BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ————oOo———— TIỂU LUẬN TÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Thực : Nhóm Lớp : Giải tích K09 Khóa học : 2014 - 2016 Đắk Lắk, 09/2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN TÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Học viên thực : Nhóm Lớp : Giải tích K09 NGƯỜI HƯỚNG DẪN PGS TS Thái Thuần Quang Đắk Lắk, 09/2015 DANH SÁCH HỌC VIÊN LÀM TIỂU LUẬN Huỳnh Thị Thanh Hương Hách Thị Hồng Hoa Phạm Thị Yên Ly Bùi Thị Phương Thảo Nguyễn Thị Thu Hiền Lê Vũ Nhất Trịnh Thanh Hùng Nguyễn Minh Phát Đinh Hoài Lưu i MỤC LỤC MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT iii MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm Tính chất đồng liên tục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình 2.1 Tính chất đồng liên tục họ ánh xạ chỉnh hình 2.2 Tính bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình 10 KẾT LUẬN 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT R : Tập số thực H (U ; F ) : Không gian vectơ tất ánh xạ chỉnh hình từ U → F (E, ) : Không gian định chuẩn (X, τ ) : Không gian tôpô iii MỞ ĐẦU Giải tích phức, hay cịn gọi lý thuyết hàm biến phức, nhánh toán học nghiên cứu hệ hàm số hay nhiều biến biến số số phức (các ánh xạ C n C m ) Khoảng 50 năm trước, dựa phát triển Giải tích hàm, Giải tích phức nghiên cứu ánh xạ không gian vector tôpô phức vô hạn chiều, đặc biệt không gian định chuẩn Giải tích phức có nhiều ứng dụng nhiều ngành khác tốn học, có lý thuyết số tốn ứng dụng Một đối tượng giải tích phức ánh xạ giải tích phức, thường gọi ánh xạ chỉnh hình Vì phần thực phần ảo hàm giải tích biến thỏa mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức ứng dụng rộng rãi toán vật lý hai chiều Nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình hướng nghiên cứu quan trọng Giải tích phức Các kết đạt theo hướng nghiên cứu ngày nhiều có nhiều ứng dụng thực tế Tiểu luận trình bày làm sáng tỏ vài vấn đề Tính chất đồng liên lục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình mong tài liệu tham khảo học viên quan tâm đến Giải tích phức mà cụ thể hàm chỉnh hình Nội dung tiểu luận trình bày hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương dành cho việc trình bày khái niệm, kiến thức sở cần cho việc trình bày chứng minh chương Chương 2: Tính chất đồng liên tục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình Chương giới thiệu tính chất đồng liên tục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình khơng gian Banach phức Bên cạnh giới thiệu số ví dụ tập liên quan Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sơ cần cho trình bày chứng minh chương 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Giả sử E không gian tuyến tính trường K (thực phức) Hàm ||.|| : E → R gọi chuẩn E thỏa mãn điều kiện sau: (1) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ E x = ⇔ x = (2) kx = |k| x , ∀k ∈ K, ∀x ∈ E (3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ E Không gian tuyến tính E chuẩn gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn, hay nói gọn không gian định chuẩn ký hiệu (E, ) hay đơn giản E Nhận xét 1.1.2 Cho không gian định chuẩn (X, ) Với x, y ∈ X, đặt d(x, y) = x − y d metric X Do không gian định chuẩn không gian metric với metric xác định Các tính chất mệnh đề không gian metric cho không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) lim d(xn , xm ) = n,m→∞ Nhận xét 1.1.4 Mọi dãy hội tụ không gian metric dãy Cauchy Định nghĩa 1.1.5 Không gian metric (X, d) gọi không gian đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach Điều nghĩa không gian Banach không gian định chuẩn E trường số thực hay số phức với chuẩn cho dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = x − y có giới hạn E) Định nghĩa 1.1.6 Cho tập X Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện: (1) X ∅ thuộc τ (2) Hợp họ tùy ý tập thuộc τ thuộc τ (3) Giao hữu hạn tập thuộc τ thuộc τ Một tập X tôpô X gọi không gian tôpô Để rõ τ tôpô không gian X ta viết (X, τ ) Định nghĩa 1.1.7 Cho U tập mở E Ánh xạ f : U → F ánh xạ chỉnh hình với a ∈ U tồn hình cầu mở B (a; r) ⊂ U chuỗi đa thức Pm ∈ P (m E, F ) cho f (x) = n Pm (x − a), ∀x ∈ m B (a, r) Chúng ta biểu thị H (U ; F ) không gian vectơ tất ánh xạ chỉnh hình từ U → F Khi F = C ta viết H (U ; C) = H (U ) Định nghĩa 1.1.8 Cho không gian metric (X, d) a) Với r < 0, x ∈ X Tập S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} (hay S [x, r] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}) gọi hình cầu mở (đóng) tâm x, bán kính r b) Điểm x gọi điểm dính tập hợp A với r > cho S(x, r) A = ∅ Tập điểm dính A gọi bao đóng A, kí hiệu A¯ hay [A] c) Điểm x gọi điểm tập hợp A tồn r(x) > cho S(x, r) ⊂ A Tập điểm A gọi phần A, kí hiệu Ao hay int A d) Điểm x gọi điểm biên tập hợp A x điểm dính A X A, tức r > ta có S(x, r) A = ∅và S(x, r) (X A) = ∅ Tập hợp điểm biên A gọi biên A kí hiệu ∂A Định nghĩa 1.1.9 Cho không gian metric (X, d) K ⊂ X Tập K gọi compact dãy {xn } ⊂ K có dãy hội tụ tới ¯ tập phần tử K Tập K gọi compact tương đối bao đóng K compact Ví dụ 1.1.10 + Trong không gian Rn , tập compact tương đối tập bị chặn + Trong không gian metric, tập compact tương đối tập hoàn toàn bị chặn (tức phủ số hữu hạn hình cầu có bán kính nhỏ tùy ý ↔ dãy rút dãy Cauchy) Định lí 1.1.11 Cho U tập mở E Khi với f : U → F mệnh đề sau tương đương: ... MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT iii MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm Tính chất đồng liên tục bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình 2.1 Tính chất đồng liên tục họ ánh xạ. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN TÍNH CHẤT ĐỒNG LIÊN TỤC VÀ BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Học viên thực : Nhóm Lớp : Giải tích... xạ chỉnh hình 2.2 Tính bị chặn địa phương họ ánh xạ chỉnh hình 10 KẾT LUẬN 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT R : Tập số thực H (U ; F ) : Không gian vectơ tất ánh xạ chỉnh