Một số tính chất của đạo hàm lie trên đa tạp Riemann

Hình học trên các đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như: giải tích, lý thuyết hệ động lực; vật lý, các nghành khoa học kỹ thuật, .... Chính tôpô

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC………1

LỜI NÓI ĐẦU ……… 2

Chương I .LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA ……… 4

1.1 Liên thông tuyến tính ……… 4

1.2 Liên thông Lêvi-Sivita ………… ………11

Chương II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN……….…16

2.1 Đạo hàm Lie của hàm số khả vi……… 16

2.2 Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính……….……… 19

2.3 Mối liên hệ giữa LX và ∇ ……… 27

KẾT LUẬN……… 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 35

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học Riemann ra đời từ giữa thế kỷ 19 Hình học trên các đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như: giải tích, lý thuyết hệ động lực; vật lý, các nghành khoa học kỹ thuật, Đến những năm cuối của thế kỷ 19 , cùng với sự phát triển của tôpô với những công trình nổi tiếng của Hausdoff, Poincaré thì hình học trên các đa tạp đã phát triển mạnh mẽ Chính tôpô đã trở thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các cấu trúc hình học và liên thông là công cụ hữu hiệu để xác định các

hàm: độ cong, độ xoắn

Đạo hàm có nhiều ứng dụng trong thực tế và khoa học, nghiên cứu đạo hàm chính là nghiên cứu các điểm cực trị, nghiên cứu các tính chất hình học Trong một vài thập niên gần đây nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu

về đạo hàm Lie trên các đại số, đại số Lie Chính vì vậy, chúng tôi đã chọn đề

tài: ” Một số tính chất của đạo hàm Lie trên đa tạp Riemann”

Luận văn được trình bày trong 2 chương:

CHƯƠNG I LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA

Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của liên thông tuyến tính, liên thông Lêvi – Sivita Đây là những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chương I được chia làm 2 phần

1.1 Liên thông tuyến tính

1.2 Liên thông Lêvi-Sivita

CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

Trong chương này, chúng tôi cũng trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của đạo hàm Lie: Đạo hàm Lie của hàm số khả vi, của liên

thông tuyến tính và mối liên hệ giữa LX và YChương này là nội dung chính của luận văn Chương II được chia làm 3 phần

2.1 Đạo hàm Lie của hàm số khả vi

2.2 Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính

2.3 Mối liên hệ giữa LX và Y

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 tại Khoa Sau đại học, Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đặt bài toán và chỉ dẫn cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại Học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ cho tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn này

Vinh, tháng 10 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG I LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA

Trong luận văn này, ta luôn giả thiết M là đa tạp Riemann với cấu trúc khả vi { , } và cấu trúc Riemann g

• ℬ( ) ={ X / X khả vi trên M }, với X là trường véc tơ

• ℱ( ) ={ f : M →R, khả vi }

• ={không gian các vec tơ tiếp xúc với M tại p ∈M }

• [X,Y] là tích Lie của trường vectơ X,Y ∈ ℬ( )

1.1 Liên thông tuyến tính

1.1.1 Định nghĩa ([6]) Ánh xạ ∇: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M)

(X,Y) ⟼ ∇ Y, được gọi là liên

thông tuyến tính trên M nếu và chỉ nếu ∇ thỏa mãn các điều kiện sau :

1.1.2 Ví dụ (Xem[4])

a) M=R ,với trường mục tiêu tự nhiên, xét ánh xạ

∇: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M) (X,Y) ⟼ ∇ Y = D Y =(X[Y ],…, X[Y ] ).Trong đó Y= (Y ,…, Y ) Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M

Thật vậy, ta kiểm tra D thỏa mãn 4 điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính:

Chứng minh ∀ , , ∈ ℬ ( ), ta kiểm tra 4 điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính:

Ta tiếp tục cho X cố định, với mỗi Y, Y ∈ ℬ (M): Y| = | , trong đó U

là lân cận của p, ta có mệnh đề sau:

1.1.4 Mệnh đề (Xem[6]) Giá trị ( )p chỉ phụ thuộc vào giá trị của Y trong một lân cận U p của điểm p

Chứng minh Tại mỗi điểm p ∈M luôn có một lân cân Up của p và một hàm khả vi φ thỏa mãn φ|Up =1 và φ|M∕ =0 (Với U là một tập mở nào đó

φ(p)( ∇ Z)p = 0

⟹( ∇ Z)p = 0 ( Vì φ|Up =1)

⟹ (∇ Y − ∇ Y)p = 0 Nghĩa là (∇ Y)p =(∇ Y)p

1.1.5 Mệnh đề (Xem[6]) Trên M luôn tồn tại liên thông tuyến tính

Chứng minh Trước hết ta chứng minh trên mỗi U luôn tồn tại liên thông tuyến tính ∇

Thật vậy, giả sử X, Y ∈ ℬ(U ) Ta chú ý tới vi phôi φ : U ⟶ V , (V là tập mở trong Rn) Ta đặt, ∇ (X,Y) = (φ )∗ (D Y), ở đây X = (φ )∗(X) và Y = (φ )∗(Y) Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên U Giả sử {g } là phân hoạch đơn vị liên kết với {U } Ta đặt,

∇ =∑ ∈ g ∇ , khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M

1.1.6 Định lý (Xem[3]) Giả sử và là hai liên thông tuyến tính trên M Khi đó, = + là liên thông tuyến tính trên M khi và chỉ khi + =1

Từ (2) và (3) ta suy ra φ+ ψ=1

Điều kiện đủ Giả sử ∇ và ∇ là hai liên thông tuyến tính trên M và

φ+ ψ=1, ∀ φ, ψ ϵ ℱ(M) Ta chứng minh ∇ =φ∇ +ψ∇ là liên thông tuyến tính

Thật vậy, ∇ thỏa mãn 4 điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính :

T1, ∇ (Y+Z) = φ∇ (Y + Z)+ψ∇ (Y + Z) = φ(∇ Y + ∇ Z)+ψ(∇ Y + ∇ Z)

= φ∇ Y + φ∇ Z+ψ∇ Y + ψ∇ Z

=(φ∇ Y+ψ∇ Y)+ (φ∇ Z+ψ∇ Z)

= ∇ Y + ∇ Z; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);

T2, ∇ Z = φ∇ Z+ψ∇ Z = φ(∇ Z + ∇ Z)+ψ(∇ Z + ∇ Z) = φ∇ Z + φ∇ Z+ψ∇ Z + ψ∇ Z

1.1.7 Định lý Giả sử = + , với S là ánh xạ song tuyến tính Khi đó nếu

là liên thông tuyến tính trên M thì cũng là liên thông tuyến tính trên M Thật vậy, do S là ánh xạ song tuyến tính nên:

Vậy ∇ là liên thông tuyến tính trên M

Từ mệnh đề 1.1.5 và định lý 1.1.7 ta có nhận xét: Liên thông tuyến tính trên M luôn tồn tại và không duy nhất

1.1.8 Hệ quả Với M=R3, ∇=D Khi đó ∇ Y = DXY + X∧Y là liên thông tuyến tính

Với mỗi X,Y ∈ ℬ (M), ta xét tích Lie của ∇X và ∇Y, được ký hiệu bởi [∇X , ∇Y] và được xác định như sau: [∇X , ∇Y]= ∇Xº∇Y – ∇Yº∇X Khi đó ta có nhận xét:

1.1.9 Nhận xét Giả sử X,Y ∈ ℬ ( ) khi đó:

a) Với mỗi cặp (X,Y), ta đặt R(X,Y): ℬ(M) ⟶ ℬ(M)

Z ⟼ R(X,Y,Z) = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[ , ]Z Thì R(X,Y) là ánh xạ tuyến tính (Xem [4] )

b) [∇X , ∇Y](Z)= ∇[X,Y] +R(X,Y,Z); ∀ Z ∈ ℬ(M)

Với R (X,Y,Z) = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[ , ]Z là độ cong của đa tạp Riemann M Thật vậy:

[∇X , ∇Y](Z) = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z

[[∇Y , ∇Z], ∇X](U) = ∇Y (∇Z∇XU) -∇Z (∇Y∇XU)

- ∇X (∇Y∇ZU)+∇X(∇Z∇YU) [[∇Z , ∇X], ∇Y](U) = ∇Z (∇X∇YU) -∇X (∇Z∇YU)

- ∇Y (∇Z∇XU)+∇Y(∇X∇ZU) Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:

[[∇X , ∇Y], ∇Z] + [[∇Y , ∇Z], ∇X] +[[∇Z , ∇X], ∇Y] =0; ∀ ∇X , ∇Y, ∇Z ∈ ∇ Vậy ∇ là một đại số Lie

1.2 Liên thông Lêvi-Sivita

1.2.1 Định nghĩa ( [6]) Một liên thông tuyến tính trên M được gọi là liên

thông Lêvi- Sivita nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

i T = 0 ; (Tức là: T(X,Y) = − – [ , ] = 0 ; ∀ , ∈ ℬ ( )) ;

ii g = 0; ( Tức là: Z[X.Y] = ( ) + ( ) ; ∀ , , ∈ ℬ ( ))

1.2.2 Ví dụ

a)Giả sử M là đa tạp khả song( nghĩa là trên M luôn có trường mục tiêu

Ta đặt ∇ Y = ∑ X[Y ] E Khi đó,  là một liên thông Lêvi- Sivita trên M Thật vậy:

-Trước hết ta kiểm tra tính liên thông tuyến tính của ∇:

- Ta kiểm tra 2 điều kiện của liên thông Lêvi-Sivita:

Với ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M), ta có:

i.[X,Y][ φ] = X[Y[φ]] - Y[X[φ]]

= X[(Y E + ⋯ + Y E )[φ]- Y[(X E + ⋯ + X E )[φ] = (∑ X[Y ]E )[φ] - (∑ Y[X ]E )[φ]

= (∇ X) Y + X (∇ Y)

Vậy Z[X.Y] = (∇ X) Y + X (∇ Y)

b) Cho M là đa tạp Riemann, ∇ là liên thông Lêvi-Sivita trên M, M là đa

tạp con Giả sử ∇ Y= ∇ Y + ∇ Y ; ∀ X,Y∈ ℬ (M), ta đặt

∇ Y = ∇ Y Khi đó, ∇ Y là liên thông Lêvi-Sivita của M

Thật vậy:

- Dễ dàng kiểm tra được ∇ là liên thông tuyến tính

- Ta kiểm tra 2 điều kiện của liên thông Lêvi-Sivita:

i ∇ Y-∇ X–[X,Y]= ∇ Y - ∇ X –[X,Y]

= ∇ Y - ∇ Y - ∇ Y + ∇ X –[X,Y]

= ∇ X - ∇ Y –[X,Y]

= [X, Y] –[X,Y] = [X,Y] –[X,Y]=0; ∀ X, Y ∈ ℬ (M);

ii (∇ X).Y + (∇ Y)X = (∇ X)T.Y +( ∇ Y)TX

= (∇ X − ∇ X ).Y+( ∇ Y − ∇ Y )X

= Y.∇ X +X ∇ Y - ∇ X Y- ∇ Y X

= Z[X.Y] ; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M)

Bây giờ ta xét ánh xạ ∇: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M)

(X,Y) ⟼ ∇ Y, với điều kiện :

(∇ Y) Z = (X[Y.Z] +Y[Z.X]-Z[X.Y] + Z[X,Y] +Y[Z,X]- X[Y,Z]

Ta nhận thấy rằng ∇ là liên thông tuyến tính, từ đó ta có định lý:

1.2.3 Định lý (Xem [6]) Liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp Riemann M luôn

tồn tại và duy nhất

Chứng minh Trước hết ta chứng minh sự tồn tại của liên thông Lêvi- Sivita trên M

Giả sử ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ta xác định ∇ Y bởi phương trình sau

(∇ Y) Z = (X[Y.Z] +Y[Z.X]-Z[X.Y] + Z[X,Y] +Y[Z,X]- X[Y,Z]

với ∀ Z ∈ ℬ (M) (4) Khi đó, bằng cách kiểm tra trực tiếp, ta thấy  là một liên thông tuyến tính trên M.Bây giờ ta kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi-Sivita:

i.T(X,Y).Z=(∇ Y-∇ X–[X,Y]).Z = (∇ Y).Z – (∇ X ).Z–[X,Y].Z

2[(∇ Y).Z+(∇ Z).Y]=2 X[Y.Z]

Suy ra X[Y.Z] = (∇ Y).Z + (∇ Z)Y (7) Suy ra  là một liên thông Lêvi- Sivita trên M

Vậy luôn tồn tại liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp Riemann M

Để chứng minh tính duy nhất, ta chứng tỏ rằng nếu  thỏa mãn 2 điều

kiện của liên thông Lêvi-Sivita thì nó thỏa mãn phương trình (4) Thật vậy, từ

Từ đó (10)⇔ Z[X.Y] = ( ∇ Z –[Y,Z])Y +(∇ Z –[Y,Z])X

= ( ∇ Z)Y –[X,Z]Y +(∇ Z)X –[Y,Z]X (11)

(9)⇔ Y[Z.X] = ( ∇ Z)X +Z(∇ Y –[X,Y])

= ( ∇ Z)X +Z(∇ Y) –Z[X,Y] (12) Lấy (8) cộng (12) trừ (11) vế theo vế ta được:

(∇ Y) Z = (X[Y.Z] +Y[Z.X]-Z[X.Y] + Z[X,Y] +Y[Z,X]- X[Y,Z] Đây chính

là đẳng thức (4)

Vậy tính duy nhất được chứng minh

CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE

TRÊN ĐA TẠP RIEMANN

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của đạo hàm Lie của hàm số khả vi, của liên thông tuyến tính trên đa tạp Riemann M và mối liên hệ giữa LX và Y

2.1 Đạo hàm Lie của hàm số khả vi

Thật vậy: Giả sử (U, xi), i=1,2 là một bản đồ địa phương trên M Ta có:

i) LX(f+g) = X[f+g] = ∑ X ( ) = ∑ X + ∑ X

Bây giờ ta xét tích Lie của LX và LY, được ký hiệu bởi [LX ,LY] và được xác định như sau: [LX ,LY]= LXºLY – LYºLX

2.1.4 Nhận xét Giả sử X,Y ∈ ℬ ( ) khi đó: [L X ,L Y ][f]= L [X,Y] f, ∀ f ∈ ℱ( )

Chứng minh Với mọi X,Y ∈ ℬ (M), ta có:

L[X,Y] f = [X,Y][f] = X Y[f] -Y X[f]

= LX(LYf) –LY(LXf)

= (LXºLY)(f) – (LYºLX)(f)

= (LXºLY – LYºLX)(f)

= [LX ,LY][f]; ∀ f ∈ ℱ(M)

Như vậy nếu LX, LY là đạo hàm Lie của các hàm số khả vi thì L[X,Y] cũng

là đạo hàm Lie của hàm số khả vi

Ta ký hiệu ℒ = {L X : ℱ(M) ⟶ ℱ(M) | ∈ ℬ ( ) } Ta đưa vào ℒ các

– LX (LYLZf)+LX(LZLYf) [[LZ , LX], LY](f) = LZ (LXLYf) –LX(LZLYf) – LY (LZLXf)+LY(LXLZf)

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:

[[LX ,LY], LZ] + [[LY ,LZ], LX] +[[LZ ,LX], LY] =0; ∀ LX ,LY,LZ ∈ ℒℱ

2.2 Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính

2.2.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử ∈ ℬ ( ) và là liên thông tuyến tính trên

M Ánh xạ: ∶ ℬ ( )xℬ ( ) ⟶ ℬ ( ); (Y,Z) ⟼ ( )(Y,Z) được gọi là

đạo hàm Lie của liên thông theo trường véc tơ X, trong đó được xác định bởi:

( )(Y,Z)= ( ) − − ( );(ở đây:L X Y = [X,Y] )

2.2.2 Ví dụ Giả sử M= R3, cho các trường véctơ X(xy,2x,yz), Y(x,xy2,yz2),

Z(x,xz,xy) Khi đó:

(L D)(Y,Z) = [X, D Z] − D[ , ]Z − D ([X, Z])

Ta có: D Z = (Y[Z1], Y[Z2], Y[Z3])

= (x, xz+xyz2, xy+x2y2)

D Y = (X[Y1], X[Y2], X[Y3])

= (xy,xy3+4x2y,2xz2+2y2z2)

D X = (Y[X1], Y[X2], Y[X3])

= (xy+x2y2,2x,xy2z+y2z2)

D Y = (X[Y1], ,X[Yn]) ⟹ D Z = ∑ X[Y ] , , ∑ X[Y ]

= LX(YZ+Y’Z) - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z

= [X, YZ+Y’Z] - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z

=[X, YZ] + [X,Y’Z] - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z

= LX(YZ) + LX(Y’Z)- Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z

= LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z + LX(Y’Z) - Y’(LXZ) -[X,Y’]Z

= LX(fYZ+ Y[f] Z) - Y(f [X,Z]+ X[f].Z) - f[X,Y]Z – [X,Y][f].Z

= [X, fYZ] + [X, Y[f] Z]- Y(f [X,Z]) - Y (X[f].Z) - f[X,Y]Z – [X,Y][f].Z

= f [X, YZ] + X[f].YZ + [X, Y[f] Z]- fY([X,Z]) - Y[f] [X,Z] - X[f].Y Z

- Y[X[f]] Z - f[X,Y]Z – [X,Y][f] Z

= f([X, YZ] -Y(LXZ)-  [X,Y]Z) + [X, Y[f] Z]- Y[f] [X,Z] - Y[X[f]] Z

– [X,Y][f] Z = f (LX)(Y, Z) + Y[f] [X, Z] + X[Y[f]] Z- Y[f] [X,Z] - Y[X[f]] Z

– [X,Y][f] Z = f (LX)(Y, Z) + X[Y[f]] Z- Y[X[f]] Z – [X,Y][f] Z

= f (LX)(Y, Z)

Như vậy đạo hàm Lie (LX)(Y,Z) tuyến tính đối với  Y, Z ∈ ℬ (M), và

từ tính chất thứ iv) ta suy ra LX không có tính chất đạo hàm

2.2.5 Mềnh đề Giả sử là liên thông Lêvi-Sivita trên M, khi đó L X có tính

chất đối xứng, nghĩa là: (Y,Z) = (Z,Y)

Chứng minh Do ∇ là liên thông Lêvi-Sivita trên M nên ta có:

L (L ∇)(Z,U) = L (L ∇(Z,U)) - L ∇(L Z,U) - L ∇(Z, L U)

= L (L (∇ U)) - L (∇ (L U)) - L (∇[ , ]U)- L (∇[ , ]U)+ ∇[ , ][Y,U]

+∇ U - L (∇ L U))+ ∇ L (L U) +∇[ , ][X,U]

= L (L (∇ U)) – [ L (∇[ , ]U) + L (∇[ , ]U)]- [L (∇ (L U)) + L (∇ L U))] + (∇[ , ][Y,U] +∇[ , ][X,U] )+∇ ( )U + ∇ L (L U) Tương tự ta có: L (L ∇)(Z,U) = L (L (∇ U)) – [ L (∇[ , ]U) + L (∇[ , ]U)] -[L (∇ (L U)) + L (∇ L U))] + (∇[ , ][X,U] + ∇[ , ][Y,U]) +∇ ( )U

2.3 Mối liên hệ giữa L X và

2.3.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử X, Y ∈ ℬ ( ), tích Lie của L X và được ký hiệu bởi [L X , ], đó là ánh xạ: [L X , ]: ℱ( ) ⟶ ℱ( )

= (6x2y4z +2xy4z + 4yz+12x2y2z + 6xy2z+ y3z)

- (2y3z+ 4yz+ 6x2y4z+4x2y2z+ 2xy4z+ 4 xy2z)

⟹ D (D Z) = X[D Z] = (0, 4xy2z+4xy2z2+y2z+2y3z2, 0)

D X = (D Z) [X] = (2y, 2xy2z +2xy2z2, 0)

⟹ L Z = (1-x, y2z-2xy, -yz2-2y)

⟹ D ([X, Z]) = (-1,-2y+2y3z-2xy2+y3z2, -y2z2-2y2-2y2z3)

Vậy [LX, D ](Z) = LX(D Z) − D (L Z)

= (-2y, 2xy2z+2xy2z2+y2z+2y3z2, 0)

- (-1,-2y+2y3z-2xy2+y3z2, -y2z2-2y2-2y2z3)

= (1-2y, 2xy2z+2xy2z2+y2z+y3z2, y2z2+2y2+2y2z3)

2.3.3 Mệnh đề M = R n ,  = D thì

iii [LX, ∇ ] (Z) = ∇[ , ]Z + L ∇(Y + Y , Z)

= ∇[ , ] [ , ]Z + L (∇ Z) + L ∇(Y , Z) = ∇[ , ]Z + ∇[ , ]Z+L (∇ Z) + L ∇(Y , Z) = ∇[ , ]Z + L (∇ Z) +∇[ , ]Z + L ∇(Y , Z) = [LX, ∇ ]Z +[LX, ∇ ](Z)

= ([LX, ∇ ] +[LX, ∇ ])(Z); ∀ Z∈ ℬ (M) Vậy [LX, ∇ ] = [LX, ∇ ] +[LX, ∇ ];

iv) [LX, ∇ ](Z) = ∇[ , ]Z + L ∇(fY, Z)

= ∇ [ , ] [ ]. Z + f.L (∇ Z)

= ∇ [ , ]Z +∇ [ ]. Z + f.L (∇ Z)

= f∇[ , ]Z + X[f] ∇ Z + f.L (∇ Z)

= ( f∇[ , ]Z + f.L (∇ Z)) + X[f] ∇ Z = f [LX, ∇ ](Z) + X[f] ∇ Z; ∀ Z∈ ℬ (M) ⟹ [LX, ∇ ]Z = f [LX, ∇ ](Z) + X[f] ∇ Z; ∀ f ∈ ℱ(M);