HỘI tụ KIỂU TAUBER CHO hàm và ÁNH xạ CHỈNH HÌNH tt

Bậ GIO DệC V O TO TRìNG I HC QUY NHèN DìèNG THANH Vò HậI Tệ KIU TAUBER CHO HM V€ •NH X„ CHŸNH HœNH TÂM T•T LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC BœNH ÀNH - N‹M 2019 BË GI•O DƯC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN D×ÌNG THANH Vò HậI Tệ KIU TAUBER CHO HM V NH X CHNH HNH Chuyản ng nh: ToĂn GiÊi Tẵch M sè: 9460102 Ph£n bi»n 1: GS TS °ng ùc Trång Ph£n bi»n 2: GS TSKH Nguy¹n Quang Di»u Ph£n bi»n 3: TS o Vôn Dữỡng NGìI HìẻNG DN KHOA HC: PGS TS Th¡i Thu¦n Quang BœNH ÀNH - N‹M 2019 LI CAM OAN Luên Ăn n y ữủc ho n th nh tÔi Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn, dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TS ThĂi ThuƯn Quang Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi CĂc kát quÊ Luên Ăn l trung thỹc, ữủc cĂc ỗng tĂc giÊ cho php sỷ dửng v chữa tứng ữủc cổng bố trữợc õ TĂc giÊ Dữỡng Thanh V LI CM èN Luên Ăn ữủc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn hát sực tên tẳnh v khoa håc cõa Th¦y Th¡i Thu¦n Quang Tỉi xin ữủc b y tọ lỏng biát ỡn sƠu s-c án ThƯy v gia ẳnh TĂc giÊ cụng xin chƠn th nh gỷi lới cÊm ỡn sƠu s-c án GS Nguyạn Vôn Khuả, GS Lả Mêu HÊi (Trữớng HSP H Nởi) v GS Sean Dineen ( Ôi hồc Dublin, Cởng hỏa Ireland) vẳ cĂc lới khuyản v cĂc gõp ỵ sƠu s-c cho vi»c ho n thi»n mët sè k¸t qu£ Chữỡng v Chữỡng cừa luên Ăn n y T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn s¥u s-c án Khoa ToĂn, Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn, Ơy l nỡi tổi b-t Ưu ữủc hồc têp, cổng tĂc v nhên ữủc nhiãu sỹ quan tƠm, giúp ù, ởng viản khẵch lằ Xin b y tọ lỏng biát ỡn chƠn th nh án quỵ ThƯy, Cổ giĂo Khoa ToĂn  giÊng dÔy tổi nhỳng nôm thĂng tổi ữủc hồc têp, nghiản cựu TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn án Ban GiĂm hiằu Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn, Phỏng o tÔo sau Ôi hồc  tên tẳnh giúp ù v tÔo mồi iãu kiằn thuên lủi cho tĂc giÊ suốt thới gian hồc têp v nghiản cựu TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn TS Lả Quang Thuên, TS LƠm Th Thanh TƠm, PGS TS Lữỡng ông Ký  cõ nhỳng gõp ỵ quỵ bĂu quĂ trẳnh tổi hồc têp v nghiản cựu Cuối cũng, tĂc giÊ xin d nh tẳnh cÊm c biằt án gia ẳnh, ngữới thƠn v cĂc ngữới bÔn cừa tĂc giÊ, nhỳng ngữới  luổn mong mọi, ởng viản v ti¸p sùc cho t¡c gi£ º ho n th nh bÊn luên Ăn n y DANH MệC CC Kị HI›U AvpDq AvpD; F q AG;vpDq AG;vpD; F q acxpDq BpEq cspF q EB E E bor HpD; F q H pDq HGpD; F q HGpDq HbpDq HubpEq HvpD; F q HvpDq HG;vpD; F q HG;vpDq HolpD; Xq KpEq Ox OX P SHpDq Uk u : Khæng gian cừa HvpDq cho hẳnh cƯu ỡn v õng l compact vỵi tỉpỉ compact mð : tf : D Ñ F : u f P AvpDq; @u P F 1u : Khæng gian cõa HG;vpDq cho hẳnh cƯu ỡn v õng l compact vợi tổpổ compact mð : tf : D Ñ F : u f P AG;vpDq; @u P F 1u : Bao lỗi cƠn õng cừa têp D : Têp hủp cĂc têp lỗi, cƠn, õng, b chn E : Têp hủp cĂc nỷa chuân liản tửc trản F : Khổng gian sinh bði tªp B : Khỉng gian èi ngău cừa khổng gian lỗi a phữỡng E : Khổng gian E1 vợi tổpổ chn õng liản kát vợi tổpổ ối ngău mÔnh : Khổng gian cĂc h m chnh hẳnh trản D nhên giĂ tr F : Khổng gian cĂc h m chnh hẳnh trản D nhên giĂ trà C : Khæng gian c¡c h m G-ch¿nh hẳnh trản D nhên giĂ tr F : Khổng gian cĂc h m G-chnh hẳnh trản D nhên giĂ trà C : Khæng gian c¡c h m ch¿nh hẳnh tứ D v o C; b chn trản cĂc tªp bà ch°n D : Khỉng gian c¡c h m chnh hẳnh loÔi b chn ãu trản E : tf P HpD; F q : pv:fqpDq bà ch°n tr¶n Du : tf P HpDq : pv:fqpDq bà ch°n tr¶n Du : tf P HGpD; F q : pv:fqpDq bà ch°n tr¶n Du : tf P HGpDq : pv:fqpDq bà chn trản Du : Khổng gian cĂc Ănh xÔ chnh hẳnh tứ D v o F : Têp hủp cĂc têp compact, lỗi, cƠn E : V nh cĂc mƯm h m chnh hẳnh tÔi x P X : Bõ cĂc mƯm h m chnh hẳnh trản X : Têp hủp cĂc h m a iãu hỏa dữợi tr¶n D : tx P E : }x}k 1u : H m chẵnh quy hõa nỷa liản tửc trản cừa h m u : tz P C : }z} 1u Mửc lửc M Ưu Chữỡng Hởi tử Tauber nhanh khỉng gian c¡c h m ch¿nh h¼nh 1.1 Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ cì b£n 1.2 Têng quan v· khæng gian Zorn 1.3 Tẵnh chĐt Zorn cõa khỉng gian trò mªt 10 1.4 Hëi tö nhanh Tauber v th¡c triºn ch¿nh h¼nh 10 Ch÷ìng Hëi tư Tauber khỉng gian câ trång cõa c¡c h m ch¿nh h¼nh 2.1 Mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ cì b£n 13 13 2.2 Tuyán tẵnh hõa cĂc h m chnh hẳnh (G¥teaux) câ trång 14 2.3 Hëi tö Tauber khỉng gian câ trång cõa c¡c h m ch¿nh h¼nh 15 2.4 Tuyán tẵnh hõa cĂc h m chnh hẳnh (GƠteaux) cõ trồng Ch÷ìng Khổng gian Vitali v tẵnh taut yáu 17 18 3.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n 18 3.2 Tẵnh taut yáu 19 3.3 T½nh Vitali, t½nh taut yáu v tẵnh taut 21 3.4 Tẵnh taut yáu cừa mi·n Hartogs v mi·n c¥n 21 Kát luên 22 T i liằu tham kh£o 24 Mð ¦u B i to¡n v· sü lan truyãn cừa mởt tẵnh chĐt n o õ l mởt nhúng b i to¡n cê iºn cõa Gi£i t½ch VĐn ã t l i tẳm miãn lợn nhĐt chựa mởt miãn cho trữợc m trản õ mởt tẵnh chĐt n o õ cừa mởt ối tữủng giÊi tẵch văn cỏn ữủc thọa mÂn Chng n hÔn, cho trữợc mởt h m chnh hẳnh f xĂc nh trản mët mi·n n o â C Ta s³ tẳm hiu sỹ thĂc trin chnh hẳnh cừa nõ lản mởt miãn rởng hỡn CĂc kát quÊ dÔng nhữ vêy ta gåi l hëi tư kiºu Tauber Mët v½ dử Đn tữủng cừa vĐn ã n y l nh lỵ Vitali Ơy l mởt dÔng hởi tử kiu Tauber ối vợi cĂc dÂy h m chnh hẳnh, õ iãu kiằn ữủc t l têp m trản õ dÂy  cho hởi tử phÊi chựa ẵt nhĐt mởt im giợi hÔn v dÂy n y phÊi hởi tử ãu a phữỡng Mởt nh lỵ cờ in cừa Vitali khng nh rơng náu dÂy cĂc h m chnh hẳnh p fmqmƠ1 b chn ãu trản cĂc n têp compact cừa miãn D C v náu dÂy n y hëi tư iºm ¸n mët h m f trản mởt têp X cừa D m nõ ữủc chựa mởt siảu mt phực thẳ pfmqmƠ1 hởi tử ãu trản cĂc têp compact cừa D: Chú ỵ rơng phiản bÊn giĂ tr vctỡ cừa nh lỵ Vitali õng mởt vai trỏ quan trồng lỵ thuyát nỷa nhõm Trong trữớng hủp E; F hỳu hÔn chiãu, chựng minh sợm nhĐt cừa nh lỵ Vitali ữủc ữa nhớ sỹ trủ giúp cừa nh lỵ Montel TrĂi ngữủc vợi trữớng hủp vổ hữợng, khõ cõ th tẳm thĐy mởt kát quÊ tữỡng tỹ vợi nh lỵ n y trữớng hủp h m chnh hẳnh giĂ tr vctỡ (ta s³ gåi l h m ch¿nh h¼nh) bði v¼ trữớng hủp n y nh lỵ Montel khổng cỏn hiằu lỹc MÂi án nôm 1957, Hille v Phillips [40]  ữa mởt chựng minh khĂ phực tÔp cho nh lỵ n y trữớng hủp cĂc khổng gian miãn giĂ tr l Banach vổ hÔn chiãu Tuy nhiản, án nôm 2000, bơng cĂch sỷ dửng khĂi niằm chnh hẳnh rĐt yáu v nh lỵ vã tẵnh nhĐt còng mët sè lªp luªn kh¡ kh²o l²o, Arendt v Nikolski [2]  d ng ữa mởt chựng minh trỹc tiáp cho nh lỵ Vitali ối vợi cĂc lữợi h m chnh hẳnh mởt bián phực nhên giĂ tr Banach, õ têp nhọ, m trản õ lữợi h m hởi tử, cõ mởt im tử Sau õ, tờng quĂt hỡn, nôm 2013, Quang, LƠm v Ôi [66]  ã xuĐt v chựng minh cĂc nh lỵ kiu Vitali ối vợi cĂc dÂy b chn a phữỡng cĂc h m chnh hẳnh trản mởt miãn khổng gian Frchet, nhên giĂ tr Frchet cụng nhữ ối vợi cĂc dÂy h m chnh hẳnh b chn trản cĂc têp b chn giỳa cĂc khổng gian Frchet-Schwartz GƯn Ơy nhĐt, Diằu, MÔnh, Bơng, Hững [14]  quan tƠm án viằc tẳm cĂc kát quÊ tữỡng tỹ vợi nh lỵ Vitali trữớng hủp bọ qua tẵnh b chn ãu cừa dÂy h m Mởt cĂch tiáp cên khÊ dắ l Ăp t mởt chá mÔnh hỡn cho sỹ hởi tử v /hoc cho kẵch thữợc cừa têp nhọ Mởt số phiản bÊn cừa nh lỵ Vitali cho cĂc h m ch¿nh h¼nh bà ch°n v cho c¡c h m húu t m chóng n hëi tư iºm nhanh trản mởt têp khổng a cỹc cừa mởt miãn C  ữủc khÊo sĂt cổng trẳnh cừa hå Theo dáng nghi¶n cùu n y, chóng tỉi quan tƠm án b i toĂn Ưu tiản nhữ sau: i to¡n Nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n tr¶n c¡c khỉng gian Frchet (hoc khổng gian lỗi a phữỡng) E v F º cho måi h m f vỵi gi¡ trà F xĂc nh, liản tửc v ữủc xĐp x nhanh theo im trản mởt têp lỗi, cƠn, compact, khæng a cüc B (ho°c khæng qu¡ nhä) B cõa E bði mët d¢y c¡c a thùc pp mqmƠ1 vợi giĂ tr F cõ th thĂc trin ữủc án mởt h m nguyản Tiáp theo, chúng tổi xem x²t ¸n sü hëi tư Tauber khỉng gian cõ trồng cừa cĂc h m chnh hẳnh Vợi mởt miãn D khổng gian lỗi a phữỡng E; mởt trång v : D Ñ p0; 8q l mët h m liản tửc, dữỡng thỹc sỹ Ta t HvpD; F q : tf P HpD; F q : pv:fqpDq bà ch°n tr¶n Du HG;vpD; F q : tf P HGpD; F q : pv:fqpDq bà ch°n tr¶n Du; â HpD; F q; HGpD; F q lƯn lữủt kỵ hiằu l khỉng gian c¡c h m ch¿nh h¼nh v ch¿nh hẳnh GƠteaux xĂc nh trản D nhên giĂ tr F: Tr÷íng hđp F C, thay cho HvpD; Cq v HG;vpD; Cq ta s³ vi¸t HvpDq v HG;vpDq: Ta x²t AvpDq HvpDq l khổng gian vợi hẳnh cƯu ìn âng l compact theo tæpæ compact-mð 0: Khæng gian cĂc h m giĂ tr vctỡ theo nghắa yáu ÷đc ành ngh¾a AvpD; F q : tf : D Ñ F : u f P AvpDq; @u P F 1u: Trong tr÷íng hđp E v F l c¡c khỉng gian Banach, JordĂ [45]  chựng minh kát quÊ sau nh lỵ 1.1 Cho AvpDq l khổng gian cừa HvpDq cho hẳnh cƯu ỡn v õng l -compact, v cho D0 l têp xĂc nh nhĐt ối vợi AvpDq: Náu pfiqiPI l mởt lữợi b chn AvpD; F q cho pf ipxqqiPI hëi tö vợi mội x P D thẳ pfiqiPI hởi tử ¸n mët h m f P AvpD; F q ·u trản cĂc têp compact cừa D: Tứ kát quÊ trản chúng tổi t vĐn ã nhữ sau B i toĂn M rởng nh lỵ 1.1 án trữớng hủp tờng quĂt hỡn vợi E l khổng gian lỗi a phữỡng khÊ mảtric v F l khổng gian Ưy a phữỡng; v cho trữớng hủp cĂc dÂy pfmqmƠ1 thuởc cĂc lợp h m khĂc Bi cĂch t vĐn ã nhữ trản, mởt cĂch tỹ nhiản, viằc giÊi quyát b i to¡n n y s³ khỉng t¡ch ríi vỵi viằc nghiản cựu cĂc h m chnh hẳnh yáu Trong gi£i t½ch h m, câ thº nâi, câ hai c¡ch tiáp cên chừ yáu án tẵnh giÊi tẵch cừa cĂc h m nhên giĂ tr vctỡ, õ l dỹa trản cĂc khĂi niằm vã h m chnh hẳnh rĐt yáu v h m chnh hẳnh Nhẳn chung, cĂch tiáp cên Ưu tiản kim tra hỡn cĂc vẵ dử thüc h nh bði v¼ chóng ta câ thº sû dưng c¡c cỉng cư tø h m ch¿nh h¼nh vỉ hữợng Mởt h m f : D ẹ F l chnh hẳnh yáu náu u f chnh hẳnh vợi mội u P F 1: Chúng ta biát rơng cĂc h m chnh hẳnh luổn luổn chnh hẳnh yáu Ngữủc lÔi, vợi iãu kiằn gẳ thẳ mởt h m chnh hẳnh yáu s l h m chnh hẳnh? CƠu trÊ lới Ưu tiản cho cƠu họi n y thuởc vã Dunford [23] ặng  chựng minh rơng lợp cĂc h m chnh hẳnh yáu nhên giĂ tr khổng gian Banach xĂc nh trản mởt miãn C s chnh hẳnh Grothendieck [34]  m rởng kát quÊ n y cho tr÷íng hđp c¡c khỉng gian mi·n gi¡ trà l tüa ¦y õ Trong thüc t¸, kh¯ng ành n y óng tr÷íng hđp E, F l c¡c khỉng gian lỗi a phữỡng Hausdorff v E l khÊ mảtric (xem [59]) Do õ, mởt cƠu họi tỹ nhiản ( ữủc · cªp bði Grosse-Erdmann [32, 33] v Arendt-Nikolski [2]) l câ hay khỉng c¡c tªp thüc sü W cõa ối ngău cừa khổng gian miãn giĂ tr cho mởt h m f l chnh hẳnh náu nõ chnh hẳnh rĐt yáu (hoc cỏn gồi l p; W q-chnh hẳnh), tực l u f chnh hẳnh vợi mồi u P W Nâi c¡ch kh¡c, chóng ta ph£i x¡c ành c¡c gi£ thi¸t vøa õ º mët h m chnh hẳnh rĐt yáu thẳ s chnh hẳnh Arendt v Nikolski ¢ xem x²t b i to¡n n y tr÷íng hđp D € C v F l khỉng gian Banach phùc Cho tªp W cõa F v pF; W q l W -tỉpỉ cõa F (tỉpỉ y¸u trản F ữủc cÊm sinh bi W ) Mởt kát qu£ [2] kh¯ng ành r¬ng mët h m pF; W q-ch¿nh h¼nh f : D Đ F l ch¿nh hẳnh náu v ch náu W xĂc nh tẵnh b ch°n, tùc l méi tªp pF; W q-bà ch°n F l bà ch°n N¸u f : D Đ F ữủc giÊ thiát thảm l b chn a phữỡng thẳ f ch¿nh h¼nh W l khỉng gian t¡ch iºm cõa F 1: Mët têng qu¡t hâa cõa k¸t qu£ n y (cho tr÷íng hđp F l khỉng gian lỗi a phữỡng v Ưy a phữỡng) ữủc cổng bè bði Grosse-Erdmann [33] H£i [35] ¢ mð rëng c¡c kát quÊ cừa Arendt v Nikolski [2] cho trữớng hủp f xĂc nh trản mởt têp m D hoc mët khỉng gian Schwartz-Fr²chet E P p q nhªn c¡c gi¡ trà mët khæng gian Schwartz-Fr²chet F P pLB 8q, ho°c x¡c ành C nhªn c¡c gi¡ trà khỉng gian Fr²chet F P pLB8q: N«m 2013, Quang, LƠm v Ôi [66]  nghiản cựu b i toĂn trản trữớng hủp cĂc khổng gian Frchet E; F cõ cĂc iãu kiằn mÔnh hỡn, õ l E P p q v F P pLB8q ho°c F P pDNq; giÊ thiát b chn a phữỡng cừa f ữủc l m yáu i th nh tẵnh b chn trản cĂc têp b chn D: B i toĂn vã h m chnh hẳnh yáu n y cõ liản quan cht ch án vĐn ã thĂc trin chnh hẳnh Cử th, B i toĂn thĂc trin chnh hẳnh yáu (EWH) dữợi Ơy l mởt nhiãu vĐn ã  v ang ữủc quan tƠm thới gian gƯn Ơy (EWH) Cho cĂc khổng gian lỗi a phữỡng E v F: Gi£ sû A € D € E; W € F 1; v f : A Ñ F l h m cho vỵi måi ' P W; h m ' f : A Ñ C câ mët th¡c triºn HpDq: Khi n o i·u n y câ thº suy r¬ng f câ mët th¡c triºn g P HpD; F q? Mởt nhỳng kát quÊ liản quan ¸n B i to¡n (EWH) ÷đc ÷a bði Bogdanowicz [9] Cổng trẳnh n y  khng nh rơng mởt h m f x¡c ành tr¶n mi·n D C vỵi c¡c gi¡ trà mët khỉng gian Hausdorff phực lỗi a phữỡng Ưy F cho u f cõ th ữủc thĂc trin chnh hẳnh lản miãn D € D1 vỵi méi u P F 1; s cõ mởt thĂc trin chnh hẳnh trản D2: GƯn ¥y, Grosse-Erdmann [33], Arendt, Nikolski [2], Bonet, Frerick, Jord¡ [10], Frerick, JordĂ [29], Frerick, JordĂ, Wengenroth [30]  ữa cĂc kát quÊ theo cĂch n y ch vợi yảu cƯu rơng cõ cĂc thĂc trin cừa u f ối vợi u thuởc mởt têp W F v c¡c i·u ki»n tr¶n D1 hìn Trong [50], Laitila v Tylli cơng th£o luªn v· sü kh¡c giỳa cĂc nh nghắa mÔnh v yáu cho cĂc khỉng gian quan trång cõa c¡c h m nhªn gi¡ trà v²ctì B i to¡n (EWH) cơng vøa ÷đc gi£i quyát mởt số trữớng hủp, chng hÔn, vợi E hoc l khổng gian Frchet hÔch hoc l Frchet-Schwartz vợi cì sð Schauder tuy»t èi, F ho°c l khỉng gian Frchet hoc Ưy a phữỡng, W hoc l xĂc ành t½nh bà ch°n ho°c l x¡c ành tỉpỉ F; v A x¡c ành sü hëi tö ·u àa phữỡng HpDq hoc l mởt têp xĂc nh nhĐt ối vợi H 8pDq; bi cĂc tĂc giÊ Quang, LƠm, Ôi [66], v Quang, Ôi [62, 63] cho lợp cĂc h m p; W q-chnh hẳnh Tián xa hỡn, Quang, LƠm [67, 68] cụng vứa mợi khÊo sĂt B i to¡n (EWH) èi vỵi c¡c h m p; W q-phƠn hẳnh giỳa cĂc khổng gian lỗi a phữỡng Mët c¡ch tü nhi¶n, têng qu¡t hìn, vi»c kh£o s¡t B i to¡n (EWH) cho tr÷íng hđp khỉng gian c¡c h m chnh hẳnh cõ trồng cụng ữủc t B i toĂn tiáp theo chúng tổi quan tƠm l : B i to¡n Nghi¶n cùu mët sè phi¶n b£n câ trång cõa B i to¡n (EWH), °c bi»t l ối vợi cĂc kát quÊ chẵnh cừa [62, 63, 66] liản quan án sỹ thĂc trin chnh hẳnh cừa cĂc h m p; W q-chnh hẳnh Bản cÔnh cĂc th nh tỹu Ôt ữủc cho lợp cĂc h m ch¿nh h¼nh gi¡ trà v²ctì (cán gåi l h m chnh hẳnh), b i toĂn hởi tử Tauber cho dÂy Ănh xÔ chnh hẳnh giĂ tr khổng gian khổng cõ cĐu trúc vctỡ (cỏn gồi l Ănh xÔ chnh hẳnh), cử th l nhên giĂ tr cĂc a tÔp phực, khổng gian giÊi tẵch phực/Banach, cụng ữủc mởt sè nh to¡n håc quan t¥m Ð ¥y mët khỉng gian giÊi tẵch phực (tữỡng ựng, khổng gian giÊi tẵch Banach) ữủc hiu l mởt khổng gian tổpổ liản thổng m tÔi mội im õ cõ mởt lƠn cên ỗng n phổi vợi mởt têp giÊi tẵch khổng gian hỳu hÔn chiãu C (tữỡng ựng, mởt khổng gian Banach) n o õ cho cĂc Ănh xÔ chuyn l chnh hẳnh giỳa cĂc têp m Vẳ vêy, khổng gian giÊi tẵch bao gỗm hai ối tữủng khĂc nhau: khổng gian phực (hỳu hÔn chiãu) v khổng gian giÊi tẵch Banach (vổ hÔn chiãu) Nhữ  bi¸t, c¡c khỉng gian hyperbolic v khỉng gian taut l cĂc ối tữủng õng vai trỏ rĐt quan trồng hẳnh hồc giÊi tẵch phực hỳu hÔn chiãu Mởt cĂch tỹ nhiản, viằc xem xt cĂc kát quÊ tữỡng tỹ cõa c¡c èi t÷đng n y tr÷íng hđp vỉ hÔn chiãu cụng ữủc quan tƠm Tứ nhỳng nôm 60 cừa thá k trữợc, Wu [80]  ã xuĐt v nghiản cựu cĂc a tÔp taut v a tÔp tight Trong [18], Dineen  ữa khĂi niằm vã tẵnh taut cừa cĂc a tÔp Banach vợi tổpổ Hausdorff Mởt khổng gian giÊi tẵch Banach X ữủc gồi l taut náu mồi dÂy p fnqnƠ1 Holp ; Xq; khổng gian tĐt cÊ cĂc Ănh xÔ chnh hẳnh tứ ắa ìn € C v o X; ·u chùa mët dÂy pfnk qkƠ1 cho mởt hai iãu ki»n sau x£y ra: pfnk qk¥1 hëi tư Holp ; Xq; pfnk qk¥1 ph¥n ký compact, tùc l vợi mồi têp compact K v L X ãu tỗn tÔi k0 fnk pKq X L ? vợi k Ă k0: Nhữ vêy, mởt vĐn ã ÷đc °t l nghi¶n cùu sü hëi tư Tauber khỉng gian Holp ; Xq: Cư thº, chóng tỉi quan tƠm án b i toĂn sau B i toĂn Nghiản cựu khổng gian giÊi tẵch Banach X cõ tẵnh chĐt Vitali theo nghắa: dÂy pfnqnƠ1 Holp ; Xq hởi tử náu têp Zpfnq t P : lim fnp q tỗn tÔiu n cõ mởt im giợi hÔn : Ch÷ìng Hëi tư Tauber khỉng gian câ trång cõa c¡c h m ch¿nh h¼nh C¡c kát quÊ cừa chữỡng n y 2.1 ữủc trẵch tứ Cổng trẳnh [64] Mởt số khĂi niằm v kát quÊ cì b£n ành ngh¾a 2.1.1 ([2]) Cho F l khỉng gian lỗi a phữỡng v W F 1: Têp W ữủc gồi l (i) tĂch im náu upxq vỵi måi u P W suy x 0; (ii) xĂc nh tẵnh b chn náu mồi têp B € F l bà ch°n upBq bà ch°n C vợi mồi u P W: (i) Náu W F xĂc Nhên xt 2.1.2 nh tẵnh b chn trản F thẳ W l tĂch im (ii) W F t¡ch iºm n¸u v ch¿ n¸u spanW trò mêt F theo tổpổ yáu (iii) W F xĂc nh tẵnh b chn náu v ch náu mồi têp b chn theo tổpổ pF; W q thẳ b chn nh nghắa 2.1.3 Cho E v F l cĂc khổng gian lỗi a phữỡng v D l mët mi·n E: Mët trång v : D Ñ p0; 8q l mởt h m liản tửc, dữỡng thỹc sỹ Kỵ hiằu HvpD; F q : tf P HpD; F q : pv:fqpDq bà ch°n tr¶n Du HG;vpD; F q : tf P HGpD; F q : pv:fqpDq bà chn trản Du Nhên xt 2.1.4 Khổng gian HvpD; F q ÷đc trang bà tỉpỉ sinh bði hå c¡c nûa chuân p} }v;pqpPcspF q: Khi õ HvpD; F q Ưy náu F Ưy ừ, c biằt, HvpD; F q l Banach F l Banach D¹ d ng kiºm tra r¬ng HvpD; F q lim HvpD; Fpq; ÐÝ pPcs pF q â Fp l bê sung ¦y õ cừa khổng gian nh chuân chẵnh t-c F { ker p: 13 2.2 Tuyán tẵnh hõa cĂc h m chnh hẳnh (GƠteaux) cõ trồng ị tững chẵnh cừa tuyán tẵnh hõa l nhơm cho php " ỗng nhĐt" lợp cĂc h m F -giĂ tr xĂc nh trản mởt têp m E vợi lợp cĂc Ănh xÔ F -giĂ tr tuyán tẵnh liản tửc tứ mởt khổng gian nhĐt ành, â E v F l c¡c khæng gian lỗi a phữỡng CĂc cổng trẳnh gƯn Ơy cừa Carando v Zalduendo [12], v cừa Mujica [55]  ữa cĂc kát quÊ tuyán tẵnh hõa cho cĂc khổng gian (khổng trồng) cừa cĂc h m liản tửc/chnh hẳnh giỳa cĂc khổng gian lỗi a phữỡng; v cổng trẳnh cừa Beltr¡n [7] cho c¡c (LB)-khæng gian câ trång cõa c¡c h m nguy¶n tr¶n c¡c khỉng gian Banach Cho AvpDq (t÷ìng ùng, AG;vpDq ) l khỉng gian cõa HvpDq (tữỡng ựng, HG;vpDq) cho hẳnh cƯu ỡn v õng l compact vợi tổpổ compact m Trữợc tiản, chúng tổi nghiản cựu nh lỵ tuyán tẵnh hõa cĂc khæng gian câ trång cõa c¡c h m F -gi¡ tr theo nghắa yáu AvpD; F q : tf : D Ñ F : u f P AvpDq; @u P F 1u: Chúng tổi nhên ữủc kát quÊ sau Ơy nh lỵ 2.2.1 Cho v l mởt trồng trản mởt miãn D khổng gian lỗi a phữỡng khÊ mảtric E v AvpDq l khæng gian cõa HvpDq cho hẳnh cƯu ỡn v õng l 0-compact Khi õ, tỗn tÔi mởt khổng gian Banach P AvpDq v mởt Ănh xÔ D P HpD; PAvpDqq cõ tẵnh chĐt phờ dửng sau: Vợi mội khổng gian lỗi a phữỡng Ưy õ F; mët h m f P A vpD; F q náu v ch náu tỗn tÔi nhĐt mởt Ănh xÔ T f P LpPAvpDq; F q cho Tf D f: é Ơy PAvpDq xĂc nh nhĐt sai khĂc mởt php ng cĐu ng cỹ Vẳ J l ng cĐu tổpổ nản khổng gian PAvpDq cừa AvpDq: ữủc gồi l tiãn ối ngău Tiáp theo, chúng tổi xem xt cĂc kát quÊ trản cho cĂc h m chnh hẳnh GƠteaux cõ trồng Cho D l mởt têp m cừa khổng gian lỗi a phữỡng khÊ mảtric E: Kỵ hiằu FpEq l hồ tĐt cÊ cĂc khổng gian hỳu hÔn chiãu cừa E: Theo nh lỵ 2.2.1, vợi mội Y P FpEq; tỗn tÔi nhĐt mởt Ănh xÔ pY P LpPAvpDXY q; PAvpDqq cho biu ỗ sau l giao hoĂn id DXY (2.3) /D DXY P D pY AvpDXY q /P AvpDq â id l Ănh xÔ ỗng nhĐt v PAvpDXY q l tiãn ối ngău cừa AvpD X Y q: Náu Y; Z P FpEq cho Y € Z th¼ theo nh lỵ 2.2.1 tỗn tÔi nhĐt mởt Ănh xÔ 14 pZY P LpPAvpDXY q; PAvpDXZqq cho biu ỗ sau l giao ho¡n id / DXY DXZ DXY DXZ p P ZY /P AvpDXY q AvpDXZq Tø â, ta suy pZ pZY pY náu Y Z: Kỵ hiằu P Ôp : A vpDq Y pP AvpDXY qq Y PFpEq v trang bà cho PA vpDq tæpæ c£m sinh bði tæpæ cõa PAvpDq: Gi£ sû AG;vpDq l khổng gian cừa HG;vpDq cho hẳnh cƯu ìn âng l compact èi vỵi tỉpỉ 0: Vỵi mội khổng gian lỗi a phữỡng Ưy F; ta °t AG;vpD; F q : tf : D Ñ F : u f P AG;vpDq @u P F 1u: Khi õ, nhên ữủc kát quÊ sau nh lỵ 2.2.2 Cho D l mởt miãn khổng gian lỗi a phữỡng khÊ mảtric E: Khi õ (i) PA (ii) D vpDq l khỉng gian trò mªt cõa PAvpDq; P HpD; P ; A vpDqq (iii) Vỵi mội khổng gian lỗi a phữỡng Ưy F; h m f P A G;vpD; F q n¸u v ch¿ náu tỗn tÔi nhĐt mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh Tf : PA0vpDq Ñ F cho Tf D f: Hỡn nỳa, Tf liản tửc náu v ch náu f li¶n tưc Bê · 2.2.3 Cho D l mët mi·n khổng gian lỗi a phữỡng khÊ mảtric E v F l mởt khổng gian lỗi a phữỡng Ưy Khi â, hå pfjqjPI € AvpD; F q bà ch°n n¸u v ch¿ n¸u hå pTfj qjPI € LpPAvpDq; F q tữỡng ựng l ỗng liản tửc Tứ nh lỵ 2.2.2 v Bê · 2.2.3, ta ÷đc h» qu£ sau H» qu£ 2.2.4 Cho D l mët mi·n khæng gian lỗi a phữỡng khÊ mảtric E v l mởt khổng gian lỗi a phữỡng Ưy Khi õ, hồ pfjqjPI € AvpD; F q bà ch°n n¸u v ch¿ náu hồ tữỡng ựng pTfj qjPI LpPA0vpDq; F q l ỗng liản tửc 2.3 Hởi tử Tauber khổng gian câ trång cõa c¡c h m ch¿nh h¼nh Chóng tổi s Ăp dửng cĂc kát quÊ cừa PhƯn 2.2 º nghi¶n cùu b i to¡n hëi tư Tauber cho dÂy/lữợi cĂc khổng gian cõ trồng HvpE; F q v AvpD; F q: 15 F Tªp M € D ữủc gồi l têp nhĐt ối vợi AvpDq náu vợi mội f P AvpDq cho fM thẳ f 0: Têp M D ữủc gồi l têp mău ối vợi AvpDq náu tỗn tÔi mởt hơng số C Ơ cho vợi mội f P AvpDq, ta cõ sup vpzq|fpzq| Ô C sup vpzq|fpzq|: zPD (2.4) zPM pD Chú ỵ 2.3.1 Vợi M D; kỵ hiằu M : tvpxq x : x P Mu € BP v q pD vỵi BP Av q l Av hẳnh cƯu ỡn v cừa PAvpDq: CĂc kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng: (i) M l t¡ch iºm AvpDq; v (ii) xMy v : spanM l pP A v v pDq; AvpDqq-trò mªt; (iii) M l têp nhĐt ối vợi AvpDq: Vợi chuân xĂc ành bði }f}M;v : supzPM vpzq|fpzq| tr¶n AvpDq; rã r ng c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng: (i) (ii) M l têp mău ối vợi AvpDq; } }v } }M;v on A pDq: v Rã r ng, náu M l têp mău ối vợi AvpDq thẳ M l t¡ch iºm AvpDq; â, v M l têp nhĐt ối vợi AvpDq: CĂc kát quÊ Ưu tiản cừa phƯn n y liản quan án sỹ hởi tư Tauber câ trång cõa d¢y c¡c h m ch¿nh hẳnh GƠteaux khổng gian pEK ; Eq: nh lỵ 2.3.2 Cho E; F l c¡c khæng gian Fr²chet v v l mët trång tr¶n E: Gi£ sû El khỉng gian hÔch vợi tổpổ E r v E P p q: Khi õ, tỗn tÔi mởt têp khổng a cỹc K P KpEq thọa mÂn tẵnh chĐt: náu pfmqmƠ1 l d¢y bà ch°n HG;vppEK ; Eq; F q cho pfmqmƠ1 hởi tử tÔi mội x P K án mởt h m f liản tửc tÔi x P K; th¼ f câ mët th¡c triºn f P HvpE; F q v pfmqmƠ1 hởi tử ãu án f trản c¡c tªp compact cõa pEK ; Eq: r Tø nh lỵ 1.3.4 v r nh lỵ 2.3.2, ta d ng nhên ữủc kát quÊ sau nh lỵ 2.3.3 Cho E; F l c¡c khæng gian Fr²chet v v l mët trång tr¶n E: Gi£ sû E l Schwartz câ cì sð Schauder tuy»t èi vỵi tỉpỉ E cho E P prq: Khi õ, tỗn tÔi mởt têp khổng a cỹc K P KpEq thọa mÂn tẵnh chĐt sau: náu pf mqmƠ1 l mởt dÂy b chn m f liản tửc tÔi HG;vppEK ; Eq; F q cho pfmqmƠ1 hởi tử tÔi mội x P K ¸n h r r x0 P K; th¼ f câ mët th¡c triºn f P HvpE; F q v pfmqm¥1 hởi tử ãu án mởt h m f trản cĂc têp compact cừa pEK ; Eq: PhƯn cỏn lÔi cừa mửc n y s ã cêp án sỹ hởi tử Tauber cừa cĂc lữợi cĂc khổng gian cõ trồng AvpD; F q: nh lỵ 2.3.4 Cho v l mởt trồng trản mởt miãn D khổng gian lỗi a phữỡng khÊ mảtric E: Cho AvpDq HvpDq l khổng gian cho hẳnh cƯu ỡn v õng B AvpDq l 0compact, M € D l tªp nhĐt ối vợi A vpDq v F l khổng gian lỗi a phữỡng Ưy Náu pf jqjPI l lữợi bà ch°n AvpD; F q cho pfjpxqqjPI hëi tử vợi mội x P M; thẳ pf jqjPI hởi tư ·u ¸n mët h m f P AvpD; F q trản cĂc têp compact cừa D: 16 2.4 •p dưng cho b i to¡n th¡c triºn ch¿nh h¼nh cõ trồng Sỷ dửng kát quÊ cĂc phƯn trữợc, phƯn n y chúng tổi nghiản cựu b i to¡n th¡c triºn ch¿nh h¼nh cõa c¡c h m ch¿nh hẳnh dÔng yáu cĂc khổng gian cõ trồng cừa cĂc h m chnh hẳnh Cho trữợc khổng gian Frchet E: Mởt dÂy tông pB nqnƠ1 cĂc têp b ch°n cõa E ÷đc gåi l x¡c ành tỉpỉ náu cĂc polar pB nqnƠ1 ữủc lĐy trản E lêp th nh mởt hằ cỡ bÊn cĂc lƠn cên cừa E: nh lỵ 2.4.2 Cho v l mởt trồng trản miãn D khổng gian lỗi a phữỡng kh£ m¶tric E v AvpDq l khỉng gian cõa HvpDq cho hẳnh cƯu ỡn v õng BAvpDq l 0compact Cho M D l têp nhĐt ối vợi AvpDq; F l khổng gian lỗi a phữỡng Ưy õ v W € F l khæng gian xĂc nh tẵnh b chn F: Náu f : M Ñ F l h m cho u f câ mët th¡c triºn fu P AvpDq vỵi méi u P W; thẳ f thứa nhên nhĐt mởt thĂc triºn f P AvpD; F q: r Trong tr÷íng hđp D l mët mi·n mët khæng gian Banach, theo nh lỵ Montel, hẳnh cƯu ỡn v õng BHvpDq cừa khổng gian HvpDq l 0-compact Do õ, tứ nh lỵ 2.2.1, nhên ữủc hằ quÊ sau Hằ quÊ 2.4.3 Gi£ sû v l mët trång tr¶n mët mi·n D khỉng gian Banach E v M€Dl tªp nhĐt ối vợi HvpDq: Cho F l khổng gian lỗi a phữỡng Ưy v W F l khỉng gian x¡c ành t½nh bà ch°n F: N¸u f : M Đ F l h m cho r u f câ mët th¡c triºn fu P HvpDq vợi mội u P W; thẳ f cõ th th¡c triºn nh§t th nh f P HvpD; F q: nh lỵ 2.4.4 Cho v l mởt trồng trản miãn D khổng gian lỗi a phữỡng khÊ mảtric E v AvpDq l khæng gian cõa HvpDq cho hẳnh cƯu ỡn v õng BAvpDq l 0-compact Cho M D l têp nhĐt ối vợi AvpDq; F l khæng gian Fr²chet v W n Bn € F vợi pBnqnPN xĂc nh tổpổ cừa F: Náu f : M Ñ F bà ch°n cho u f câ mët th¡c triºn fu P AvpDq vỵi méi u P W v pfuquPBn bà ch°n AvpDq vỵi måi n; € r th¼ f câ thº th¡c triºn nhĐt th nh f P AvpD; F q: Kát quÊ tiáp theo sau Ơy ữủc xem nhữ l trữớng hủp M l têp mău mởt phiản bÊn khĂc cừa nh lỵ 2.4.4 nh lỵ 2.4.5 Cho v l mởt trồng trản miãn D khổng gian lỗi a phữỡng khÊ mảtric E v AvpDq l khổng gian cừa HvpDq cho hẳnh cƯu õng ỡn v BAvpDq l 0-compact Cho M l têp mău ối vợi AvpDq v W l khỉng gian pF 1; F q-trò mêt cừa ối ngău F cừa khổng gian lỗi a phữỡng Ưy a phữỡng F Náu f : M Ñ F l h m cho sup vpxqppfpxqq vỵi måi p P cspF q; (2.5) xPM r v u f câ mët th¡c triºn fu P AvpDq vợi mội u P W; thẳ f cõ th th¡c triºn nh§t th nh f P AvpD; F q: 17 Chữỡng Khổng gian Vitali v tẵnh taut yáu Nởi dung chẵnh cừa chữỡng n y l nghiản cựu b i toĂn hởi tử Tauber ối vợi dÂy Ănh xÔ chnh hẳnh trản ắa ỡn v C: CĂc kát quÊ cừa chữỡng n y ữủc trẵch tứ Cỉng tr¼nh [38] 3.1 Mët sè kh¡i ni»m cì b£n Khỉng gian v nh pX; OX q ÷đc gåi l khỉng gian gi£i t½ch phùc (nâi gån l khỉng gian phực) náu X l Hausdorff v vợi mội x P X tỗn tÔi mởt lƠn cên U cừa x cho pU; OX U q ng cĐu (nhữ mởt khổng gian v nh) vợi mởt mổ hẳnh a phữỡng Mởt khĂi quĂt hõa vổ hÔn chiãu cừa khĂi niằm khổng gian giÊi tẵch phực xuĐt hiằn bối cÊnh nghiản cựu bián th cừa cĐu trúc giÊi tẵch l khĂi niằm khổng gian giÊi tẵch Banach é Ơy, mổ hẳnh a phữỡng l mởt têp giÊi tẵch Banach nh nghắa 3.1.2 Cho U l tªp mð mët khỉng gian Banach Mët tªp A € U gåi l tªp giÊi tẵch Banach náu nõ l têp khổng- im chung cừa hỳu hÔn h m chnh hẳnh trản U nhên gi¡ trà mët khæng gian Banach n o â Khỉng gian v nh pX; OX q ÷đc gåi l khổng gian giÊi tẵch Banach náu X l Hausdorff v vợi mội x P X tỗn tÔi mởt lƠn cên U cõa x cho pU; OX U q ¯ng cĐu (nhữ mởt khổng gian v nh) vợi mởt têp giÊi tẵch Banach n nh nghắa 3.1.3 Cho D l mët tªp mð C v X l mët khỉng gian phực (tữỡng ựng, khổng gian giÊi tẵch Banach) nh xÔ f : D ẹ X ữủc gồi l chnh hẳnh tÔi x P D m náu tỗn tÔi lƠn cªn V cõa x v tªp mð U X cho fpV q € U v f f:VĐC (t÷ìng ùng, fr: V Đ F ) ch¿nh h¼nh, â l ¯ng c§u giúa pU; O X r U q ng cĐu vợi mởt mổ hẳnh a phữỡng (têp giÊi tẵch Banach khổng gian Banach F ) Kỵ hiằu HolpD; Xq l khổng gian tĐt cÊ cĂc Ănh xÔ ch¿nh h¼nh tø D v o X v trang bà cho nõ tổpổ hởi tử ãu trản cĂc têp compact cõa D: 18 ành ngh¾a 3.1.4 Gi£ sû X l mët khỉng gian gi£i t½ch Banach, p v q l hai im tũy ỵ cừa X Ta gồi dƠy chuyãn chnh hẳnh nối p vợi q l têp hủp ta1; a2; : : : ; an P ; f1; f2; : : : ; fn P Holp ; Xqu cho ° °t L ln i1 f1p0q p; fipaiq fi 1p0q; fnpanq q: n |ai| |ai| Xt X pp; qq inf L vợi infimum lĐy theo tĐt cÊ cĂc dƠy chuyãn chnh hẳnh nối p vợi q Khi â, h m X : X X Ñ r0; 8q ữủc gồi l giÊ khoÊng cĂch Kobayashi trản khổng gian giÊi tẵch Banach X nh nghắa 3.1.5 Cho X l mët khỉng gian gi£i t½ch Banach Ta gåi X l hyperbolic n¸u Xl kho£ng c¡ch X l hyperpolic ¦y õ n¸u pX; 3.2 X q l mët khỉng gian mảtric Ưy Tẵnh taut yáu nh nghắa 3.2.1 Mởt khổng gian giÊi tẵch Banach X ữủc gồi l taut náu vợi mồi dÂy pfnqnƠ1 Holp ; Xq ãu chựa mởt dÂy pfnk qkƠ1 cho xÊy mët hai i·u ki»n sau: (i) pfnk qk¥1 hëi tư Holp ; Xq; (ii) pfnk qk¥1 ph¥n ký compact, tực l vợi mồi têp compact K v L X, tỗn tÔi k0 cho fnk pKq X L ?; @k ¡ k0: Tuy vªy, måi tªp mð cõa mët khỉng gian Banach vỉ hÔn chiãu khổng l mởt miãn taut theo nghắa thổng thữớng nhữ giÊi tẵch phực hỳu hÔn chiãu Ta x²t v½ dư sau: V½ dư 3.2.2 Cho E l khổng gian Banach vổ hÔn chiãu v Bp0; rq : tx P E : }x} ru l hẳnh cƯu tƠm bĂn kẵnh r Ă 0: LĐy dÂy pxnqnƠ1 Bp0; rq cho inf }xn xm} ¡ 0: nm Vợi mội n Ơ 1; xt hn P Holp ; Bp0; rqq x¡c ành bði hnp q xn; P : Khi õ, hnp0q vợi n Ơ v }hnp q hmp q} | |}xn xm} Û n; m Đ vỵi || r: i·u n y chựng tọ rơng khổng cõ dÂy cừa ph nqnƠ1 hëi tư ho°c ph¥n ký compact Holp ; Bp0; rqq: Do â, Bp0; rq khæng ph£i l mi·n taut Tuy nhiản, ph q n zt0u phƠn ký compact 19 S dắ hiằn tữủng n y xÊy l bi khổng gian Banach vổ hÔn chiãu khổng cõ tẵnh chĐt compact a phữỡng Ơy cụng l nguyản nhƠn chẵnh dăn án cĂc khõ khôn viằc nghiản cựu tẵnh taut giÊi tẵch phực vổ hÔn chiãu Vẳ thá cƯn thiát phÊi cõ mởt khĂi niằm m rởng cho t½nh taut cõa khỉng gian gi£i t½ch Banach Chóng tỉi x²t kh¡i ni»m mð rëng sau ành ngh¾a 3.2.3 Mët khổng gian giÊi tẵch Banach X ữủc gồi l taut yáu náu vợi mồi dÂy pfnqnƠ1 Holp ; Xq ãu chựa mởt dÂy pfnk qkƠ1 cho xÊy mët hai i·u ki»n sau: (i) pfnk qk¥1 hởi tử Holp ; Xq; (ii) tỗn tÔi mởt têp rới rÔc S cừa cho pfnk zSqkƠ1 phƠn ký compact, tực l vợi mồi têp compact K zS v L X, tỗn tÔi k0 cho fnk pKq X L ?; @k ¡ k0: ữa cĂc vẵ dử v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa khổng gian taut yáu, trữợc tiản ta chựng minh mởt số kát quÊ liản quan án khổng gian giÊi tẵch Banach hyperbolic Ưy Bờ ã 3.2.4 Cho X l mët khỉng gian gi£i t½ch Banach hyperbolic ¦y õ v pf nqn¥1 € Holp ; Xq: Khi â, Z : Zpfnq Zpfnq;U t P U : lim fnp q tỗn tÔiu n l mởt têp õng cõa : Bê · 3.2.5 Cho X l mët khæng gian giÊi tẵch Banach hyperbolic v dÂy pf nqnƠ1 HolpU; Xq, â U l mët tªp mð cừa C: Náu dÂy pf nqnƠ1 khổng phƠn ký compact thẳ tỗn tÔi dÂy pg nqnƠ1 pfnqnƠ1 cho Zpgnq ?: Mởt cĂch tữỡng ữỡng, náu Zpgnq ? vợi mồi pgnqnƠ1 pfnqnƠ1 thẳ pfnqnƠ1 phƠn ký compact trản U: Bê · 3.2.6 Cho X l mët khæng gian giÊi tẵch Banach hyperbolic Ưy v pf nqnƠ1 Holp ; Xq: Gåi Z1 : Zp1fnq l tªp c¡c im giợi hÔn cừa Z : Zpfnq Khi õ, Zpfnq l mởt lƠn cên cừa Zp1fnq: Theo [49], ta biát rơng mồi khổng gian phực hỳu hÔn chiãu m hyperbolic Ưy thẳ cõ tẵnh chĐt taut Tuy nhiản, khổng gian giÊi tẵch Banach, cõ kát quÊ sau nh lỵ 3.2.7 Cho X l mởt khổng gian hyperbolic Ưy khổng gian giÊi tẵch Banach Khi â, X l taut y¸u H» qu£ 3.2.8 Cho X l khổng gian giÊi tẵch Banach hyperbolic Náu pf nqnƠ1 Holp ; Xq v Zp1gnq ? vợi mồi pgnqnƠ1 pfnqnƠ1; thẳ tỗn tÔi mởt têp rới rÔc S cừa v mởt dÂy ph nqnƠ1 pfnqnƠ1 cho phnqnƠ1 phƠn ký compact trản zS: Khi xt tẵnh chĐt hyperbolic Ưy cừa miãn lỗi v b chn, chúng tổi Ôt ữủc kát quÊ sau 20 M»nh · 3.2.9 Cho D l mi·n bà ch°n v lỗi khổng gian Banach E Khi õ, D l hyperbolic ¦y õ v â D cơng l taut yáu Trong phƯn tiáp theo, chúng tổi thiát lêp sỹ tữỡng ữỡng giỳa khĂi niằm taut yáu v khĂi niằm taut trữớng hủp hỳu hÔn chiãu 3.3 Tẵnh Vitali, tẵnh taut yáu v tẵnh taut nh nghắa 3.3.1 Mởt khổng gian giÊi tẵch Banach X ữủc gồi l cõ tẵnh Vitali náu dÂy pfnqnƠ1 Holp ; Xq v Zpfnq cõ mởt im giợi hÔn thẳ dÂy pfnqnƠ1 hởi tử Kát quÊ Ưu tiản chúng tổi Ôt ữủc l nh lỵ sau Ơy nh lỵ 3.3.2 Cho X l mët khæng gian phùc Khi â, c¡c kh¯ng nh sau l tữỡng ữỡng (i) X cõ tẵnh Vitali; (ii) X l taut y¸u; (iii) X l taut Ti¸p theo, chóng tỉi xem x²t mèi quan h» giúa t½nh chĐt taut yáu v tẵnh chĐt Vitali khổng gian giÊi tẵch Banach v cõ ữủc kát quÊ sau nh lỵ 3.3.3 Cho X l khổng gian giÊi tẵch Banach Khi â, X l taut y¸u n¸u v ch¿ n¸u X l hyperbolic v câ t½nh Vitali 3.4 T½nh taut yáu cừa miãn Hartogs v miãn cƠn Tiáp theo, chúng tổi s ữa iãu kiằn cƯn v nhúng mi·n Hartogs 'pXq khỉng gian gi£i t½ch Banach l taut yáu; iãu kiằn cƯn v nhỳng miãn cƠn khổng gian Banach l taut yáu nh nghắa 3.4.1 Cho X l khổng gian giÊi tẵch Banach v ' l h m nûa li¶n tưc tr¶n tr¶n X: Khi â, mi·n Hartogs 'pXq l mi·n ÷đc x¡c ành bði 'pXq : tpx; q P X C : | | u e 'pxq : nh lỵ 3.4.2 Miãn 'pXq l taut y¸u n¸u v ch¿ n¸u X l taut y¸u v ' l h m a i·u háa dữợi liản tửc nh nghắa 3.4.3 Cho X l mởt mi·n c¥n khỉng gian Banach E Khi â, h m cï h cõa X l h m ÷đc cho bði hpxq inft ¡ : x P Xu: ành lỵ 3.4.5 Cho X l mởt miãn cƠn khổng gian Banach pE; } }q: Khi â, X l taut y¸u n¸u v ch¿ n¸u X bà ch°n v h m cù h l h m a iãu hỏa dữợi v liản tửc 21 Kát luên Nởi dung chừ yáu cừa Luên Ăn l nghiản cựu cĂc b i toĂn vã sỹ hởi tử kiu Tauber Luên Ăn  õng gõp nhỳng kát quÊ chẵnh sau Ơy: Chựng minh ữủc tẵnh chĐt Zorn cừa cĂc miãn D K : D X EK khỉng gian trò mªt pEK ; Eq cừa khổng gian Frchet E (hÔch hoc Schwartz câ cì sð Schauder tuy»t èi) vỵi K P KpEq l têp khổng a cỹc n o õ; v ỗng thới cụng ch rơng mồi h m chnh hẳnh loÔi b chn trản D K ãu thĂc trin ữủc án mởt h m chnh hẳnh loÔi b chn trản D ( inh lỵ 1.3.3, nh lỵ 1.3.4) Khng nh sỹ tỗn tÔi cừa cĂc têp lỗi, cƠn, compact, khæng a cüc B cõa khæng gian Fr²chet E P p q (hÔch hoc Schwartz cõ cỡ s Schauder tuyằt èi) cho måi r h m f vỵi gi¡ tr Frchet, xĂc nh, liản tửc v ữủc xĐp x nhanh trản mởt têp lỗi, cƠn, compact, khổng a cüc B cõa E bði mët d¢y c¡c a thực pp mqmƠ1 vợi giĂ tr Frchet cõ th thĂc trin ữủc án mởt h m nguyản ( nh lỵ 1.4.7, nh lỵ 1.4.8) ữa cĂc iãu kiằn tỗn tÔi têp compact, lỗi, cƠn, khổng a cỹc K khỉng gian Fr²chet E cho méi d¢y bà chn cĂc h m chnh hẳnh giĂ tr Frchet pfmqmƠ1 HG;vppEK ; Eq; F q hëi tư ·u ¸n mët h m f P HG;vppEK ; Eq; F q trản cĂc têp compact cừa pEK ; Eq mội pfmqmƠ1 hởi tử tÔi mội im cừa K; â E l tæpæ cõa EK c£m sinh bði tæpæ cõa E: Hìn núa, h m f câ mët th¡c trin chnh hẳnh HvpE; F q náu nõ liản tửc tÔi mởt im n o õ K ( nh lỵ 2.3.2, nh lỵ 2.3.3) XƠy dỹng mởt phiản bÊn khĂc cừa nh lỵ JordĂ, khng nh rơng náu E l mởt khổng gian lỗi a phữỡng khÊ mảtric v F l khổng gian lỗi a phữỡng Ưy thẳ mội lữợi b chn AvpD; F q s hởi tử ãu trản cĂc têp compact cừa D ¸n mët h m AvpD; F q méi nõ hởi tử tÔi mội im cừa mởt têp nhĐt ối vợi AvpDq ( nh lỵ 2.3.4) Giợi thiằu khĂi niằm tẵnh taut yáu , mởt tờng quĂt hõa cừa khĂi niằm tẵnh taut  kh-c phửc ữủc mởt số khõ khôn nghiản cựu cĂc vĐn ã tứ cĂc Ănh xÔ nhên giĂ tr khổng gian phực hỳu hÔn chiãu sang trữớng hủp vổ hÔn chiãu ÷a c¡c mèi quan h» giúa khæng gian gi£i tẵch Banach hyperbolic, khổng gian cõ tẵnh taut yáu v khổng gian cõ tẵnh Vitali ( nh lỵ 3.2.7, Mằnh ã 3.2.9, v nh lỵ 3.3.3) ỗng thới chựng minh ba tẵnh chĐt trản l trũng trữớng hủp hỳu hÔn chiãu ( nh lỵ 3.3.2) Luên Ăn cụng ÷a mët sè ¡p dưng cõa c¡c k¸t qu£ chẵnh viằc giÊi quyát b i toĂn thĂc trin ch¿nh h¼nh khỉng gian câ trång A vpD; F q € HvpD; F q cõa c¡c h m ch¿nh hẳnh giĂ tr lỗi a phữỡng tứ mởt têp (gƯy) nhĐt v tứ mởt têp mău (mêp) ( nh lỵ 2.4.2, nh lỵ 2.4.4, nh lỵ 2.4.5) 22 CĂc kát quÊ trản l mợi v l nhỳng õng gõp thỹc sỹ v o hữợng nghiản cựu vã b i toĂn hởi tử kiu Tauber Chúng cõ ỵ nghắa khoa hồc, mang tẵnh thới sỹ v ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiãu tĂc giÊ lắnh vỹc nghiản cựu cừa Luên Ăn Vợi cĂc kát quÊ Ôt ữủc v mët sè ùng dưng cõa chóng, t÷ìng lai gƯn chúng tổi dỹ nh s nghiản cựu cĂc vĐn · sau: Kh£o s¡t º ph¡t hi»n nhi·u hìn núa cĂc lợp khổng gian cõ tẵnh chĐt Zorn, tứ õ câ thº mð rëng kh£ n«ng ùng dưng cõa c¡c kát quÊ Â Ôt ữủc Luên Ăn KhÊo sĂt c¡c b i to¡n hëi tư Tauber khỉng gian cõ trồng cĂc h m phƠn hẳnh v ựng dửng Ngo i ra, mởt cổng trẳnh gƯn Ơy [65] chúng tổi  ữa cĂc biu diạn khổng gian cĂc h m chnh hẳnh giĂ tr vectỡ dữợi dÔng tẵch tensor cừa khổng gian cĂc h m chnh hẳnh giĂ tr vổ hữợng vợi khổng gian miãn giĂ tr Cử th, chúng tổi biu diạn ữủc khổng gian cĂc h m ch¿nh h¼nh gi¡ trà Fr²chet rHpU; F q; s dữợi dÔng rpHpUq; qsb p F õ U l mët tªp mð khỉng gian Fr²chet v P t 0; !; u: V chóng tỉi cơng ¢ ¡p dửng biu diạn n y giÊi quyát mởt số b i toĂn sau: (1) Luêt mụ ối vợi cĂc tổpổ 0; ! trản khổng gian HpU V q vợi U v V tữỡng ựng l hai têp m cĂc khổng gian lỗi a phữỡng; (2) Sỹ trũng cõa c¡c tỉpỉ 0; !; tr¶n khỉng gian c¡c h m (mƯm) chnh hẳnh giĂ tr lỗi a phữỡng HpU; F q (HpK; F q); (3) Tẵnh ká thứa cừa mởt số tẵnh chĐt giÊi tẵch chuyn qua khổng gian cĂc h m (mƯm) chnh hẳnh Vợi biu diạn tensor n y chóng tỉi hy vång °t v§n · nghiản cựu v cõ th giÊi quyát cĂc b i to¡n sau: Biºu di¹n tensor cho khỉng gian câ trång c¡c h m ch¿nh h¼nh gi¡ trà vectì, tùc l biu diạn rA vpU; F q; s dữợi dÔng rpAvpUq; qsbp F: Trản cỡ s biu diạn n y s têng qu¡t hâa c¡c k¸t qu£ v· c¡c kiºu hëi tử Tauber (nhanh)  cõ ối vợi cĂc dÂy h m giĂ tr vổ hữợng sang cho cĂc dÂy h m gi¡ trà v²ctì khỉng gian khỉng trång v câ trång 23 T i li»u tham kh£o [2] W Arendt, N Nikolski, Vector-valued holomorphic functions revisited, Math Z.,234 (2000), 777 805 [4] T J Barth, The Kobayashi Distance Induces the Standard Topology, Proc of the Amer Math Soc., 35(2) (1972), 439-441 [7] I A Berezanskii, Inductively reflexive, locally convex spaces, Dokl Akad Nauka SSSR 182 (1968), 20 22, English Translation in Soviet Math., (1968), 1080-1082 [9] W M Bogdanowicz, Analytic continuation of holomorphic functions with values in a locally convex space, Proc Amer Math Soc., 22(1969), 660-666 [10] J Bonet, L Frerick, E Jord¡, Extension of vector-valued holomorphic and harmonic functions, Studia Math., 183(3)(2007), 225-248 [11] J Borwein, Y Lucet, B Mordukhovich, Compactly epi-Lipschizian convex sets and functions in normed spaces, J Convex Analysis, (2000), 375 393 [12] D Carando, I Zalduendo, Linearization of functions, Math Ann., 328(4) (2004), 683-700 [13] J F Colombeau, Quelques exemples singuliers d'applications Ganalytiques, analytiques et diff²rentiables en dimension infinie, C R Acad Sc Paris, 273 (1971), S²rie A, 158-160 [14] N Q Dieu, P V Manh, P H Bang, L T Hung, Vitali's theorem without uniform boundedness, Publ Mat., 60 (2016), 311-334 [15] S Dineen, Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, Springer, New York, (1999) [16] S Dineen, Surjective limits of locally convex spaces and their application to infinite dimensional holomorphy, Bull Soc Math France, 103 (1975), 441 509 [17] S Dineen, Holomorphic functions on strong duals of Fr²chet-Montel spaces, Infinite Dimensional Holomorphy and Applications (Ed.: M C Matos), North-Holland Math Stud., 12 (1977), 147 166 [18] S Dineen, The Schwarz Lemma, The Clarendon Press, Oxford University Press, (1989) 24 [19] S Dineen, M.L Lourenco, Holomorphic functions on strong duals of Fr²chet-Montel spaces II, Arch Math., 53 (1989), 590 598 [23] N Dunford, Uniformity in linear spaces, Trans Amer Math Soc., 44(2) (1938), 305-356 [29] L Frerick, E Jord¡, Extension of vector-valued functions, Bull Belg Math Soc., Simon Stevin, 14(3) (2007), 499-507 [30] L Frerick, E Jord¡, J Wengenroth, Extension of bounded vector-valued func-tions, Math Nach., 282(5) (2009), 690-696 [32] K G Grosse-Erdmann, The Borel-Okada Theorem Revisited, Habilitationss-chrift Fernuniversitat in Hagen, Hagen 1992 [33] K G Grosse-Erdmann, A weak criterion for vector-valued holomorphy, Math Proc Cambridge Philos Soc., 136 (2004), 399-411 [34] A Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucl²aires, Mem Amer Math Soc., 16 (1955) [35] L M Hai, The property pLB8q and Frechet-valued holomorphic functions on compact sets , Vietnam J Math., 31(3)(2002), 281-294 [38] L M Hai, T T Quang, D T Vy, L T Hung, Some classes of Banach analytic spaces, Math Proc R.Ir Acad., Vol 116A (1) (2016), 1-17 [40] E Hille, R S Phillips, Functional analysis and semigroups, Amer Math Soc Provindence, R I (1957) [41] A Hirschowitz, Sur un th²or±me de M.A Zorn, Arch Math., 23 (1972), 77 79 [45] E Jord¡, Weighted Vector-Valued Holomorphic Functions on Banach Spaces, Abst Appl Analysis, (2013), Article ID 501592, pages [46] J.E Joseph, M.H Kwack, Hyperbolic embedding and spaces of continuous ex-tensions of holomorphic maps, J Geom Analysis, 4(1994), 361-378 [48] M Klimek, Pluripotential Theory, Oxford Clarendon Press, (1991) [49] S Kobayashi, Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol 318 (1998) [50] J Laitila, H O Tylli, Composition operators on vector-valued harmonic functions and Cauchy transforms, Indiana Univ Math J., 55(2)(2006), 719-746 [54] J Mujica, Complex Analysis in Banach Spaces, North-Holland -Amsterdam, New York - Oxford, 120 (1986) [55] J Mujica, Linearization of bounded holomorphic mappings on Banach spaces, Trans Amer Math Soc., 324(2) (1991), 867-887 [56] L Nachbin, Uniformit² holomorphe et type exponentiel, S²minaire P Lelong, 1970/1971, Berlin, Springer-Verlag, Lecture Note in Math., 205 (1971), 216 224 25 [59] Ph Noverraz, Pseudo-convexite, Convexite Polynomiale et Domaines d'Holomorphie en Dimension Infinie, North-Holland Math Stud., (1973) [62] T T Quang, N V Dai, On the holomorphic extension of vector valued functions, Complex Anal Oper Theory, 9(3) (2015), 567-591 [63] T T Quang, N V Dai, On Hartogs extension theorems for separately p; W q-holomorphic functions, Inter J Math., 25(12) (2014), 15 pages [64] T T Quang, N V Dai, L V Lam, D T Vy, Linearization of weakly holomorphic functions in weighted spaces and its applications, (submitted) [65] T T Quang, D Q Huy, D T Vy, Tensor representation of spaces of holomorphic functions and applications, Complex Anal Oper Theory, 11(3) (2017) , 611-626 [66] T T Quang, L V Lam, N V Dai, On p; W q-holomorphic functions and theorems of Vitali-type, Complex Anal Oper Theory, 7(1) (2013), 237 259 [67] T T Quang, L V Lam, Levi extension theorems for meromorphic functions of weak type in infinite dimension, Complex Anal Oper Theory, 10 (2016), 1619-1654 [68] T T Quang, L V Lam, Cross the orems for separately p; W qmeromorphic functions, Taiwanese J Math., 20(5) (2016), 1009-1039 [69] T T Quang, D T Vy, L T Hung, P H Bang, The Zorn property for holomorphic functions, Ann Polon Math., 120(2) (2017), 115-133 [72] D D Thai, T N Giao, The convergence-extension theorem of Noguchi in in-finite dimension, Proc Amer Math Soc., 130(2) (2002), 477-482 [74] E Vesentini, Invariant distance and invariant differential metric in locally con-vex spaces, Spectral Theory, Banach Center Publications, PWN Polish Sci Publishers Warsaw, 8(1) (1982), 493-511 [78] D Vogt, Frechetraume zwischen denen jede stetige linear Abbildung beschraukt ist, J Reine Angew Math., 345 (1983), 182-200 [79] A Wilansky, Modern Methods in Topological Vector Spaces, McGraw-Hill, (1978) [80] H Wu, Normal families of holomorphic mappings, Acta Math., 119 (1967), 194-233 [81] M Zorn, Characterization of analytic functions in Banach spaces, Duke Math J., 12 (1945), 579 593 26 DANH MÖC CặNG TRNH CếA TC GI LIN QUAN N LUN N 1) L M Hai, T T Quang, D T Vy, L T Hung, Some Classes of Banach Analytic Spaces, Math Proc R Ir Acad., Vol 116A (1) (2016), 1-17 2) T T Quang, D T Vy, L T Hung, P H Bang, The Zorn Property for Holomorphic Functions, Ann Polon Math, 120(2) (2017), 115-133 3) T T Quang, N V Dai, L V Lam, D T Vy, Linearization of Weakly Holomorphic Functions in Weighted Spaces and Its Applications (submitted to Matematicheskii Sbornik) ... tiáp cên khÊ dắ l Ăp t mởt chá mÔnh hỡn cho sỹ hởi tử v /hoc cho kẵch thữợc cừa têp nhọ Mởt số phiản bÊn cừa nh lỵ Vitali cho c¡c h m ch¿nh h¼nh bà ch°n v cho c¡c h m húu t m chóng n hëi tư iºm... kát quÊ sau nh lỵ 1.1 Cho AvpDq l khổng gian cừa HvpDq cho hẳnh cƯu ỡn v õng l -compact, v cho D0 l têp xĂc nh nhĐt ối vợi AvpDq: Náu pfiqiPI l mởt lữợi b chn AvpD; F q cho pf ipxqqiPI hëi tử... hëi tư Tauber cho d¢y c¡c a thùc giúa c¡c khỉng gian Fr²chet Chóng tỉi x²t hai tr÷íng hđp cho khỉng gian mi·n x¡c ành E l Frchet hÔch v Frchet-Schwartz cõ cỡ s Schauder tuyằt ối nh lỵ 1.4.7 Cho