Không gian với g hàm cơ sở yếu và một số định lí khả mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯƠNG HỒI BÃO KHƠNG GIAN VỚI g-HÀM CƠ SỞ YẾU VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ KHẢ MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯƠNG HOÀI BÃO KHÔNG GIAN VỚI g-HÀM CƠ SỞ YẾU VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ KHẢ MÊTRIC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN ĐÀ NẴNG - NĂM 2013 i MỤC LỤC Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tổng quan cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.2 CƠ SỞ VÀ CƠ SỞ LÂN CẬN CỦA KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.3 CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH 1.3 KHÔNG GIAN CON 1.4 ă KHễNG GIAN COMPC, KHÔNG GIAN LINDELOF VÀ KHÔNG GIAN KHẢ LI 10 1.5 ÁNH XẠ LIÊN TỤC 11 1.6 KHÔNG GIAN TÔPÔ KHẢ MÊTRIC 13 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VỚI g -HÀM CƠ SỞ YẾU VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ KHẢ MÊTRIC 2.1 2.2 15 g -HÀM VÀ g -HÀM CƠ SỞ YẾU 15 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ KHẢ MÊTRIC NHỜ TÍNH CHẤT CỦA g -HÀM CƠ SỞ YẾU 17 ii CHƯƠNG KHÔNG GIAN VỚI g -HÀM sn-MẠNG 35 3.1 MẠNG VÀ KHÔNG GIAN VỚI g -HÀM sn-MẠNG 35 3.2 ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN VỚI g -HÀM sn-MẠNG 42 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực không trùng lặp với tài liệu khác Tác giả iv DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC, THUẬT NGỮ VÀ KÍ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN Sau quy ước, thuật ngữ kí hiệu dùng Chương Chương luận văn Không gian tôpô viết gọn không gian Tất không gian, khơng nói thêm chúng tơi giả thiết chúng T3 -khơng gian Kí hiệu N tập tất số tự nhiên ω = N ∪ {0} Giả sử P Q họ gồm tập khơng gian X , x ∈ X K ⊂ X Kí hiệu, (a) P= {P : P ∈ P} (b) P= {P : P ∈ P} (c) (P)K = {P ∈ P : P ∩ K = ∅} (d) St(x, P) = (P)x (e) St2 (x, P) = {P ∈ P : St(x, P) ∩ P = ∅} (f) St(K, P) = (P)K (g) P Q = {P ∩ Q : P ∈ P, Q ∈ Q} Giả sử P họ gồm tập khơng gian X Khi đó, P gọi đếm có hữu hạn vơ hạn đếm phần tử Kí hiệu P(X) họ gồm tất tập X Giả sử (X, d) không gian mêtric, x ∈ X , n ∈ N P ⊂ X Kí hiệu, (a) B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} v (b) d(P ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ P } Các quy ước, thuật ngữ, kí hiệu khái niệm khơng trình bày luận văn hiểu theo [6,12,18] MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết không gian mêtric suy rộng chủ yếu đề cập đến lớp khơng gian có cấu trúc khơng gian mêtric lớp không gian xác định cách suy rộng khái niệm hàm mêtric Nó có nhiều ứng dụng nhóm tơpơ, lí thuyết khơng gian hàm, lí thuyết chiều nhiều lĩnh vực khác tốn học Lí thuyết thường xuất lí thuyết khoa học máy tính liên quan chặt chẽ với lí thuyết khả mêtric phân loại lẫn khơng gian ánh xạ Mêtric hóa khơng gian tơpơ tốn trọng tâm Lý thuyết khơng gian mêtric suy rộng Nó thu hút quan tâm nhiều nhà toán học lĩnh vực Tôpô đại cương Từ năm thập niên 80 kỉ trước, Nagata sử dụng tính chất g -hàm để nghiên cứu tính khả mêtric khơng gian tơpơ thu nhiều kết Sau đó, cách thay sở sở yếu, Z Gao suy rộng khái niệm g -hàm thành g -hàm sở yếu để đặc trưng cho lớp không gian khả mêtric Trong năm gần đây, số tác giả thu nhiều kết tính khả mêtric không gian mêtric suy rộng cách sử dụng tính chất g -hàm sở yếu (xem [2,4,6,11,14,18]) Ngoài ra, cách thay sở yếu sn-mạng, T V Ân L Q Tuyển suy rộng khái niệm g -hàm sở yếu thành g -hàm sn-mạng để đặc trưng cho số không gian mêtric suy rộng (xem [9]) Với mong muốn giới thiệu chứng minh lại số kết liên quan đến tính khả mêtric khơng gian tơpơ cách sử dụng g -hàm sở yếu, chọn đề tài: “Không gian với g -hàm sở yếu số định lí khả mêtric” Mục đích nghiên cứu Trong luận văn, nghiên cứu vấn đề Lí thuyết khơng gian mêtric suy rộng với mục đích sau (1) Chứng minh chi tiết số định lí mêtric hóa khơng gian tơpơ nhờ sử dụng tính chất g -hàm [5, 20] (2) Chứng minh chi tiết số kết liên quan đến mạng, phủ khơng gian Từ đó, chứng minh số đặc trưng không gian sn-đối xứng, không gian snf -đếm không gian sn-khả mêtric thông qua g -hàm sn-mạng [2] Đối tượng nghiên cứu Không gian khả mêtric, không gian mêtric suy rộng, g -hàm sn-mạng, g -hàm sở yếu Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tốn mêtric hóa khơng gian tơpơ cách sử dụng tính chất g -hàm , g -hàm sở yếu, g -hàm sn-mạng Lí thuyết khơng gian mêtric suy rộng, thuộc lĩnh vực Tôpô đại cương Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình nghiên cứu đề tài thực theo quy trình sau (1) Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức (2) Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến g -hàm sở yếu, g -hàm sn-mạng tính khả mêtric khơng gian tơpơ (3) Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lí thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo cho quan tâm nghiên cứu tốn tính khả mêtric khơng gian tơpơ cách sử dụng tính chất g -hàm, g -hàm sở yếu g -hàm sn-mạng Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày ba chương Ngồi ra, luận văn cịn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu tham khảo Chương Chương hệ thống lại khái niệm, kiến thức không gian tôpô không gian mêtric để thuận tiện cho việc chứng minh kết chương Chương Trình bày khái niệm tính chất sở yếu, g -hàm, g -hàm sở yếu đồng thời hệ thống lại chứng minh chi tiết số kết không gian với g -hàm sở yếu số định lí khả mêtric thơng qua g -hàm sở yếu Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất g -hàm sn-mạng Nó suy rộng khái niệm g -hàm sở yếu Chứng minh đặc trưng không gian snf -đếm được, sn-đối xứng sn-khả mêtric nhờ tính chất g -hàm sn-mạng Từ đó, thu số đặc trưng không gian gf -đếm được, không gian đối xứng, không gian g -khả mêtric nhờ tính chất g -hàm sở yếu Mặc dù cố gắng song luận văn khơng thể tránh hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q báu q thầy bạn để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin trân trọng cảm ơn! 40 (4) Giả sử X không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Khi đó, với x ∈ X , tồn sở lân cận đếm Px Do vậy, đặt P= {Px : x ∈ X}, P sở yếu X Bởi Px đếm nên ta suy X không gian gf -đếm (5) (6) Suy trực tiếp từ Nhận xét 3.1.5 3.1.9 Định nghĩa ([19]) Giả sử d : X × X −→ [0, +∞) hàm thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ X (1) d(x, y) = x = y ; (2) d(x, y) = d(y, x) Khi đó, d gọi d-hàm (d-function) X 3.1.10 Định nghĩa ([2]) Giả sử d d-hàm X Khi đó, (1) Với x ∈ X n ∈ N, ta đặt Sn (x) = {x ∈ X : d(x, y) < 1/n} (2) X gọi không gian nửa-mêtric (semi-metric), {Sn (x) : n ∈ N} sở lân cận x với x ∈ X (3) X gọi không gian đối xứng (symmetric), {Sn (x) : n ∈ N} sở lân cận yếu x với x ∈ X (4) X gọi không gian sn-đối xứng (sn-symmetric), {Sn (x) : n ∈ N} sn-mạng x với x ∈ X (5) Dãy {xi } không gian sn-đối xứng X gọi d-Cauchy, với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho d(xi , xj ) < ε với i, j ≥ n0 3.1.11 Định nghĩa ([2]) (1) Không gian đối xứng (X, d) gọi không gian đối xứng Cauchy (Cauchy symmetric), dãy hội tụ X d-Cauchy 41 (2) Không gian sn-đối xứng (X, d) gọi không gian sn-đối xứng Cauchy (Cauchy sn-symmetric), dãy hội tụ X d-Cauchy 3.1.12 Nhận xét ([2]) Đối với không gian X , khẳng định sau (1) Không gian khả mêtric =⇒ không gian nửa-mêtric =⇒ không gian đối xứng =⇒ không gian sn-đối xứng =⇒ khơng gian snf -đếm Do đó, không gian đối xứng Cauchy =⇒ không gian sn-đối xứng Cauchy =⇒ không gian snf -đếm (2) Không gian đối xứng ⇐⇒ không gian dãy sn-đối xứng Bởi thế, không gian đối xứng Cauchy ⇐⇒ không gian dãy sn-đối xứng Cauchy 3.1.13 Mệnh đề ([2]) Giả sử X khơng gian sn-đối xứng Khi đó, d Sn (x) → với x ∈ X dãy hội tụ X d-Cauchy Chứng minh Giả sử d Sn (x) → với x ∈ X {yn } dãy hội tụ đến y X Khi đó, với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho d Sn0 (y) < ε Bởi Sn0 (y) lân cận dãy y nên tồn m0 ∈ N cho {y} {yn : n ≥ m0 } ⊂ Sn0 (y) Do vậy, d(yi , yj ) < ε với i, j ≥ m0 Ngược lại, giả sử dãy hội tụ X d-Cauchy x ∈ X Ta cần chứng minh với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho d Sn (x) ≤ ε với n ≥ n0 Thật vậy, giả sử ngược lại tồn ε > cho với n ∈ N, tồn in ≥ n thỏa mãn d Sin (x) > ε Ta giả sử in < in+1 với n ∈ N Khi đó, với n ∈ N, tồn xn , yn ∈ Sin (x) cho d(xn , yn ) > ε Mặt khác, {Sin (x) : n ∈ N} mạng giảm x nên dãy {xn , yn : n ∈ N} hội tụ đến x X Hơn nữa, dãy hội tụ X d-Cauchy nên tồn k ∈ N cho d(xn , yn ) < ε với n ≥ k Điều dẫn đến mâu thuẫn với d(xn , yn ) > ε với n ∈ N 42 3.2 ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN VỚI g-HÀM sn-MẠNG Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm g -hàm sn-mạng, mà suy rộng khái niệm g -hàm sở yếu Chứng minh đặc trưng không gian snf -đếm được, không gian sn-đối xứng không gian sn-khả mêtric nhờ tính chất g -hàm sn-mạng Nhờ đó, chúng tơi chứng minh chi tiết đặc trưng không gian gf -đếm được, không gian đối xứng, không gian g -khả mêtric nhờ tính chất g -hàm sở yếu 3.2.1 Định nghĩa ([2]) Hàm g : N×X −→ P(X) gọi g -hàm sn-mạng (sn-network g -function) X thỏa mãn điều kiện sau (1) x ∈ g(n, x) với x ∈ X với n ∈ N (2) g(n + 1, x) ⊂ g(n, x) với x ∈ X với n ∈ N (3) {g(n, x) : n ∈ N} sn-mạng x với x ∈ X 3.2.2 Nhận xét Nhờ Nhận xét 3.1.5, khẳng định sau (1) g -hàm sở yếu =⇒ g -hàm sn-mạng (2) Hàm g : N × X −→ P(X) g -hàm sở yếu X ⇐⇒ X không gian dãy g g -hàm sn-mạng X 3.2.3 Định lí ([2]) Đối với khơng gian X , khẳng định sau tương đương (1) X không gian snf -đếm được; (2) Tồn g -hàm sn-mạng X thỏa mãn xn ∈ g(n, x) với n ∈ N, {xn } dãy hội tụ đến x X ; (3) Tồn g -hàm sn-mạng X Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử G = {Gx : x ∈ X} sn-mạng X , Gx = {Pn,x : n ∈ N} sn-mạng đếm x Với n ∈ N x ∈ X , ta đặt g(n, x) = {Pi,x : ≤ i ≤ n} 43 Khi đó, g : N × X −→ P(X) g -hàm sn-mạng X Bây giờ, giả sử {xn } dãy X x ∈ X cho xn ∈ g(n, x) với n ∈ N Bởi {g(n, x) : n ∈ N} mạng giảm x nên {xn } hội tụ đến x X Do vậy, g g -hàm sn-mạng thỏa mãn khẳng định (2) (2) =⇒ (3) Hiển nhiên (3) =⇒ (1) Giả sử g : N × X −→ P(X) g -hàm sn-mạng X Với x ∈ X , ta đặt Px = {g(n, x) : n ∈ N} đặt P = {Px : x ∈ X} Khi đó, Px đếm Hơn nữa, g g -hàm sn-mạng X nên ta suy Px = {g(n, x) : x ∈ X} sn-mạng đếm x với x ∈ X Điều chứng tỏ X không gian snf -đếm Nhờ Nhận xét 3.1.8(5), Nhận xét 3.2.2(2) Định lí 3.2.3, hệ sau 3.2.4 Hệ ([2]) Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương (1) X không gian gf -đếm được; (2) Tồn g -hàm sở yếu X thỏa mãn xn ∈ g(n, x) với n ∈ N, {xn } dãy hội tụ đến x X ; (3) Tồn g -hàm sở yếu X 3.2.5 Định lí ([2]) Đối với khơng gian X , khẳng định sau tương đương (1) X không gian sn-đối xứng; (2) X có mạng σ -mạnh {Gn : n ∈ N} cho {St(x, Gn ) : n ∈ N} sn-mạng x với x ∈ X ; (3) Tồn g -hàm sn-mạng X thỏa mãn x ∈ g(n, xn ) với n ∈ N, {xn } dãy hội tụ đến x X ; (4) Tồn g -hàm sn-mạng X thỏa mãn x ∈ g(n, xn ) với n ∈ N, tồn dãy {xnk } {xn } hội tụ đến x X 44 Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử X không gian sn-đối xứng Với n ∈ N, ta đặt Gn = {P ⊂ X : d(P ) < 1/n} Khi đó, St(x, Gn ) = Sn (x) với n ∈ N với x ∈ X Suy {Gn : n ∈ N} mạng σ -mạnh {St(x, Gn ) : n ∈ N} sn-mạng x với x ∈ X (2) =⇒ (3) Giả sử khẳng định (2) Khi đó, g : N × X −→ P(X) (n, x) −→ g(n, x) = St(x, Gn ) g -hàm sn-mạng X Bây giờ, giả sử {xn } dãy X x ∈ X cho x ∈ g(n, xn ) với n ∈ N Suy xn ∈ St(x, Gn ) với n ∈ N Hơn nữa, {Gn : n ∈ N} mạng σ -mạnh nên {xn } hội tụ đến x X Do vậy, khẳng định (3) (3) =⇒ (4) Hiển nhiên (4) =⇒ (1) Giả sử g : N × X −→ P(X) g -hàm sn-mạng X thỏa mãn x ∈ g(n, xn ) với n ∈ N, tồn dãy {xnk } {xn } hội tụ đến x X Với x, y ∈ X mà x = y , ta đặt δ(x, y) = min{n : x ∈ / g(n, y), y ∈ / g(n, x)} với x, y ∈ X , ta đặt d(x, y) =  0 x = y, 1/δ(x, y) x = y Khi đó, d d-hàm X Hơn nữa, (a) Với n ∈ N, tồn n0 ∈ N cho Sn0 (x) ⊂ g(n, x) Thật vậy, giả sử ngược lại tồn i0 ∈ N cho Sn (x) ⊂ g(i0 , x) với n ∈ N Khi đó, với n ∈ N, tồn xn ∈ Sn (x) \ g(i0 , x) Mặt khác, xn ∈ Sn (x) với n ∈ N 45 nên ta suy δ(x, xn ) > n với n ∈ N Do đó, với n ∈ N, x ∈ g(n, xn ) xn ∈ g(n, x) Suy ◦ Nếu x ∈ g(n, x) với vơ hạn n ∈ N, {g(n, x) : n ∈ N} mạng giảm x nên ta suy tồn dãy {xnk } {xn } hội tụ đến x ◦ Nếu xn ∈ g(n, x) với vơ hạn n ∈ N, từ tính chất g ta suy tồn dãy {xnk } {xn } cho {xnk } hội tụ đến x X Hơn nữa, g(i0 , x) lân cận dãy x nên {xnk } từ lúc nằm g(i0 , x) Điều dẫn đến mâu thuẫn với xn ∈ / g(i0 , x) với n ∈ N (b) Với n ∈ N, tồn n0 ∈ N cho g(n0 , x) ⊂ Sn (x) Thật vậy, giả sử ngược lại tồn i0 ∈ N cho g(n, x) ⊂ Si0 (x) với n ∈ N Khi đó, với n ∈ N, tồn xn ∈ g(n, x) \ Si0 (x) Mặt khác, {g(n, x) : n ∈ N} sn-mạng giảm x nên {xn } hội tụ đến x X Do đó, {xn } từ lúc nằm g(i0 , x) Bây giờ, lấy n ∈ N cho xn ∈ g(i0 , x), δ(xn , x) > i0 , kéo theo xn ∈ Si0 (x) Điều dẫn đến mâu thuẫn với xn ∈ / Si0 (x) với n ∈ N Từ khẳng định (a) (b) ta suy {Sn (x) : n ∈ N} sn-mạng x với x ∈ X Do vậy, X không gian sn-đối xứng 3.2.6 Hệ ([2]) Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương (1) X không gian đối xứng; (2) X có trải yếu; (3) Tồn g -hàm sở yếu X thỏa mãn x ∈ g(n, xn ) với n ∈ N, {xn } dãy hội tụ đến x X ; (4) Tồn g -hàm sở yếu X thỏa mãn x ∈ g(n, xn ) với n ∈ N, tồn dãy {xnk } {xn } hội tụ đến x X Chứng minh Sử dụng Nhận xét 3.1.5(2), Nhận xét 3.1.12(2), Nhận xét 3.2.2(2) Định lí 3.2.5 ta cần chứng minh (2) =⇒ (3) Giả sử {Pn : n ∈ N} trải yếu X Nhờ Nhận xét 2.2.2 Nhận xét 3.1.8, X không gian dãy Bây giờ, với n ∈ N, ta đặt 46 Gn = {Pi : ≤ i ≤ n} Khi đó, {Gn : n ∈ N} mạng σ -mạnh cho {St(x, Gn ) : n ∈ N} sở lân cận yếu x với x ∈ X Do vậy, áp dụng Nhận xét 3.1.5(1) Định lí 3.2.5 ta suy X có g -hàm sn-mạng thỏa mãn rằng, x ∈ g(n, xn ) với n ∈ N, {xn } dãy hội tụ đến x X Cuối cùng, X khơng gian dãy nên từ Nhận xét 3.2.2(2) ta suy khẳng định (3) 3.2.7 Bổ đề ([12]) Đối với không gian X , khẳng định sau tương đương (1) X không gian sn-khả mêtric; (2) X có sn-mạng σ -rời rạc; (3) X khơng gian snf -đếm với cs∗ -mạng σ -hữu hạn địa phương 3.2.8 Định lí ([2]) X khơng gian sn-khả mêtric tồn g -hàm sn-mạng X thỏa mãn điều kiện sau (a) Với x ∈ X , tồn tập mở U cho {U ∩ g (n, y) : y ∈ X} họ hữu hạn địa phương (b) Nếu xn ∈ g (n, yn ) với n ∈ N dãy {xn } hội tụ đến x dãy {yn } hội tụ đến x Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử G = {Gn : n ∈ N} sn-mạng σ -hữu hạn địa phương X Sử dụng Bổ đề 3.2.7 ta giả thiết Gn họ rời rạc X Hơn nữa, Gn họ hữu hạn địa phương X khơng gian quy nên ta giả thiết phần tử G đóng Bây giờ, giả sử G = {Gx : x ∈ X}, Gx sn-mạng x Với n ∈ N x ∈ X , ta đặt  P ∈ Gn h(n, x) = X \ {P ∈ G : x ∈ / P} n Gn ∩ Gx = ∅, Gn ∩ Gx = ∅ Bởi Gn họ rời rạc nên với x ∈ X với n ∈ N, tồn lân cận mở U x cho U giao với nhiều phần tử Gn Mặt khác, 47 {U ∩ h(n, x) : x ∈ X} ⊂ ⊂ {U } {U \ P : P ∈ Gn } {U ∩ P : P ∈ Gn , U ∩ P = ∅} nên ta suy {U ∩ h(n, x) : x ∈ X} họ hữu hạn với n ∈ N Tiếp theo, ta chứng tỏ h(n, x) lân cận dãy x Thật vậy, giả sử x ∈ X Khi đó, Gn ∩ Gx = ∅, h(n, x) = P ∈ Gn ∩ Gx , kéo theo h(n, x) lân cận dãy x Hơn nữa, Gn ∩ Gx = ∅, h(n, x) = X \ {P ∈ Gn : x ∈ / P } Bởi Gn rời rạc nên {P ∈ Gn : x ∈ / P } tập đóng X Điều kéo theo h(n, x) tập mở X Do vậy, h(n, x) lân cận dãy x Bây giờ, với n ∈ N x ∈ X , ta đặt g(n, x) = {h(k, x) : ≤ k ≤ n} Khi đó, g : N × X −→ P(X) (n, x) −→ g(n, x) g -hàm sn-mạng X với x ∈ X , tồn lân cận mở U x cho {U ∩ g(n, x) : x ∈ X} họ hữu hạn với n ∈ N Tiếp theo, giả sử {xi } {yi } hai dãy X cho {xi } hội tụ đến x X , xi ∈ g(i, yi ) với i ∈ N V lân cận mở x Khi đó, tồn n ∈ N, P ∈ Gn ∩ Gx m ≥ n cho P ⊂ V {x} {xi : i ≥ m} ⊂ P Bây giờ, ta chứng minh yi ∈ P với i ≥ m Thật vậy, giả sử ngược lại tồn i0 ≥ m cho yi0 ∈ / P Bởi P ∈ Gn ∩ Gx nên h(n, x) = P Hơn nữa, yi0 ∈ / P nên h(n, yi0 ) ∩ P = ∅ Mặt khác, i0 ≥ n nên g(i0 , yi0 ) ⊂ h(n, yi0 ), kéo theo g(i0 , yi0 ) ∩ P = ∅ 48 Điều dẫn đến mâu thuẫn với xi0 ∈ g(i0 , yi0 ) Do vậy, {yn } dãy hội tụ đến x X Bởi thế, g g -hàm sn-mạng X thỏa mãn điều kiện (a) (b) định lí (2) Điều kiện đủ Giả sử g : N × X −→ P(X) g -hàm sn-mạng X thỏa mãn điều kiện (a) (b) định lí Với n ∈ N x ∈ X , ta đặt h(n, x) = {g(n, y) : x ∈ g(n, y)} \ {g(n, y) : x ∈ / g(n, y)} Khi đó, x ∈ h(n, x) ⊂ g(n, x) với n ∈ N Bây giờ, ta đặt Hn = {h(n, x) : x ∈ X}, Gn = {h(n, x) : x ∈ X}, ta có (2.1) Nếu y ∈ h(n, x), x ∈ h(n, y) Thật vậy, y ∈ h(n, x) nên ta suy y ∈ g(n, z) x ∈ g(n, z) y ∈ / g(n, z) x ∈ / g(n, z) Điều chứng tỏ x ∈ g(n, z) y ∈ g(n, z) Do đó, x ∈ h(n, y) (2.2) Mỗi Gn hữu hạn địa phương Giả sử n ∈ N x ∈ X Khi đó, g thỏa mãn điều kiện (a) định lí nên tồn tập mở U X cho {U ∩ g(n, y) : y ∈ X} họ hữu hạn, kéo theo {U ∩ h(n, y) : y ∈ X} họ hữu hạn Đầu tiên, ta chứng minh với n ∈ N, Hn phân hoạch X Thật vậy, giả sử x, y ∈ X Khi đó, z ∈ g(n, z) với z ∈ X nên xảy trường hợp sau ◦ Trường hợp Nếu {x, y} ⊂ g(n, z) với z ∈ X , h(n, x) = h(n, y) = g(n, z) : {x, y} ⊂ g(n, z) ◦ Trường hợp Nếu tồn z ∈ X cho x ∈ g(n, z) y ∈ / g(n, z), h(n, x) ⊂ g(n, z) h(n, y) ∩ g(n, z) = ∅ Do đó, h(n, x) ∩ h(n, y) = ∅ ◦ Trường hợp Nếu tồn z ∈ X cho x ∈ / g(n, z) y ∈ g(n, z), h(n, y) ⊂ g(n, z) h(n, x) ∩ g(n, z) = ∅ 49 Bởi thế, h(n, x) ∩ h(n, y) = ∅ Từ đó, ta suy h(n, x) = h(n, y) h(n, x) ∩ h(n, y) = ∅ với x, y ∈ X Do vậy, Hn phân hoạch X Bởi Hn phân hoạch X tập hợp {U ∩ h(n, y) : y ∈ X} hữu hạn nên U giao nhiều hữu hạn phần tử Hn Do đó, Hn hữu hạn địa phương Bởi vậy, Gn hữu hạn địa phương (2.3) {St(x, Gn ) : n ∈ N} mạng x với x ∈ X Giả sử x ∈ U với U mở X Khi đó, X khơng gian quy nên tồn lân cận mở V x cho x ∈ V ⊂ U Bây giờ, ta chứng tỏ tồn n0 ∈ N cho St(x, Hn0 ) ⊂ V Thật vậy, giả sử ngược lại St(x, Hn ) ⊂ V với n ∈ N Khi đó, với n ∈ N, tồn yn ∈ St(x, Hn ) \ V Do vậy, với n ∈ N, tồn zn ∈ X cho {x, yn } ⊂ h(n, zn ) Nhờ khẳng định (2.1) ta suy zn ∈ h(n, x) ⊂ g(n, x) với n ∈ N Mặt khác, {g(n, x) : n ∈ N} mạng giảm x nên {zn } hội tụ đến x X Hơn nữa, yn ∈ h(n, zn ) với n ∈ N nên nhờ khẳng định (2.1) ta suy zn ∈ h(n, yn ) ⊂ g(n, yn ) với n ∈ N Do đó, nhờ tính chất (b) g định lí ta suy {yn } hội tụ đến x X Điều dẫn đến mâu thuẫn với V lân cận x yn ∈ / V với n ∈ N Bởi thế, tồn n0 ∈ N cho St(x, Hn0 ) ⊂ V Do vậy, nhờ khẳng định (2.2) ta suy St(x, Gn0 ) ⊂ U (2.4) Mỗi St(x, Gn ) lân cận dãy x Giả sử x0 ∈ X , n ∈ N {xk } dãy hội tụ đến x0 X Đặt K = {x0 } {xk : k ∈ N} Khi đó, K tập compắc X Mặt khác, Gn phủ hữu hạn địa phương nên với y ∈ K , tồn lân cận Vy y giao với hữu hạn phần tử Gn Hơn nữa, K tập compắc nên tồn tập hữu hạn F ⊂ K cho K⊂ Vy Điều chứng tỏ K giao với nhiều hữu hạn phần tử y∈F 50 Gn Bây giờ, ta chứng tỏ {xk } từ lúc nằm St(x0 , Gn ) Thậtvậy, giả sử ngược lại {xk } khơng từ lúc nằm St(x0 , Gn ) Khi đó, tồn dãy {xki } {xk } cho xk i ∈ / St(x0 , Gn ) với i ∈ N Bởi K giao nhiều hữu hạn phần tử Gn nên tồn họ hữu hạn F ⊂ Gn cho {xki : i ∈ N} ⊂ F Do đó, tồn P ∈ F cho P chứa dãy {xkij } {xki } Bởi P đóng {xkij } hội tụ đến x0 nên x0 ∈ P , kéo theo P ∈ St(x0 , Gn ) Suy {xkij : j ∈ N} ⊂ St(x0 , Gn ) Điều mâu thuẫn với xki ∈ / St(x0 , Gn ) với i ∈ N Tiếp theo, với n ∈ N, ta đặt Qn = {Gi : ≤ i ≤ n} Khi đó, Gn họ hữu hạn địa phương gồm tập hợp đóng nên Qn họ hữu hạn địa phương gồm tập hợp đóng Hơn nữa, (2.5) {Qn : n ∈ N} cs∗ -mạng X Thật vậy, giả sử x ∈ U với U mở {xk } dãy hội tụ đến x X Khi đó, nhờ khẳng định (2.3), tồn n ∈ N cho x0 ∈ St(x0 , Gn ) ⊂ U, kéo theo x0 ∈ St(x0 , Qn ) ⊂ U Hơn nữa, áp dụng khẳng định (2.4), ta suy St(x0 , Gi ) lân cận dãy x0 với i ≤ n Do đó, theo cách đặt Qn ta suy St(x0 , Qn ) = St(x0 , Gi ) i≤n St(x0 , Qn ) lân cận dãy x0 Suy {xk } từ lúc nằm St(x0 , Qn ) Bởi Qn họ hữu hạn địa phương nên ta suy tồn P ∈ Qn cho {xk } thường xuyên gặp P Hơn nữa, từ bao hàm thức 51 P ⊂ St(x0 , Qn ) ⊂ U ta suy {Qn : n ∈ N} cs∗ -mạng X (2.6) X không gian snf -đếm Thật vậy, với x ∈ X , ta đặt Px = {St(x, Qn ) : n ∈ N} đặt P = {Pn : n ∈ N} Khi đó, ◦ Px đếm với x ∈ X ◦ Giả sử P = St(x, Qn ), Q = St(x, Qm ) ∈ Px Khi đó, ta lấy k = max{m, n}, R = St(x, Qk ) ∈ Px R ⊂ P ∩ Q ◦ Mỗi phần tử Px lân cận dãy x với x ∈ X Thật vậy, giả sử P = St(x, Qn ) ∈ Px Khi đó, theo cách chứng minh khẳng định (2.5) ta suy P lân cận dãy x Do vậy, X không gian snf -đếm Cuối cùng, áp dụng Bổ đề 3.2.7 ta suy X không gian sn-khả mêtric 3.2.9 Hệ ([2]) X không gian g -khả mêtric tồn g -hàm sở yếu X thỏa mãn điều kiện sau (a) Với x ∈ X , tồn tập mở U cho {U ∩ g (n, y) : y ∈ X} họ hữu hạn địa phương; (b) Nếu xn ∈ g (n, yn ) với n ∈ N dãy {xn } hội tụ đến x dãy {yn } hội tụ đến x Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử X khơng gian g -khả mêtric Khi đó, theo Nhận xét 3.1.8(6), ta suy X không gian dãy sn-khả mêtric Do-đó, theo Định lí 3.2.8, tồn g -hàm sn-mạng g X thỏa mãn điều kiện (a) (b) Bởi X khơng gian dãy nên sử dụng Nhận xét 3.2.2(2) ta suy điều phải chứng minh (2) Điều kiện đủ Giả sử tồn g -hàm sở yếu g X thỏa mãn hai điều kiện (a) (b) Khi đó, theo Nhận xét 3.2.2(2), X không gian dãy g g -hàm sn-mạng X thỏa mãn hai điều kiện (a) (b) Nhờ Định lí 3.2.8, X khơng gian sn-khả mêtric Hơn nữa, X không gian dãy nên theo Nhận xét 3.1.8(6) ta suy X không gian g -khả mêtric 52 KẾT LUẬN Trong luận văn này, nghiên cứu tính mêtric hóa khơng gian tơpơ nhờ tính chất g -hàm sở yếu đặc trưng không gian mêtric suy rộng thông qua tính chất g -hàm sn-mạng Luận văn đạt kết sau Hệ thống lại số kiến thức Tơpơ đại cương Trình bày số khái niệm không gian mêtric suy rộng chứng minh chi tiết số mối quan hệ chúng Trình bày số khái niệm sở yếu, sn-mạng, mạng, mạng σ -mạnh chứng minh chi tiết số mối quan hệ chúng Sử dụng Định lí Martin để chứng minh chi tiết số định lí hệ tính khả mêtric khơng gian tơpơ thơng qua tính chất g -hàm sở yếu mà P Yan, S Lin L K Dian đưa gần tài liệu [5, 20] Trình bày khái niệm không gian đối xứng Cauchy, không gian sn-đối xứng Cauchy, g -hàm sn-mạng chứng minh chi tiết số tính chất chúng Chứng minh chi tiết đặc trưng số không gian mêtric suy rộng thơng qua tính chất g -hàm sn-mạng T V Ân L Q Tuyển trình bày [2] 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] An T V., Tuyen L Q (2011), “ On an affirmative answer to S Lin’s problem ”, Topology and its Applications, 158, 1567–1570 [2] An T V., Tuyen L Q (2011), “ Spaces with sn-network g -functions ”, Submitted to Publications de l’Institut Mathématique (Beograd), for publication [3] Chen H (2002), “ Compact-covering maps and k -networks”, Proc Amer Math Soc., 131, 2623–2632 [4] Chen B., Jiang S (2008), “ Metrizability of spaces and weak base g functions”, New Zealand J Math., 37, 15–20 [5] Dian L K (2008), “ On CWC-mappings and metrization theorem”, J Math Res Exposition, 28, 695–698 [6] Engelking R (1988),General Topology, Sigma series in pure mathematics, 6, Heldermann Verlag, Berlin [7] Gao Z (2005), “ Metrizability of spaces and weak base g -functions”, Topology and its Applications, 146-147, 279–288 [8] Gruenhage G (1984), “ Generalized metric spaces”, Handbook of set-theoretic topology, North-Holland, Amsterdam, 423–501 [9] Gruenhage G (2002), Metrizable spaces and generalizations, Recent progress in general topology, II, North-Holland, Amsterdam, 201–225 [10] Hart K P., Nagata J., Vaughan J E (2004), Encyclopedia of General Topology, North-Holland [11] Lin S (1995), Generalized Metric Spaces and Mappings, Chinese Science Press, Beijing [12] Lin S (2002), Point-Countable Covers and Sequence-Covering Mappings, Chinese Science Press, Beijing [13] Martin H W.(1976), “ Weak base and metrization”, Trans Amer Math Soc., 222, 338-344 [14] Mohamad A M (1999), “ Conditions which imply metrizability in some generalized metric spaces”, Topology Proc., 24, 215–232 54 [15] Nagata J (1999), “ Remarks on metrizability and generalized metric spaces”, Topology and its Applications, 91, 71–77 [16] Tanaka Y (1991), “ Symmetric spaces, g -developable spaces and g metrizable spaces”, Math Japon., 36, 71–84 [17] Tanaka Y (1994), “Theory of k -networks”, Questions Answers Gen Topology, 12, 139–164 [18] Tanaka Y (2001), “ Theory of k -networks II”, Questions Answers Gen Topology, 19, 27–46 [19] Tanaka Y and Ge Y (2006), “ Around quotient compact images of metric spaces, and symmetric spaces”, Houston J Math., 32, 99–117 [20] Yan P., Lin S (2007), “ CWC -mappings and metrization theorems”, Adv Math., 36, 153–158 [21] Yang P., Lin S (2003), “ On monotone spaces and metrization theorems”, Acta Math Sinica, 46, 1225–1232 [22] Yang E., Shi W (2011), “ Weak base g -functions and metrizability of topological spaces”, Topology and its Applications, 158, 238–243 ... =⇒ không gian dãy (3) Không gian khả mêtric =⇒ không gian g -khả mêtric =⇒ không gian gf đếm =⇒ không gian snf -đếm (4) Không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ =⇒ không gian gf đếm (5) Không gian gf... cứu Không gian khả mêtric, không gian mêtric suy rộng, g -hàm sn-mạng, g -hàm sở yếu Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tốn mêtric hóa khơng gian tơpơ cách sử dụng tính chất g -hàm , g -hàm sở yếu, g. .. =⇒ không gian nửa -mêtric =⇒ không gian đối xứng =⇒ không gian sn-đối xứng =⇒ không gian snf -đếm Do đó, khơng gian đối xứng Cauchy =⇒ khơng gian sn-đối xứng Cauchy =⇒ không gian snf -đếm (2) Không