Một số tính chất của g hàm cơ sở yếu

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA g-HÀM CƠ SỞ YẾU Ngƣời hƣớng dẫn : T.S LƢƠNG QUỐC TUYỂN Ngƣời thực : HỒ THỊ TRANG Ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Đà Nẵng, 05/2016 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Một số khái niệm tính chất khơng gian tôpô 1.2 13 1.3 16 1.4 Không gian 18 1.5 Không gian compắc, không gian 19 1.6 21 1.7 23 CHƢƠNG 27 2.1 2.2 - - 27 Một số định lí khả mêtric nhờ tính chất -hàm sở yếu 30 38 39 LỜI CẢM ƠN Trải qua bốn năm học tập trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Đà Nẵng, đƣợc bảo giảng dạy nhiệt tình thầy cơ, đặc biệt Thầy, Cơ khoa Tốn, em tiếp thu đƣợc kiến thức lý thuyết thực hành, làm hành trang quý báu cho chặng đƣờng tới thân Trong suốt trình thực viết báo cáo Luận văn tốt nghiệp, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy – TS Lƣơng Quốc Tuyển tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ để em hoàn thành tốt Báo cáo khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mêtric hóa khơng gian tơpơ tốn trọng tâm Lý thuyết không gian mêtric suy rộng Nó thu hút đƣợc quan tâm nhiều nhà tốn học lĩnh vực Tơpơ đại cƣơng Từ năm thập niên 80 kỉ trƣớc, Nagata sử dụng tính chất g-hàm để nghiên cứu tính khả mêtric khơng gian tơpơ thu đƣợc nhiều kết Sau đó, cách thay sở sở yếu, Z.Gao suy rộng khái niệm g-hàm thành g-hàm sở yếu để đặc trƣng cho lớp không gian khả mêtric Trong năm gần đây, số tác giả thu đƣợc nhiều kết tính khả mêtric khơng gian mêtric suy rộng cách sử dụng tính chất g-hàm sở yếu Với mong muốn trình bày chứng minh chi tiết lại số kết liên quan đến tính khả mêtric khơng gian tôpô cách sử dụng g-hàm sở yếu, chúng tơi chọn đề tài “Một số tính chất g-hàm sở yếu” Mục đích nghiên cứu Trong trình bày, chúng tơi nghiên cứu vấn đề lí thuyết khơng gian mêtric suy rộng với mục đích chứng minh chi tiết số định lí mêtric hóa khơng gian tơpơ nhờ sử dụng tính chất g-hàm Đối tƣợng nghiên cứu Không gian khả mêtric, không gian mêtric suy rộng, g-hàm, g-hàm sở yếu Phƣơng pháp nghiên cứu a) Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức b) Thể tƣờng minh kết nghiên cứu đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lí thuyết, sử dụng nhƣ tài liệu tham khảo cho quan tâm nghiên cứu tốn tính khả mêtric khơng gian tơpơ cách sử dụng tính chất g-hàm, g-hàm sở yếu Cấu trúc luận văn Luận văn đƣợc trình bày hai chƣơng Ngồi ra, luận văn cịn có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu tham khảo Chƣơng Chƣơng hệ thống lại khái niệm, kiến thức không gian tôpô không gian mêtric để thuận tiện cho việc chứng minh kết Chƣơng Chƣơng Trình bày khái niệm tính chất sở yếu, g-hàm, g-hàm sở yếu đồng thời hệ thống lại nhƣ chứng minh chi tiết số định lí khả mêtric thơng qua tính chất g-hàm sở yếu CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Một số khái niệm tính chất khơng gian tơpơ 1.1.1 Định nghĩa Giả sử tập hợp τ họ gồm tập X thỏa mãn điều kiện sau (a) (b) Nếu , (c) Nếu ,   U Khi đó, (1) τ đƣợc gọi tơpơ X (2) không gian tôpô (3) hợp (4) 1.1.2 , (1) (2) (3) τ) 1.1.3 ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U ∈ 1.1.4 Hơn nữa, ∈ U, vậy, ∈ τ, ∈ V ⊂ U Vì ∈ U, Suy ra, cho Bởi {x} Vx x xU U= Vx xU Tập A không gian tôpô (X, τ) đƣợc gọi tập hợp đóng 1.1.5 ∈ τ X 1.1.6 Giả sử họ gồm tất tập hợp đóng khơng gian tơpơ (X, τ) Khi đó, (1) (2) Nếu (3) , ,   F (1) Hiển nhiên ( Thật vậy, tập , khác, nên = tập hợp mở Do v , tập n Thật vậy, g ta Fi i=1 Bởi n X\ n Fi = i=1 tập mở nên n (X\Fi ) i =1 tập Fi i=1 (3)   F tập hợp Thật vậy, Fα α Λ tập mở Vì v ,   (X\Fα ) α Λ F tập Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ) 1.1.7 ∈ X Khi đó, (1) đƣợc gọi điểm A tồn cho (2) đƣợc gọi điểm A tồn cho (3) đƣợc gọi điểm biên A đồng thời không điểm khơng điểm ngồi A, nghĩa với lân cận mở U x ta có (4) đƣợc gọi điểm tụ (điểm giới hạn) A với lân cận ta có (5) đƣợc gọi điểm lập X khơng điểm tụ X Giả sử A tập hợp không gian tôpô (X, τ) Khi đó, 1.1.8 (1) Tập tất điểm A đƣợc gọi phần A ký hiệu IntA (2) Tập tất điểm A đƣợc gọi phần A ký hiệu ExtA (3) Tập tất điểm biên A đƣợc gọi biên A ký hiệu A (4) Tập tất điểm tụ tập A đƣợc gọi tập dẫn xuất A ký hiệu 1.1.9 Định lí Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ) Khi đó, (1) IntA { mở (2) ExtA { mở } } IntA, x điểm A nên suy tồn Chứng minh (1) Với x Do đó, cho { mở , dẫn đến { Mặt khác, mở nên { mở Nhƣ vậy, IntA Tiếp theo, giả sử cho { mở { mở Suy x điểm A hay { Từ (a) (b) ta suy IntA mở (a) Khi đó, tồn IntA Do đó, IntA { mở (2) Làm tƣơng tự (1) (b) } Giả sử A, B tập khơng gian tơpơ (X, τ) Khi đó, 1.1.10 khẳng định sau (1) X = IntA ∪ ∂A ∪ ExtA (2) ExtA=Int(X\A) (3) (4) Int (5) A ⊂B, (6) (7) Int A ⊂ IntB, ExtB ⊂ ExtA IntA IntB (8) ∂A = ∂(X\A) minh (1) Ta có IntA ∪ ∂A ∪ ExtA Mặt khác, với X IntA, A, ExtA Suy IntA ∪ ∂A ∪ ExtA Do đó, IntA ∪ ∂A ∪ ExtA X Nhƣ vậy, X = IntA ∪ ∂A ∪ ExtA (2) Với ExtA, hay Do đó, Suy đó, , nên với Vì vậy, Suy (3) (i) Với tồn , cho Suy với , tồn Do đó, cho Do vậy, (ii) Với ẫn đến tồn Suy với , , hay cho tồn cho 1.7.6 (1) mêtric tôpô (2) (3) mêtric , (4) (3) (⟹) đó, t Khi Khi đó, ta suy nên nên cho Do đó, Điều Suy Do vậy, (4) Khi đó, v Th Do đó, , suy , kéo theo nên điều mâu t Vì Do v , giờ, g suy nên điều Bây Ta cần phải Khi đó, Bởi vì, Do v , 25 đ nên ta 1.7.7 mêtric Không gian tôpô (X, X cho tôpô mêtric 26 mêtric tôpô τ CHƢƠNG MÊTRIC - 2.1 - - 2.1.1 (1) cho (2) 2.1.2 (a) (b) cho (c) cho , (1) (2) (3) 2.1.3 , suy 27 Khi đó, (a) Hơn nữa, v (b) Khi đó, , , với , Suy A tập hợp mở (c) Từ (a), (b) (c) ta suy nên 2.1.4 2.1.5 - (1) (2) 2.1.6 (1) (2) (3) 2.1.7 (2) (1) - ⟹ - - - 28 (3) gian - g - nên Ta đặt Khi đó, cho Do vậy, τ) Suy X , kéo theo Do v , (2) Với Khi đó, , ta đặt Mặt khác, - Do v , g gian - (4) Giả sử , , 2.1.8 Vì v , G - - ; 29 1.2 Một số định lí khả mêtric nhờ tính chất -hàm sở yếu 2.2.1 , (1) cho (2) sở yếu x với 2.2.2 Khi đó, Do đó, với , cho , ta có Mặt khác, Suy nên - 2.2.3 Do v , Không gian X - mêtric cho 2.2.4 tương đương (1) mêtric (2) compắc X cho 30 (3) - (4) cho (5) - X (1)⟹(4) X cho tôpô mêtric mêtric mêtric tôpô X , ta Khi , (a) (b) (c) cho cho cho , k 31 nên Do Do vậy, ta suy Điều Tiếp theo, Khi đó, ta cho cho Khi đó, v nên X Suy cho (2.1) (2.2) nên , ta suy Do vậy, (4)⟹(1) Theo B cho Khi đó, không cho cho 32 Bây giờ, v , Bởi thế, tồn cho Bởi L dãy hội cho cho (1)⟹(2) cho tôpô mêtric mêtric tôpô compắc v g - (a) (b) (c) cho , compắc cho 33 , Lại (3)⟹(5) l , , (2)⟹(3) G - , Kh cho compắc cho cho (5)⟹(4) - Ta đ 34 - v nên (a) , cho , cho Suy (b) cho (c) cho cho Khi đó, cho nên ta suy (b) 35 , cho cho cho Nhƣ v , định lí h 2.2.5 Hệ Khơng gian X khả mêtric X có g-hàm sở yếu g thỏa mãn F tập hợp đóng C tập compắc X cho , tồn phần tử tập cho với x X, giao nhiều Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử X không gian khả mêtric, F tập hợp đóng C tập compắc X cho Khi đó, theo Định lí 2.2.4 ta suy Điều chứng tỏ giao nhiều phần tử tập (2) Điều kiện đủ Giả sử g g-hàm X thỏa mãn F tập hợp đóng C tập compắc X cho với , tồn giao nhiều phần tử tập cho Để chứng minh X không gian khả mêtric ta cần chứng minh g thỏa mãn khẳng định 36 (5) Định lí 2.2.4 Thật vậy, giả sử hội tụ đến hai dãy X, X với Nếu dãy khơng hội tụ đến x, tồn lân cận mở V x dãy cho Ta đặt F = X\V Khi đó, F tập hợp đóng C tập compắc X thỏa mãn Suy tồn tử tập cho với giao nhiều phần Bởi với nên ta suy với Hơn nữa, nhờ cách đặt C ta suy Bởi g g-hàm sở yếu nên Suy khẳng định , kéo theo giao với hai phần tử tập hợp { Điều mâu thuẫn với giao với nhiều phần tử tập { Do vậy, khẳng định (5.1) Định lí 2.2.4 đƣợc thỏa mãn Cuối cùng, chứng minh hoàn toàn tƣơng tự nhƣ ta suy đƣợc khẳng định (5.2) Định lí 2.2.4 đƣợc thỏa mãn Do vậy, X không gian khả mêtric 37 mêtric tôpô Tôpô mêtric mêtric tôpô thông q 38 - [1] An.T.V., Tuyen L.Q (2011), On an affirmative answer to S Lin’s problem, Topology and its Applications, 158, 1567–1570 [2] Chen B., Jiang S (2008), Metrizability of spaces and weak base g-functions, New Zealand J Math., 37, 15–20 [3] Gao Z (2005), Metrizability of spaces and weak base g-functions, Topology and its Applications, 146-147, 279–288 [4] Martin H W (1976), Weak base and metrization, Trans Amer Math Soc., 222, 338-344 [5] Yan P., Lin S (2007), CWC-mappings and metrization theorems, Adv Math., 36, 153–158 39 ... minh chi tiết số định lí mêtric hóa khơng gian tơpơ nhờ sử dụng tính chất g- hàm Đối tƣợng nghiên cứu Không gian khả mêtric, không gian mêtric suy rộng, g- hàm, g- hàm sở yếu Phƣơng pháp nghiên cứu... dụng g- hàm sở yếu, chúng tơi chọn đề tài ? ?Một số tính chất g- hàm sở yếu? ?? Mục đích nghiên cứu Trong trình bày, chúng tơi nghiên cứu vấn đề lí thuyết khơng gian mêtric suy rộng với mục đích chứng... Chƣơng Chƣơng hệ thống lại khái niệm, kiến thức không gian tôpô không gian mêtric để thuận tiện cho việc chứng minh kết Chƣơng Chƣơng Trình bày khái niệm tính chất sở yếu, g- hàm, g- hàm sở yếu đồng