CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VỚI g -HÀM CƠ SỞ YẾU VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ KHẢ MÊTRIC 15
2.2 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ KHẢ MÊTRIC NHỜ TÍNH CHẤT CỦA g -HÀM CƠ SỞ YẾU
Trong mục này, chúng tôi chứng minh chi tiết một số định lí khả mêtric của không gian tôpô thông qua g-hàm cơ sở yếu trong các tài liệu [5, 20].
2.2.1 Định nghĩa ([19]). Giả sử {Gn :n ∈N} là một dãy gồm các phủ của không gian X. Khi đó,
(1) S{Gn:n ∈N} được gọi là mạng σ-mạnh (σ-strong network) của X nếu Gn+1 là mịn của Gn với mọi n ∈N và với mọi lân cận U của x, tồn tại n ∈N sao cho St(x,Gn)⊂U.
(2) Mạng σ-mạnh S{Gn :n ∈N} được gọi là trải được yếu (weak-development) của X nếu
{St(x,Gn) :n∈N} là một cơ sở yếu tại x với mọi x∈X.
2.2.2 Nhận xét. Nếu X là không gian có trải được yếu, thì nó là không gian gf-đếm được.
[[13]] Không gianX khả mêtric khi và chỉ khi tồn tại trải được yếu S{Gn :n ∈ N} sao cho {St2(x,Gn) :n∈N} là cơ sở lân cận yếu tại x với mọi x∈X.
2.2.3 Định lí ([20]). Giả sử X là một không gian chính quy. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.
(1) X là khả mêtric;
(2) Tồn tại g-hàm cơ sơ yếu g trên X thỏa mãn rằng nếu F là tập hợp đóng và C là tập compắc trong X sao cho F ∩C=∅, thì
S
x∈F
g(n, x)
∩ S
x∈C
g(n, x)
=∅;
(3) Tồn tại g-hàm cơ sở yếu g trên X thỏa mãn tính chất rằng với mọi dãy {xn} và {yn} trong X, nếu dãy {xn} hội tụ đến x∈X và
g(n, xn)∩g(n, yn)6=∅ với mọi n∈N, thì {yn} là dãy hội tụ đến x;
(4) X có trải được yếu S{Gn :n ∈N} thỏa mãn rằng với mỗi dãy L hội tụ đến x mà x∈L⊂U, tồn tại n ∈N sao cho St(L,Gn)⊂U;
(5) Tồn tại g-hàm cơ sở yếu g trên X thỏa mãn các tính chất sau.
(5.1) Nếu {xn} và {yn} là các dãy trongX thỏa mãn{xn} là dãy hội tụ đến x∈X và yn∈g(n, xn) với mọi n ∈N, thì {yn} là dãy hội tụ đến x; (5.2) Nếu {xn} và {yn} là các dãy trongX thỏa mãn{xn} là dãy hội tụ đến
x∈X và xn∈g(n, yn) với mọi n ∈N, thì {yn} là dãy hội tụ đến x. Chứng minh. (1) =⇒ (4). Giả sử X là không gian khả mêtric. Khi đó, tồn tại mêtric trên X sao cho tôpô sinh bởi mêtric trùng với tôpô trên X. Bây giờ, với mỗi n∈N, ta đặt
Gn ={B(x,1/2n) :x∈X}. Khi đó,
(a) Mỗi Gn là phủ mở của X.
(b) Gn+1 là mịn của Gn với mọi n ∈N.
(c) {St(x,Gn) :n∈N} là mạng tại x với mọix∈X. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại x ∈X sao cho {St(x,Gn) :n ∈ N} không là mạng tại x. Khi đó, tồn tại lân cận U của x sao cho
St(x,Gn)6⊂U với mọi n ∈N.
Suy ra với mỗi n∈N, tồn tại xn ∈X sao cho x∈B(xn,1/2n)6⊂U.
Do đó, với mỗi n ∈N, tồn tại yn ∈B(xn,1/2n)\U. Bởi vì x∈B(xn,1/2n) với mọi n∈N nên ta suy ra rằng
d(x, xn)<1/2n với mọi n∈N, kéo theo {xn} là dãy hội tụ đến x trong X. Hơn nữa, vì
yn ∈B(xn,1/2n) với mọi n ∈N nênd(xn, yn)<1/2n. Do vậy, từ bất đẳng thức
d(yn, x)≤d(xn, yn) +d(xn, x)<1/2n−1
ta suy ra {yn} là dãy hội tụ đến x. Điều này mâu thuẫn với U là lân cận của x và yn∈/ U với mọi n ∈N.
Từ chứng minh trên ta suy ra rằng S{Gn:n∈N} là trải được yếu của X. Tiếp theo, giả sử {xn} là dãy hội tụ đến x thỏa mãn
x∈ {xn:n∈N} ⊂U.
Ta chứng minh rằng tồn tại n ∈N sao cho St
{xn},Gn
⊂U.
Thật vậy, giả sử ngược lại rằng St
{xi},Gn
6⊂U với mọi n∈N. Khi đó, với mỗi k ∈N, tồn tại xnk và yk ∈X sao cho
xnk ∈B(yk,1/2k)6⊂U.
Ta có thể giả thiết rằng nk+1 > nk với mọi k ∈ N. Suy ra {xnk} là một dãy con của {xn}, kéo theo {xnk} hội tụ đến x trong X. Do đó, với mỗi n ∈ N, tồn tại m∈N sao cho
d(xnk, x)<1/2n với mọi k ≥m. (2.1) Hơn nữa, vì xnk ∈B(yk,1/2k) nên
d(xnk, yk)<1/2k với mọi k ∈N. (2.2) Từ (2.1) và (2.2) ta suy ra
d(yk, x)≤d(yk, xnk) +d(xnk, x)< 1 2k + 1
2n < 1
2n−1 với mọi k ≥m. (2.3) Từ (2.3) ta suy ra rằng {yn} là dãy hội tụ đến x trong X. Điều này mâu thuẫn với U là lân cận của x và yn∈/ U với mọi n∈N.
(4) =⇒(1). Theo Bổ đề 2.2, ta chỉ cần chứng minh {St2(x,Gn) : n ∈ N} là cơ sở yếu tại x với mọi x ∈ X. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại x ∈ X sao cho {St2(x,Gn) :n∈N} không là cơ sở yếu tại x. Khi đó, tồn tại lân cận U của x sao cho
St2(x,Gn)6⊂U với mọi n∈N. Do đó, với mỗi n ∈N, tồn tại Pn∈ Gn sao cho
St(x,Gn)∩Pn 6=∅ và Pn6⊂U với mọi n∈N.
Bây giờ, với mỗin ∈N, ta lấy xn ∈St(x,Gn)∩Pn. Khi đó, vì S{Gn :n∈N} là trải được yếu nên {xn} là dãy hội tụ đến x. Bởi thế, tồn tại m0 ∈N sao cho
L={x}S
{xn :n≥m0} ⊂U.
Bởi vìL là dãy hội tụ đến x nên nhờ tính chất của {Gn} ta suy ra tồn tại n0 ∈N sao cho
St(L,Gn0)⊂U.
Do vậy,
Pn0+m0 ⊂St(L,Gn0+m0)⊂St(L,Gn0)⊂U.
Điều này mâu thuẫn với Pn0+m0 6⊂U.
(1) =⇒ (2). Giả sử X là không gian khả mêtric. Khi đó, trên X tồn tại một mêtric d sao cho tôpô sinh bởi d trùng với tôpô ban đầu trên X. Với mọi tập đóng F và tập compắc C trong X thỏa mãn F ∩C = ∅, đặt r = d(C, F) và với mỗi x∈X, n ∈N ta đặt
g(n, x) =B(x, r/2n) ={y∈X :d(x, y)< r/2n}.
Khi đó, r >0 và
(a) x∈g(n, x) với mọi n ∈N.
(b) g(n+ 1, x)⊂g(n, x) với mọi n∈N.
(c) Giả sử U là tập mở bất kì trong X. Lúc đó, U mở trong X khi và chỉ khi với mọi x ∈ U, tồn tại n ∈ N sao cho x ∈ B(x, r/2n) ⊂ U, khi và chỉ khi x∈g(n, x)⊂U. Do vậy, g là một g-hàm cơ sở yếu trong X.
Cuối cùng, với mỗi n∈N, bởi vì F ∩C =∅ nên ta có
g(n, x)∩g(n, y) =B(x, r/2n)∩B(y, r/2n)⊂B(x, r/2)∩B(y, r/2) =∅
với mọi x∈F và với mọi y∈C. Do vậy, S
x∈F
g(n, x)
∩ S
x∈C
g(n, x)
=∅.
(3) =⇒(5). Giả sử khẳng định (3) là đúng và X và {xn}, {yn}là các dãy trong X thỏa mãn {xn} là dãy hội tụ đến x∈X và
yn∈g(n, xn) với mọi n∈N hoặc xn∈g(n, yn) với mọi n ∈N. Khi đó,
g(n, xn)∩g(n, yn)6=∅ với mọi n∈N.
Theo khẳng định (3) ta suy ra{yn}là dãy hội tụ đến x. Như vậy, khẳng định (5) thỏa mãn.
(2) =⇒(3). Giả sử g là một g-hàm cơ sở yếu trên X thỏa mãn khẳng định (2) và {xn}, {yn} là hai dãy trong X sao cho
g(n, xn)∩g(n, yn)6=∅ với mọi n∈N
và {xn} là dãy hội tụ đến x. Ta chứng minh rằng {yn} cũng hội tụ đến x. Thật- vậy, giả sử ngược lại rằng dãy {yn} không hội tụ đến x. Khi đó, tồn tại một lân cận mở U của x và một dãy con {ynk :k ∈N} của {yn} sao cho
{ynk :k ∈N} ⊂X\U.
Bây giờ, ta đặt
F =X\U, C ={x}S
{xn :xn∈U, n∈N}.
Khi đó, F là tập đóng, C là tập compắc trong X và F ∩C = ∅. Theo khẳng định-(2), tồn tại n ∈N sao cho
S
x∈F
g(n, x)
∩ S
x∈C
g(n, x)
=∅.
Từ đó, ta có thể chọn được k ∈N sao cho
g(nk, xnk)∩g(nk, ynk) =∅. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
(5) =⇒(4). Giả sử g là một g-hàm cơ sở yếu trênX thỏa mãn khẳng định (5).
Ta đặt
Gn={g(n, x) :x∈X}, Px ={St(x,Gn) :n∈N}.
Khi đó, vì g là g-hàm cơ sở yếu nên Gn+1 là mịn của Gn với mọi n∈N. Hơn nữa, (a) Px là mạng tại x. Giả sửx∈U với U mở trong X. Ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại n ∈N sao cho
St(x,Gn)⊂U.
Thật vậy, giả sử ngược lại rằng
St(x,Gn)6⊂U với mọi n ∈N.
Khi đó, với mỗi n ∈ N, tồn tại yn ∈ St(x,Gn)\U. Suy ra với mỗi n ∈ N, tồn tại zn∈X sao cho
{yn, x} ⊂g(n, zn).
Bây giờ, với mỗi n∈N, ta đặt xn=x. Suy ra {xn} là dãy hội tụ đến x và
zn ∈g(n, xn) với mọi n∈N.
Theo khẳng định (5.1), {zn} là dãy hội tụ đến x. Hơn nữa, bởi vì yn∈g(n, zn) với mọi n∈N
nên lại nhờ khẳng định (5.1) ta suy ra dãy {yn} hội tụ đến x. Điều này mâu thuẫn với yn ∈/ U với mọi n ∈N.
(b) Giả sử P, Q∈ Px. Khi đó, tồn tại m, n∈N sao cho P =St(x,Gn), Q=St(x,Gm). Nếu ta đặt k = max{m, n}, thì
R=St(x,Gk)∈ Px và R⊂P ∩Q.
(c) Giả sử U mở trong X. Khi đó, theo (a) ta suy ra rằng mỗi x∈U, tồn tại P ∈ Px sao cho x ∈ P ⊂ U. Bây giờ, giả sử rằng với mọi x ∈ U, tồn tại P ∈ Px
sao cho x∈P ⊂U. Suy ra với mỗi x∈U, tồn tại nx sao cho x∈St(x,Gnx)⊂U.
Bởi vì g(n, x)⊂St(x,Gn) với mọi n∈N nên ta suy ra x∈g(nx, x)⊂U với mọi x∈U.
Hơn nữa, vì g là g-hàm cơ sở yếu trên X nên ta suy ra U mở trong X. Từ (a), (b) và (c) ta suy ra rằng P = S
{Px : x ∈ X} là cơ sở yếu của X. Do vậy, S{Gn:n∈N} là trải được yếu của X.
Bây giờ, giả sử L hội tụ đến x mà x ∈ L ⊂ U. Ta chứng minh rằng tồn tại n∈N sao cho
St(L,Gn)⊂U.
Thật vậy, giả sử ngược lại rằng
St(L,Gn)6⊂U với mọi ∈N. Khi đó, với mỗi n∈N, tồn tại xnk ∈L sao cho
St(xnk,Gk)\U 6=∅.
Với mỗik ∈N, ta lấy yk ∈St(xnk,Gk)\U. Suy ra với mỗi k ∈N, tồn tại zk ∈X sao cho {yk, xnk} ⊂g(n, zk). Bởi vì xnk là dãy hội tụ đến x và {xnk} ⊂g(n, zk) với mọi k∈N nên nhờ khẳng định (5.2) ta suy ra {zk} là dãy hội tụ đến x. Hơn-nữa, lại vì dãy {zk} hội tụ đến x và
yk ∈g(n, zk) với mọi k ∈N
nên nhờ khẳng định (5.1) ta suy ra rằng dãy {yk} hội tụ đến x. Điều này mâu thuẫn với yk ∈/ U với mọi k∈N và U là lân cận của x.
Từ định lí trên, ta suy ra hai hệ quả sau.
2.2.4 Hệ quả ([20]). Không gianX là khả mêtric khi và chỉ khi X có một g-hàm cơ sở yếu g thỏa mãn rằng nếu F là tập hợp đóng và C là tập compắc trong X sao cho F∩C=∅, thì tồn tại n ∈N sao cho với mỗi x∈X, g(n, x)chỉ giao nhiều nhất một phần tử của tập {C, F}.
Chứng minh. (1) Điều kiện cần. Giả sử X là không gian khả mêtric, F là tập hợp đóng và C là tập compắc trong X sao cho F ∩C =∅. Khi đó, theo Định lí 2.2.3 ta suy ra rằng
S
x∈F
g(n, x)
∩ S
x∈C
g(n, x)
=∅.
Điều này chứng tỏ rằngg(n, x) chỉ giao nhiều nhất một phần tử của tập {C, F}. (2) Điều kiện đủ.Giả sử g là một g-hàm trênX thỏa mãn thỏa mãn rằng nếu F là tập hợp đóng và C là tập compắc trong X sao cho F ∩C = ∅, thì tồn tại n ∈ N sao cho với mỗi x ∈ X, g(n, x) chỉ giao nhiều nhất một phần tử của tập {C, F}. Để chứng minh X là không gian khả mêtric ta chỉ cần chứng minh rằng g thỏa mãn khẳng định (5) trong Định lí 2.2.3. Thật vậy, giả sử {xn},{yn} là hai dãy bất kì trong X, {xn} hội tụ đến x∈X và
yn∈g(n, xn) với mọi n∈N.
Nếu dãy {yn} không hội tụ đến x, thì tồn tại một lân cận mở V của x và một dãy con {ynk :k ∈N} của {yn} sao cho
{ynk :k ∈N} ⊂X\V.
Ta đặt
F =X\V, C ={x}S
{xn:xn∈V, n∈N}.
Khi đó,F là tập hợp đóng và C là tập hợp compắc trong X thỏa mãnC∩F =∅. Suy ra tồn tại m ∈ N sao cho với mọi x ∈ X, g(m, x) chỉ giao nhiều nhất một phần tử của tập {C, F}. Bởi vì
ym ∈g(m, xm) với mọi m∈N nên ta suy ra rằng
ynk ∈g(nk, xnk) với mọi k ∈N. Hơn nữa, nhờ cách đặt của C ta suy ra
g(nm, xnm)∩F 6=∅, g(nm, xnm)∩C 6=∅. Bởi vì g là g-hàm cơ sở yếu nên g(nm, xnm)⊂g(m, xnm), kéo theo
g(m, xnm)∩F 6=∅, g(m, xnm)∩C 6=∅.
Suy rag(m, xnm)giao với hai phần tử của tập hợp{C, F}. Điều này mâu thuẫn với khẳng định g(m, x) chỉ giao với nhiều nhất một phần tử của tập {C, F}. Do vậy, khẳng định (5.1) trong Định lí 2.2.3 được thỏa mãn. Cuối cùng, chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta cũng suy ra được rằng khẳng định (5.2) trong Định lí 2.2.3 được thỏa mãn. Do vậy, X là không gian khả mêtric.
2.2.5 Hệ quả ([20]). Đối với không gian X, các khẳng định sau tương đương:
(1) X khả mêtric;
(2) Tồn tại g-hàm cơ sơ yếu g trên X thỏa mãn rằng nếu F là tập hợp đóng và C là tập compắc trong X sao cho F ∩C =∅, thì
S
x∈F
g(n, x)
∩ S
x∈C
g(n, x)
=∅;
(3) Tồn tại một g-hàm cơ sở yếu g trên X thỏa mãn tính chất với mọi dãy {xn}, {yn} trong X, nếu {xn} hội tụ đến x và g(n, xn)∩g(n, yn)6=∅ với mọi n∈N, thì dãy {yn} hội tụ đến x.
2.2.6 Định lí ([5]). Không gian X là khả mêtric khi và chỉ khi tồn tại một g-hàm cơ sở yếu g trên X thỏa mãn các tính chất sau.
(a) A= T
n∈N
g(n, A) với mọi A ⊂X;
(b) Nếu y∈g(n, x), thì g(n, y)⊂g(n−1, x) với mọi n >2.
Chứng minh. (1) Điều kiện cần. Giả sử X là không gian khả mêtric. Khi đó, trên X tồn tại mêtric d sao cho tôpô sinh bởi d trùng với tôpô ban đầu trên X. Ta đặt
g :N×X −→ P(X)
(n, x)7−→g(n, x) =B(x,1/2n).
Khi đó,
(1.1) g là g-hàm cơ sở yếu trên X. Bởi vì
x∈B(x,1/2n) và B(x, n+ 1)⊂B(x, n) với mọi n∈N, x∈X nên ta suy rax∈g(n, x) và
g(n+ 1, x)⊂g(n, x) với mọi n ∈N, x∈X.
Hơn nữa, vì họ {B(x,1/2n) : x ∈ X, n ∈ N} là cơ sở của X nên ta suy ra g là g-hàm cơ sở yếu trên X.
(1.2) A= T
n∈N
g(n, A) với mọi A⊂X.
Giả sử x∈A. Khi đó, tồn tại dãy {xk} ⊂A hội tụ đến x trong X. Do đó, với mọi n∈N, tồn tại kn∈N sao cho
d(xk, x)< 1
2n với mọi k ≥kn. Suy ra x∈B(xk,1/2n) với mọi k ≥kn, kéo theo
x∈g(n, xk)⊂g(n, A) với mọi k ≥kn. Do vậy, A⊂ T
n∈N
g(n, A). Ngược lại, giả sử y∈ T
n∈N
g(n, A). Khi đó, bởi vì g(n, A) = [
x∈A
g(n, x)
nên với mọi n ∈N, tồn tại xn ∈A sao cho y ∈g(n, xn). Suy ra
d(xn, y)< 1
2n với mọi n ∈N,
kéo theo {xn} là dãy trong A hội tụ đến y trong X. Bởi vậy, y∈A và T
n∈N
g(n, A)⊂A. Như vậy, từ chứng minh trên ta suy ra rằng A = T
n∈N
g(n, A).
(1.3) Giả sử n > 2 và y ∈ g(n, x). Khi đó, nếu z ∈ g(n, y), thì d(z, y) < 1 2n. Mặt khác, theo tiên đề tam giác trong không gian mêtric ta có
d(z, x)≤d(z, y) +d(y, x)< 1 2n + 1
2n = 1 2n−1. Điều này chứng tỏ rằng z ∈g(n−1, x).
Do vậy, g(n, y)⊂g(n−1, x) với mọi y∈g(n, x). (2) Điều kiện đủ. Giả sử X có một g-hàm cơ sở yếu
g :X×N−→ P(X)
thỏa mãn hai điều kiện (a) và (b). Khi đó, với mọix∈X, n ∈N ta đặt V (n, x) ={y∈X :x∈g(n, y)}.
Bởi vì g là g-hàm cơ sở yếu nên x∈g(n, x) với mọi n ∈N và x∈X. Do đó, x∈V(n, x) với mọi n ∈N và x∈X.
Bây giờ, giả sử x∈X\V (n, x). Khi đó, theo điều kiện (a) ta suy ra x∈X\V (n, x) = \
n∈N
g
n, X\V(n, x) .
Bởi thế, tồn tại n0 ∈N và y∈X\V(n0, x) sao cho x∈g(n0, y). Theo cách đặt của V(n, x) ta suy ra y∈V(n0, x). Điều này mâu thuẫn với y ∈X\V(n0, x). Do vậy,
x∈X\X\V(n, x)⊂V(n, x).
Hơn nữa, vì X\X\V(n, x) là tập mở trong X nên suy ra V(n, x) là một lân cận mở của x. Bây giờ, ta đặt h:N×X −→ P(X) xác định bởi
h(n, x) =g(n, x)∩V(n, x) với x∈X, n ∈N.
Ta chứng minh h là g-hàm cơ sở yếu thỏa mãn điều kiện trong Định lí 2.2.3(5).
Thật vậy,
(2.1) h là g-hàm cơ sở yếu trên X.
Bởi vì x∈V(n, x) và x∈g(n, x) với mọin ∈N, x∈X nên ta suy ra x∈h(n, x) với mọi n ∈N và với mọi x∈X.
Tiếp theo, giả sử n ∈ N và x ∈ X. Khi đó, nếu y ∈ h(n, x), thì y ∈ g(n, x) và y∈V(n, x) nên theo tính chất của g-hàm cơ sở yếu ta suy ra
y ∈g(n, x)⊂g(n−1, x)
Mặt khác, vì y∈V(n, x) nên theo cách đặt của V(n, x) suy ra y∈V(n, x)⊂V(n−1, x).
Do vậy,
y∈g(n−1, x)∩V(n−1, x) =h(n−1, x).
Từ đó, ta suy ra rằng
h(n, x)⊂h(n−1, x) với mọi n ∈N.
Bây giờ, giả sử U là tập mở bất kì trong X. Khi đó, theo tính chấtg-hàm cơ sở yếu ta suy ra tồn tại n ∈N sao cho
x∈g(n, x)⊂U.
Mặt khác, theo cách đặt của h ta có h(n, x)⊂g(n, x). Điều này chứng tỏ rằng x∈h(n, x)⊂g(n, x)⊂U.
Ngược lại, giả sử U ⊂ X thỏa mãn với mọi x ∈ U, tồn tại n ∈ N sao cho h(n, x)⊂U. Khi đó, vì V(n, x) là một lân cận mở của x và g là g-hàm cơ sở yếu nên tồn tại m∈N sao cho g(m, x)⊂V(n, x). Mặt khác, cũng vì g là g-hàm cơ sở yếu nên nếu ta đặt k = max{m, n}, thì
g(k, x)⊂g(n, x)∩V(n, x) =h(n, x)⊂U.
Cuối cùng, lại vì g là g-hàm cơ sở yếu trên X nên suy ra U là mở trong X. (2.2) h thỏa mãn điều kiện trong Định lí 2.2.3(5).
Giả sử yn ∈ h(n, xn) với mọi n ∈ N và {xn} là dãy hội tụ đến x ∈ X. Khi đó, vì h(n, x) = g(n, x)∩V(n, x) nên yn ∈V(n, x). Mặt khác, theo cách đặt trên ta có
V(n, xn) = {y∈X :xn∈g(n, y)}.
Suy ra
yn∈ {y∈X :xn∈g(n, y)}.
Do vậy, xn∈g(n, yn) với mọi n ∈N. Bây giờ, ta đặt F ={yn :n∈N};
Am ={xk:k > m} với mọi m > n. Bởi vì dãy {xn} hội tụ đến x nên nhờ tính chất (a) ta suy ra
x∈Am = \
i∈N
g(i, Am)⊂g(m, Am)
Do đó, tồn tại k > m sao cho xk ∈Am và x∈g(m, xk). Mặt khác, vì xn ∈g(n, yn) với mọi n∈N
và k > m > n nên từ tính chất của g-hàm cơ sở yếu ta suy ra xk∈g(k, yk)⊂g(m, yk).
Bởi thế, từ điều kiện (b) ta suy ra
x∈g(m, xk)⊂g(m−1, yk)⊂g(n, yk) = S
x∈F
g(n, x)⊂g(n, F) với mọi n∈N. Do đó, x∈ T
n∈N
g(n, F) = F. Như vậy, {yn} là dãy hội tụ đến x trong X.
Cuối cùng, giả sử xn ∈ h(n, yn) với mọi n ∈ N và {xn} là dãy hội tụ đến x trong X. Khi đó, vì
h(n, yn) =g(n, yn)∩V(n, yn) nên từ cách đặt của V(n, yn) ta suy ra
xn∈g(n, yn) với mọi n ∈N.
Bởi thế, từ chứng minh trên ta suy ra {yn} là dãy hội tụ đến x trong X.
2.2.7 Hệ quả ([5]). Không gian X là khả mêtric khi và chỉ khi tồn tại g-hàm g :N×X −→τ thỏa mãn hai điều kiện sau.
(1) A= T
n∈N
g(n, A) với mọi A ⊂X;
(2) Nếu y∈g(n, x), thì g(n, y)⊂g(n−1, x) với mọi n >2.
Chứng minh. Bởi vì mỗi g-hàm trênX là g-hàm cơ sở yếu trên X nên nhờ Định
lí 2.2.6 ta suy ra điều phải chứng minh.
2.2.8 Định lí ([5]). Không gian X là khả mêtric khi và chỉ khi X có một g-hàm cơ sở yếu g :N×X → P(X) và một số nguyên dương m≥k sao cho
(1) A⊂gk(n, A) với mọi A⊂X và n∈N;
(2) Nếu yn ∈ gm(n, xn) với mọi n ∈ N và dãy {xn} hội tụ đến x ∈ X, thì dãy {yn} hội tụ đến x.
Chứng minh. (a) Điều kiện cần. Giả sử X là không gian khả mêtric và d là mêtric trên X sao cho tôpô sinh bởi d trùng với tôpô ban đầu trên X. Đặt
g :N×X −→ P(X)
(n, x)7−→g(n, x) =B(x,1/2n).
Lập luận tương tự Định lí 2.2.6, g là một g-hàm cơ sở yếu. Giả sử m, k ∈ N sao cho m > k. Khi đó,
gk(n, x)⊂gm(n, x) với mọi x∈X, n∈N. Theo Định lí 2.2.6 ta suy ra
A= T
n∈N
g(n, A)⊂gk(n, A) với mọi k∈N.
Do vậy,g thỏa mãn điều kiện (1). Bây giờ ta chứng minhgthỏa mãn điều kiện (2).
Giả sử yn ∈ gm(n, xn) với mọi n ∈ N và dãy {xn} hội tụ đến x ∈ X. Khi đó, với n ∈ N và với mọi k, m ∈ N sao cho m > k, tồn tại zn,m−1 ∈ gm−1(n, xn) sao cho yn ∈g(n, zn,m−1). Mặt khác, vì zn,m−1 ∈gm−1(n, xn)nên tồn tại zn,m−2 ∈gm−2(n, xn) sao cho zn,m−1 ∈ g(n, zn,m−2). Hơn nữa, vì zn,m−2 ∈ gm−2(n, xn) nên suy ra tồn tại
zn,m−3 ∈gm−3(n, xn)sao chozn,m−2 ∈g(n, zn,m−2). Tiếp tục quá trình trên đến bước thứm−2 ta suy ra tồn tại zn,1 ∈g(n, xn) sao cho zn,2 ∈g(n, zn,1). Do vậy, ta có
d(yn, xn)≤d(yn, zn,m−1) +d(zn,m−1, zn,m−2) +ã ã ã+d(zn,2, zn,1) +d(zn,1, xn)
< 1 2n + 1
2n +ã ã ã+ 1 2n = m
2n với mọi n ∈N.
(2.4)
Mặt khác, vì dãy {xk} hội tụ đến x nên với mỗi n∈N, tồn tại kn ∈N sao cho kn> n và d(xk, x)< 1
2n với mọi k ≥kn. (2.5) Bởi thế, với mọi k ≥kn, từ (2.4) và (2.5) ta suy ra
d(yk, x)≤d(yk, xk) +d(xk, x)< m 2k + 1
2n < m+ 1
2n . (2.6)
Do vậy, với mọi ε >0, nếu ta lấy n0 ∈Nsao cho m+ 1
2n0 < ε, thì từ (2.6) ta suy ra tồn tại kn0 ∈N sao cho
d(yk, x)< m+ 1
2n0 < ε với mọi k≥kn0. Điều này chứng tỏ rằng {yn} là dãy hội tụ đến x trong X.
(b) Điều kiện đủ. Giả sử tồn tại g-hàm cơ sở yếu g trên X sao cho với hai số nguyên dương k ≥m các điều kiện (1) và (2) thỏa mãn. Với mỗi x ∈ X, n ∈ N, ta đặt
V(n, x) = {y∈X :x∈gk(n, y)}.
Khi đó, hiển nhiên rằngx∈V(n, x). Hơn nữa, theo điều kiện (1) của định lí ta có X\V(n, x)⊂gk(n, X\V(n, x)). (2.7)
Bây giờ, nếu x∈X\V(n, x), thì nhờ (2.7) ta suy ra x∈gk(n, X\V(n, x)).
Do đó, tồn tại y ∈ X\V(n, x) sao cho x ∈ gk(n, y). Mặt khác, từ cách đặt của V(n, x) suy ra y∈V(n, x). Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng
x∈X\X\V(n, x).
Hơn nữa, từ bao hàm thức
x∈X\X\V (n, x)⊂V (n, x)
ta suy ra rằng V(n, x) là một lân cận của x. Tiếp theo, ta đặt
h:N×X −→ P(X)
(n, x)7−→h(n, x) =g(n, x)∩V (n, x). Khi đó,
• Hiển nhiên rằng x∈h(n, x) với mọi n ∈N.
• Giả sử n ∈ N, x ∈ X và y ∈ h(n, x). Khi đó, y ∈ g(n, x) và y ∈ V(n, x). Mặt khác, vì y∈g(n, x) và g là g-hàm cơ sở yếu nên theo tính chất của g ta có
y∈g(n, x)⊂g(n−1, x). (2.8) Hơn nữa, vì y∈V(n, x) nên ta suy ra
x∈gk(n, y)⊂gk(n−1, y).
Do đó, từ cách đặt của V(n, x) ta suy ra rằng
y∈V(n−1, x). (2.9)
Từ (2.8) và (2.9) chứng tỏ rằng
y∈g(n−1, x)∩V(n−1, x) =h(n−1, x).
Suy ra
h(n, x)⊂h(n−1, x) với mọi n∈N, x∈X.
• {h(n, x) :n ∈N, x∈X} là cơ sở yếu của X. Thật vậy,
(i) {h(n, x) :n∈N} là mạng tại x. Giả sử x∈U với U mở trongX. Khi đó, vì g là g-hàm cơ sở yếu nên tồn tại n ∈N sao cho g(n, x)⊂U. Mặt khác, theo cách đặt của h ta suy ra h(n, x)⊂U.
(ii) Nếu m, n∈ N, thì ta lấy k = max{m, n}. Khi đó, do g là g-hàm cơ sở yếu nên từ cách đặt của V(n, x) và h suy ra
h(k, x)⊂h(n, x)∩h(m, x).
(iii) Giả sử U là một tập mở bất kì trong X. Khi đó, vì g là g-hàm cơ sở yếu nên tồn tại n∈N sao cho
x∈g(n, x)⊂U.
Mặt khác, nhờ cách đặt của h ta có x∈h(n, x)⊂g(n, x). Do đó, x∈h(n, x)⊂U.
Ngược lại, giả sử rằng với mọi x ∈ U, tồn tại n ∈ N sao cho h(n, x) ⊂ U. Khi đó, vìV (n, x)là một lân cận của xvà g làg-hàm cơ sở yếu nên tồn tại m∈N sao cho g(m, x)⊂V (n, x). Nếu ta đặt k = max{m, n}, thì
g(k, x)⊂g(n, x)∩V (n, x) =h(n, x)⊂U.
Bởi vì g là g-hàm cơ sở yếu nên suy ra U là tập mở trong X.
Từ chứng minh trên ta suy ra rằng h là g-hàm cơ sở yếu của X.
• h thỏa mãn khẳng định (5) của Định lí 2.2.3. Thật vậy,
Giả sử yn ∈h(n, xn) với mọi n ∈ N và {xn} là dãy hội tụ đến x ∈X. Khi đó, nhờ định nghĩa của h suy ra
yn∈g(n, xn)⊂gm(n, xn) với mọi n∈N. Do vậy, theo điều kiện (2) ta suy ra dãy {yn} hội tụ đến x.
Bây giờ, giả sử xn ∈ h(n, yn) với mọi n ∈ N và {xn} là dãy hội tụ đến x∈ X. Khi đó, bởi vì m≥k và
xn∈V (n, yn) =
y :yn∈gk(n, y)
nên ta suy ra rằng
yn ∈gk(n, xn)⊂gm(n, xn). Do vậy, nhờ điều kiện (2), dãy {yn} hội tụ đến x.
Cuối cùng, áp dụng Định lí 2.2.3 ta suy ra rằng X là khả mêtric.
Từ Định lí 2.2.8 ta suy ra các hệ quả sau.
2.2.9 Hệ quả ([5]). Không gian X là khả mêtric khi và chỉ khi X có một g-hàm cơ sở yếu g :N×X → P(X) sao cho
(1) A⊂g(n, A) với mọi A⊂X và với mọi n∈N.
(2) Nếu yn ∈ g(n, xn) với mọi n ∈ N và dãy {xn} hội tụ đến x, thì dãy {yn} hội tụ đến x.
Chứng minh. Nhờ tính chất g-hàm cơ sở yếu ta suy ra yn∈g(n, xn)⊂gm(n, xn)
với mọi n ∈ N và số nguyên dương m ≥ 1. Do vậy, áp dụng Định lí 2.2.8 ta suy
ra điều phải chứng minh.
2.2.10 Hệ quả ([5]). Không gian X khả mêtric khi và chỉ khi X có g-hàm cơ sở yếu g :N×X → P(X) và số nguyên dương k sao cho
(1) A⊂gk(n, A) với mọi A⊂X và với mọi n∈N.
(2) Nếu yn ∈ g(n, xn) với mọi n ∈ N và dãy {xn} hội tụ đến x, thì dãy {yn} hội tụ đến x
Chứng minh. Do tính chất g-hàm cơ sở yếu nên yn∈g(n, xn)⊂gm(n, xn)
với mọi n ∈∈N và số nguyên dương m ≥1. Sử dụng Định lí 2.2.8 ta suy ra điều
phải chứng minh.