3.3.1. Định lý. Với mọi điểm q trong lân cận chuẩn tắc expp(nε) của p
trên đa tạp Riman hai chiều (M,< >), q≠p có một và chỉ một cung đoạn trắc địa với tham số hoá tự nhiên nối p và q có ảnh nằm trong lân cận đó. Độ dài mọi cung đoạn khác nối p với q đều lớn hơn hoặc bằng độ dài cung đoạn trên và nếu bằng thì nó phải trùng với cung trắc địa sau khi đổi tham số hoá thích hợp.
Chứng minh. (Xem [3], chơng IV, Đ 5)
3.3.2 Định nghĩa. (M,< >) là đa tạp Riman hai chiều liên thông (cung)
thì ta định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm tuỳ ý của nó là d (p,q)=infl(γ) trong đó γ là cung đoạn nhẵn từng khúc nối p với q trên M, l(γ) là độ dài cung đoạn γ.
3.3.3. Mệnh đề
a) d là mêtric
b) ánh xạ d: MxM→R, (p,q)→ d(p,q) là ánh xạ liên tục. c) Vi phôi đẳng cự bảo tồn khoảng cách giữa các cặp điểm.
Chứng minh
Nếu d(p, q) = 0, giả sử p ≠ q vậy theo định lý 3.3.1 thì q phải thuộc lân cận chuẩn tắc của p suy ra d(p, q)=u0 > 0, vô lý. Vậy p ≡ q.
Bây giờ ta đi chứng minh d(p, q)+d(q, r) ≥ d(p , r) với ∀p, q, r ∈ M.
Theo định nghĩa ta có d(p, q)= infl(γ) nên với ∀ε > 0 ∃γ1 là cung đoạn nhẵn từng khúc nối p và q mà d(p,q)+ε2 > l(γ1) (1)
Tơng tự ∃γ2 là cung đoạn nhẵn từng khúc nối q và r mà d(q,r)+ ε2 > l(γ2) (2) Cộng từng vế của (1) và (2) ta có d(p, q)+ d(q, r) + ε > l(γ1) +l(γ2). Mặt khác d(p, r) = infl(ρ) ≤ l (γ) trong đó γ = γ1 ∪γ2 ⇒ d(p, r) ≤ l(γ1) + l(γ2) ⇒ d(p, q) + d(q, r) + ε > d(p, r). Cho ε→ 0 ta đợc d(p, q) + d(q, r) ≥ d(p, r). Vậy d là mêtric. b) ánh xạ d: MxM →R.
Giả sử pn→ p khi n →∞, qn→ q khi n→∞ khi đó ta có: d(p, q) ≤ d(p, pn) + d(pn, qn) + d(qn, q)
d(pn ,qn) ≤ d(pn, p) + d(p, q) + d(q, qn)
⇒ - d(pn, p) - d(q, qn) ≤ d(p, q) - d(pn, qn) ≤ d(p, pn) +d(q, qn)
⇒ 0 <d(p, q) - d(pn, qn)≤ d(pn, p) + d(qn, q) → 0 khi n →∞. Vậy d là ánh xạ liên tục.
c) Vi phôi đẳng cự bảo tồn độ dài cung vì thể nó bảo tồn khoảng cách giữa các cặp điểm.