Mối liên hệ giữa LX và ∇

2.3.1. Định nghĩa ([7]). Giả sử X, Y ∈ ℬ ( ), tích Lie của LX và được ký

hiệu bởi [LX, ], đó là ánh xạ: [LX, ]: ℱ( ) ⟶ ℱ( )

f ⟼ [LX, ]f = LX( ) − ( ); ∀ f∈ ℱ( )

và ánh xạ: [LX, ]: ℬ ( )⟶ ℬ ( )

Z⟼ [LX, ](Z) = LX( ) − ( ); ∀ Z∈ ℬ ( ).

2.3.2. Ví dụ.

a) Với M= R3, cho các trường véctơ X(xy,2,yz), Y(1,xy2,yz), f(x,y,z) = xy2z.. Khi đó ta tính được [LX, D ]f.

Ta có: D f = Y[f]

= 1. y2z + xy2.2xyz+ yz. xy2

= y2z+ 2x2y3z+xy3z

⟹ LX(D f) = xy.(4xy3z +y3z) + 2.(2yz+6x2y2z + 3xy2z) + yz.( y2+2x2y3+ xy3)

= 4x2y4z +xy4z + 4yz+12x2y2z + 6xy2z+ y3z+2 x2y4z+ xy4z = 6x2y4z +2xy4z + 4yz+12x2y2z + 6xy2z+ y3z

L f = X[f]

= xy. y2z + 2.2xyz+ yz. xy2

= 2xy3z+ 4xyz

⟹D (L f) = 1.( 2y3z+ 4yz)+ xy2(6xy2z+4xz)+ yz. (2xy3+ 4xy) = 2y3z+ 4yz+ 6x2y4z+4x2y2z+ 2xy4z+ 4 xy2z

⟹ [LX, D ]f = LX(D f) − D (L f)

= (6x2y4z +2xy4z + 4yz+12x2y2z + 6xy2z+ y3z) - (2y3z+ 4yz+ 6x2y4z+4x2y2z+ 2xy4z+ 4 xy2z)

= 8 x2y2z +2 xy2z - y3z

b) Giả sử M= R3, cho các trường véctơ X(x,2xy,yz), Y(1,y2,yz2), Z(x,yz,2). Khi đó [LX, D ](Z) = LX(D Z) − D (L Z)

Ta có: LX(D Z) = [X, D Z ]

= D (D Z) − D X D (L Z) = D ([X, Z])

D Z = (Y[Z1], Y[Z2], Y[Z3]) = (1, y2z+y2z2, 0)

⟹ D (D Z) = X[D Z] = (0, 4xy2z+4xy2z2+y2z+2y3z2, 0)

D X = (D Z) [X] = (2y, 2xy2z +2xy2z2, 0)

⟹ LX(D Z) = (-2y, 2xy2z+2xy2z2+y2z+2y3z2, 0)

L Z = [X,Z] = D Z − D X D Z = (X[Z1], X[Z2], X[Z3]) = (1, 2xyz+y2z, 0)

D X = (Z[X1], Z[X2], Z[X3]) = (x, 2xy+2xyz, yz2+2y)

⟹ L Z = (1-x, y2z-2xy, -yz2-2y)

⟹ D ([X, Z]) = (-1,-2y+2y3z-2xy2+y3z2, -y2z2-2y2-2y2z3) Vậy [LX, D ](Z) = LX(D Z) − D (L Z)

= (-2y, 2xy2z+2xy2z2+y2z+2y3z2, 0)

- (-1,-2y+2y3z-2xy2+y3z2, -y2z2-2y2-2y2z3)

= (1-2y, 2xy2z+2xy2z2+y2z+y3z2, y2z2+2y2+2y2z3)

2.3.3. Mệnh đề. M = Rn,  = D thì

Chứng minh. [LX, D ](Z) = LX(D ) − D ( ) = [X, D ] = D (D Z) − D X −D ([X, Z]) = D (D Z) − D X −D (D Z − D X) = D (D Z) − D X −D (D Z) + D (D X) Áp dụng bổ đề 1 trong chứng minh mệnh đề 2.2.3.Ta có: D (D Z)- D Z =(∑, Y . X ). E. ⟹ D (D X)- D X = (∑, Z . Y ). E. D (D Z) = ∑ X[Y ] , . . . , ∑ X[Y ] + ∑ Y X[ ] , . . . , ∑ Y X[ ] D (D Z) = ∑ Y[X ] , . . . , ∑ Y[X ] + ∑ X Y[ ] , . . . , ∑ X Y[ ] Mà ( ∑ Y X[ ] , . . . , ∑ Y X[ ]) = (∑ X Y[ ] , . . . , ∑ X Y[ ]) ⟹ D (D Z) - D (D Z) = ∑ X[Y ] , . . . , ∑ X[Y ] - ∑ Y[X ] , . . . , ∑ Y[X ] = ( ∑ X[Y ] -∑ Y[X ] ). .Ej ⟹ [LX, D ](Z) = ∑ (X[Y ] -∑ Y[X ] ). .Ej + ∑ , (Z . Y ). E = (∑ (X[Y ] -∑ Y[X ] ). +∑, Z . Y ).E.

2.3.4. Mệnh đề ([7]). Giả sử X,Y ∈ ℬ (M). Khi đó: i. [LX, ∇ ]f= ∇[ , ]f; ∀ f ∈ℱ(M); ii. [LX, ∇ ](Z) = ∇[ , ] + ∇( , ); ∀ Z∈ ℬ ( ). Chứng minh. i. [LX, ∇ ]f = LX(∇ f) − ∇ (L f) = X Y[f] − Y X[f] = [X,Y][f] = ∇[ , ]f; ∀ f ∈ℱ(M); Vậy [LX, ∇ ]f= ∇[ , ]f. ii. Ta có: L ∇(Y, Z)= LX(∇ Z) − ∇ (L Z) -∇[ , ]Z ⟹ LX(∇ Z) − ∇ (L Z) = L ∇(Y, Z) +∇[ , ]Z Mà [LX, ∇ ](Z) = LX(∇ Z) − ∇ (L Z), từ đó suy ra [LX, ∇ ](Z) = ∇[ , ]Z + L ∇(Y, Z); ∀ Z∈ ℬ (M).

2.3.5. Mệnh đề. Giả sử X,Y ∈ ℬ (M). Khi đó:

i. [LX, ∇ ](Z+Z’) = [LX, ∇ ]Z+[LX, ∇ ]Z’; ∀Z, Z ∈ ℬ (M);

ii. [LX, ∇ ](fZ) = f[LX, ∇ ]Z + Z. [LX, ∇ ]f ; ∀Z ∈ ℬ (M), ∀ f ∈ℱ(M).

Chứng minh. Giả sử X,Y ∈ ℬ (M)

i)[LX, ∇ ](Z+Z’) = ∇[ , ](Z + Z ) + L ∇(Y, Z + Z )

= ∇[ , ]Z + ∇[ , ]Z + L ∇(Y, Z) + L ∇(Y, Z )

= ∇[ , ]Z + L ∇(Y, Z) + ∇[ , ]Z + L ∇(Y, Z )

ii) [LX, ∇ ](fZ) = ∇[ , ](fZ) + L ∇(Y, fZ) = f. ∇[ , ]Z + Z. [X, Y][f] + fL ∇(Y, Z) = f ∇[ , ]Z + L ∇(Y, Z) + Z. [X, Y][f] = f. [LX, ∇ ](Z) + Z. ∇[ , ]f = f. [LX, ∇ ](Z) +Z. [LX, ∇ ]f; ∀Z ∈ ℬ (M), ∀ f ∈ℱ(M). Từ mệnh đề trên ta thấy [LX, ∇ ] tuyến tính thực với Z ∈ℬ (M) và [LX, ∇ ] có tính chất đạo hàm.

2.3.6. Mệnh đề. Giả sử X, X’,Y, Y’ ∈ ℬ (M). Khi đó: i.[LX+X’, ∇ ]= [LX, ∇ ] +[LX’, ∇ ];

ii. [ , ∇ ] = [ , ∇ ]; ∀ ∈ R;

iii.[LX, ∇ ] =[LX, ∇ ] +[LX, ∇ ] ; iv. [LX, ∇ ]Z = f. [LX, ∇ ](Z) + [ ]. ∇ ; ∀ f ∈ℱ(M).

Chứng minh. Giả sử X,Y,X’, Y ∈ ℬ (M)

i. [LX+X’, ∇ ](Z) = ∇[ , ]Z + L ∇(Y, Z) = ∇[ , ] [ , ]Z + L (∇ Z) + L ∇(Y, Z) = ∇[ , ]Z + ∇[ , ]Z+L (∇ Z) + L ∇(Y, Z) = ∇[ , ]Z + L (∇ Z) +∇[ , ]Z + L ∇(Y, Z) = [LX, ∇ ]Z +[LX’, ∇ ](Z) = ([LX, ∇ ] +[LX’, ∇ ])(Z); ∀ Z∈ ℬ (M). Vậy [LX+X’, ∇ ]= [LX, ∇ ] +[LX’, ∇ ];

(L )(Y,Z) = L (YZ) - Y(L Z) - ∇[ , ]Z = [λX, YZ] - Y[λX,Z] - ∇ [ , ]Z = λ [X, YZ] - λY[X,Z]- λ∇[ , ]Z = λ ([X, YZ] - Y[X,Z]- ∇[ , ]Z) = λ. (L )(Y,Z)

Từ đó ta suy ra được: [L , ∇ ](Z) = ∇ [ , ]Z + λ. (L )(Y,Z) = λ∇[ , ]Z + λ. (L )(Y,Z) = λ.( ∇[ , ]Z + (L )(Y,Z) = λ[L , ∇ ]Z; ∀ Z∈ ℬ (M); Vậy [L , ∇ ]= λ[L , ∇ ]; ∀ λ ∈ R. iii. [LX, ∇ ] (Z) = ∇[ , ]Z + L ∇(Y + Y , Z) = ∇[ , ] [ , ]Z + L (∇ Z) + L ∇(Y , Z) = ∇[ , ]Z + ∇[ , ]Z+L (∇ Z) + L ∇(Y , Z) = ∇[ , ]Z + L (∇ Z)+∇[ , ]Z + L ∇(Y , Z) = [LX, ∇ ]Z +[LX, ∇ ](Z) = ([LX, ∇ ] +[LX, ∇ ])(Z); ∀ Z∈ ℬ (M). Vậy [LX, ∇ ] = [LX, ∇ ] +[LX, ∇ ]; iv) [LX, ∇ ](Z) = ∇[ , ]Z + L ∇(fY, Z) = ∇ [ , ] [ ]. Z + f.L (∇ Z) = ∇ [ , ]Z +∇ [ ]. Z + f.L (∇ Z)

= f∇[ , ]Z + X[f]. ∇ Z + f.L (∇ Z)

= ( f∇[ , ]Z + f.L (∇ Z)) + X[f]. ∇ Z

= f. [LX, ∇ ](Z) + X[f]. ∇ Z; ∀ Z∈ ℬ (M).

KẾT LUẬN

Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày các nội dung chính sau đây: 1. Trình bày một cách có hệ thống các định nghĩa về liên thông tuyến tính, liên thông Lêvi-Sivita , đạo hàm Lie của hàm số khả vi, đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính.

2. Trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của liên thông tuyến tính và liên thông Lêvi-Sivita ( Định lý 1.1.6; 1.1.7; 1.2.3)

3. Trình bày và chứng minh một số tính chất cơ bản của đạo hàm Lie của hàm số khả vi, đạo Lie của liên thông tuyến tính (Định lý 2.2.4; mệnh đề 2.2.6)

4. Trình bày và chứng minh một số tính chất cơ bản về mối liên hệ giữa LX và ∇ (mệnh đề 2.2.4)

5. Phát biểu và chứng minh một số mệnh đề :

Mênh đề 1.1.10; mênh đề 2.1.3; mệnh đề 2.1.5; mệnh đề 2.2.3; mệnh đề 2.2.5; mệnh đề 2.3.3; mệnh đề 2.3.5; mệnh đề 2.3.6;

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Khu Quốc Anh , Nguyễn Doãn Tuấn(2003), Lý thuyết liên thông và hình

học Riemann, NXB Đại học Sư phạm.

[2] Nguyễn Thị Dung(2001), Mối liên hệ giữa liên thông Lêvi-sivita và độ

cong trung bình của một siêu mặt trong đa tạp Riemann, Luận văn thạc sĩ toán

học, Đại học Vinh.

[3] Trần Thị Lan Hương (2007), Về liên thông Lêvi-Sivita trên đa tạp

Riemann, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh.

[4] Tạ Thị Thanh Liên (2011), Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh.

[5] Đoàn Quỳnh (2001), Hình học vi phân, NXB Giáo Dục.

[6] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh. [7] A. Ya. Sultanov (2010), Derivations of linear algebras and linear

connections, Journal of Mathematical Science, Vol. 169, No.3 ,2010. pp.

362- 412

[8] Paolo Piccione and Daniel V.Táuk (2006), Connections compatible with

tensors and characterization of left- invariant Levi- Civita connections in Lie groups, Revista de la Unión Matemática Argentina, Vol. 47 No.1