HỘI tụ KIỂU TAUBER CHO hàm và ÁNH xạ CHỈNH HÌNH (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG THANH VỸ HỘI TỤ KIỂU TAUBER CHO HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG THANH VỸ HỘI TỤ KIỂU TAUBER CHO HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 9460102 Phản biện 1: GS TS Đặng Đức Trọng Phản biện 2: GS TSKH Nguyễn Quang Diệu Phản biện 3: TS Đào Văn Dương NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Thái Thuần Quang BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Thái Thuần Quang Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết Luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố trước Tác giả Dương Thanh Vỹ LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình khoa học Thầy Thái Thuần Quang Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy gia đình Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS Nguyễn Văn Khuê, GS Lê Mậu Hải (Trường ĐHSP Hà Nội) GS Sean Dineen (Đại học Dublin, Cộng hòa Ireland) lời khun góp ý sâu sắc cho việc hoàn thiện số kết Chương Chương luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn, nơi bắt đầu học tập, công tác nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ, động viên khích lệ Xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến q Thầy, Cơ giáo Khoa Tốn giảng dạy năm tháng học tập, nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Lê Quang Thuận, TS Lâm Thị Thanh Tâm, PGS TS Lương Đăng Kỳ có góp ý q báu q trình tơi học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin dành tình cảm đặc biệt đến gia đình, người thân người bạn tác giả, người mong mỏi, động viên tiếp sức cho tác giả để hoàn thành luận án DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Av ♣Dq Av ♣D, F q AG,v ♣Dq AG,v ♣D, F q acx♣Dq B ♣E q cs♣F q EB E✶ ✶ Ebor H ♣D, F q H ♣Dq HG ♣D, F q HG ♣Dq Hb ♣Dq Hub ♣E q Hv ♣D, F q Hv ♣Dq HG,v ♣D, F q HG,v ♣Dq Hol♣D, X q K ♣E q Ox OX P SH ♣Dq Uk u✝ ∆ : Không gian Hv ♣Dq cho hình cầu đơn vị đóng compact với tơpơ compact mở τ0 : tf : D Ñ F : u ✆ f € Av ♣Dq, ❅u € F ✶ ✉ : Không gian HG,v ♣Dq cho hình cầu đơn vị đóng compact với tơpơ compact mở τ0 : tf : D Ñ F : u ✆ f € AG,v ♣Dq, ❅u € F ✶ ✉ : Bao lồi cân đóng tập D : Tập hợp tập lồi, cân, đóng, bị chặn E : Tập hợp nửa chuẩn liên tục F : Không gian sinh tập B : Không gian đối ngẫu không gian lồi địa phương E : Không gian E ✶ với tơpơ chặn đóng liên kết với tơpơ đối ngẫu mạnh β : Không gian hàm chỉnh hình D nhận giá trị F : Khơng gian hàm chỉnh hình D nhận giá trị C : Khơng gian hàm G-chỉnh hình D nhận giá trị F : Không gian hàm G-chỉnh hình D nhận giá trị C : Khơng gian hàm chỉnh hình từ D vào C, bị chặn tập bị chặn D : Khơng gian hàm chỉnh hình loại bị chặn E : tf € H ♣D, F q : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ : tf € H ♣Dq : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ : tf € HG ♣D, F q : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ : tf € HG ♣Dq : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ : Không gian ánh xạ chỉnh hình từ D vào F : Tập hợp tập compact, lồi, cân E : Vành mầm hàm chỉnh hình x € X : Bó mầm hàm chỉnh hình X : Tập hợp hàm đa điều hòa D : tx € E : ⑥x⑥k ➔ 1✉ : Hàm quy hóa nửa liên tục hàm u : tz € C : ⑥z ⑥ ➔ 1✉ Mục lục Mở đầu Chương Hội tụ Tauber nhanh khơng gian hàm chỉnh hình 1.1 Một số khái niệm kết 1.2 Tổng quan không gian Zorn 1.3 Tính chất Zorn khơng gian trù mật 10 1.4 Hội tụ nhanh Tauber thác triển chỉnh hình 10 Chương Hội tụ Tauber khơng gian có trọng hàm chỉnh hình 13 2.1 Một số khái niệm kết 13 2.2 Tuyến tính hóa hàm chỉnh hình (Gâteaux) có trọng 14 2.3 Hội tụ Tauber khơng gian có trọng hàm chỉnh hình 15 2.4 Tuyến tính hóa hàm chỉnh hình (Gâteaux) có trọng 17 Chương Khơng gian Vitali tính taut yếu 18 3.1 Một số khái niệm 18 3.2 Tính taut yếu 19 3.3 Tính Vitali, tính taut yếu tính taut 21 3.4 Tính taut yếu miền Hartogs miền cân 21 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 24 Mở đầu Bài toán “sự lan truyền tính chất đó” tốn cổ điển Giải tích Vấn đề đặt tìm “miền lớn chứa miền cho trước mà tính chất đối tượng giải tích thỏa mãn” Chẳng hạn, cho trước hàm chỉnh hình f xác định miền Cn Ta tìm hiểu thác triển chỉnh hình lên miền rộng Các kết dạng ta gọi “hội tụ kiểu Tauber” Một ví dụ ấn tượng vấn đề định lý Vitali Đây dạng hội tụ kiểu Tauber dãy hàm chỉnh hình, điều kiện đặt tập mà dãy cho hội tụ phải chứa điểm giới hạn dãy phải hội tụ địa phương Một định lý cổ điển Vitali khẳng định dãy hàm chỉnh hình ♣fmqm➙1 bị chặn tập compact miền D Cn dãy hội tụ điểm đến hàm f tập X D mà chứa siêu mặt phức ♣fm qm➙1 hội tụ tập compact D Chú ý phiên giá trị véctơ Định lý Vitali đóng vai trò quan trọng lý thuyết nửa nhóm Trong trường hợp E, F hữu hạn chiều, chứng minh sớm định lý Vitali đưa nhờ trợ giúp Định lý Montel Trái ngược với trường hợp vô hướng, khó tìm thấy kết tương tự với định lý trường hợp hàm chỉnh hình giá trị véctơ (ta gọi hàm chỉnh hình) trường hợp định lý Montel khơng hiệu lực Mãi đến năm 1957, Hille Phillips [40] đưa chứng minh phức tạp cho định lý trường hợp không gian miền giá trị Banach vô hạn chiều Tuy nhiên, đến năm 2000, cách sử dụng khái niệm chỉnh hình yếu định lý tính số lập luận khéo léo, Arendt Nikolski [2] dễ dàng đưa chứng minh trực tiếp cho định lý Vitali lưới hàm chỉnh hình biến phức nhận giá trị Banach, tập nhỏ, mà lưới hàm hội tụ, có điểm tụ Sau đó, tổng quát hơn, năm 2013, Quang, Lâm Đại [66] đề xuất chứng minh định lý kiểu Vitali dãy bị chặn địa phương hàm chỉnh hình miền khơng gian Fréchet, nhận giá trị Fréchet dãy hàm chỉnh hình bị chặn tập bị chặn không gian Fréchet-Schwartz Gần nhất, Diệu, Mạnh, Bằng, Hưng [14] quan tâm đến việc tìm kết tương tự với định lý Vitali trường hợp bỏ qua tính bị chặn dãy hàm Một cách tiếp cận áp đặt chế độ mạnh cho hội tụ và/hoặc cho kích thước tập nhỏ Một số phiên định lý Vitali cho hàm chỉnh hình bị chặn cho hàm hữu tỷ mà chúng hội tụ điểm nhanh tập không đa cực miền Cn khảo sát cơng trình họ Theo dòng nghiên cứu này, chúng tơi quan tâm đến toán sau: Bài toán Nghiên cứu điều kiện không gian Fréchet (hoặc không gian lồi địa phương) E F hàm f với giá trị F xác định, liên tục xấp xỉ đủ nhanh theo điểm tập lồi, cân, compact, không đa cực (hoặc không nhỏ) B E dãy đa thức ♣pm qm➙1 với giá trị F thác triển đến hàm nguyên Tiếp theo, xem xét đến hội tụ Tauber khơng gian có trọng hàm chỉnh hình Với miền D khơng gian lồi địa phương E, trọng v : D hàm liên tục, dương thực Ta đặt Ñ ♣0, ✽q Hv ♣D, F q :✏ tf € H ♣D, F q : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ HG,v ♣D, F q :✏ tf € HG ♣D, F q : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉, H ♣D, F q, HG ♣D, F q ký hiệu khơng gian hàm chỉnh hình chỉnh hình Gâteaux xác định D nhận giá trị F ✏ C, thay cho Hv ♣D, Cq HG,v ♣D, Cq ta viết Hv ♣Dq HG,v ♣Dq Ta xét Av ♣Dq ⑨ Hv ♣Dq không gian với hình cầu đơn vị đóng compact theo Trường hợp F tôpô compact-mở τ0 Không gian hàm giá trị véctơ theo nghĩa yếu định nghĩa Av ♣D, F q :✏ tf : D Ñ F : u ✆ f € Av ♣Dq, ❅u € F ✶✉ Trong trường hợp E F không gian Banach, Jordá [45] chứng minh kết sau Định lý 1.1 Cho Av ♣Dq không gian Hv ♣Dq cho hình cầu đơn vị đóng τ0 -compact, cho D0 tập xác định Av ♣Dq Nếu ♣fi qi€I lưới bị chặn Av ♣D, F q cho ♣fi ♣xqqi€I hội tụ với x € D0 ♣fi qi€I hội tụ đến hàm f € Av ♣D, F q tập compact D Từ kết đặt vấn đề sau Bài toán Mở rộng Định lý 1.1 đến trường hợp tổng quát với E không gian lồi địa phương khả mêtric F không gian đầy đủ địa phương; cho trường hợp dãy ♣fm qm➙1 thuộc lớp hàm khác Bởi cách đặt vấn đề trên, cách tự nhiên, việc giải tốn khơng tách rời với việc nghiên cứu hàm chỉnh hình yếu Trong giải tích hàm, nói, có hai cách tiếp cận chủ yếu đến tính giải tích hàm nhận giá trị véctơ, dựa khái niệm hàm chỉnh hình yếu hàm chỉnh hình Nhìn chung, cách tiếp cận dễ kiểm tra ví dụ thực hành sử dụng cơng cụ từ hàm chỉnh hình vơ hướng Một hàm f : D Đ F chỉnh hình yếu u ✆ f chỉnh hình với u € F ✶ Chúng ta biết hàm chỉnh hình ln ln chỉnh hình yếu Ngược lại, với điều kiện hàm chỉnh hình yếu hàm chỉnh hình? Câu trả lời cho câu hỏi thuộc Dunford [23] Ông chứng minh lớp hàm chỉnh hình yếu nhận giá trị khơng gian Banach xác định miền C chỉnh hình Grothendieck [34] mở rộng kết cho trường hợp không gian miền giá trị tựa đầy đủ Trong thực tế, khẳng định trường hợp E, F không gian lồi địa phương Hausdorff E khả mêtric (xem [59]) Do đó, câu hỏi tự nhiên (được đề cập Grosse-Erdmann [32, 33] Arendt-Nikolski [2]) có hay không tập thực W đối ngẫu không gian miền giá trị cho hàm f chỉnh hình chỉnh hình yếu (hoặc gọi ♣☎, W q-chỉnh hình), tức u ✆ f chỉnh hình với u € W Nói cách khác, phải xác định giả thiết vừa đủ để hàm chỉnh hình yếu chỉnh hình Arendt Nikolski xem xét toán trường hợp D ⑨ C F không gian Banach phức Cho tập W F ✶ σ ♣F, W q W -tôpô F (tôpô yếu F cảm sinh W ) Một kết [2] khẳng định hàm σ ♣F, W q-chỉnh hình f : D Đ F chỉnh hình W xác định tính bị chặn, tức tập σ ♣F, W q-bị chặn F bị chặn Nếu f : D Ñ F giả thiết thêm bị chặn địa phương f chỉnh hình W khơng gian tách điểm F ✶ Một tổng quát hóa kết (cho trường hợp F không gian lồi địa phương đầy đủ địa phương) công bố Grosse-Erdmann [33] Hải [35] mở rộng kết Arendt Nikolski [2] cho trường hợp f xác định tập mở D không gian Schwartz-Fréchet E € ♣Ωq nhận giá trị không gian Schwartz-Fréchet F € ♣LB✽ q, xác định C nhận giá trị không gian Fréchet F € ♣LB✽ q Năm 2013, Quang, Lâm Đại [66] nghiên cứu toán trường hợp khơng gian Fréchet E, F có điều kiện mạnh hơn, E € ♣Ωq F € ♣LB✽ q F € ♣DN q; giả thiết “bị chặn địa phương” f làm yếu thành tính “bị chặn tập bị chặn” D Bài tốn hàm chỉnh hình yếu có liên quan chặt chẽ đến vấn đề thác triển chỉnh hình Cụ thể, Bài tốn thác triển chỉnh hình yếu (EWH) nhiều vấn đề quan tâm thời gian gần (EWH) Cho không gian lồi địa phương E F Giả sử A ❸ D ⑨ E, W ❸ F ✶ , f : A Ñ F hàm cho với ϕ € W, hàm ϕ ✆ f : A Đ C có thác triển H ♣Dq Khi điều suy f có thác triển g € H ♣D, F q? Một kết liên quan đến Bài toán (EWH) đưa Bogdanowicz [9] Cơng trình khẳng định hàm f xác định miền D1 C với giá trị không gian Hausdorff phức lồi địa phương đầy đủ F cho u ✆ f thác triển chỉnh hình lên miền D2 ⑩ D1 với u € F ✶ , có thác triển chỉnh hình D2 Gần đây, Grosse-Erdmann [33], Arendt, Nikolski [2], Bonet, Frerick, Jordá [10], Frerick, Jordá [29], Frerick, Jordá, Wengenroth [30] đưa kết theo cách với yêu cầu có thác triển u ✆ f u thuộc tập W ⑨ F ✶ điều kiện D1 mịn Trong [50], Laitila Tylli thảo luận khác định nghĩa mạnh yếu cho không gian quan trọng hàm nhận giá trị véctơ Bài toán (EWH) vừa giải số trường hợp, chẳng hạn, với E không gian Fréchet hạch Fréchet-Schwartz với sở Schauder tuyệt đối, F không gian Fréchet đầy đủ địa phương, W xác định tính bị chặn xác định tôpô F, A xác định hội tụ địa phương H ♣Dq tập xác định H ✽ ♣Dq, tác giả Quang, Lâm, Đại [66], Quang, Đại [62, 63] cho lớp hàm ♣☎, W q-chỉnh hình Tiến xa hơn, Quang, Lâm [67, 68] vừa khảo sát Bài tốn (EWH) hàm khơng gian lồi địa phương ♣☎, W q-phân hình Một cách tự nhiên, tổng quát hơn, việc khảo sát Bài toán (EWH) cho trường hợp khơng gian hàm chỉnh hình có trọng đặt Bài toán chúng tơi quan tâm là: Bài tốn Nghiên cứu số phiên có trọng Bài tốn (EWH), đặc biệt kết [62, 63, 66] liên quan đến thác triển chỉnh hình hàm ♣☎, W q-chỉnh hình Bên cạnh thành tựu đạt cho lớp hàm chỉnh hình giá trị véctơ (còn gọi hàm chỉnh hình), tốn hội tụ Tauber cho dãy ánh xạ chỉnh hình giá trị khơng gian khơng có cấu trúc véctơ (còn gọi ánh xạ chỉnh hình), cụ thể nhận giá trị đa tạp phức, không gian giải tích phức/Banach, số nhà tốn học quan tâm Ở khơng gian giải tích phức (tương ứng, khơng gian giải tích Banach) hiểu không gian tôpô liên thông mà điểm có lân cận đồng phơi với tập giải tích khơng gian hữu hạn chiều Cn (tương ứng, khơng gian Banach) cho ánh xạ chuyển chỉnh hình tập mở Vì vậy, khơng gian giải tích bao gồm hai đối tượng khác nhau: không gian phức (hữu hạn chiều) khơng gian giải tích Banach (vơ hạn chiều) Như biết, không gian hyperbolic khơng gian taut đối tượng đóng vai trò quan trọng hình học giải tích phức hữu hạn chiều Một cách tự nhiên, việc xem xét kết tương tự đối tượng trường hợp vô hạn chiều quan tâm Từ năm 60 kỷ trước, Wu [80] đề xuất nghiên cứu đa tạp taut đa tạp tight Trong [18], Dineen đưa khái niệm tính taut đa tạp Banach với tơpơ Hausdorff Một khơng gian giải tích Banach X gọi taut dãy ♣fnqn➙1 ⑨ Hol♣∆, X q, khơng gian tất ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị ∆ ⑨ C vào X, chứa dãy ♣fnk qk➙1 cho hai điều kiện sau xảy ra: ♣fnk qk➙1 hội tụ Hol♣∆, X q; ♣fnk qk➙1 phân kỳ compact, tức với tập compact K k0 để fnk ♣K q ❳ L ✏ ∅ với k → k0 ⑨ ∆ L ⑨ X tồn Như vậy, vấn đề đặt nghiên cứu hội tụ Tauber không gian Hol♣∆, X q Cụ thể, quan tâm đến tốn sau Bài tốn Nghiên cứu khơng gian giải tích Banach X có tính chất Vitali theo nghĩa: dãy ♣fn qn➙1 ⑨ Hol♣∆, X q hội tụ tập Z♣fn q ✏ tλ € ∆ : có điểm giới hạn ∆ lim fn ♣λq tồn tại✉ n Chương Hội tụ Tauber khơng gian có trọng hàm chỉnh hình Các kết chương trích từ Cơng trình [64] 2.1 Một số khái niệm kết Định nghĩa 2.1.1 ([2]) Cho F không gian lồi địa phương W gọi ⑨ F ✶ Tập W (i) tách điểm u♣xq ✏ với u € W suy x ✏ 0; (ii) xác định tính bị chặn tập B với u € W Nhận xét 2.1.2 (i) Nếu W ⑨F bị chặn u♣B q bị chặn C ⑨ F ✶ xác định tính bị chặn F W tách điểm ⑨ F ✶ tách điểm spanW trù mật F ✶ theo tơpơ ✝yếu W ⑨ F ✶ xác định tính bị chặn tập bị chặn theo tơpơ σ ♣F, W q (ii) W (iii) bị chặn Định nghĩa 2.1.3 Cho E F không gian lồi địa phương D miền E Một trọng v : D Ñ ♣0, ✽q hàm liên tục, dương thực Ký hiệu Hv ♣D, F q :✏ tf € H ♣D, F q : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ HG,v ♣D, F q :✏ tf € HG ♣D, F q : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ Nhận xét 2.1.4 Không gian Hv ♣D, F q trang bị tôpô sinh họ nửa chuẩn ♣⑥ ☎ ⑥v,pqp€cs♣F q Khi Hv ♣D, F q đầy đủ F đầy đủ, đặc biệt, Hv ♣D, F q Banach F Banach Dễ dàng kiểm tra Hv ♣D, F q ✏ lim ÐÝ Hv ♣D, Fpq, € ♣ q p cs F Fp bổ sung đầy đủ khơng gian định chuẩn tắc F ④ ker p 13 2.2 Tuyến tính hóa hàm chỉnh hình (Gâteaux) có trọng Ý tưởng tuyến tính hóa nhằm cho phép "đồng nhất" lớp hàm F -giá trị xác định tập mở E với lớp ánh xạ F -giá trị tuyến tính liên tục từ khơng gian định, E F khơng gian lồi địa phương Các cơng trình gần Carando Zalduendo [12], Mujica [55] đưa kết tuyến tính hóa cho khơng gian (khơng trọng) hàm liên tục/chỉnh hình khơng gian lồi địa phương; cơng trình Beltrán [7] cho (LB)-khơng gian có trọng hàm nguyên không gian Banach Cho Av ♣Dq (tương ứng, AG,v ♣Dq ) không gian Hv ♣Dq (tương ứng, HG,v ♣Dq) cho hình cầu đơn vị đóng compact với tơpơ compact mở τ0 Trước tiên, chúng tơi nghiên cứu định lý tuyến tính hóa khơng gian có trọng hàm F -giá trị theo nghĩa yếu Av ♣D, F q :✏ tf : D Ñ F : u ✆ f € Av ♣Dq, ❅u € F ✶✉ Chúng nhận kết sau Định lý 2.2.1 Cho v trọng miền D không gian lồi địa phương khả mêtric E Av ♣Dq khơng gian Hv ♣Dq cho hình cầu đơn vị đóng τ0 compact Khi đó, tồn không gian Banach PAv ♣Dq ánh xạ δD € H ♣D, PAv ♣Dq q có tính chất phổ dụng sau: Với không gian lồi địa phương đầy đủ F, hàm f € Av ♣D, F q tồn ánh xạ Tf € L♣PAv ♣Dq , F q cho Tf ✆ δD ✏ f Ở PAv ♣Dq xác định sai khác phép đẳng cấu đẳng cự Vì J đẳng cấu tơpơ nên khơng gian PAv ♣Dq gọi tiền đối ngẫu Av ♣Dq Tiếp theo, xem xét kết cho hàm chỉnh hình Gâteaux có trọng Cho D tập mở không gian lồi địa phương khả mêtric E Ký hiệu F ♣E q họ tất không gian hữu hạn chiều E Theo Định lý 2.2.1, với Y € F ♣E q, tồn ánh xạ pY € L♣PAv ♣D❳Y q , PAv ♣Dq q cho biểu đồ sau giao hoán id /D D❳Y (2.3)  δD❳Y PAv ♣D❳Y q pY /  δD PAv ♣Dq id ánh xạ đồng PAv ♣D❳Y q tiền đối ngẫu Av ♣D ❳ Y q Nếu Y, Z € F ♣E q cho Y ⑨ Z theo Định lý 2.2.1 tồn ánh xạ 14 pZY € L♣PA ♣D❳Y q, PA ♣D❳Z qq cho biểu đồ sau giao hoán v v D❳Y  δD ❳ Y pZY PAv ♣D❳Y q Từ đó, ta suy pZ ✆ pZY ✏ pY /D id / ❳Z  δD ❳ Z PA v ♣ D ❳ Z q ⑨ Z Ký hiệu PA0 ♣Dq :✏ pY ♣PA ♣D❳Y q q Y ↕ v € ♣ q v Y F E trang bị cho PA0 v ♣Dq tôpô cảm sinh tôpô PAv ♣Dq Giả sử AG,v ♣Dq không gian HG,v ♣Dq cho hình cầu đơn vị đóng compact tôpô τ0 Với không gian lồi địa phương đầy đủ F, ta đặt AG,v ♣D, F q :✏ tf : D Ñ F : u ✆ f € AG,v ♣Dq ❅u € F ✶✉ Khi đó, nhận kết sau Định lý 2.2.2 Cho D miền không gian lồi địa phương khả mêtric E Khi (i) PA0 v ♣Dq không gian trù mật PAv ♣Dq ; (ii) δD € H ♣D, PA0 ♣Dqq; v (iii) Với không gian lồi địa phương đầy đủ F, hàm f € AG,v ♣D, F q tồn ánh xạ tuyến tính Tf : PA0 v ♣Dq Đ F cho Tf ✆ δD ✏ f Hơn nữa, Tf liên tục f liên tục Bổ đề 2.2.3 Cho D miền không gian lồi địa phương khả mêtric E F không gian lồi địa phương đầy đủ Khi đó, họ ♣fj qj €I ⑨ Av ♣D, F q bị chặn họ ♣Tfj qj €I ⑨ L♣PAv ♣Dq , F q tương ứng đồng liên tục Từ Định lý 2.2.2 Bổ đề 2.2.3, ta hệ sau Hệ 2.2.4 Cho D miền không gian lồi địa phương khả mêtric E F không gian lồi địa phương đầy đủ Khi đó, họ ♣fj qj €I ⑨ Av ♣D, F q bị chặn họ tương ứng ♣Tfj qj €I ⑨ L♣PA0 v ♣Dq , F q đồng liên tục 2.3 Hội tụ Tauber không gian có trọng hàm chỉnh hình Chúng tơi áp dụng kết Phần 2.2 để nghiên cứu toán hội tụ Tauber cho dãy/lưới khơng gian có trọng Hv ♣E, F q Av ♣D, F q 15 Tập M ❸ D gọi tập Av ♣Dq với f ✞ ✞ cho f M ✏ f ✑ € Av ♣Dq Tập M ⑨ D gọi tập mẫu Av ♣Dq tồn số C cho với f € Av ♣Dq, ta có sup v ♣z q⑤f ♣z q⑤ ↕ C sup v ♣z q⑤f ♣z q⑤ € € z D z M Chú ý 2.3.1 Với M ⑨ D, ký hiệu Mv✝ :✏ tv ♣xqδx : x hình cầu đơn vị PAv ♣Dq € M ✉ ⑨ BP ➙1 (2.4) ♣ q với BPAv ♣Dq Av D Các khẳng định sau tương đương: (i) Mv✝ tách điểm Av ♣Dq; (ii) ①Mv✝ ② :✏ spanMv✝ σ ♣PAv ♣Dq , Av ♣Dqq-trù mật; (iii) M tập Av ♣Dq Với chuẩn xác định ⑥f ⑥M,v :✏ supz€M v ♣z q⑤f ♣z q⑤ Av ♣Dq, rõ ràng khẳng định sau tương đương: (i) M tập mẫu Av ♣Dq; (ii) ⑥ ☎ ⑥v ✔ ⑥ ☎ ⑥M,v on Av ♣Dq Rõ ràng, M tập mẫu Av ♣Dq Mv✝ tách điểm Av ♣Dq, đó, M tập Av ♣Dq Các kết phần liên quan đến hội tụ Tauber có trọng dãy hàm chỉnh hình Gâteaux khơng gian ♣EK , τE q Định lý 2.3.2 Cho E, F không gian Fréchet v trọng E Giả sử r q Khi đó, tồn tập không đa cực E không gian hạch với tôpô τE E € ♣Ω K € K♣E q thỏa mãn tính chất: ♣fm qm➙1 dãy bị chặn HG,v ♣♣EK , τE q, F q cho ♣fm qm➙1 hội tụ x € K đến hàm f liên tục x0 € K, f có thác triển fr € Hv ♣E, F q ♣fm qm➙1 hội tụ đến fr tập compact ♣EK , τE q Từ Định lý 1.3.4 Định lý 2.3.2, ta dễ dàng nhận kết sau Định lý 2.3.3 Cho E, F không gian Fréchet v trọng E Giả sử r q Khi đó, tồn E Schwartz có sở Schauder tuyệt tôpô τE cho E € ♣Ω tập không đa cực K € K♣E q thỏa mãn tính chất sau: ♣fm qm➙1 dãy bị chặn HG,v ♣♣EK , τE q, F q cho ♣fm qm➙1 hội tụ x € K đến hàm f liên tục x0 € K, f có thác triển fr € Hv ♣E, F q ♣fm qm➙1 hội tụ đến hàm fr tập compact ♣EK , τE q Phần lại mục đề cập đến hội tụ Tauber lưới khơng gian có trọng Av ♣D, F q Định lý 2.3.4 Cho v trọng miền D không gian lồi địa phương khả mêtric E Cho Av ♣Dq ❸ Hv ♣Dq không gian cho hình cầu đơn vị đóng BAv ♣Dq τ0 -compact, M ❸ D tập Av ♣Dq F không gian lồi địa phương đầy đủ Nếu ♣fj qj €I lưới bị chặn Av ♣D, F q cho ♣fj ♣xqqj €I hội tụ với x € M, ♣fj qj €I hội tụ đến hàm f € Av ♣D, F q tập compact D 16 2.4 Áp dụng cho toán thác triển chỉnh hình có trọng Sử dụng kết phần trước, phần nghiên cứu tốn thác triển chỉnh hình hàm chỉnh hình dạng yếu khơng gian có trọng hàm chỉnh hình Cho trước khơng gian Fréchet E Một dãy tăng ♣Bn qn➙1 tập bị chặn E ✶ gọi xác định tôpô polar ♣Bn✆ qn➙1 lấy E lập thành hệ lân cận E Định lý 2.4.2 Cho v trọng miền D không gian lồi địa phương khả mêtric E Av ♣Dq không gian Hv ♣Dq cho hình cầu đơn vị đóng BAv ♣Dq τ0 -compact Cho M ⑨ D tập Av ♣Dq, F không gian lồi địa phương đầy đủ W ⑨ F ✶ khơng gian xác định tính bị chặn F Nếu f : M Ñ F hàm cho u ✆ f có thác triển fu € Av ♣Dq với u € W, f thừa nhận thác triển fr € Av ♣D, F q Trong trường hợp D miền khơng gian Banach, theo định lý Montel, hình cầu đơn vị đóng BHv ♣Dq khơng gian Hv ♣Dq τ0 -compact Do đó, từ Định lý 2.2.1, nhận hệ sau Hệ 2.4.3 Giả sử v trọng miền D không gian Banach E M ⑨ D tập Hv ♣Dq Cho F không gian lồi địa phương đầy đủ W ⑨ F ✶ khơng gian xác định tính bị chặn F Nếu f : M Ñ F hàm cho u ✆ f có thác triển fu € Hv ♣Dq với u € W, f thác triển thành fr € Hv ♣D, F q Định lý 2.4.4 Cho v trọng miền D không gian lồi địa phương khả mêtric E Av ♣Dq không gian Hv ♣Dq cho hình cầu đơn vị đóng BAv ♣Dq τ0 -compact Cho M ⑨ D tập Av ♣Dq, F không gian Fréchet ➈ W ✏ n Bn ⑨ F ✶ với ♣Bn qn€N xác định tôpô F Nếu f : M Ñ F bị chặn cho u ✆ f có thác triển fu € Av ♣Dq với u € W ♣fu qu€Bn bị chặn Av ♣Dq với n, f thác triển thành fr € Av ♣D, F q Kết sau xem phiên khác Định lý 2.4.4 trường hợp M tập mẫu Định lý 2.4.5 Cho v trọng miền D không gian lồi địa phương khả mêtric E Av ♣Dq không gian Hv ♣Dq cho hình cầu đóng đơn vị BAv ♣Dq τ0 -compact Cho M tập mẫu Av ♣Dq W không gian σ ♣F ✶ , F q-trù mật đối ngẫu F ✶ không gian lồi địa phương đầy đủ địa phương F Nếu f : M Ñ F hàm cho sup v ♣xqp♣f ♣xqq ➔ ✽ với p € cs♣F q, (2.5) € x M u ✆ f có thác triển fu thành fr € Av ♣D, F q € Av ♣Dq với u € W, f 17 thác triển Chương Không gian Vitali tính taut yếu Nội dung chương nghiên cứu toán hội tụ Tauber dãy ánh xạ chỉnh hình đĩa đơn vị ∆ ⑨ C Các kết chương trích từ Cơng trình [38] 3.1 Một số khái niệm Không gian vành ♣X, OX q gọi khơng gian giải tích phức (nói gọn khơng gian ✞ phức) X Hausdorff với x € X tồn lân cận U x cho ♣U, OX ✞U q đẳng cấu (như khơng gian vành) với mơ hình địa phương Một khái qt hóa vơ hạn chiều khái niệm khơng gian giải tích phức xuất bối cảnh nghiên cứu biến thể cấu trúc giải tích khái niệm khơng gian giải tích Banach Ở đây, mơ hình địa phương tập giải tích Banach Định nghĩa 3.1.2 Cho U tập mở không gian Banach Một tập A ⑨ U gọi tập giải tích Banach tập khơng-điểm chung hữu hạn hàm chỉnh hình U nhận giá trị khơng gian Banach Khơng gian vành ♣X, OX q gọi khơng gian giải tích Banach X Hausdorff ✞ ✞ với x € X tồn lân cận U x cho ♣U, OX U q đẳng cấu (như khơng gian vành) với tập giải tích Banach Định nghĩa 3.1.3 Cho D tập mở Cn X không gian phức (tương ứng, khơng gian giải tích Banach) Ánh xạ f : D Ñ X gọi chỉnh hình x € D tồn lân cận V x tập mở U X cho f ♣V q ⑨ U fr ✏✞ ψ ✆ f : V Ñ Cm (tương ứng, fr : V Ñ F ) chỉnh hình, ψ đẳng cấu ♣U, OX ✞U q đẳng cấu với mơ hình địa phương (tập giải tích Banach khơng gian Banach F ) Ký hiệu Hol♣D, X q không gian tất ánh xạ chỉnh hình từ D vào X trang bị cho tơpơ hội tụ tập compact D 18 Định nghĩa 3.1.4 Giả sử X khơng gian giải tích Banach, p q hai điểm tùy ý X Ta gọi dây chuyền chỉnh hình γ nối p với q tập hợp ta1, a2, , an € ∆; f1, f2, , fn € Hol♣∆, X q✉ cho f1 ♣0q ✏ p, fi ♣ai q ✏ fi 1 ♣0q, fn ♣an q ✏ q   ⑤ ⑤ Xét κX ♣p, q q ✏ inf Lγ với infimum lấy theo tất dây ✁ ⑤ ⑤ i✏1 chuyền chỉnh hình γ nối p với q Khi đó, hàm κX : X ✂ X Ñ r0; ✽q gọi giả khoảng cách Kobayashi khơng gian giải tích Banach X Đặt Lγ ✏ n ➦ ln Định nghĩa 3.1.5 Cho X khơng gian giải tích Banach Ta gọi • X hyperbolic κX khoảng cách • X hyperpolic đầy đủ ♣X, κX q khơng gian mêtric đầy đủ 3.2 Tính taut yếu Định nghĩa 3.2.1 Một khơng gian giải tích Banach X gọi taut với dãy ♣fnqn➙1 ⑨ Hol♣∆, X q chứa dãy ♣fnk qk➙1 cho xảy hai điều kiện sau: (i) ♣fnk qk➙1 hội tụ Hol♣∆, X q; (ii) ♣fnk qk➙1 phân kỳ compact, tức với tập compact K k0 cho fnk ♣K q ❳ L ✏ ∅, ❅k → k0 ⑨ ∆ L ⑨ X, tồn Tuy vậy, tập mở không gian Banach vô hạn chiều không miền taut theo nghĩa thông thường giải tích phức hữu hạn chiều Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3.2.2 Cho E khơng gian Banach vô hạn chiều B ♣0, rq :✏ tx € E : ⑥x⑥ ➔ r✉ hình cầu tâm bán kính r → Lấy dãy ♣xn qn➙1 ⑨ B ♣0, rq cho inf ⑥xn ✁ xm ⑥ → ✘ n m Với n ➙ 1, xét hn € Hol♣∆, B ♣0, rqq xác định hn ♣λq ✏ λxn , λ € ∆ Khi đó, hn ♣0q ✏ với n ➙ ⑥hn♣λq ✁ hm♣λq⑥ ✏ ⑤λ⑤⑥xn ✁ xm⑥ Û n, m Ñ ✽ với ➔ ⑤λ⑤ ➔ r Điều chứng tỏ khơng có dãy ♣hn qn➙1 hội tụ phân kỳ compact Hol♣∆, B ♣0, rqq Do đó, B ♣0, rq khơng phải miền taut Tuy nhiên, ♣hn ∆③t0✉q phân kỳ compact ✞ ✞ 19 Sở dĩ tượng xảy không gian Banach vô hạn chiều khơng có tính chất compact địa phương Đây ngun nhân dẫn đến khó khăn việc nghiên cứu tính taut giải tích phức vơ hạn chiều Vì cần thiết phải có khái niệm mở rộng cho tính taut khơng gian giải tích Banach Chúng xét khái niệm mở rộng sau Định nghĩa 3.2.3 Một khơng gian giải tích Banach X gọi taut yếu với dãy ♣fn qn➙1 ⑨ Hol♣∆, X q chứa dãy ♣fnk qk➙1 cho xảy hai điều kiện sau: (i) ♣fnk qk➙1 hội tụ Hol♣∆, X q; (ii) tồn tập rời rạc S ∆ cho ♣fnk ✞∆③S qk➙1 phân kỳ compact, tức ✞ với tập compact K ⑨ ∆③S L ⑨ X, tồn k0 cho fn ♣K q ❳ L ✏ ∅, ❅k → k0 k Để đưa ví dụ tính chất không gian taut yếu, trước tiên ta chứng minh số kết liên quan đến khơng gian giải tích Banach hyperbolic đầy đủ Bổ đề 3.2.4 Cho X khơng gian giải tích Banach hyperbolic đầy đủ ♣fn qn➙1 Hol♣∆, X q Khi đó, Z :✏ Z♣fn q ✏ Z♣f q,U ✏ tλ € U : n ⑨ lim fn ♣λq tồn tại✉ n tập đóng ∆ Bổ đề 3.2.5 Cho X khơng gian giải tích Banach hyperbolic dãy ♣fn qn➙1 ⑨ Hol♣U, X q, U tập mở C Nếu dãy ♣fn qn➙1 khơng phân kỳ compact tồn dãy ♣gn qn➙1 ⑨ ♣fn qn➙1 cho Z♣gn q ✘ ∅ Một cách tương đương, Z♣gn q ✏ ∅ với ♣gn qn➙1 ⑨ ♣fn qn➙1 ♣fn qn➙1 phân kỳ compact U Bổ đề 3.2.6 Cho X khơng gian giải tích Banach hyperbolic đầy đủ ♣fn qn➙1 ⑨ Hol♣∆, X q Gọi Z ✶ :✏ Z♣✶fn q tập điểm giới hạn Z :✏ Z♣fn q ∆ Khi đó, Z♣fn q lân cận Z♣✶fn q Theo [49], ta biết không gian phức hữu hạn chiều mà hyperbolic đầy đủ có tính chất taut Tuy nhiên, khơng gian giải tích Banach, có kết sau Định lý 3.2.7 Cho X không gian hyperbolic đầy đủ không gian giải tích Banach Khi đó, X taut yếu Hệ 3.2.8 Cho X khơng gian giải tích Banach hyperbolic Nếu ♣fn qn➙1 ⑨ Hol♣∆, X q Z♣✶gn q ✏ ∅ với ♣gn qn➙1 ⑨ ♣fn qn➙1 , tồn tập rời rạc S ∆ dãy ♣hn qn➙1 ⑨ ♣fn qn➙1 cho ♣hn qn➙1 phân kỳ compact ∆③S Khi xét tính chất hyperbolic đầy đủ miền lồi bị chặn, đạt kết sau 20 Mệnh đề 3.2.9 Cho D miền bị chặn lồi khơng gian Banach E Khi đó, D hyperbolic đầy đủ D taut yếu Trong phần tiếp theo, thiết lập tương đương khái niệm taut yếu khái niệm taut trường hợp hữu hạn chiều 3.3 Tính Vitali, tính taut yếu tính taut Định nghĩa 3.3.1 Một khơng gian giải tích Banach X gọi có tính Vitali dãy ♣fn qn➙1 ⑨ Hol♣∆, X q Z♣fn q có điểm giới hạn ∆ dãy ♣fn qn➙1 hội tụ Kết đạt định lý sau Định lý 3.3.2 Cho X không gian phức Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) X có tính Vitali; (ii) X taut yếu; (iii) X taut Tiếp theo, xem xét mối quan hệ tính chất taut yếu tính chất Vitali khơng gian giải tích Banach có kết sau Định lý 3.3.3 Cho X không gian giải tích Banach Khi đó, X taut yếu X hyperbolic có tính Vitali 3.4 Tính taut yếu miền Hartogs miền cân Tiếp theo, đưa điều kiện cần đủ để miền Hartogs Ωϕ ♣X q khơng gian giải tích Banach taut yếu; điều kiện cần đủ để miền cân không gian Banach taut yếu Định nghĩa 3.4.1 Cho X khơng gian giải tích Banach ϕ hàm nửa liên tục trên X Khi đó, miền Hartogs Ωϕ ♣X q miền xác định Ωϕ ♣X q :✏ t♣x, λq € X ✂ C : ⑤λ⑤ ➔ e✁ϕ♣xq✉ Định lý 3.4.2 Miền Ωϕ ♣X q taut yếu X taut yếu ϕ hàm đa điều hòa liên tục Định nghĩa 3.4.3 Cho X miền cân khơng gian Banach E Khi đó, hàm cỡ h X hàm cho h♣xq ✏ inf tλ → : x € λX ✉ Định lý 3.4.5 Cho X miền cân không gian Banach ♣E, ⑥ ☎ ⑥q Khi đó, X taut yếu X bị chặn hàm cỡ h hàm đa điều hòa liên tục 21 Kết luận Nội dung chủ yếu Luận án nghiên cứu toán hội tụ kiểu Tauber Luận án đóng góp kết sau đây: • Chứng minh tính chất Zorn miền DK :✏ D ❳ EK không gian trù mật ♣EK , τE q khơng gian Fréchet E (hạch Schwartz có sở Schauder tuyệt đối) với K € K♣E q tập khơng đa cực đó; đồng thời hàm chỉnh hình loại bị chặn DK thác triển đến hàm chỉnh hình loại bị chặn D (Đinh lý 1.3.3, Định lý 1.3.4) • Khẳng định tồn tập lồi, cân, compact, không đa cực B không r q (hạch Schwartz có sở Schauder tuyệt đối) cho gian Fréchet E € ♣Ω hàm f với giá trị Fréchet, xác định, liên tục xấp xỉ đủ nhanh tập lồi, cân, compact, không đa cực B E dãy đa thức ♣pm qm➙1 với giá trị Fréchet thác triển đến hàm nguyên (Định lý 1.4.7, Định lý 1.4.8) • Đưa điều kiện tồn tập compact, lồi, cân, không đa cực K không gian Fréchet E cho dãy bị chặn hàm chỉnh hình giá trị Fréchet ♣fm qm➙1 HG,v ♣♣EK , τE q, F q hội tụ đến hàm f € HG,v ♣♣EK , τE q, F q tập compact ♣EK , τE q ♣fm qm➙1 hội tụ điểm K, τE tôpô EK cảm sinh tôpô E Hơn nữa, hàm f có thác triển chỉnh hình Hv ♣E, F q liên tục điểm K (Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3) • Xây dựng phiên khác định lý Jordá, khẳng định E không gian lồi địa phương khả mêtric F không gian lồi địa phương đầy đủ lưới bị chặn Av ♣D, F q hội tụ tập compact D đến hàm Av ♣D, F q hội tụ điểm tập Av ♣Dq (Định lý 2.3.4) • Giới thiệu khái niệm “tính taut yếu”, tổng qt hóa khái niệm “tính taut” khắc phục số khó khăn nghiên cứu vấn đề từ ánh xạ nhận giá trị không gian phức hữu hạn chiều sang trường hợp vơ hạn chiều • Đưa mối quan hệ khơng gian giải tích Banach hyperbolic, khơng gian có tính taut yếu khơng gian có tính Vitali (Định lý 3.2.7, Mệnh đề 3.2.9, Định lý 3.3.3) Đồng thời chứng minh ba tính chất trùng trường hợp hữu hạn chiều (Định lý 3.3.2) • Luận án đưa số áp dụng kết việc giải tốn thác triển chỉnh hình khơng gian có trọng Av ♣D, F q ⑨ Hv ♣D, F q hàm chỉnh hình giá trị lồi địa phương từ tập (gầy) từ tập mẫu (mập) (Định lý 2.4.2, Định lý 2.4.4, Định lý 2.4.5) 22 Các kết đóng góp thực vào hướng nghiên cứu toán hội tụ kiểu Tauber Chúng có ý nghĩa khoa học, mang tính thời quan tâm nhiều tác giả lĩnh vực nghiên cứu Luận án Với kết đạt số ứng dụng chúng, tương lai gần dự định nghiên cứu vấn đề sau: • Khảo sát để phát nhiều lớp khơng gian có tính chất Zorn, từ mở rộng khả ứng dụng kết đạt Luận án • Khảo sát tốn hội tụ Tauber khơng gian có trọng hàm phân hình ứng dụng Ngồi ra, cơng trình gần [65] đưa biểu diễn khơng gian hàm chỉnh hình giá trị vectơ dạng tích tensor khơng gian hàm chỉnh hình giá trị vô hướng với không gian miền giá trị Cụ thể, biểu diễn không ♣ F gian hàm chỉnh hình giá trị Fréchet rH ♣U, F q, τ s dạng r♣H ♣U q, τ qs❜ π U tập mở không gian Fréchet τ € tτ0 , τω , τδ ✉ Và áp dụng biểu diễn để giải số toán sau: (1) Luật mũ tôpô τ0 , τω không gian H ♣U ✂ V q với U V tương ứng hai tập mở không gian lồi địa phương; (2) Sự trùng tôpô τ0 , τω , τδ không gian hàm (mầm) chỉnh hình giá trị lồi địa phương H ♣U, F q (H ♣K, F q); (3) Tính kế thừa số tính chất giải tích chuyển qua khơng gian hàm (mầm) chỉnh hình Với biểu diễn tensor hy vọng đặt vấn đề nghiên cứu giải tốn sau: • Biểu diễn tensor cho khơng gian có trọng hàm chỉnh hình giá trị vectơ, tức ♣ F biểu diễn rAv ♣U, F q, τ s dạng r♣Av ♣U q, τ qs❜ π • Trên sở biểu diễn tổng quát hóa kết kiểu hội tụ Tauber (nhanh) có dãy hàm giá trị vơ hướng sang cho dãy hàm giá trị véctơ không gian khơng trọng có trọng 23 Tài liệu tham khảo [2] W Arendt, N Nikolski, Vector-valued holomorphic functions revisited, Math Z.,234 (2000), 777–805 [4] T J Barth, The Kobayashi Distance Induces the Standard Topology, Proc of the Amer Math Soc., 35(2) (1972), 439-441 [7] I A Berezansk˘ii, Inductively reflexive, locally convex spaces, Dokl Akad Nauka SSSR 182 (1968), 20–22, English Translation in Soviet Math., (1968), 10801082 [9] W M Bogdanowicz, Analytic continuation of holomorphic functions with values in a locally convex space, Proc Amer Math Soc., 22(1969), 660-666 [10] J Bonet, L Frerick, E Jordá, Extension of vector-valued holomorphic and harmonic functions, Studia Math., 183(3)(2007), 225-248 [11] J Borwein, Y Lucet, B Mordukhovich, Compactly epi-Lipschizian convex sets and functions in normed spaces, J Convex Analysis, (2000), 375–393 [12] D Carando, I Zalduendo, Linearization of functions, Math Ann., 328(4)(2004), 683-700 [13] J F Colombeau, Quelques exemples singuliers d’applications G-analytiques, analytiques et différentiables en dimension infinie, C R Acad Sc Paris, 273 (1971), Série A, 158-160 [14] N Q Dieu, P V Manh, P H Bang, L T Hung, Vitali’s theorem without uniform boundedness, Publ Mat., 60 (2016), 311-334 [15] S Dineen, Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, Springer, New York, (1999) [16] S Dineen, Surjective limits of locally convex spaces and their application to infinite dimensional holomorphy, Bull Soc Math France, 103 (1975), 441– 509 [17] S Dineen, Holomorphic functions on strong duals of Fréchet-Montel spaces, Infinite Dimensional Holomorphy and Applications (Ed.: M C Matos), NorthHolland Math Stud., 12 (1977), 147–166 [18] S Dineen, The Schwarz Lemma, The Clarendon Press, Oxford University Press, (1989) 24 [19] S Dineen, M.L Louren¸co, Holomorphic functions on strong duals of FréchetMontel spaces II, Arch Math., 53 (1989), 590–598 [23] N Dunford, Uniformity in linear spaces, Trans Amer Math Soc., 44(2) (1938), 305-356 [29] L Frerick, E Jordá, Extension of vector-valued functions, Bull Belg Math Soc., Simon Stevin, 14(3) (2007), 499-507 [30] L Frerick, E Jordá, J Wengenroth, Extension of bounded vector-valued functions, Math Nach., 282(5) (2009), 690-696 [32] K G Grosse-Erdmann, The Borel-Okada Theorem Revisited, Habilitationsschrift Fernuniversităat in Hagen, Hagen 1992 [33] K G Grosse-Erdmann, A weak criterion for vector-valued holomorphy, Math Proc Cambridge Philos Soc., 136 (2004), 399-411 [34] A Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, Mem Amer Math Soc., 16 (1955) [35] L M Hai, “The property ♣LB✽ q and Frechet-valued holomorphic functions on compact sets”, Vietnam J Math., 31(3)(2002), 281-294 [38] L M Hai, T T Quang, D T Vy, L T Hung, Some classes of Banach analytic spaces, Math Proc R.Ir Acad., Vol 116A (1) (2016), 1-17 [40] E Hille, R S Phillips, Functional analysis and semigroups, Amer Math Soc Provindence, R I (1957) [41] A Hirschowitz, Sur un théorème de M.A Zorn, Arch Math., 23 (1972), 77–79 [45] E Jordá, Weighted Vector-Valued Holomorphic Functions on Banach Spaces, Abst Appl Analysis, (2013), Article ID 501592, pages [46] J.E Joseph, M.H Kwack, Hyperbolic embedding and spaces of continuous extensions of holomorphic maps, J Geom Analysis, 4(1994), 361-378 [48] M Klimek, Pluripotential Theory, Oxford Clarendon Press, (1991) [49] S Kobayashi, Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol 318 (1998) [50] J Laitila, H O Tylli, Composition operators on vector-valued harmonic functions and Cauchy transforms, Indiana Univ Math J., 55(2)(2006), 719-746 [54] J Mujica, Complex Analysis in Banach Spaces, North-Holland -Amsterdam, New York - Oxford, 120 (1986) [55] J Mujica, Linearization of bounded holomorphic mappings on Banach spaces, Trans Amer Math Soc., 324(2) (1991), 867-887 [56] L Nachbin, Uniformité holomorphe et type exponentiel, Séminaire P Lelong, 1970/1971, Berlin, Springer-Verlag, Lecture Note in Math., 205 (1971), 216– 224 25 [59] Ph Noverraz, Pseudo-convexite, Convexite Polynomiale et Domaines d’Holomorphie en Dimension Infinie, North-Holland Math Stud., (1973) [62] T T Quang, N V Dai, On the holomorphic extension of vector valued functions, Complex Anal Oper Theory, 9(3) (2015), 567-591 [63] T T Quang, N V Dai, On Hartogs extension theorems for separately holomorphic functions, Inter J Math., 25(12) (2014), 15 pages [64] T T Quang, N V Dai, L V Lam, D T Vy, Linearization of weakly holomorphic functions in weighted spaces and its applications, (submitted) [65] T T Quang, D Q Huy, D T Vy, Tensor representation of spaces of holomorphic functions and applications, Complex Anal Oper Theory, 11(3) (2017) , 611-626 [66] ♣☎, W q- T T Quang, L V Lam, N V Dai, On σ ♣☎, W q-holomorphic functions and theorems of Vitali-type, Complex Anal Oper Theory, 7(1) (2013), 237–259 [67] T T Quang, L V Lam, Levi extension theorems for meromorphic functions of weak type in infinite dimension, Complex Anal Oper Theory, 10 (2016), 1619-1654 [68] T T Quang, L V Lam, Cross the orems for separately functions, Taiwanese J Math., 20(5) (2016), 1009-1039 [69] T T Quang, D T Vy, L T Hung, P H Bang, The Zorn property for holomorphic functions, Ann Polon Math., 120(2) (2017), 115-133 [72] D D Thai, T N Giao, The convergence-extension theorem of Noguchi in infinite dimension, Proc Amer Math Soc., 130(2) (2002), 477-482 [74] E Vesentini, Invariant distance and invariant differential metric in locally convex spaces, Spectral Theory, Banach Center Publications, PWN Polish Sci Publishers Warsaw, 8(1) (1982), 493-511 [78] D Vogt, Frechetrăaume zwischen denen jede stetige linear Abbildung beschraukt ist, J Reine Angew Math., 345 (1983), 182-200 [79] A Wilansky, Modern Methods in Topological Vector Spaces, McGraw-Hill, (1978) [80] H Wu, Normal families of holomorphic mappings, Acta Math., 119 (1967), 194-233 [81] M Zorn, Characterization of analytic functions in Banach spaces, Duke Math J., 12 (1945), 579–593 26 ♣☎, W q-meromorphic DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1) L M Hai, T T Quang, D T Vy, L T Hung, Some Classes of Banach Analytic Spaces, Math Proc R Ir Acad., Vol 116A (1) (2016), 1-17 2) T T Quang, D T Vy, L T Hung, P H Bang, The Zorn Property for Holomorphic Functions, Ann Polon Math, 120(2) (2017), 115-133 3) T T Quang, N V Dai, L V Lam, D T Vy, Linearization of Weakly Holomorphic Functions in Weighted Spaces and Its Applications (submitted to Matematicheskii Sbornik) ... đến thác triển chỉnh hình hàm ♣☎, W q -chỉnh hình Bên cạnh thành tựu đạt cho lớp hàm chỉnh hình giá trị véctơ (còn gọi hàm chỉnh hình) , toán hội tụ Tauber cho dãy ánh xạ chỉnh hình giá trị khơng... f : D Đ F chỉnh hình yếu u ✆ f chỉnh hình với u € F ✶ Chúng ta biết hàm chỉnh hình ln ln chỉnh hình yếu Ngược lại, với điều kiện hàm chỉnh hình yếu hàm chỉnh hình? Câu trả lời cho câu hỏi thuộc... miền giá trị cho hàm f chỉnh hình chỉnh hình yếu (hoặc gọi ♣☎, W q -chỉnh hình) , tức u ✆ f chỉnh hình với u € W Nói cách khác, phải xác định giả thiết vừa đủ để hàm chỉnh hình yếu chỉnh hình Arendt