Bậ GIO DệC V TRìNG O TO I HC QUY NHèN DìèNG THANH Vò HậI Tệ KIU TAUBER CHO HM V€ •NH X„ CHŸNH HœNH LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC BœNH ÀNH - N‹M 2019 BË GI•O DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN HËI TƯ KIšU TAUBER CHO HM V NH X CHNH HNH Chuyản ng nh: ToĂn GiÊi Tẵch M số: 9460102 PhÊn biằn 1: Ph£n bi»n 2: Ph£n bi»n 3: NGìI HìẻNG DN KHOA HC: PGS TS Th¡i Thu¦n Quang BœNH ÀNH - N‹M 2019 LÍI CAM OAN Luên Ăn n y ữủc ho n th nh tÔi Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn dữợi sỹ hữợng dăn cõa PGS TS Th¡i Thu¦n Quang Tỉi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi CĂc kát quÊ Luên Ăn l trung thỹc, ữủc cĂc ỗng t¡c gi£ cho ph²p sû dưng v ch÷a tøng ÷đc cổng bố trữợc õ TĂc giÊ Dữỡng Thanh V LI CM èN Luên Ăn ữủc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn hát sực tên tẳnh v khoa hồc cừa ThƯy ThĂi ThuƯn Quang Tổi xin ữủc b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c án ThƯy v gia ẳnh TĂc giÊ xin chƠn th nh gỷi lới cÊm ỡn sƠu s-c án GS Nguyạn Vôn Khuả, GS Lả Mêu HÊi (Trữớng HSP H Nởi) v GS Sean Dineen ( Ôi hồc Dublin, Cởng hỏa Ireland) vẳ cĂc lới khuyản v cĂc gõp ỵ sƠu s-c cho viằc ho n thiằn mởt số kát quÊ Chữỡng v Chữỡng cừa luên Ăn n y TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn sƠu s-c án Khoa ToĂn, Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn, Ơy l nỡi tổi b-t Ưu ữủc hồc têp, cổng tĂc v nhên ữủc nhiãu sỹ quan tƠm, giúp ù, ởng viản khẵch lằ Xin b y tọ lỏng biát ỡn chƠn th nh án quỵ ThƯy, Cổ giĂo Khoa ToĂn  giÊng dÔy tổi nhỳng nôm thĂng tổi ữủc hồc têp, nghiản cùu T¡c gi£ cơng xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban GiĂm hiằu Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn, Phỏng o tÔo sau Ôi hồc  tên tẳnh giúp ù v tÔo mồi iãu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ suốt thới gian hồc têp v nghiản cựu TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn TS Lả Quang Thuên, TS LƠm Th Thanh TƠm, PGS TS Lữỡng ông Ký  cõ nhỳng gõp ỵ quỵ bĂu quĂ trẳnh tổi hồc têp v nghiản cựu Cuối cũng, tĂc giÊ xin d nh tẳnh cÊm c biằt án gia ẳnh, ngữới thƠn v cĂc ngữới bÔn cừa tĂc giÊ, nhỳng ngữới  luổn mong mọi, ởng viản v tiáp sực cho t¡c gi£ º ho n th nh b£n luªn Ăn n y DANH MệC CC Kị HIU AvpDq : Khổng gian cừa HvpDq cho hẳnh cƯu ìn âng l compact vỵi tỉpỉ compact mð AvpD; F q : tf : D Ñ F : u f P AvpDq; @u P F 1u AG;vpDq : Khổng gian cừa HG;vpDq cho hẳnh cƯu ỡn âng l compact vỵi tỉpỉ compact mð AG;vpD; F q acxpDq : tf : D Ñ F : u f P AG;vpDq; @u P F 1u : Bao lỗi cƠn õng cừa têp D BpEq cspF q : Têp hủp cĂc têp lỗi, cƠn, õng, b chn E : Têp hủp cĂc nỷa chuân liản tửc trản F EB : Khổng gian sinh bi têp B : Khổng gian ối ngău cừa khổng gian lỗi a phữỡng E : Khổng gian E1 vợi tổpổ chn õng liản kát vợi tổpổ ối ngău mÔnh : Khổng gian cĂc h m chnh hẳnh trản D nhên giĂ trà F : Khæng gian c¡c h m ch¿nh hẳnh trản D nhên giĂ tr C HGpD; F q : HG p Dq Khæng gian c¡c h m G-chnh hẳnh trản D nhên giĂ tr F : Hbp Dq Khổng gian cĂc h m G-chnh hẳnh trản D nhªn gi¡ trà C : Khỉng gian c¡c h m ch¿nh h¼nh tø D v o E E bor HpD; F q H pDq HubpEq HvpD; F q HvpDq HG;vpD; F q HG;vpDq C; bà ch°n trản cĂc têp b chn D : Khổng gian cĂc h m chnh hẳnh loÔi b chn ãu trản E : tf P HpD; F q : pv:fqpDq bà ch°n tr¶n Du : tf P HpDq : pv:fqpDq bà ch°n tr¶n Du : tf P HGpD; F q : pv:fqpDq bà ch°n tr¶n Du : tf P HGpDq : pv:fqpDq bà ch°n tr¶n Du : Khỉng gian c¡c ¡nh xÔ chnh hẳnh tứ D v o F KpEq : Têp hủp cĂc têp compact, lỗi, cƠn E Ox : V nh cĂc mƯm h m chnh hẳnh tÔi x P X OX P SHpDq : Bõ cĂc mƯm h m chnh hẳnh trản X : Têp hủp cĂc h m a iãu hỏa dữợi trản D HolpD; Xq Uk u : tx P E : }x}k 1u : H m chẵnh quy hõa nỷa liản tửc trản cõa h m u : tz P C : }z} 1u Mửc lửc Danh mửc cĂc kỵ hiằu M Ưu iv Ch÷ìng Hëi tư Tauber nhanh khỉng gian c¡c h m ch¿nh h¼nh 11 1.1 Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ bê trđ 11 1.1.1 Khæng gian Fr²chet v cĂc ối ngău 11 1.1.2 C¡c h m ch¿nh h¼nh 13 1.1.3 H m a iãu hỏa dữợi, têp a cỹc 13 1.1.4 Mởt số bĐt bián tổpổ tuyán tẵnh 14 1.2 Têng quan v· khæng gian Zorn 15 1.3 T½nh chĐt Zorn cừa khổng gian trũ mêt 17 1.4 Hëi tö Tauber nhanh v th¡c triºn ch¿nh h¼nh 24 Ch÷ìng Hëi tư Tauber khæng gian câ trång cõa c¡c h m ch¿nh h¼nh 34 2.1 Khỉng gian câ trång cõa c¡c h m ch¿nh h¼nh 35 2.2 Tuyán tẵnh hõa cừa cĂc h m chnh hẳnh (GƠteaux) cõ trồng 36 2.3 Hëi tö Tauber khỉng gian câ trång cõa c¡c h m ch¿nh h¼nh 42 2.4 •p dưng cho b i to¡n th¡c triºn ch¿nh h¼nh câ trång iii 46 Ch÷ìng Khỉng gian Vitali v tẵnh taut yáu 3.1 Mởt số khĂi niằm cỡ b£n 51 51 3.2 T½nh taut y¸u 53 3.3 Tẵnh Vitali, tẵnh taut yáu v tẵnh taut 59 3.4 T½nh taut yáu cừa miãn Hartogs v miãn cƠn 63 Kát luên 70 Danh mửc cổng trẳnh cừa t¡c gi£ 73 T i li»u tham kh£o 74 Ch¿ mửc 81 iv M Ưu nh lỵ Abel nõi rơng n¸u mët chi lơy thøa °az n n hëi tử tÔi n0 im z0 thẳ nõ hởi tử ắa tƠm bĂn kẵnh |z0| Tiảu chuân hởi tư cì b£n n y l mët v½ dư ìn giÊn nhĐt vã tẵnh lan truyãn cừa sỹ hởi tử Hiằn tữủng n y cụng xÊy tẳnh hng têng qu¡t hìn cho sü hëi tư cõa mët dÂy cĂc h m chnh hẳnh, nõ cõ th lan rởng tứ cĂc têp lản to n miãn xĂc ành B i to¡n v· sü lan truy·n cõa mët tẵnh chĐt n o õ l mởt nhỳng b i toĂn cờ in cừa GiÊi tẵch VĐn ã t l i tẳm miãn lợn nhĐt chựa mởt miãn cho trữợc m trản õ mởt tẵnh chĐt n o õ cừa mởt ối tữủng giÊi tẵch văn cỏn ữủc thọa mÂn Chng hÔn, cho trữợc mởt h m chnh hẳnh f xĂc nh trản mởt miãn n o â n C , ta s³ t¼m hiºu sü thĂc trin chnh hẳnh cừa nõ lản mởt miãn rởng hỡn; hoc, vợi E; F l cĂc khổng gian lỗi a phữỡng trản trữớng C v D l mởt miãn E; ta tẳm kiám thảm cĂc tẵnh chĐt Êm bÊo rơng mồi dÂy h m chnh hẳnh nhên gi¡ trà F; x¡c ành v hëi tö ( im) trản mởt têp nhọ cừa D l hởi tư ( ·u) kh-p nìi tr¶n D; v.v C¡c kát quÊ dÔng nhữ vêy ta gồi l hởi tử kiu Tauber Mởt vẵ dử Đn tữủng cừa vĐn ã n y l nh lỵ Vitali Ơy l mởt dÔng hởi tử kiu Tauber ối vợi cĂc dÂy h m ch¿nh h¼nh, â i·u ki»n °t l têp m trản õ dÂy  cho hởi tử phÊi chựa ẵt nhĐt mởt im giợi hÔn v dÂy n y ph£i hëi tư ·u àa ph÷ìng Mët ành lỵ cờ in cừa Vitali khng nh rơng náu dÂy h m chnh hẳnh pfmqmƠ1 b chn ãu trản cĂc tªp compact cõa mi·n D n C v náu dÂy n y hởi tử im án mởt h m f trản mởt têp X cừa D m nõ khổng ữủc chựa mởt siảu mt phực thẳ pfmqmƠ1 hởi tử ãu trản cĂc têp compact cừa D: Chú ỵ rơng phiản bÊn giĂ tr vctỡ cừa nh lỵ Vitali õng mởt vai trỏ quan trồng lỵ thuyát nỷa nhõm (chng hÔn, xem [1, Theorem 4.2] ho°c [61, Theorem 2.4]) Trong tr÷íng hđp E; F húu hÔn chiãu, chựng minh sợm nhĐt cừa nh lỵ Vitali ữủc ữa nhớ sỹ trủ giúp cừa nh lỵ Montel (xem chùng minh [71, p 129] v c¡c ỵ vã lch sỷ [71, p 138]) TrĂi ngữủc vợi trữớng hủp vổ hữợng, khõ cõ th tẳm thĐy mởt kát quÊ tữỡng tỹ vợi nh lỵ n y trữớng hủp h m chnh hẳnh giĂ tr vctỡ (ta s³ gåi l h m ch¿nh h¼nh) bði v¼ trữớng hủp n y nh lỵ Montel khổng cỏn hiằu lỹc MÂi án nôm 1957, Hille v Phillips [40, Theorem 3.14.1]  ữa mởt chựng minh khĂ phực tÔp cho nh lỵ n y trữớng hủp cĂc khổng gian miãn giĂ tr l Banach vổ hÔn chi·u Trong thüc t¸, chùng minh trüc ti¸p (kh¡ kÿ thuêt) cừa Lindelof cụng  ữủc trẳnh b y cho tr÷íng hđp gi¡ trà v²ctì cn s¡ch n y [40, p 104 - 105] Tuy nhiản, án nôm 2000, bơng cĂch sỷ dửng khĂi niằm chnh hẳnh rĐt yáu v nh lỵ vã tẵnh nhĐt mởt số lêp luên khĂ kho lo, Arendt v Nikolski [2]  d ng ữa mởt chựng minh trỹc tiáp cho nh lỵ Vitali ối vợi cĂc lữợi h m chnh hẳnh mởt bián phực nhên giĂ tr Banach, õ têp nhọ, m trản õ lữợi h m hëi tö, câ mët iºm tö (xem [2, Theorem 3.1]) Sau õ, tờng quĂt hỡn, nôm 2013, Quang, LƠm v Ôi  ã xuĐt v chựng minh cĂc nh lỵ kiu Vitali ối vợi cĂc dÂy b chn a phữỡng cĂc h m chnh hẳnh trản mởt miãn khổng gian Frchet, nhên giĂ tr Frchet cụng nhữ ối vợi cĂc dÂy h m chnh hẳnh b chn trản cĂc tªp bà ch°n giúa c¡c khỉng gian Fr²chet-Schwartz (xem [66, Theorems 6.1, 6.2, 6.3]) Cổng cử bĐt bián tổpổ tuyán tẵnh, ữủc Vogt giợi thiằu v nghiản cựu (xem [75, 76, 77]),  ữủc sỷ dửng cĂc chựng minh cừa hồ GƯn Ơy nhĐt, Diằu, MÔnh, Bơng, Hững [14]  quan tƠm án viằc tẳm cĂc kát quÊ tữỡng tỹ vợi nh lỵ Vitali trữớng hủp bọ qua tẵnh b chn ãu cừa dÂy h m Mởt cĂch tiáp cên khÊ dắ l Ăp t mởt chá mÔnh hỡn cho sỹ hởi tử v /hoc cho kẵch thữợc cừa têp nhọ Mởt số phiản bÊn cừa nh lỵ Vitali cho cĂc h m chnh hẳnh b chn v cho c¡c h m húu t m chóng hëi tử im nhanh trản mởt têp n khổng a cỹc cừa mởt miãn C  ữủc khÊo sĂt cổng trẳnh cừa hồ é Ơy, sỹ xĐp x nhanh ữủc o bơng tông cừa cĂc chuân sup cừa cĂc h m Vợi mửc tiảu tẳm kiám cĂc iãu kiằn a phữỡng cho tẵnh chĐt ỡn tr cừa thĂc trin chnh hẳnh, Gonchar [31]  chựng minh rơng mởt dÂy cĂc h m hỳu t prmqmƠ1 n C (deg rm Ô m) hởi tử nhanh theo o trản mởt têp m X án mởt h m chnh hẳnh f xĂc nh trản mởt miãn b chn D (X D) th¼ s³ hëi tư theo ë o án f trản to n bở D: RĐt lƠu sau õ, bơng cĂch sỷ dửng cĂc k thuêt cừa lỵ thuyát a thá v, [8, Theorem 2.1], Bloom cụng  chựng minh mởt kát quÊ tữỡng tỹ, â sü hëi tư nhanh theo ë o ÷đc thay bơng sỹ hởi tử nhanh theo dung lữủng v têp nhä X ch¿ l compact v khæng a cüc Theo dỏng nghiản cựu n y, chúng tổi quan tƠm án b i toĂn Ưu tiản nhữ sau B i to¡n Nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tr¶n c¡c khỉng gian Frchet (hoc khổng gian lỗi a phữỡng) E v F º cho måi h m f vỵi gi¡ trà F xĂc nh, liản tửc v ữủc xĐp x nhanh theo im trản mởt têp lỗi, cƠn, compact, khæng a cüc (ho°c khæng qu¡ nhä) B cừa E bi mởt dÂy cĂc a thực ppmqmƠ1 vợi giĂ tr F cõ th thĂc trin ữủc án mởt h m nguyản Ơy, sỹ hởi tử nhanh theo im trản B cừa mởt dÂy cĂc a thực ppmqmƠ1 vợi giĂ tr F án f ữủc hiu theo ngh¾a Ð lim }fpzq pmpzq}n 1{ m 0; @z P B; @n ¥ 1; mĐ8 â p} }nqn¥1 l hồ tông cĂc nỷa chuân xĂc nh tổpổ cừa F: Ti¸p theo, chóng tỉi xem x²t ¸n sü hëi tư Tauber khæng gian câ trång cõa c¡c h m chnh hẳnh Vợi mởt miãn D khổng gian lỗi àa ph÷ìng E; mët trång v : D Đ p0; 8q l mởt h m liản tửc, dữỡng thỹc sỹ Ta °t HvpD; F q : tf P HpD; F q : pv:fqpDq bà ch°n tr¶n Du tf P HpD; F q : }f}v;p : sup vpxqppfpxqq vỵi måi p P cspF qu; xPD HG;vpD; F q : tf P HGpD; F q : pv:fqpDq bà ch°n tr¶n Du tf P HGpD; F q : }f}v;p : sup vpxqppfpxqq vỵi måi p P cspF qu; xPD â HpD; F q; HGpD; F q lƯn lữủt l khổng gian cĂc h m chnh hẳnh v chnh hẳnh GƠteaux xĂc nh trản D nhên giĂ tr F: Trữớng hñp F C, thay cho HvpD; Cq v HG;vpD; Cq ta vi¸t HvpDq v HG;vpDq: Ta x²t AvpDq HvpDq l khổng gian vợi hẳnh cƯu ỡn v õng l compact theo tổpổ compact-m 0: Chú ỵ rơng, iãu ki»n n y º £m b£o AvpDq l khæng gian âng theo chu©n cõa HvpDq v AvpDq l mët ¤i sè Khỉng gian c¡c h m gi¡ trà v²ctì theo nghắa yáu ữủc nh nghắa AvpD; F q : tf : D Ñ F : u f P AvpDq; @u P F 1u: Trong tr÷íng hđp E v F l c¡c khỉng gian Banach, Jord¡ [45, Proposition 9] ¢ chựng minh kát quÊ sau nh lỵ 1.1 Cho AvpDq l khổng gian cừa HvpDq cho hẳnh cƯu ìn âng l 0-compact, v cho D0 l tªp xĂc nh nhĐt ối vợi AvpDq: Chựng minh GiÊ sỷ X l taut yáu Theo nh lỵ 3.3.3, X l hyperbolic Do [18, Proposition 5.11] nản tỗn tÔi m Ă cho hpxq Ơ m}x} vợi mồi x P E: Náu X khổng b chn thẳ ta câ thº chån p nq X cho } n} Ơ n vợi mồi n: Vẳ X l cƠn nản n{n P X v õ 2{ ¥ hp n{nq ¥ m} n{n} ¥ mn n mn vợi mồi n: MƠu thuăn n y chựng tọ rơng X bà ch°n N¸u F l mët khỉng gian hỳu hÔn chiãu cừa E; i : F ẹ E l Ănh xÔ chẵnh t-c v pfnqnƠ1 Holp ; X X F q; thẳ pi fnqnƠ1 Holp ; Xq: Do õ, tỗn tÔi pgnqnƠ1 pfnqnƠ1 cho ho°c pi gnqn¥1 hëi tư Holp ; Xq ho°c pi gnqnƠ1 phƠn ký compact Holp ; Xq: Vẳ gnp q X X F v X X F l mởt têp õng cừa X nản náu pi gnqnƠ1 hởi tử Holp ; Xq; thẳ pgnqnƠ1 hởi tư Holp ; X X F q: N¸u pi gnqnƠ1 phƠn ký compact Holp ; Xq; thẳ vợi méi tªp compact K cõa v méi tªp compact L cừa X; tỗn tÔi mởt số nguyản dữỡng n0 cho pi gnqpKq X L ? vỵi måi n Ơ n0: iãu n y, kát hủp vợi pi gnqpKq F v gnpKq pi gnqpKq, dăn án pi gnqpKq X L gnpKq X L ? vỵi måi n Ơ n0: Vẳ F l mởt têp õng cừa X nản náu M l mởt têp compact cừa X X F thẳ ipMq l mởt têp compact cõa X v â ta câ gnpKq X M pi gnqpKq X ipMq ? vợi mồi n Ơ n0: Nhữ vêy, pgnqnƠ1 l phƠn ký compact Chúng ta  chựng tọ rơng X X F l taut yáu vợi mội khổng gian hỳu hÔn chiãu F cừa E: Theo nh lỵ 3.3.2, X X F l taut Do â, tø [49, Theorem 5.2.1], ta suy X X F l giÊ lỗi vợi mội khổng gian hỳu hÔn chiãu F cừa E: Theo [54, Corollary 37.6], X l giÊ lỗi Do õ, tứ [54, Theorem 37.5], ta suy h l a iãu hỏa dữợi BƠy giớ, chựng tọ rơng h l liản tửc LĐy pxnqnƠ1 X v giÊ sỷ limn xn x: Vợi måi n v måi P , °t fnp q xn: Khi â, fn P Holp ; Xq vỵi måi n: Do pxnqnƠ1 l mởt dÂy b chn E v X l mởt lƠn cên cừa nản ta u: Vẳ X cõ tẵnh cõ th chồn Ă cho limn fnp q x P X vỵi måi t : | | 1, ta suy Vitali n¶n f : limn fn P Holp ; Xq: V¼ fp q x vỵi måi vỵi | | x P X vỵi måi ; | | x P X vỵi måi ¡ v 1: Do â, x P X vỵi mồi thọa mÂn hpxq Ô 1: Theo Nhên xt 3.4.4, h l liản tửc 68 1: Nhữ vêy, Ngữủc lÔi, giÊ sỷ X b chn v h l a iãu hỏa dữợi v liản tửc Theo [18, Theorem 5.1], X l hyperbolic LĐy pfnqnƠ1 Holp ; Xq v gi£ sû r¬ng Z pfnq : t P : limn fnp q tỗn tÔiu cõ mởt im giợi hÔn : Vẳ X b chn nản pfnqnƠ1 l b chn a phữỡng Theo [2, Theorem 2.1], dÂy pfnqnƠ1 hởi tử tợi f P Holp ; Eq: Vẳ fnp q X vợi mồi n nản fp q X; â X l bao âng cõa X E: M°t kh¡c, X tx P E : hpxq 1u v h li¶n tưc n¶n fp q X tx P E : hpxq Ô 1u: Do õ, hpfp qq Ô vợi mồi P : Náu P Zpfnq thẳ fp q P X; v â hpfp qq V¼ f l chnh hẳnh v h l a iãu hỏa dữợi n¶n h m 1: P Đ hpfp qq P r0; 1s l a iãu hỏa dữợi Theo Nguyản lỵ cỹc Ôi cừa h m a iãu hỏa dữợi v [54, Proposition 34.7], ta câ hpfp qq vỵi måi P ; tùc l fp q P X vỵi måi P : Do â, f P Holp ; Xq v X cõ tẵnh Vitali Tứ nh lỵ 3.3.3 ta suy X l taut yáu Kát luên: Trong Chữỡng chúng tổi nghiản cựu sỹ hởi tử kiu Vitali cho dÂy Ănh xÔ chnh hẳnh trản ắa ỡn v C: Chúng tổi  ữa khĂi niằm khổng gian taut yáu khổng gian giÊi tẵch Banach Tứ õ, thiát lêp mởt số liản hằ giỳa ba lợp khổng gian: khổng gian giÊi tẵch Banach hyperbolic, khổng gian taut yáu v khỉng gian gi£i t½ch Banach câ t½nh Vitali Ci còng, chóng tỉi ÷a mët sè i·u ki»n º nhúng mi·n Hartogs khỉng gian gi£i t½ch Banach v nhỳng miãn cƠn khổng gian Banach l taut yáu 69 KT LUN Nởi dung chừ yáu cừa Luên Ăn l Tauber Luên Ăn nghiản cựu cĂc b i toĂn vã sỹ hởi tử kiu  õng gõp nhỳng kát quÊ chẵnh sau Ơy: Chựng minh ữủc tẵnh chĐt Zorn cõa c¡c mi·n D K : DXEK khæng gian trò mªt pEK ; Eq cõa khỉng gian Frchet E (hÔch hoc Schwartz cõ cỡ s Schauder tuyằt ối) vợi K P KpEq l têp khổng a cỹc n o õ; v ỗng thới cụng ch rơng mồi h m chnh hẳnh loÔi b chn trản DK ãu thĂc trin ữủc án mởt h m chnh hẳnh loÔi b chn trản D ( inh lỵ 1.3.3, nh lỵ 1.3.4) Khng nh sỹ tỗn tÔi cừa cĂc têp lỗi, cƠn, compact, khổng a cỹc B cừa r khổng gian Frchet E P p q (hÔch hoc Schwartz câ cì sð Schauder tuy»t èi) cho måi h m f vợi giĂ tr Frchet, xĂc nh, liản tửc v ữủc xĐp x nhanh trản mởt têp lỗi, cƠn, compact, khổng a cỹc B cừa E bi mởt dÂy cĂc a thực ppmqmƠ1 vợi giĂ tr Frchet cõ th thĂc trin ữủc án mởt h m nguyản ( nh lỵ 1.4.7, nh lỵ 1.4.8) ữa cĂc iãu kiằn tỗn tÔi têp compact, lỗi, cƠn, khổng a cüc K khæng gian Fr²chet E cho mội dÂy b chn cĂc h m chnh hẳnh giĂ trà Fr²chet pfmqm¥1 HG;vppEK ; Eq; F q hëi tư f P ·u ¸n mët h m HG;vppEK ; Eq; F q trản cĂc têp compact cừa pEK ; Eq mội pfmqmƠ1 hởi tử tÔi mội im cõa K; â E l tæpæ cõa EK c£m sinh bði tỉpỉ cõa E: Hìn núa, h m f câ mët th¡c triºn ch¿nh h¼nh H vpE; F q náu nõ liản tửc tÔi mởt im n o õ K ( nh lỵ 2.3.2, nh lỵ 2.3.3) XƠy dỹng mởt phiản bÊn khĂc cừa nh lỵ JordĂ, khng nh rơng náu E l mởt khổng gian lỗi a phữỡng khÊ mảtric v F l khổng gian lỗi a phữỡng Ưy thẳ mội lữợi b chn A vpD; F q s³ hëi tư ·u tr¶n c¡c têp compact cừa D án mởt h m A vpD; F q mội nõ hởi tử tÔi mội im cừa mởt têp nhĐt ối vợi AvpDq ( nh lỵ 2.3.4) Giợi thiằu khĂi niằm tẵnh taut y¸u , mët têng qu¡t hâa cõa kh¡i ni»m tẵnh taut  kh-c phửc ữủc mởt số khõ khôn nghiản cựu cĂc vĐn ã tứ cĂc 70 Ănh xÔ nhên giĂ tr khổng gian phực hỳu hÔn chiãu sang trữớng hủp vổ hÔn chiãu ữa cĂc mèi quan h» giúa khỉng gian gi£i t½ch Banach hyperbolic, khổng gian cõ tẵnh taut yáu v khổng gian cõ tẵnh Vitali ( nh lỵ 3.2.7, Mằnh ã 3.2.9, v nh lỵ 3.3.3) ỗng thới chựng minh ba tẵnh chĐt trản l trũng trữớng hủp hỳu hÔn chiãu ( nh lỵ 3.3.2) Luên Ăn cụng ữa mởt số Ăp dửng cừa cĂc kát quÊ chẵnh viằc giÊi quyát b i toĂn thĂc trin chnh hẳnh khæng gian câ trång AvpD; F q HvpD; F q cừa cĂc h m chnh hẳnh giĂ tr lỗi a phữỡng tứ mởt têp (gƯy) nhĐt v tứ mởt têp mău (mêp) ( nh lỵ 2.4.2, nh lỵ 2.4.4, nh lỵ 2.4.5) CĂc kát quÊ trản l mỵi v l nhúng âng gâp thüc sü v o hữợng nghiản cựu vã b i toĂn hởi tử kiu Tauber Chúng cõ ỵ nghắa khoa hồc, mang tẵnh thới sỹ v ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiãu tĂc giÊ lắnh vỹc nghiản cựu cừa Luên Ăn Vợi cĂc kát quÊ Ôt ữủc v mởt số ựng dửng cừa chúng, tữỡng lai gƯn chúng tổi dỹ nh s nghiản cựu cĂc vĐn ã sau: KhÊo sĂt ph¡t hi»n nhi·u hìn núa c¡c lỵp khỉng gian câ tẵnh chĐt Zorn, tứ õ cõ th m rởng khÊ nông ựng dửng cừa cĂc kát quÊ Â Ôt ữủc Luªn ¡n Kh£o s¡t c¡c b i to¡n hëi tư Tauber khỉng gian câ trång c¡c h m phƠn hẳnh v ựng dửng Ngo i ra, mởt cổng trẳnh gƯn Ơy [65] chúng tổi  ữa cĂc biu diạn khổng gian cĂc h m chnh hẳnh giĂ tr vectỡ dữợi dÔng tẵch tensor cừa khổng gian cĂc h m chnh hẳnh giĂ tr vổ hữợng vợi khỉng gian mi·n gi¡ trà Cư thº, chóng tỉi biºu diạn ữủc khổng gian cĂc h m chnh hẳnh giĂ tr Frchet rHpU; F q; s dữợi dÔng rpHpUq; qsb p F â U l mët tªp mð khæng gian Fr²chet v P t 0; !; u: V chúng tổi cụng  Ăp dửng biu diạn n y º gi£i quy¸t mët sè b i to¡n sau: (1) Luêt mụ ối vợi cĂc tổpổ 0; ! trản khổng gian HpU V q vợi U 71 V tữỡng ựng l hai têp m cĂc khổng gian lỗi a ph÷ìng; (2) Sü tròng cõa c¡c tỉpỉ 0; !; trản khổng gian cĂc h m (mƯm) chnh hẳnh giĂ tr lỗi v a phữỡng HpU; F q (HpK; F q); (3) Tẵnh ká thứa cừa mởt số tẵnh chĐt gi£i t½ch chuyºn qua khỉng gian c¡c h m (mƯm) chnh hẳnh Vợi biu diạn tensor n y chúng tổi hy vồng t vĐn ã nghiản cựu v cõ th giÊi quyát cĂc b i toĂn sau: Biu diạn tensor cho khæng gian câ trång c¡c h m ch¿nh hẳnh giĂ tr vectỡ, tực l biu diạn rAvpU; F q; s dữợi dÔng rpAvpUq; qsbp F: Trản cỡ s biu diạn n y s tờng quĂt hõa cĂc kát qu£ v· c¡c kiºu hëi tư Tauber (nhanh) ¢ câ ối vợi cĂc dÂy h m giĂ tr vổ hữợng sang cho c¡c d¢y h m gi¡ trà v²ctì khỉng gian khỉng trång v câ trång 72 DANH MƯC CặNG TRNH CếA TC GI LIN QUAN N LUN N 1) L M Hai, T T Quang, D T Vy, L T Hung, Some Classes of Banach Analytic Spaces, Math Proc R Ir Acad., Vol 116A (1) (2016), 1-17 2) T T Quang, D T Vy, L T Hung, P H Bang, The Zorn Property for Holomorphic Functions, Ann Polon Math., 120(2) (2017), 115-133 3) T T Quang, N V Dai, L V Lam, D T Vy, Linearization of Weakly Holomorphic Functions in Weighted Spaces and Its Applications (submitted to Matem-aticheskii Sbornik) 73 T i li»u tham kh£o [1] W Arendt, O El-Mennaoui, M Hieber, Boundary values of holomorphic semi- groups, Proc Amer Math Soc., 125(1997), 635 647 [2] W Arendt, N Nikolski, Vector-valued holomorphic functions revisited, Math Z.,234 (2000), 777 805 [3] T J Barth, Taut and tight complex manifolds, Proc Amer Math Soc., 24(3) (1970), 439-431 [4] T J Barth, The Kobayashi Distance Induces the Standard Topology, Proc Amer Math Soc., 35(2) (1972), 439-441 [5] T J Barth, The Kobayashi indicatrix at the center of a circular domain, Proc Amer Math Soc., 88 (1983), 527-530 [6] E Bedford, B A Taylor, A new capacity of plurisubharmonic functions, Acta Math., 149 (1982), 1-40 [7] [8] I A Berezanskii, Inductively reflexive, locally convex spaces, Dokl Akad Nauka SSSR 182 (1968), 20 22, English Translation in Soviet Math., (1968), 1080-1082 T Bloom, On the convergence in capacity of rational approximants, Constr Approx., 17(1)(2001), 91-102 [9] W M Bogdanowicz, Analytic continuation of holomorphic functions with values in a locally convex space, Proc Amer Math Soc., 22(1969), 660-666 [10] J Bonet, L Frerick, E Jord¡, Extension of vector-valued holomorphic and harmonic functions, Studia Math., 183(3)(2007), 225-248 74 [11] J Borwein, Y Lucet, B Mordukhovich, Compactly epi-Lipschizian con-vex sets and functions in normed spaces, J Convex Analysis, (2000), 375 393 [12] D Carando, I Zalduendo, Linearization of functions, Math Ann., 328(4)(2004), 683-700 [13] J F Colombeau, Quelques exemples singuliers d'applications Ganalytiques, analytiques et diff²rentiables en dimension infinie, C R Acad Sc Paris, 273 (1971), S²rie A, 158-160 [14] N Q Dieu, P V Manh, P H Bang, L T Hung, Vitali's theorem without uniform boundedness, Publ Mat., 60 (2016), 311-334 [15] S Dineen, Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, Springer, New York, (1999) [16] S Dineen, Surjective limits of locally convex spaces and their application to infinite dimensional holomorphy, Bull Soc Math France, 103 (1975), 441 509 [17] S Dineen, Holomorphic functions on strong duals of Fr²chet-Montel spaces, Infinite Dimensional Holomorphy and Applications (Ed.: M C Matos), North-Holland Math Stud., 12 (1977), 147 166 [18] S Dineen, The Schwarz Lemma, The Clarendon Press, Oxford Univer-sity Press, (1989) [19] S Dineen, M.L Lourenco, Holomorphic functions on strong duals of Fr²chet-Montel spaces II, Arch Math., 53 (1989), 590 598 [20] S Dineen, R Meise, D Vogt, Characterization of nuclear Fr²chet spaces in which every bounded set is polar, Bull Soc Math France, 112 (1984), 41-68 [21] S Dineen, R Meise, D Vogt, Polar subsets of locally convex spaces, Asp Math Appl., 34 (1986), 295 319 [22] S Dineen, Ph Noverraz, Gaussian measures and polar sets in locally convex spaces, Arkiv Mat., 17 (1979), 217 223 75 [23] N Dunford, Uniformity in linear spaces, Trans Amer Math Soc., 44(2) (1938), 305-356 [24] D A Eisenman, Holomorphic mappings into tight manifolds, Bull Amer Math Soc., 76(1) (1970), 46-48 [25] G Fischer, Complex Analytic Geometry, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-NewYork, 538 (1976) [26] J E Fornaess, R Narasimhan, The Levi Problem on Complex Spaces with Singularities, Math Ann., 248 (1980), 47-72 [27] F Forstneric, Stein Manifolds and Holomorphic Mappings, Springer Berlin, (2011) [28] T Franzoni, E Vesentini, Holomorphic maps and invariant distances, Math Studies, North-Holland -Amsterdam, New York - Oxford, 40 (1980) [29] L Frerick, E Jord¡, Extension of vector-valued functions, Bull Belg Math Soc., Simon Stevin, 14(3) (2007), 499-507 [30] L Frerick, E Jord¡, J Wengenroth, Extension of bounded vectorvalued functions, Math Nach., 282(5) (2009), 690-696 [31] A A Gonchar, A local condition for the single-valuedness of ana-lytic functions of several variables, (Russian), Mat Sb (N.S.), 93(135) (1974), 296-313, 327 [32] K G Grosse-Erdmann, The Borel-Okada Theorem Revisited, Habilita-tionsschrift Fernuniversitat in Hagen, Hagen 1992 [33] K G Grosse-Erdmann, A weak criterion for vector-valued holomorphy, Math Proc Cambridge Philos Soc., 136 (2004), 399-411 [34] A Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucl²aires, Mem Amer Math Soc., 16 (1955) [35] L M Hai, The property pLB8q and Frechet-valued holomorphic functions on compact sets , Vietnam J Math., 31(3)(2002), 281-294 76 [36] L M Hai, P K Ban, On the weak tautness and the locally weak tautness of a domain in a Banach space, Acta Math Vietnamica, 28(1) (2003), 39-50 [37] L M Hai, N V Khue, Some characterizations of the properties pDNq and p q, Math Scand., 87 (2000), 240 250 [38] Some classes of Banach analytic spaces, Math Proc R Ir Acad., Vol 116A (1) (2016), 1-17 [39] L A Harris, Schwarz-Pick systems of pseudometrics for domains in normed linear spaces, Advances in Holomorphy , Ed J A Barroso North Holland, Amsterdam, Math Studies, 34 (1979), 345-406 [40] E Hille, R S Phillips, Functional analysis and semigroups, Amer Math Soc Provindence, R I (1957) [41] A Hirschowitz, Sur un th²or±me de M.A Zorn, Arch Math., 23 (1972), 77-79 [42] J Horvath, Topological Vector Spaces and Distributions, Vol 1, Addison Wesley, 1966 [43] H Jarchow, Locally Convex Spaces, Teubner Stuttgart, (1981) [44] M Jarnicki, P Pflug, Invariant Distances and Metrics in Complex Anal-ysis, Walter de Gruyter-Berlin, New York (1993) [45] E Jord¡, Weighted Vector-Valued Holomorphic Functions on Banach Spaces, Abst Appl Analysis, (2013), Article ID 501592, pages [46] J E Joseph, M H Kwack, Hyperbolic embedding and spaces of con-tinuous extensions of holomorphic maps, J Geom Analysis, 4(1994), 361-378 [47] P J Kiernan, Quasiconformal mappings and Schwarz's Lemma, Trans Amer Math Soc., 147 (1970), 185-197 [48] M Klimek, Pluripotential Theory, Oxford Clarendon Press, (1991) r 77 [49] S Kobayashi, Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehren der mathema-tischen Wissenschaften, Vol 318 (1998) [50] J Laitila, H O Tylli, Composition operators on vector-valued harmonic functions and Cauchy transforms, Indiana Univ Math J., 55(2)(2006), 719-746 [51] S Lang, Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, SpringerVerlag (1987) [52] P Mazet, Analytic Sets in Locally Convex Spaces, Math Studies, North-Holland, 121 (1987) [53] R Meise, D Vogt, Holomorphic functions of uniformly bounded type on nuclear Fr²chet spaces, Studia Math., 83 (1986), 147 166 [54] J Mujica, Complex Analysis in Banach Spaces, North-Holland Amsterdam, New York - Oxford, 120 (1986) [55] J Mujica, Linearization of bounded holomorphic mappings on Banach spaces, Trans Amer Math Soc., 324(2) (1991), 867-887 [56] L Nachbin, Uniformit² holomorphe et type exponentiel, S²minaire P Lelong, 1970/1971, Berlin, Springer-Verlag, Lecture Notes in Math., 205 (1971), 216-224 [57] L Nachbin, A Glimpse at Infinite Dimensional Holomorphy, Proc on Infinite Dimensional Holomorphy, Lecture Notes in Math., 364 (1974), 69 79 [58] K F Ng, On a theorem of Dixmier, Math Scand., 29(1971), 279-280 [59] Ph Noverraz, Pseudo-convexite, Convexite Polynomiale et Domaines d'Holomorphie en Dimension Infinie, North-Holland Math Stud., (1973) [60] Ph Noverraz, Pseudo-convex Completion of Locally Convex Topological Vector Spaces, Math Ann., 208 (1974), 59 69 78 [61] E Ouhabaz, Gaussian estimates and holomorphy of semigroups, Proc Amer Math Soc., 123(1995), 1465 1474 [62] T T Quang, N V Dai, On the holomorphic extension of vector valued functions, Complex Anal Oper Theory, 9(3) (2015), 567-591 [63] T T Quang, N V Dai, On Hartogs extension theorems for separately p; W q-holomorphic functions, Inter J Math., 25(12) (2014), 15 pages [64] Linearization of weakly holomorphic functions in weighted spaces and its applications, (submitted to Matematicheskii Sbornik) [65] T T Quang, D Q Huy, D T Vy, Tensor representation of spaces of holomorphic functions and applications, Complex Anal Oper Theory, 11(3) (2017), 611-626 [66] T T Quang, L V Lam, N V Dai, On p; W q-holomorphic functions and theorems of Vitali-type, Complex Anal Oper Theory, 7(1) (2013), 237 259 [67] T T Quang, L V Lam, Levi extension theorems for meromorphic func-tions of weak type in infinite dimension, Complex Anal Oper Theory, 10 (2016), 1619-1654 [68] T T Quang, L V Lam, Cross the orems for separately p; W qmeromorphic functions, Taiwanese J Math., 20(5) (2016), 1009-1039 [69] The Zorn property for holomorphic functions, Ann Polon Math., 120(2) (2017), 115-133 [70] J P Ramis, Sous-ensembles Analytiques d'une Vari²t² Banachique Complexe, Springer (1970) [71] R Remmert, Funktionentheorie 2, Springer, Berlin (1992) [72] D D Thai, T N Giao, The convergence-extension theorem of Noguchi in infinite dimension, Proc Amer Math Soc., 130(2) (2002), 477-482 79 [73] D D Thai, Pascal J Thomas, N V Trao, M A Duc, On hyperbolicity and tautness modulo and analytic subset of Hartogs domains, Proc Amer Math Soc., 141(10) (2013), 3623-3631 [74] E Vesentini, Invariant distance and invariant differential metric in locally convex spaces, Spectral Theory, Banach Center Publications, PWN Polish Sci Publishers Warsaw, 8(1) (1982), 493-511 [75] D Vogt, Charakterisierung der Unterraume von s, Math Z., 155 (1977), 109 117 [76] D Vogt, Subspaces and quotient spaces of s, in Functional Analysis: Surveys and Recent Results III (ed K D Bierstedt, B Fuchssteiner), North-Holland Math Studies, 27 (1977), 167 187 [77] D Vogt, Eine Charakterisierung der Potenzeihenraume von endlichem typ und ihre Folgerungen, Manuscripta Math., 37 (1982), 269 301 [78] D Vogt, Frechetraume zwischen denen jede stetige linear Abbildung beschraukt ist, J Reine Angew Math., 345 (1983), 182-200 [79] A Wilansky, Modern Methods in Topological Vector Spaces, McGraw-Hill, (1978) [80] H Wu, Normal families of holomorphic mappings, Acta Math., 119 (1967), 194-233 [81] M Zorn, Characterization of analytic functions in Banach spaces, Duke Math J., 12 (1945), 579 593 80 Ch¿ möc D, 37 pEB; Eq, 11, 29, 32 x, 37 AvpDq, 36 X , 53 AvpD; F q, 36 KpEq, 15 acxpD , 41 PA vpDq , 39 AG;vpD; F q, 39 vq AG;vpDq, 36 B , 12 bor , 42 HolpD; Xq , 52 AvpDq Ănh xÔ ch¿nh h¼nh , 52 Ebor1 , 12 EB, 12 hm Ek, 12 a HpDq, 13 iãu hỏa dữợi, 13 trồng, 35 HpD; F q, 13, 36 HpEqbor, 30 cï, 67 chnh hẳnh, 13 HGpDq, 13 chnh hẳnh GƠteaux, 13 HGpD; F q, 13 HbpDq, 13 khæng gian HvpDq, 35 !, 16, 29 HvpD; F q, 35, 36 gi£i t½ch Banach, 52 HG;vpDq, 35 hyperbolic , 53 HG;vpD; F q, 35 hyperbolic ¦y HubpEq, 13 M, 42, 45 phùc, 52 Zorn, 15 v P SHpDq, 14 P tẵnh chĐt , 37 r AvpDq p q, 14 Zpfnq, 55 p , 51 rp q taut y¸u , 54 , 53 'pXq, B taut , 53 q , 53 rp r q, 15 Vitali, 59 63 81 õ , 53 Zorn, 15 tªp a cỹc, 14 a cỹc a phữỡng, 14 nhĐt, 42, 43 mău, 42, 43 tĂch im, 35, 43 xĂc ành t½nh bà ch°n, 35 tỉpỉ, 46 82 ... tiáp cên khÊ dắ l Ăp t mởt chá mÔnh hỡn cho sỹ hởi tử v /hoc cho kẵch thữợc cừa têp nhọ Mởt số phiản bÊn cừa nh lỵ Vitali cho cĂc h m chnh h¼nh bà ch°n v cho c¡c h m húu t m chúng hởi tử im nhanh... kát quÊ sau nh lỵ 1.1 Cho AvpDq l khæng gian cõa HvpDq cho hẳnh cƯu ỡn v õng l 0-compact, v cho D0 l têp xĂc nh nhĐt ối vợi AvpDq: Náu pfiqiPI l mởt lữợi b chn AvpD; F q cho pfipxqqiPI hëi tư... ta gồi l hởi tử kiu Tauber Mởt vẵ dử Đn tữủng cừa vĐn ã n y l nh lỵ Vitali Ơy l mởt dÔng hởi tử kiu Tauber ối vợi cĂc dÂy h m chnh hẳnh, õ iãu kiằn t l têp m trản õ dÂy  cho hởi tử phÊi chựa