3.7.2 Mệnh đề
a) Mỗi biến đổi Clifớt của (E2,can) là phép tịnh tiến và ngợc lại. b) Mọi biến đổi Clifớt của nửa phẳng Poăngcarê (H,< >) phải là phép biến đổi đồng nhất.
Chứng minh
a) Trong (E2,can)
d(p, f(p))= d(q, f(q))=d ∀p, q
Vì f là phép biến đổi đẳng cự nên f bảo tồn khoảng cách tức là d(p, q)=d(f(p),f(q)).
⇒ pqf(p)f(q) là 4 đỉnh của hình bình hành hoặc p, q, f(p), f(q) thẳng hàng
⇒ pf(p)=qf(q) ∀p,q∈ E2 . Vậy f là phép tịnh tiến.
b) Hiển nhiên phép đồng nhất là phép biến đổi Clifớt. Ngợc lại giả sử tồn tại một phép biến đổi Clifớt khác phép đồng nhất tức là ∃p∈H để f(p) ≠p.
Giả sử d1 là đờng tiền trắc địa tối đại qua p ⇒f(d1)=d1’ cũng là 1 đờng tiền trắc địa tối đại qua f(p).
Xét 2 đờng tiền trắc địa tối đại d1 và d1’: Với q∈ d1 thì d(q, d1’)=inf1 ( , ) r q d d r∈ < d( q, f(q)) = const
Vậy khoảng cách từ mỗi điểm thuộc d1 đến đờng d1’ là 1 hàm số bị chặn và ngợc lại khoảng cách từ mỗi điểm thuộc d1’ đến đờng thẳng d1 cũng là 1 hàm số bị chặn. (*)
Mặt khác: với 2 đờng tiền trắc địa tối đại phân biệt trong H, d và d’ thì khoảng cách từ 1 điểm ∈d dần về trục hoành đến d’ là 1 hàm số không bị chặn (hoặc ngợc lại). (**).
(*) mâu thuẫn với (**). Vậy không tồn tại phép biến đổi Clifớt khác phép đồng nhất.
Kết luận
Trong khoá luận này chúng tôi đã làm đợc những việc sau đây:
Trong Đ1 chúng tôi đã tóm lợc một số khái niệm cơ bản có liên
quan,chứng minh đợc công thức tính độ cong Gauxơ trong trờng hợp các đờng toạ độ trực giao (mệnh đề 1.4.2) .
Trong Đ2 chúng tôi đã mô tả đợc các đờng trắc địa trên mặt phẳng, mặt trụ, mặt cầu, mặt nón, đĩa Poăngcarê, nửa phẳng Poăngcarê (ví dụ 2.4).
Trong Đ 3 chúng tôi đã đa ra mệnh đề 3.1.2, 3.1.4, 3.2.4. về những vấn đề xung quanh đờng trắc địa và ánh xạ mũ, khái niệm phép biến đổi Clifớt và một số tính chất của nó (3.7).
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song khoá luận vẫn đang còn nhiều thiếu sót rất mong sự góp ý giúp đỡ của thầy cô và các bạn để khoá luận đợc hoàn thiện hơn.