Mục đích của luận án nghiên cứu tính hữu hạn thông qua việc thiết lập định lí phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình từ C m vào không gian xạ ảnh P n (C) giao với 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Mời các bạn cùng tham khảo!
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————– VANGTY NOULORVANG MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ TÍNH DUY NHẤT VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 9.46.10.05 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ TỐN HỌC Hà Nội, 01-2021 Luận án hồn thành tại: Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM ĐỨC THOAN PGS.TS PHẠM HỒNG HÀ Phản biện 1: GS.TSKH Hà Huy Khối Phản biện 2: PGS.TSKH Tạ Thị Hoài An Phản biện 3: GS.TS Trần Văn Tấn Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc Gia - Thư viện Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phân bố giá trị bắt đầu xây dựng nhà toán học tiếng R Nevanlinna từ năm 20 kỉ trước Ngay từ đời, lý thuyết thu hút nhiều nhà toán học lớn giới quan tâm nghiên cứu Nhiều kết đặc sắc ứng dụng to lớn lý thuyết ngành toán học khác phát Nội dung lí thuyết phân bố giá trị thiết lập định lí Cơ bản thứ 2, định lí nói mối quan hệ hàm đếm không điểm với độ tăng hàm đặc trưng Định lí có nhiều áp dụng việc nghiên cứu vấn đề nhất, tính hữu hạn, tính phụ thuộc đại số, quan hệ số khuyết phân bố mặt giá trị ánh xạ phân hình Để thiết lập định lí thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn(C), người ta dựa vào bổ đề Đạo hàm logarit tính chất định thức Wronski Tuy nhiên, năm 2006, R Halburd R J Korhonen thiết lập định lí thứ hai cho ánh xạ phân hình từ C vào Pn(C) giao với siêu phẳng cố dịnh siêu phẳng di động vị trí tổng quát cách thay định thức Wronski định thức Casorati (c-Casorati p-Casorati) thay bổ đề Đạo hàm logarit bổ đề tương tự, có tên bổ đề q-dịch chuyển c-dịch chuyển cho ánh xạ phân hình bậc cho ánh xạ phân hình có siêu bậc nhỏ tương ứng Từ đó, họ nghiên cứu tính ánh xạ phân hình theo kiểu định lí Picard tổng quát Định lí Cơ thứ hai loại gọi định lí Cơ thứ hai p-dịch chuyển c-dịch chuyển giao với mục tiêu Bằng cách tiếp cận theo hướng này, năm 2016, T B Cao R J Korhonen thiết lập định lí Cơ thứ hai p-dịch chuyển cho ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn(C) giao với siêu phẳng vị trí tổng quát Một cách tự nhiên cần xây dựng định lí Cơ thứ hai p-dịch chuyển ánh xạ phân hình bậc từ Cm vào Pn(C) giao với siêu mặt vị trí tổng qt thơng qua định thứ p-Casorati việc áp dụng vào nghiên cứu vấn đề kiểu định lí Picard tổng quát Trong trường hợp chiều, kể từ R Halburd R J Korhonen đưa bổ đề c-dịch chuyển định lí Cơ thứ hai c-dịch chuyển cho hàm phân hình có siêu bậc nhỏ 1, định lí kiểu Picard tương tự định lí điểm R Nevanlinna nghiên cứu mạnh mẽ Có nhiều kết thú vị theo hướng nghiên cứu Chẳng hạn, năm 2009, J Heittokangas đồng nghiệp chứng minh hàm phân hình f (z) có bậc hữu hạn chia sẻ giá trị phân biệt đếm bội với hàm dịch chuyển f (z + c) f hàm tuần hồn với chu kì c, tức f (z) = f (z + c) với z ∈ C Định lí kiểu Picard tác giả cải tiến cho trường hợp chia sẻ hai giá trị đếm bội giá trị không đếm bội Đầu năm 2016, K S Charak, R J Korhonen G Kumar đưa phản ví dụ để khơng có định lí cho trường hợp giá trị chia sẻ đếm bội hai giá trị chia sẻ không đếm bội Chú ý rằng, định lí điểm R Nevanlinna giá trị chia sẻ không cần đếm bội Một câu hỏi đặt liệu có định lí kiểu Picard trường hợp số giá trị chia sẻ không đếm bội không? Các tác giả cố gắng trả lời câu hỏi có kết theo hướng cho hàm phân hình có siêu bậc nhỏ chia sẻ giá trị điều kiện số khuyết Năm 2018, W Lin, X Lin A Wu có phản ví dụ kết khơng bội giá trị chia sẻ bị ngắt Từ đó, họ đặt vấn đề nghiên cứu tính kiểu định lí Picard giá trị bị ngắt bội Một mục tiêu nghiên cứu vấn đề giảm số giá trị chia sẻ Theo đó, đặt vấn đề nghiên cứu cải tiến kết qủa W Lin, X Lin A Wu Bài toán phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) bắt đầu nghiên cứu báo S Ji có nhiều kết công bố Một số kết tốt gần thuộc Z Chen Q Yan, S Đ Quang, S Đ Quang L N Quỳnh Chú ý rằng, việc nghiên cứu tính phụ thuộc đại số hàm phân hình có ảnh ngược giao với 2n + siêu phẳng vị trí tổng quát giúp S Đ Quang khẳng định tính hữu hạn lớp ánh xạ phân hình Tuy nhiên, nói việc giảm số siêu phẳng chia sẻ kết đích quan trọng lí thuyết phân bố giá trị Do vậy, chúng tơi đặt mục đích nghiên cứu tính hữu hạn ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) với số siêu phẳng tham gia nhỏ 2n + thông qua tính phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình Từ lý trên, chúng tơi lựa chọn đề tài “Một số định lí tính tính hữu hạn họ ánh xạ phân hình”, để sâu vào nghiên cứu tốn ánh xạ phân hình ánh xạ dịch chuyển chúng, tốn tính hữu hạn cho ánh xạ phân hình Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án đưa chứng minh số định lí hàm phân hình f (z) mặt phẳng phức C có siêu bậc nhỏ chia sẻ phần giá trị với hàm dịch chuyển f (z + c) Tiếp theo đó, luận án nghiên cứu thiết lập số định lí Cơ thứ hai số định lí kiểu Picard cho ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn(C) có bậc giao với siêu mặt Cuối cùng, luận án nghiên cứu tính hữu hạn thơng qua việc thiết lập định lí phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) giao với 2n + siêu phẳng vị trí tổng quát Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án số định lí kiểu Picard vấn đề phụ thuộc đại số tính hữu hạn ánh xạ phân hình Đề tài nghiên cứu phạm vi lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình Phương pháp nghiên cứu Để giải vấn đề đặt luận án, sử dụng phương pháp lý thuyết phân bố giá trị hình học phức Bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật truyền thống, đưa kỹ thuật nhằm đạt mục đích đặt đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm sâu sắc kết vấn đề tính hữu hạn hàm phân hình ánh xạ phân hình Bên cạnh việc làm phong phú thêm toán này, luận án đưa kết cho phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh với họ siêu phẳng Luận án tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu Cấu trúc luận án Cấu trúc luận án bao gồm bốn chương Chương Tổng quan dành để phân tích số kết nghiên cứu tác giả nước liên quan đến nội dung đề tài Ba chương cịn lại trình bày kiến thức chuẩn bị chứng minh chi tiết cho kết đề tài Chương I Tổng quan Chương II Tính lớp hàm phân hình có siêu bậc nhỏ Chương III Tính lớp ánh xạ phân hình có bậc Chương IV Tính phụ thuộc đại số tính hữu hạn họ ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phẳng Luận án viết dựa ba báo đăng Nơi thực luận án Trường Đại học Sư phạm Hà Nội CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN I Tính lớp hàm phân hình có siêu bậc nhỏ Việc tìm điều kiện cho hàm phân hình f (z) mặt phẳng phức trùng với hàm dịch chuyển f (z + c) nghiên cứu mạnh mẽ năm trở lại Kể từ cơng trình R Halburd R Korhonen, có nhiều định lí thú vị tương tự định lí điểm Nevanlinna đời Chẳng hạn, vào 2009, J Heittokangas đồng nghiệp xét vấn đề hàm phân hình f (z) mặt phẳng phức C có bậc hữu hạn chia sẻ giá trị CM với hàm dịch chuyển f (z + c) Sau đó, kết cải tiến cho trường hợp chia sẻ hai giá trị CM giá trị IM tác giả Năm 2016, K S Charak, R Korhonen G Kumar đưa ví dụ để trường hợp chia sẻ giá trị CM hai giá trị IM (và ba giá trị IM) không xảy trường hợp tổng quát Khái niệm chia sẻ phần giá trị hàm phân hình có siêu bậc nhỏ giới thiệu K S Charak, R Korhonen G Kumar Họ có định lí cho hàm phân hình có siêu bậc nhỏ chia sẻ phần bốn giá trị IM với hàm dịch chuyển điều kiện số khuyết sau Định lí A Cho f hàm phân hình khác có siêu bậc ˆ ) bốn hàm γ(f ) < c ∈ C \ {0} Cho a1, a2, a3, a4 ∈ S(f phân hình tuần hồn phân biệt có chu kỳ c Nếu δ(a, f ) > với ˆ ) a ∈ S(f E(aj , f (z)) ⊆ E(aj , f (z + c)), j = 1, 2, 3, f (z) = f (z + c) với z ∈ C Năm 2018, W Lin, X Lin A Wu có đưa phản ví dụ để Định lí A khơng cịn điều kiện "chia sẻ phần giá trị E(aj , f (z)) ⊆ E(aj , f (z + c)), j = 1, 2" thay điều kiện "chia sẻ phần giá trị cắt cụt E ≤k (aj , f (c)) ⊆ E ≤k (aj , f (z + c)), j = 1, 2" với số ngun dương k đó, chí f (z) f (z + c) chia sẻ a3, a4 CM Sau đó, họ đưa kết sau điều kiện số khuyết thu gọn Θ(0, f ) + Θ(∞, f ) > k+1 Một ví dụ điều kiện tốt Đinh lí B Cho f hàm phân hình khác có siêu bậc γ(f ) < c ∈ C \ {0} Cho k1, k2 hai số nguyên dương ˆ ) bốn hàm phân hình tuần cho a1, a2 ∈ S(f ) \ {0}, a3, a4 ∈ S(f hồn có chu kỳ c cho f (z) f (z + c) chia sẻ a3, a4 CM E ≤kj (aj , f (z)) ⊆ E ≤kj (aj , f (z + c)), j = 1, Nếu Θ(0, f ) + Θ(∞, f ) > f (z + c) với z ∈ C k+1 , k := min{k1, k2} f (z) = Định lí C Cho f hàm phân hình khác có siêu bậc γ(f ) < 1, Θ(∞, f ) = c ∈ C \ {0} Cho a1, a2, a3 ∈ S(f ) ba hàm phân hình tuần hồn có chu kỳ c cho f (z) f (z + c) chia sẻ a3 CM E ≤k (aj , f (z)) ⊆ E ≤k (aj , f (z + c)), j = 1, Nếu k ≥ f (z) = f (z + c) với z ∈ C Như áp dụng Định lí B C, tác giả đưa điều kiện cần để hàm phân hình tuần hồn sau Định lí D Giả sử f g hai hàm phân hình khác thỏa mãn Θ(∞, f ) = Θ(∞, g) = 1, f hàm tuần hồn có chu kỳ c ∈ C \ {0} với siêu bậc γ(f ) < Cho k1, k2 hai số nguyên dương, a1, a2, a3 ∈ S(f ) ba hàm phân hình tuần hồn có chu kỳ c cho f g chia sẻ a3 CM E ≤k (aj , f ) ⊆ E ≤k (aj , g), j = 1, Khi đó, ta có g hàm phân hình tuần hồn với chu kì T , T ∈ {c, 2c}, nghĩa g(z) = g(z + T ) với z ∈ C Câu hỏi đặt liệu tổng quát hóa cải tiến Định lí B C cách giảm số giá trị chia sẻ không? Câu hỏi thứ hai liệu đưa vài định lí theo hướng này, số áp dụng để có định lí tương tự định lí D hay khơng? Mục đích luận án trả lời câu hỏi Cụ thể, chứng minh định lí sau Định lí 2.2.1 Cho f hàm phân hình khác có siêu ˆ ) ba bậc γ(f ) < cho c ∈ C \ {0} Cho a1, a2, a3 ∈ S(f hàm phân hình tuần hồn có chu kỳ c cho k số nguyên dương Giả sử f (z) f (z + c) chia sẻ phần a1, a2 CM, nghĩa E(a1, f (z)) ⊆ E(a1, f (z + c)), E(a2, f (z)) ⊆ E(a2, f (z + c)) thỏa mãn E ≤k (a3, f (z)) ⊆ E ≤k (a3, f (z + c)) +a2 )−2a1 a2 Nếu Θ(a, f ) > k+1 với a ∈ C ∪ {∞} \ {a3, a3(a 2a3 −(a1 +a2 ) } f (z) = f (z + c) với z ∈ C 11 (i) kl > min{k, l} + g hàm tuần hồn có chu kỳ T , T ∈ {c, 2c}, nghĩa g(z) = g(z + T ) với z ∈ C (ii) max{k, l} = ∞ g hàm tuần hồn có chu kỳ c, nghĩa g(z) = g(z + c) với z ∈ C II Tính lớp ánh xạ phân hình có bậc Trong năm gần đây, Định lí Cơ thứ hai cho ánh xạ phân hình giao với siêu mặt khảo sát nhiều tác T V Tấn V V Trường, M Ru, S Đ Quang tác giả khác Chẳng hạn, năm 2004, M Ru chứng minh định lí thứ hai cho trường hợp ánh xạ không suy biến đại số vào Pn(C) giao với họ siêu mặt vị trí tổng quát, kết đột phá Vào năm 2017, S Đ Quang có định lí thứ hai cho trường hợp tổng quát, ánh xạ phân hình vào đa tạp xạ ảnh giao với siêu mặt vị trí tổng quát cách sử dụng trọng Chow Cho mục đích nghiên cứu tính hay định lí kiểu Picard ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) có bậc giao với siêu mặt, nghiên cứu đưa vài kết cho phân bố giá trị q-dịch chuyển ánh xạ phân hình nhiều biến phức giao với siêu mặt nằm vị trí tổng quát dựa vào ý tưởng M Ru S Đ Quang Định lí 3.2.1 Cho q = (q1, , qm) ∈ Cm với qj = (1 ≤ j ≤ m) cho f : Cm → Pn(C) ánh xạ phân hình có bậc Giả thiết f không suy biến đại số trường φ0q Gọi f˜ = (f0 : · · · : fn) biểu diễn thu gọn địa phương f Cho Qj siêu mặt bậc dj (1 ≤ j ≤ p) nằm vị trí N -dưới tổng quát Pn(C) Cho d bội số chung nhỏ 12 dj Khi đó, tồn số nguyên dương u lớn chia hết cho d cho p (q − (N − n + 1)(n + 1)) Tf (r) ≤ i=1 N ˜ (r) − di Qi(f ) N −n+1 un+1 (n+1)! + O(un) × NCq (f I1 , ,f IM )(r) + o (Tf (r)) tập trù mật logarit 1, Ij = (ij0, , ijn), |Ij | = u+d ij0 + · · · + ijn = u M = u Ta có kết sau tương tự định lí Nochka-Cartan với bội bị cắt cụt Định lí 3.2.3 Cho q = (q1, , qm) ∈ Cm với qj = (1 ≤ j ≤ m) cho f : Cm → Pn(C) ánh xạ phân hình có bậc Giả thiết f khơng suy biến đại số trường φ0q Gọi f˜ = (f0 : · · · : fn) biểu diễn thu gọn địa phương f Cho Qj siêu mặt có bậc dj (1 ≤ j ≤ p) vị trí N -dưới tổng quát Pn(C) Cho d bội số chung nhỏ tất dj Khi đó, với > 0, ta có p (p − (N − n + 1)(n + 1) − ) Tf (r) ≤ j=1 ¯ [M0,q] N (r) + o (Tf (r)) dj Qj (f˜) tập trù mật logarit 1, M0 = 4(ed(N − n + 1)(n + 1)2I( −1))n − Ở đây, kí hiệu I(x) số nguyên nhỏ không nhỏ số thực x Chúng cố gắng đưa phiên mở rộng định lí Picard trường hợp siêu mặt nằm vị trí N -dưới tổng quát Pn(C) 13 Định lí 3.3.1 Cho q = (q1, , qm) ∈ Cm với qj = 0, (1 ≤ j ≤ m) cho f : Cm → Pn(C) ánh xạ phân hình có bậc Cho Q1, , Qp siêu mặt Pn(C) nằm vị trí n+d N -dưới tổng qt có bậc chung d Đặt M = − Giả n thiết f bất biến qua Qj tương ứng với toán tử τq (z) = qz Nếu p ≥ M + 2N − n + ảnh phép nhúng bậc d f chứa không gian tuyến tính trường φ0q có chiều ≤ M − n − + p [ p−N −1 M −n+1 ]+1 Trong trường hợp siêu mặt siêu phẳng vị trí tổng quát Pn(C), ta có d = M = n Hơn nữa, |qi| = với i ∈ {1, , m} f (z) = f (qz) Điều kéo theo f phải ánh xạ khơng đổi Ngay lập tức, chúng tơi có hệ sau Hệ 3.3.5 Cho f ánh xạ phân hình có bậc từ Cm vào Pn(C) cho τq (z) = qz, q = (q1, , qm) ∈ Cm với qj = (1 ≤ j ≤ m) Giả thiết τq ((f, Hj )−1) ⊂ (f, Hj )−1 (đếm bội) với siêu phẳng {Hj }pj=1 nằm vị trí N tổng quát Pn(C) Nếu p > 2N f (qz) = f (z) Đặc biệt, |qi| = với i ∈ {1, , m} f ánh xạ III Tính phụ thuộc đại số tính hữu hạn họ ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phẳng Bài toán phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình nhiều biến phức vào khơng gian xạ ảnh phức cho mục tiêu cố định lần nghiên cứu S Ji W Stoll Sau đó, kết họ nhiều tác H Fujimoto, Z Chen Q Yan, S Đ Quang L N Quỳnh phát triển Cụ thể hơn, H Fujimoto đưa định 14 lí suy biến n + ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phẳng + n Gần đây, S Đ Quang với bội bị cắt cụt đến mức n(n+1) chứng minh định lí phụ thuộc đại số cho ba ánh xạ phân hình sử dụng để đưa kết tính hữu hạn ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phẳng vị trí tổng qt mà khơng cần đếm bội Vào năm 2019, S Đ Quang chứng minh định lí sau, tác giả khơng cần phải đếm tất khơng điểm có bội lớn giá trị định Định lí E Cho H1, , H2n+2 siêu phẳng vị trí tổng quát Pn(C) Nếu 2n+2 j=1 n+1 < kj + n(3n + 1) ba ánh xạ f 1, f 2, f ∈ F(f, {Hj , kj }2n+2 j=1 , 1) thỏa mãn f ∧ f ∧ f ≡ Cm Năm 2015, S Đ Quang L N Quỳnh tìm thấy điều kiện đủ cho phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phẳng vị trí tổng quát sau Định lí F Cho f 1, f 2, f ∈ F(f, {Hj }qj=1, n) {Hi}qi=1 họ q√siêu phẳng Pn(C) vị trí tổng quát Nếu q > 2n + + 28n2 + 20n + khẳng định sau đúng: (i) tồn q + siêu phẳng Hi1 , , Hi q cho [ ]+1 (f u, Hi q ) (f , Hi1 ) (f , Hi2 ) [ ]+1 = = · · · = , (f v , Hi1 ) (f v , Hi2 ) (f v , Hi q ) [ ]+1 u u 15 (ii) f ∧ f ∧ f ≡ Cm Rõ ràng để có khẳng định (ii) định lí F , họ cần giả thiết (i) không xảy Câu hỏi đặt bỏ qua điều kiện cho trường hợp q < 2n + không? Mục đích phần đưa câu trả lời phù hợp cho câu hỏi Với mục đích này, chúng tơi xếp lại siêu phẳng thành nhóm thích hợp sử dụng kỹ thuật "sắp xếp lại hàm đếm" Đ Đ Thai S Đ Quang đưa ra, đề xuất hàm bổ trợ Điều giúp chúng tơi có định lí hồn chỉnh cho phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phẳng vị trí tổng qt Cụ thể, chúng tơi chứng minh định lí sau Định lí 4.2.1 Cho H1, , H2n+1 siêu phẳng vị trí tổng quát Pn(C) (n ≥ 5) Cho f 1, f 2, f : Cm → Pn(C) ánh xạ phân hình thuộc F(f, {Hj , kj }2n+1 j=1 , n) Nếu 2n+1 i=1 n−4 < , ki + 2n(2n + 1) f ∧ f ∧ f ≡ Cm Chúng tơi muốn nhấn mạnh Định lí E đóng vai trị thiết yếu việc chứng minh S Đ Quang tính hữu hạn ánh xạ phân hình Định lí G Cho f ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) khơng suy biến tuyến tính Cho H1, , H2n+2 2n + siêu phẳng Pn(C) vị trí tổng quát cho k1, , kn+2 số nguyên dương +∞ Giả thiết 2n+2 i=1 n + 5n − n2 − < , , ki + 3n2 + n 24n + 12 10n2 + 8n 16 Thế F(f, {Hi, ki}2n+2 i=1 , 1) ≤ Câu hỏi sau tự nhiên nảy sinh thời điểm này: Bằng cách sử dụng kỹ thuật S Đ Quang Định lí 1.0.11, có thu kết tính hữu hạn đối cho ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phẳng vị trí tổng quát có ngắt bội mức n khơng? Mục đích thứ hai phần đưa câu trả lời cho câu hỏi Định lí 4.3.1 Cho f ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) khơng suy biến tuyến tính Cho H1, , H2n+1 2n+1 siêu phẳng Pn(C) vị trí tổng quát cho k1, , kn+1 số nguyên dương +∞ cho 2n+1 i=1 n−4 < ki + 2n(2n + 1) Nếu n ≥ F(f, {Hi, ki}2n+1 i=1 , n) ≤ CHƯƠNG 2: Vấn đề hàm phân hình có siêu bậc nhỏ Chương viết dựa báo [1] mục Các cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị Bổ đề 2.1.3 Cho f hàm phân hình khác C Cho a1, a2, , aq (q ≥ 3) q hàm phân hình phân biệt biệt nhỏ so với f C Khi đó, ta có q (q − 2)T (r, f ) ≤ N r, i=1 + S(r, f ) f − 17 Bổ đề 2.1.4 Cho f hàm phân hình khác cho c ∈ C Nếu f có bậc hữu hạn m r, f (z + c) log r =O T (r, f ) f (z) r với r bên tập E trù mật logarit Nếu siêu bậc γ(f ) f nhỏ với > 0, có m r, T (r, f ) f (z + c) = o 1−γ(f )− f (z) r với r bên ngồi tập có độ đo logarit hữu hạn Bổ đề 2.1.5 Cho T : R+ → R+ hàm liên tục không giảm s ∈ (0, +∞) cho siêu bậc T nhỏ thực 1, nghĩa log+ log+ T (r) γ = lim supr→∞ < Thế log r T (r + s) = T (r) + o T (r) r1−γ− , với > r → ∞ bên tập có độ đo logarit hữu hạn Đối với hàm phân hình f , kí hiệu fc(z) = f (z + c) ∆cf := fc − f Bổ đề 2.1.6 Cho c ∈ C cho f hàm phân hình khác có siêu bậc γ(f ) < cho ∆cf ≡ Cho q ≥ a1(z), , aq (z) hàm nhỏ so với f tuần hồn với chu kỳ c Thế q m(r, f ) + m r, k=1 ≤ 2T (r, f ) − Npair (r, f ) + S1(r, f ), f − ak Npair (r, f ) = 2N (r, f ) − N (r, ∆cf ) + N r, ∆1cf 2.2 Vấn đề hàm phân hình có siêu bậc nhỏ 18 Trong mục này, chứng minh Định lí hệ 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3 2.2.4 2.3 Tính tuần hồn hàm phân hình có siêu bậc nhỏ Trong mục này, đưa số điều kiện cần để hàm phân hình có siêu bậc nhỏ có tính chất tuần hoàn Đây áp dụng Định lí 2.2.1 Hệ 2.2.2 Cụ thể chúng tơi chứng minh Định lí 2.3.1 2.3.2 CHƯƠNG 3: Vấn đề ánh xạ phân hình có bậc Chương viết dựa báo [2] mục Các cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị Bổ đề 3.1.1 Cho q ∈ Cm \{0} Đối với số nguyên dương M , đặt Iα = {(i0, , in) ∈ Nn+1 : i0 + · · · + in = α}, Ij ∈ Iα với j ∈ {1, , M } Khi đó, ánh xạ phân hình f = (f0 : · · · : fn) : Cm → Pn(C) có bậc thỏa mãn Cq (f ) = Cq f I1 , , f IM ≡ hàm f0, , fn phụ thuộc đại số trường φ0q Bổ đề 3.1.2 Cho Q1, , Qk+1 siêu mặt Pn(C) bậc d cho k+1 i=1 Qi = ∅ Khi đó, tồn n siêu mặt P2, , Pn+1 có dạng Pt = k−n+t ctj Qj , ctj ∈ C, t = 2, , n+1 j=2 cho n+1 i=1 Pi = ∅ Bổ đề 3.1.3 Cho {Qi}i∈R họ siêu mặt Pn(C) có bậc d cho f ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) Giả thiết i∈R Qi = ∅ Khi đó, tồn số dương α β cho α||f˜||d ≤ maxi∈R |Qi(f˜)| ≤ β||f˜||d 19 Bổ đề sau gọi bổ đề đạo hàm Logarit q-dịch chuyển, tương tự với bổ đề đạo hàm logarit Bổ đề 3.1.4 Cho f hàm phân hình bậc khác từ Cm vào C q = (q1, , qm) ∈ Cm với qj = với j, m r, f (qz) f (z) = o(T (r, f (z))) tập trù mật logarit 3.2 Định lí thứ hai q-dịch chuyển Trong mục này, chứng minh Định lí 3.2.1 3.2.3 3.3 Định lí kiểu Picard Trong mục này, chúng tơi đưa chứng minh Định lí 3.3.1 Hệ 3.3.5 Để chứng minh Định lí 3.3.1, ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.3.2 Cho Q1, , Qp siêu mặt có bậc d n+d Pn(C) nằm vị trí N -dưới tổng quát Đặt M = −1 n p˜ = p−N −1 M −n+1 + N + Nếu p ≥ M + 2N − n + tồn tập U ⊂ {1, , p} với |U | ≥ p˜ thỏa mãn điều kiện: (∗) cho tập hợp R ⊂ U với |R| ≤ p˜ − N − 1, ta có span{Q∗j }j∈R ∩ span{Q∗i }i∈R∗ = {0}, R∗ = U \ R Q∗j đa thức xác định Qj Bổ đề 3.3.3 Cho f : Cm → Pn(C) ánh xạ phân hình với biểu diễn rút gọn f˜ = (f0 : · · · : fn) cho q = (q1, , qm) ∈ Cm với qj = với j Giả thiết σ(f ) = tất không điểm f0, , fn dịch chuyển bất biến ứng với toán tử n+d τq (z) = qz Cho d ∈ N∗ đặt M = − Nếu d, n 20 f Ii ∈ φ0q với i, j ∈ {0, , M } cho Ii = Ij f0, , fn Ij f không suy biến đại số trường φ0q Bổ đề 3.3.4 Cho f = (f0 : · · · : fn) ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) có bậc σ(f ) = với q = (q1, , qm) ∈ Cm với qj = 0, với j Giả sử tất không điểm f0, , fn dịch chuyển bất biến qua τq (z) = qz Cho d ∈ N∗, đặt n+d M = − Cho S1 ∪ · · · ∪ Sl phân hoạch n {0, , M } hình thành theo cách mà i j lớp Sk f Ii I ∈ φ0q Nếu f I0 + · · · + f IM = f Ij = với j f j∈Sk k ∈ {1, , l} CHƯƠNG 4: Tính phụ thuộc đại số tính hữu hạn ánh xạ phân hình Chương viết dựa báo [3] mục Các công trình cơng bố liên quan đến luận án Trong chương này, chúng tơi chứng minh định lí tính phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) giao với 2n+1 siêu phẳng vị trí tổng quát ngắt bội mức n Ở đó, giao điểm có bội lớn thực giá trị định không cần phải đếm Như áp dụng, chúng tơi có định lí tính hữu hạn ánh xạ phân hình 4.1 Một số tính chất kết phụ trợ Định lí 4.1.1 [Định lí Cơ thứ nhất] Cho f : Cm → Pn(C) ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính H siêu phẳng Pn(C) Khi N(f,H)(r) + mf,H (r) = Tf (r), r > 21 Định lí 4.1.2 [Định lí Cơ thứ hai] Cho f : Cm → Pn(C) ánh xạ phân hình khơng suy biến tuyến tính H1, , Hq siêu phẳng vị trí tổng quát Pn(C) Khi q [n] ||(q − n − 1)Tf (r) ≤ N(f,Hi)(r) + o(Tf (r)) i=1 Bổ đề 4.1.3 Nếu Φα (F, G, H) = Φα F1 , G1 , H1 = cho α với |α| ≤ có khẳng định sau đây: (i) F = G, G = H H = F (ii) F G G, H H F số Định lí 4.1.4 Cho f 1, f 2, f ba ánh xạ F(f, {Hi, ki}qi=1, 1) Giả sử tồn s, t, l ∈ {1, , q} cho (f 1, Hs) (f 1, Ht) (f 1, Hl ) P := (f 2, Hs) (f 2, Ht) (f 2, Hl ) ≡ (f 3, Hs) (f 3, Ht) (f 3, Hl ) Khi đó, có [1] (N (r, {ν(f u,Hi),≤ki }) − N(f 1,H ),≤k (r)) T (r) ≥ NP (r) ≥ 1≤u≤3 i=s,t,l q i i [1] +2 N(f 1,H ),≤k (r), i i i=1 u=1 Tf u (r) 4.1.5 Nếu 2n+1 i=1 ki +1 T (r) = q Định lí < n−1 g ∈ F(f, {H , k } i i i=1 , n) n không suy biến tuyến tính, đồng thời ||Tg (r) = O(Tf (r)) ||Tf (r) = O(Tg (r)) 4.2 Tính phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phẳng 22 Trong mục này, chúng tơi chứng minh Định lí 4.2.1 Để chứng minh định lí này, ta cần bổ đề sau Bổ đề 4.2.2 Cho q, N hai số nguyên thỏa mãn q ≥ 2N + 2, N ≥ q số chẵn Cho {a1, a2, , aq } họ véc tơ không gian véc tơ chiều cho rank{aj }j∈R = với tập hợp R ⊂ Q = {1, , q} có R = N + Khi đó, tồn q/2 phân hoạch j=1 Ij {1, , q} thỏa mãn Ij = {ai}i∈Ij = với j = 1, , q/2 4.3 Tính hữu hạn ánh xạ phân hình chia sẻ 2n+1 siêu phẳng Trong mục này, chứng minh Định lí 4.3.1 Tuy nhiên, chúng tơi phải cần bổ đề sau Bổ đề 4.3.2 Với giả thiết Định lí 4.3.1, cho h g hai phần tử họ F(f, {Hi, ki}2n+1 i=1 , n) Nếu tồn số λ (g,Hi ) (h,Hi ) = λ λ = hai số i, j cho (h,H ) (g,H j j) Bổ đề 4.3.3 Cho f 1, f 2, f ba phần tử F(f, {Hi, ki}2n+1 i=1 , n), cho ki (1 ≤ i ≤ 2n + 1) số nguyên dương +∞ Giả sử f ∧ f ∧ f ≡ Vi ∼ Vj với i khác j Khi f 1, f 2, f không phân biệt Bổ đề 4.3.4 Với giả thiết Định lí 4.3.1, cho f 1, f 2, f ba ánh xạ F(f, {Hi, ki}2n+1 i=1 , n) Giả sử f , f , f phân biệt có hai số i, j ∈ {1, 2, , 2n + 1} (i = j) cho Vi ∼ = Vj Φαij := Φα (F1ij , F2ij , F3ij ) ≡ với α = (α1, , αm) ∈ Z+ m mà |α| = Khi đó, với t ∈ {1, , 2n + 1} \ {i}, khẳng định sau (i) Φαit ≡ với |α ≤ 1|, 23 (ii) Vi ∼ = Vt F1ti, F2ti, F3ti phân biệt [1] [1] N(f,Hi),≤ki (r) ≥ [1] N(f,Hs),≤ks (r) − N(f,Ht),≤kt (r) s=i,t [1] −2 N(f u,Hs),>ks (r) + o(T (r)) u=1 s=i,t Bổ đề 4.3.5 Với giả thiết Định lí 4.3.1, cho f 1, f 2, f ba ánh xạ F(f, {Hi, ki}2n+1 i=1 , n) Giả sử f , f , f phân biệt có hai số i, j ∈ {1, 2, , 2n + 1} (i = j) α ∈ Z+ m với |α| = cho Φαij ≡ Thế thì, ta có 3 [n] N(f u,Hi),≤ki (r) T (r) ≥ u=1 [n] + N(f u,Hj ),≤kj (r) u=1 [1] +2 N(f,Ht),≤kt (r) + o(T (r)) t=1,t=i,j 1 − (2n + 1)N(f,H (r) − (n + 1)N(f,H (r) + N (r, νj ) i ),≤ki j ),≤kj − 1+ u=1 n − [1] 2n − [1] N(f u,Hj ),>kj + + N(f u,Hi),>ki , 3 νj := {z : ki ≥ ν(f u,Hi)(z) = ν(f t,Hi)(z)} với hoán vị (u, v, t) (1, 2, 3) Kết luận kiến nghị Kết luận Luận án nghiên cứu số kiểu tốn nhất, tính phụ thuộc đại số tính hữu hạn ánh xạ phân hình Luận án đạt số kết sau: • Đưa chứng minh số kiểu định lí cho hàm phân hình có siêu bậc nhỏ mặt phẳng phức 24 • Đưa chứng minh định lí Cơ thứ hai cho ánh phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn(C) có bậc giao với siêu mặt vị trí tổng quát Áp dụng để mở rộng định lí kiểu Picard cho ánh xạ phân hình giao với siêu mặt • Đưa chứng minh định lí phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn(C) giao với 2n + siêu phẳng vị trí tổng quát Áp dụng đưa định lí tính hữu hạn ánh xạ phân hình Kiến nghị nghiên cứu Trong trình nghiên cứu vấn đề luận án, suy nghĩ số hướng nghiên cứu sau • Trong luận án, chúng tơi chứng minh định lí Cơ thứ hai định lí kiểu Picard cho ánh xạ phân hình có bậc khơng từ Cm vào khơng gian xạ ảnh Pn(C) giao với họ siêu mặt Trong thời gian tới, nghiên cứu cách làm để đưa định lí cho ánh xạ phân hình loại với họ siêu mặt mà số siêu mặt tham gia nhỏ • Chúng tơi tiếp tục nghiên cứu định lí kiểu Picard hàm phân hình bậc khơng hàm phân hình có siêu bậc nhỏ mặt phẳng phức • Chúng tơi nghiên cứu để tìm cách tổng qt hóa định lí phụ thuộc đại số tính hữu hạn cho họ ánh xạ phân hình lên đa tạp tổng quát hơn, chẳng hn a Kăahler Chỳng tụi cng t nghiờn cứu định lí họ tham gia siêu mặt siêu phẳng xét điều kiện tổng quát bội chặn ánh xạ phân hình 25 Các cơng trình công bố liên quan đến luận án [1] N Vangty and P D Thoan, On partial value sharing results of meromorphic functions with their shifts and its applications, Bull Korean Math., 57 (2020), No 5, 1083-1094 [2] P D Thoan, N H Nam and N Vangty, q-differences theorems for meromorphic maps of several complex variables intersecting hypersurfaces, Asian-European J Math., Vol 14, No (2021) 2150040 (21 pages) [3] P D Thoan and N Vangty, Algebraic dependences and finitenness of meromorphic mappings sharing 2n + hyperplanes with truncated multiplicities, Kodai Math J., 43 (2020), 504-523 ... đại số ánh xạ phân hình Từ lý trên, lựa chọn đề tài ? ?Một số định lí tính tính hữu hạn họ ánh xạ phân hình? ??, để sâu vào nghiên cứu toán ánh xạ phân hình ánh xạ dịch chuyển chúng, tốn tính hữu hạn. .. đề tính hữu hạn hàm phân hình ánh xạ phân hình Bên cạnh việc làm phong phú thêm toán này, luận án đưa kết cho phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh với họ siêu phẳng Luận án. .. {1, , m} f ánh xạ III Tính phụ thuộc đại số tính hữu hạn họ ánh xạ phân hình chia sẻ 2n + siêu phẳng Bài toán phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình nhiều biến phức vào khơng gian xạ ảnh phức cho