chặn địa phương Mệnh đề 2.2.9 Cho U tập mở E Khi tập bị chặn (H(U ), TC ) compact tương đối 15 KẾT LUẬN Tiểu luận giới thiệu kết lí thuyết ban đầu tính chất đồng liên lục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình Ngồi tiểu luận cịn làm sáng tỏ việc chứng minh định lí bổ xung ví dụ minh họa 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Hàm biến phức, Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2009), NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Giải tích phức, B.V.sabat, người dịch: Hà Huy Khối (1995), NXB ĐH TCCN TIẾNG ANH [1] Comlex Analysis in banach spaces (1985), Jorge Mujica 17 ... chỉnh hình f G – chỉnh hình yếu (b) f hàm chỉnh hình f hàm chỉnh hình yếu Chương Tính chất đồng liên tục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình Trong chương chúng tơi giới thiệu tính chất đồng liên. .. MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT iii MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm Tính chất đồng liên tục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình 2.1 Tính chất đồng liên tục họ ánh xạ. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN TÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Học viên thực : Nhóm Lớp : Giải tích