Một số tính chất của đường trắc địa trên đa tạp remann hai chiều

-- 1 -- Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Nguyễn thị phợng Một số tính chất của đờng trắc địa trên đa tạp riman hai chiều Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán ====Vinh, 2005=== -- 2 -- Trờng Đại học Vinh Khoa toán ======== Một số tính chất của đờng trắc địa trên đa tạp riman hai chiều Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán Cán bộ hớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Duy bình Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị phợng Lớp: 42A 1 - khoa Toán ====Vinh, 2005=== Mở đầu Khái niệm về đờng trắc địa và ánh xạ mũ là một trong những khái niệm quan trọng trong lý thuyết mặt của hình học vi phân. Vấn đề này đã đợc nhiều tác giả nghiên cứu ở những mức độ khác nhau. Trong khuôn khổ của luận văn này chúng tôi đã nghiên cứu và hệ thống lại một số khái niệm, tính chất có liên quan đến đờng trắc địa và ánh xạ mũ. Nghiên cứu đờng trắc địa trong quan hệ với ánh xạ mũ, thông qua đó xét tính cực trị của đờng trắc địa. Ngoài tính chất cực trị địa phơng (độ dài là ngắn nhất trong lân cận đủ bé), trong một số trờng hợp đờng trắc địa có độ dài ngắn nhất trong các đờng cùng chung hai đầu mút. Khoá luận gồm ba phần: Đ 1. Đa tạp Riman hai chiều. Đ 2. Độ cong trắc địa và cung trắc địa trên đa tạp Riman hai chiều. Đ 3. ánh xạ mũ và đờng trắc địa cực tiểu. Nội dung cơ bản của Đ1 nêu lên các khái niệm cơ bản có liên quan: khái niệm đa tạp Riman, ánh xạ khả vi, ánh xạ đẳng cự, dạng liên kết, độ cong Gauxơ, phép tính đạo hàm của trờng véctơ dọc cung tham số. Nội dung cơ bản của Đ2 nêu lên định nghĩa, công thức tính độ cong trắc địa, cung trắc địa và đã tính đợc độ cong trắc địa của một số đờng. Mô tả đợc các đờng tiền trắc địa trên môt số mặt (mặt trụ, mặt nón, mặt cầu, nửa phẳng Poăngcarê, đĩa Poăngcarê). Nội dung cơ bản của Đ3 nêu lên khái niệm ánh xạ mũ, lân cận chuẩn tắc, mối quan hệ giữa ánh xạ mũ và ánh xạ đẳng cự, mối quan hệ giữa độ cong Gauxơ, độ cong trắc địa đối với hệ số dạng cơ bản thứ nhất trong một số trờng hợp, đờng trắc địa cực tiểu, phép biến đổi Clifớt. Khoá luận này đã đợc hoàn thành tại trờng Đại Học Vinh vào tháng 04/2005. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn sự huớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình. Cảm ơn sự giúp đỡ tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa cùng toàn thể các bạn lớp 42A - Toán đã giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này. Vinh, tháng 04 năm 2005 Tác giả -- 3 -- Đ 1. Đa tạp Riman hai chiều 1.1. Đa tạp 2 chiều trong E n 1.1.1. Định nghĩa. Tập con không rỗng S của E n gọi là môt đa tạp 2 chiều (một mặt) trong E n nếu với mỗi p S có lân cận mở của p trong S là môt mảnh hình học (tức là ảnh của một dìm, đồng phôi lên ảnh r:U E n (U là tập mở trong R 2 ), r gọi là tham số hoá địa phơng của S. 1.1.2. ánh xạ khả vi giữa các đa tạp ánh xạ f :M N giữa các đa tạp gọi là liên tục nếu nghịch ảnh của tập mở là tập mở. ánh xạ f:M N gọi là khả vi nếu nó liên tục và với mọi tham số hoá địa phơng r 1 :U 1 M ,r 2 :U 2 N mà f(r 1 (U 1 )) r 2 (U 2 )) ánh xạ r 2 -1 ofo r 1 :U 1 U 2 khả vi. f : M N đợc gọi là một vi phôi nếu f song ánh, f, f -1 khả vi. 1.1.3. ánh xạ tiếp xúc Cho ánh xạ khả vi f:M N giữa các đa tạp 2 chiều thì với mỗi p M ta định nghĩa ánh xạ T p f :T p M T f(p) N nh sau :với mỗi T p M thì có thể coi = , (t 0 ) với là ánh xạ khả vi từ J M. Khi đó ta định nghĩa : T p f () = (f0) (t 0 ) ánh xạ T p f gọi là ánh xạ tiếp xúc của f tại p. Dễ thấy T p f là ánh xạ tuyến tính. 1.1.4. ảnh của trờng véctơ qua vi phôi Cho f:U V là một vi phôi ánh xạ f * biến mỗi trờng véctơ tiếp xúc X trên U thành trờng véctơ f * X trên V xác định bởi f * X(f(p))=T p f (X(p)). Nếu r:U S, (u,v) r(u,v) là một tham số hoá địa phơng của đa tạp 2 chiều S trong E n thì r là một vi phôi từ U lên r(U). Gọi { u , v } là trờng mục tiêu chính tắc trong R 2 thì r * ( u ) = R u , r * ( v ) = R v , R u or = r u , R v or= r v . -- 4 -- ánh xạ khả vi với dạng vi phân ánh xạ f * : k (V) k (U) , ( k = 0, 1, 2 ) trong đó k (V) là tập tất cả các dạng vi phân bậc k trên V. Với k = 0, là hàm số khả vi trên V thì ta định nghĩa f * = 0f (f là hàm số khả vi trên U). Với k = 1, 2 ta định nghĩa (f * ) p ( 1 , , k ) = f(p) (T p f ( 1 ), ,T p f( k )). Tính chất f * (d) = d(of) (gof) * =f * og * f * ( ~ ) =f * f * ~ f * d =dof * . 1.2. Đa tạp Riman hai chiều trong E n 1.2.1. Các định nghĩa M là đa tạp 2 chiều. Một (cấu trúc) mêtric Riman trên M là việc đặt tơng ứng với mỗi p M một tích vô hớng trên T p M sao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi, tức là với 2 trờng véctơ tiếp xúc khả vi X,Y trên M thì hàm số p <X(p),Y(p)> là hàm số khả vi. M cùng với tích vô hớng đó gọi là một đa tạp Riman hai chiều kí hiệu là(M,< >). (M,< >) là một đa tạp Riman hai chiều. Cung tham số trên M là ánh xạ khả vi :J M (J là một khoảng mở trong R). Lớp tơng đơng cung tham số trên M gây bởi đổi tham số gọi là một cung trên M. Nếu cung đó xác định bởi : J M ,t (t) thì độ dài cung đoạn hạn chế trên I (I=[a,b] là một đoạn đóng trong J ) là =>< b a b a dttdttt )(')('),(' 2 1 . Một tham số hoá r:I M ,s r(s) của một cung chính quy đợc gọi là một tham số hoá tự nhiên nếu 'r = 1 (Cung xác định bởi :J M gọi là cung chính quy nếu (t) 0 t J). -- 5 -- 1.2.2.Ví dụ a) M là một đa tạp 2 chiều trong E n , xét < > p là tích vô hớng trên T p M cảm sinh từ tích vô hớng trong E n ta đợc đa tạp Riman hai chiều với mêtric chính tắc mà ta ký hiệu là < M,can>. b) Nửa phẳng Poăngcarê Đa tạp H = { (x, y) R 2 y > 0}, với cấu trúc Riman < > = can, trong đó :H R, (x,y) = 1/y 2 , can là cấu trúc Riman chính tắc gọi là nửa phẳng Poăngcarê . Nếu gọi { E 1, E 2 } là trờng mục tiêu song song chính tắc trên H R 2 thì tại p(x, y) H ta có: < E i (p), E i (p) > =1/y 2 , (i=1,2) và <E 1 (p), E 2 (p) > = 0. c) Đĩa Poăngcarê Kí hiệu P ={( u,v) R 2 u 2 +v 2 < 4}. Đa tạp hai chiều này với cấu trúc Riman < > = can, trong đó (u,v) = 4 1 1 22 vu + và can là cấu trúc Riman chính tắc gọi là đĩa Poăngcarê . 1.3. ánh xạ đẳng cự 1.3.1.Định nghĩa: ánh xạ nhẵn f:(M,< >) ( M , < >) giữa các đa tạp Riman hai chiều gọi là ánh xạ đẳng cự nếu với , T p M ta có: <T p f(), T p f() > = <, >. Nếu f là vi phôi và f là ánh xạ đẳng cự thì f đợc gọi là vi phôi đẳng cự. (ánh xạ nhẵn là ánh xạ mà đạo hàm mọi cấp của nó tồn tại và khả vi). 1.3.2.Tính chất a) T p f là một đơn cấu tuyến tính. b) f là một ánh xạ đẳng cự thì: - f bảo tồn góc giữa các phơng tiếp xúc. - f bảo tồn độ dài cung trên đa tạp. c) f là vi phôi đẳng cự thì f -1 cũng là vi phôi đẳng cự. -- 6 -- d) Tích các ánh xạ đẳng cự là ánh xạ đẳng cự,tích các vi phôi đẳng cự là vi phôi đẳng cự. Chứng minh: a) T p f() = T p f() < T p f(), T p f()> = < T p f(),T p f()> < , > = < , > = Vậy T p f đơn ánh T p f là đơn cấu tuyến tính. b) f là ánh xạ đẳng cự thì với , T p M ta có: < , > = < T p f(), T p f()> cos(, ) = T p f().T p f().cosT p f(),T p f() Mặt khác, do < , > = < T p f(),T p f()> nên = T p f() cos(, ) = cos(T p f(), T p f()). Vậy f bảo tồn góc giữa các phơng tiếp xúc. - Giả sử có cung xác định bởi tham số : J M, t (t), độ dài cung I = [a,b] J = = b a b a dttfdtt )()()( '' bằng độ dài của cung ảnh của qua f (vì với mỗi t [a, b] thì (t) = p = T p f( p ) = (f ) (t)). c) f là vi phôi hiển nhiên f -1 cũng là vi phôi. f: M N , f -1 : N M với , T f(p) N, = (f 1 ) (t 1 ), = (f 2 ) (t 2 ) T f(p) f -1 () = (f -1 ofo 1 ) (t 1 ) = (t 1 ) , T f(p) f -1 () = (f -1 ofo 2 ) (t 2 ) = (t 2 ) <T f(p) f -1 (), T f (p) f -1 ()> = < (t 1 ), (t 2 )> = <(f o 1 ) (t 1 ), (fo 2 ) (t 2 )> = <, > Vậy f -1 là vi phôi đẳng cự. d) Giả sử f, g là ánh xạ đẳng cự f: M N, g: N Z với , T p M ta có: <T p (g f)() , T p (g f)() > = < T f(p) g T p f(),T f(p) g T p f() > = = <T f(p) g(T p f()), T f(p) g(T p f())> = <T p f(), T p f()> = <, > Vậy g f là ánh xạ đẳng cự. -- 7 -- Nếu g, f là vi phôi thì hiển nhiên g f là vi phôi vì thế tích các vi phôi đẳng cự là vi phôi đẳng cự. 1.3.3. Ví dụ Coi H = {z CImz > 0} , P = { C < 2} Thì ánh xạ f : H P, z = 2i + iz + 4 là vi phôi đẳng cự từ ( H, <, >) lên (P, <, >). Thật vậy: Dễ thấy f là song ánh, f, f -1 khả vi nên f là một vi phôi. Giả sử { e 1 ,e 2 } là cở sở của T p H. p(x,y) = z, xét cung tham số 1 : J 1 H, t 1 (t) = p + te 1 (0) = e 1 . 2 : J 2 H, t 2 (t) = p + te 2 (0) = e 2 . Ta có : f 1 : J 1 P , t 2i + itez ++ 1 4 (f 1 ) (0) = 2 1 )( 4 iz e + f 2 : J 2 P , t 2i + itez ++ 2 4 (f 2 ) (0) = 2 2 )( 4 iz e + <T p f(e i ) , T p f(e j ) > = 22 )( 4 , )( 4 iz e iz e j i + + = 22 2 )(.)( 16 . ] 4 )().( 1[ 1 iziz ee zfzf ji ++ 2 2 4 ) 4 2)( 4 2( 1 4 )().( 1 + + + + = iz i iz i zfzf = 2 4 ))(( 1688 4 1 ++ + + + + iziz iz i iz i = 22 2 2 )()( )4( ))(( 4 1 22 iziz y iziz z i iz i ++ = ++ + + + <T p f(e i ), T p f(e j )> = >=<= ++ ++ jiji ji eeee y zz ee iziz y ,, 1 )1()1( 16 . )()( 16 1 2 22 22 2 (i,j = 1,2) f là ánh xạ đẳng cự. Vậy f là vi phôi đẳng cự. -- 8 -- Theo lý thuyết hàm phức ánh xạ bảo giác f: H P , z 2i + iz + 4 biến nửa đờng thẳng mở trực giao với trục hoành và nửa đờng tròn mở trực giao với trục hoành ( mà ta gọi chung là nửa đờng tròn mở trực giao với trục hoành) thành một phần đờng tròn trực giao với đờng tròn tâm O bán kính 2 trong P ( Do qua f trục hoành biến thành đờng tròn tâm O, bán kính 2). 1.4. Dạng liên kết và độ cong Gauxơ của đa tạp Riman hai chiều 1.4.1. Định lý và Định nghĩa (xem tài liệu [3],chơng IV) a) (M,< >) là một đa tạp Riman hai chiều thì với mọi trờng mục tiêu trực chuẩn {U 1 , U 2 } trên tập mở V của M, gọi { 1 , 2 } là trờng đối mục tiêu của nó ( tức là các dạng vi phân trên V mà i (U j ) = ij (i, j = 1, 2) ta có một và chỉ một dạng vi phân bậc một 1 2 trên V thỏa mãn d 1 =- 1 2 2 ,d 2 = - 2 1 1 Trong đó ( 1 2 2 1 = ). 1 2 gọi là dạng liên kết của (M,< >) trong trờng mục tiêu đã cho. b) (M,< >) là một đa tạp Riman hai chiều thì chỉ có một và chỉ một hàm số nhẵn K trên M sao cho với trờng đối mục tiêu { 1 , 2 } của trờng mục tiêu trực chuẩn {U 1 , U 2 } tuỳ ý trên tập mở tuỳ ý V của M ta có: d 1 2 = K 1 2 với 1 2 là dạng liên kết của (M, < >) trong trờng mục tiêu đã cho. K gọi là độ cong Gauxơ của (M, < >). 1.4.2. Mệnh đề. Giả sử (u,v) r(u,v) là tham số hóa của đa tạp Riman hai chiều (M, < >) với < r ' u , r ' u > = E, < r ' u , r ' v > = F = 0, < r ' v , r ' v > = G. Tr- ờng mục tiêu trực chuẩn { U 1 r = , ' E r u U 2 r = G r v ' } có trờng đối mục tiêu là { 1 , 2 } thì : r * 1 = E du, r * 2 = G dv r * 1 2 = dv E uG du G vE )()( ' -- 9 -- K là độ cong Gauxơ của M thì: K o r = - + ' ' ' ' )()(1 vu G vE E uG EG Chứng minh Gọi { vu , } là trờng mục tiêu song song chính tắc ứng với hệ toạ độ (u,v) trên R 2 .Khi đó: r * 1 ( u ) = 1 (r * u ) = 1 (r ' u ) = E 1 (U 1 r) = )( u duEE = r * 1 ( u ) = )( u duE Tơng tự r * 1 ( v ) = )( v duE Với mọi trờng vectơ X trên R 2 ta có r * 1 (X) = duE (X) hay r * 1 = duE Hoàn toàn tơng tự ta có: r * 2 = dvG Từ đó ta suy ra d r * 1 = d( duE ) = d( E ) du = ( E ' u du + dvE v ' ) du = - ( ) dvduE v ' r * d 1 = - ( ) dvduE v ' = - du G E v ' )( G dv = - du G E v ' )( r * 2 Tơng tự r * d 2 = - dv E G u ' )( r * 1 Và suy ra r * 1 2 = G E v ' )( du - E G u ' )( dv. Ta có: d 1 2 = K 1 2 r * d 1 2 = r * ( K 1 2 ) = = K.r * 1 r * 2 = K duE dvG = K dvduEG (1) Mặt khác r * d 1 2 = dr * 1 2 = d dv E G du G E u v ' ' )( = -- 10 --