Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP.HIỆU HỒ CHÍ MINH DANH MỤC CÁC KÝ K - LÝ THCYỆT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN PHÂN LẢ CỦA PHẦN LÁ REEB VÀ MÔT VÀI MD - PHẲN LẢ LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 MỞ ĐÀU Lí chọn đề tài Đa tạp phân nhánh tương đối mẻ thuộc lĩnh vực Hình học vi phân Mặc dù địa phương, phân k chiều đa tạp vi phân n chiều hoàn toàn giống nhau-cụ thể chúng có “dáng điệu” phân tầm thường toàn cục chúng khác Bởi thế, nghiên cứu phân lá, ta quan tâm đến vấn đề toàn cục, tức nghiên cứu yếu tố bất biến qua phép tương đương tôpô Chẳng hạn tìm hiểu số đóng, tuần hoàn, trù mật hay compact, kiểu phân Một yếu tố phản ánh tốt thông tin phân (V,F) không gian V/F phân Tuy nhiên, dù đa tạp phân có tôpô tốt (do có cấu trúc vi phân), không gian thường lại xấu, không Hausdorff, chí không nửa tách Mà ta biết, tính K- lý thuyết hình học không gian tôpô X, ta hay thay X c* - đại số C Q {X) Với tôpô xấu V/F cách thay không phù họp C0(U/F) không cho ta thông tin cần thiết phân (V, F) Đây cản trở lớn nghiên cứu tôpô phân vào năm 1974 Nhờ phương pháp nhà toán học mô tả nhiều - đại số Việc dùng phương pháp K - hàm tử để mô tả phân gọi K-lỷ thuyết phân c* - đại số liên kết Ta biết K — lý thuyết số phân đơn giản giải Năm 1980, Pimsner Veiculeseu tính Ẫ^-lý thuyết phân Kronecker Ngay sau - đại số liên kết phân Reeb s mô tả Năm 1984, A M Torpe giải cho phân Reeb T Đen năm 1990, Lê Anh Vũ thành công trường họp phân tạo K - quĩ đạo chiều cực đại lóp nhóm Lie MD4 Sau tìm hiểu nhìn nhận vấn đề, thấy thú vị với việc mô tả thuyết phân Sau cố gắng cụ thể hóa quy trình chung cho số phân cụ thể để từ vấn đề đuợc sáng tỏ hon Ý nghĩa khoa học luận văn Đen số lượng công trình tính K — lý thuyết phân khiêm tốn, K — lý thuyết nhiều phân chưa nghiên cứu Do vậy, luận văn nhiều cung cấp kiến chuẩn bị hữu ích cho độc giả bắt đầu tìm hiểu lý thuyết phân Đồng thời với việc mô tả c* -đại số phương pháp K - hàm tử, gốc độ luận văn tiếp cận số vấn đề đại số toán tử Cấu trúc luận văn tham khảo số Chương MỘT SỐ VẤN ĐÈ VÈ K-LÝ THUYẾT CỦA c* - ĐẠI SỐ Trong chưcmg này, phần đầu trình bày tóm tắt số kiến thức chuẩn bị c* - đại số cần thiết cho tính toán chương Bên cạnh đó, với việc xây dựng K - nhóm dãy khớp K - nhóm, có tính chi tiết K -nhóm vài c* - đại số c, C(S l ), C0(R) hay M n {C) Đây xuất phát điểm để tính toán K - nhóm đề cập đến phần luận văn Một trình bày đầy đủ nội dung chương này, độc giả quan tâm tham khảo [4], [5], [10] [12] 1.1 Một số vấn đề c* - đại số Mục tiêu phần cung cấp cho độc giả ví dụ kinh điển c* - đại 1.1.2 Các ví dụ (i) Đại số M n (C) c* - đại số xét ma trận toán tử không gian Euclide C", dùng chuẩn toán tử ||/|| = sup |||/(v)||:veC\||v|| = lỊ cho ma trận Còn ánh xạ đối họp phép chuyển vị liên họp *: A h-» A* (ii) Không gian C(Ti) toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert Ti c*-đại số với ánh xạ đối họp * : x i — l toán tử phụ họp toán tử XTí —ỳ’ Ti (iii) Xét không gian Hausdorff compact địa phưong X, không gian C Q (X) 1.1.3 Tích xiên (xem [4, tr 175-177]) Cho A c* - đại số, H nhóm Lie compact địa phương a: H —» AutA tác động liên tục H lên A Tức với heH, *—tự đẳng cấu A với mồi ae A, ánh xạ h a h {a) liên tục theo chuân Khi đó, ta xác định c* - đại số A- Ax H gọi tích xiên A H tác động a sau: Xét không gian véctơ C c {H,A) (các hàm phức liên tục có giá compact từ H vào A) với phép nhân phép đối họp sau (dh độ đo Haar trái H): f\-fi(h) =\f\ ị K)' a h ị [fi(K' h j)dh\> với /„/2 heH, 2ơ 2ơ 11 + AxH- ■>BxiH -> Thì tồn *-đồng cấu ỵ: B —» A cho ỵ° Pi = qị (i = 1,2) - đại số ^4 cặp (ii) đồng Bộ ba cấu (A,ppịiA-> Aị chất (i =phổ1,2) dụng, đuợc tức gọivớilàmọi tíchbộ thớ ba (B,q (hayx ,qcòn gọi x ,p ) có tính ) có sơ đồ kéo lại) tính cặp (ơ chất thỏa 2làm điều cho kiện sơ sau: đồ sau giao hoán: ì ,ơtương 2) tự 1.2 Một số vấn đề K-lý thuyết B—^—>4 (i) Có sơ đồ giao hoán: 42 ị A - > A' ịơl K - lý thuyết đại số lý thuyết đồng điều suy rộng việc tìm hiểu K — lý thuyết vấn đề không dễ dàng Tuy nhiên, mục tiêu luận văn, A—>4 trình bày cách đơn giản việc xây dựng K — lý thuyết cho c* - đại số Các ví dụ phần kết cần thiết cho việc tính toán K — lý thuyết phân chuông P2 ị ịơì 1.2.1 Phân thớ véctơ (xem [5, tr.4- 9]) Một phân thớ véctơ n chiều trẽn không gian Hausdorff compact X cặp (E, p) gồm không gian tôpô E ánh xạ liên tục p: E —» X thỏa điều kiện sau: (i) Mỗi X e X, thớ E x = ĩr~ x {x) X có cấu trúc không gian véctơ n chiều (ii) Tất thớ “buộc” với cách liên tục tầm thường địa phương Các ví dụ phân thớ véctơ phân thớ tiếp xúc TM phân thớ đối tiếp xúc TM* đa tạp compact M, ví dụ TS n ~ x = {(x,v) e s n ~ l xR" :x.v = 0} Trong luận văn xét phân thớ véctơ phức Neu (E, p) phân thớ véctơ X, nhát cắt E hàm liên [uv] = [u][v] = Ta ký hiệu P n {A) - P[M n {A)) U n {Á) = U[M n {Á)] P(B) (tưong u 0^ ứng u(B)) ký hiệu tập họp phép chiếu {p eB: p = p = p*} (tương ứng phần u ~ 01 M x (A) = [f^M n (Ã)và U„(A) = \XjJ n (Ằ) ta lần luợt ký hiệu tập P^{ A) = U“=1 P n (A) p ~ Mọi A -môđun xạ ảnh hữu hạn sinh có dạng V = {£ E M ỉ x n (A) = Cp} P n (A) số nguyên duơng n, hiển nhiên A tác động lên V p theo quy tắc (a.^)ị = a£ị Với p,q ta viết p ~ q E P^iA), v=v 0(3 UE M a (A): u*u - p,uu* = q ), Vì Tr([p (p ]-[q (p ]) = Index(F ọ ) hàm địa phương theo (p, nên với x ọ E s ta có (f ° /(-v).l(a) = /(—v), nên nghịch ảnh (u, 1) cho hàm ũ ữ C c ([0,l]xS l xRỴ thỏa mãn (ũ ữ -1 )(x,a,v) = H ữ (x).l(-v), hàm H° C([0,1]) thỏa: //°(x) = l X \/2 Chuyển sang tọa độ dòng ((p,t,v ) ta thấy ũ° tác động liên tục lên z2(R) (của tham số hóa (Ọ E sl) công thức: Vậy f os ,([«],[!]) = f ([p]-[q]) = ĩ ® T r ([p]-[q]) Index (ũ°) = Index (ủ') = - sô vòng quay toán tử h-> + /(-£")) = Do ta có í o i([l],[«])- Một nghịch ảnh (1 ,u) Ãị cho E Cc([0,l]x(S'1 xR)~, với (ũ -1 ){x,a,v) - H x (x)i(-v) Trong hàm //* C([0,1]) thỏa điều kiện: H\x) = X < 1/2 H l (x) = x>ì/2 + £ (li) Mở rộng —^ J Ị —>Ấ Ị —hẺhh—±B+ ®B+ —» mở rộng hấp thụ cặp (£>(),£>!) = ((1 1),(1 -1)) xác định Aị (sai khác tương đương unita) phần tử nhóm Ext Ị C(S l) © C(S l), C(S l) j 3.2.6 Ket tương tự thành phần Reeb bảo toàn hướng Kxự2) Hoàn tương tự thành-Kphần Reeb đảo hướng, K 0( Jta )có thể nhúng c* - đại K 0toàn (B + (BB (A )+ + ) z zez ịJi z®z[p] *0(4) —> K Q (B + ) &2* (0 0^ ì1ì -1 0-> J ->C*(T2,F2)—^B + ->0 *= (3.18) Dãy khớp sinh dãy khớp K- lý thuyết: Áo (ii) Trong Kị Ta có Id : K { (B + ) -> K X {B +) (3.19) Ta có C*(T ,F ) c*-đại số loại I có dãy họp thành tắc [;u ] H> [M] 0ự2cC*(T2,F2) cặp đồng cấu nối (^ ,^) = Index C*(T2,F2) (3.19) cho C 0(fF|)—>C 0(fF2) xyz 2 + y + z 2 s 2 0-> Jx—^C*(V,F)—ỳ->Bx 0^ J -2-> B ,-&-* B ^0 Xét đa tạp v con=sau củaEVỈ V: ị :xy 0} = RxR* xlR* ị(t,x,y,z) iỵx) Trong /, =C*(F ,TJ)sC (Tl)xií,K sC o (KxK“) 0/t w2 = wỉ \ v2 = R X (R* X {0} u {0} X R*) J2 =ơ(V2 ,F2) = C0 (V2 )xa 12SC#(1* C'(V,F) (V)x K2 hàm C0(V) Ở hàm C (V { ) (tương ứng C 0= (V 2C )) Qmở rộnga thành Ta kiểm tác)) động acách bảo toàn này, thật vậy:Vị (tương ứng v2) (tương ứngHệ Ctra lấy C giá không bên (Wị 3.4.3 bất biến số * (trịVđabằng , Ftạp ) Các mở rộng (/ị) (i = 1,2) xác định tuong ứng phần tử Trường Yị (i z ^ 0,=nên a bảo1toàn ,2) Vị Wịcủa (i) họp z ^ Hơn ii,Ì >Mi>M đồng cấu a-đẳng biến ta có dãy khóp ẪX-nhóm Ext(Bị,Jị) (i = a 1-,đẳng 2) Cặp {ỵx,ỵ2} hệ bất biến: nhóm Ext(B ,J2) = Hom(z ,z ) (ii) y2 = V (ii) Trường họp xy * x.ỹ = xy - 0, nên a bảo toàn v2 w2 *->C (V) —> C (Vị) B->C0(»ỉ)->0 KẾT LUẬN Một đóng góp quý báu Alain Connes cho ngành Hình học phân công trình xây dựng c* - đại số liên kết với phân Chính c* - đại số làm cho K - lý thuyết trở thành công cụ thực hữu dụng nghiên cứu tôpô phân Nhu ban đầu, đặt mục tiêu luận văn vạch rõ đuờng tính K — lý thuyết phân lá, đồng thời tích lũy khái niệm co số thao tác tính toán định TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Anh Vũ (1990), Không gian phân tạo K-quĩ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD4 , Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Toán học Việt Nam Tiếng Anh Alain Connes (1981), “An Analogue of the Thom Isomorphism for Crossed Products of a c* - Algebra by an Action of pp.31-55 R”, Advances in Mathematics, 39(2), CHỈ MỤC a> C7^ Dạng vi phân 19 Ánh xạ đối họp 7, 8, 29 Ánh xạ holonomy 25 Dãy họp thành tắc 51, 52, 56 Ánh xạ nhúng 14, 16, 58 Dãy khóp thành phần 15, 31, 42, 52 Bản đồ địa phương 29 Bản đồ phân 23 Bảo hòa 20, 30, 37, 52 Bất biến Busby 17 Bất biến số 17, 59 Bất biến đồng luân 13, 39 Bất biến tịnh tiến 35 Biến đổi Fourier 40 Biến đổi sơ cấp 13 Biểu diễn hiệp biến Biểu diễn unita Bình phương khả tích 29 ũ Dãy khóp Mayer- Vietoris 16, 52, 56 Dãy khóp ngắn (chẻ ra) 10, 15,16 Dãy mở rộng lặp 32, 58, 59 Đồng cấu nối 15, 42, 54, 56 Đồng luân 14, 40 Đơn liên 26, 36, 57 Đơn vị 12, 14 Đơn vị xấp xĩ 8, 17 K Q -nhóm 13, 39, 41 K x - nhóm 13,39,41 Khả nghịch 40, 44 Khả tách Khả tích 19,21 ố Etale - ánh xạ 25 Giá 29, 44 7Ô Không gian nửa mật độ 28,29 Không gian định chuẩn 29 Không gian Hausdorff compact 8, 13 Không gian Hilbert 8, 9, 29 Không gian 22, 23 Kiểu ổn định 18, 32 Kiểu tôpô phân 22, 29 ẪX-nhóm 17, 32, 56, 59 M Hạch 17 Ql Nghịch ảnh 48 Nhát cắt 11 Phân thớ tiếp xúc 11,19 Phân thớ véctơ 11 Phần bù 38 Phần tử sinh 39, 40, 45, 50, 54 Phần tử unita 12 Nhóm 12 Nhóm aben 12 Nhóm aben tự 17, 32 Phép chiếu 12, 22, 40, 43, 44, 47 Phép dìm 27 Phép đồng phôi 22 Phép ngập 25, 29, 37 Phỏng nhóm holonomy 26 Phủ 25 Phủ holonomy 29 Phức c* - đại số 31 Nhóm chuẩn tắc 13, 17 Q Tập mở đơn 19, 25 Tập hoành Borel 24, 25 Tập mở 22, 31, 52 Tập thương 12 Tổng trực tiếp 17, 56 Tôpô thương 23 Thành phần Reeb bảo toàn hướng 35 Triệt tiêu 19 Thành phần Reeb đảo hướng 35, 40, 50 Triệt tiêu vô Thớ 11, 19, 23 [...]... hai phân lá cùng kiểu tôpô thì chúng cùng chiều và đối chiều Ta có, quan hệ cùng kiểu tôpô là quan hệ tuơng đuơng và trong nghiên cứu tôpô phân lá, hai phân lá cùng kiểu tôpô đuợc xem là một (tức là xét không gian các lóp tôpô phân lá với quan hệ tuơng đuong trên) Vỉ dụ Tất cả các phân lá Kronecker ứng với k e Q đều cùng kiểu tôpô với nhau, và cùng kiểu với phân lá j s l 2.1.4 Không gian lá X {a} Ị của. .. là một phân lá, và H là một nhóm Lie Nếu H tác động liên tục lên đa tạp phân lá V sao cho mỗi lá là và chỉ là một H - quĩ đạo, thì phân lá (V,F) được gọi là cho bởi tác động của nhóm Lie H Khi đó, không gian lá VỊF chính là không gian VjH các H - quĩ đạo 2.1.6 Phân lá đo được (xem [1, tr.44-45]) Xét phân lá (V,F) và T là một đa tạp con hoành của phân lá (V,F) Khi đó ta có thể chọn một bản đồ phân lá. .. ị K: C”(LC?(LXH 2 ,n ự 2 ), với K f ( a , p ) = l,6/w/(a,0 và ánh xạ Chương 3 K -LÝ THUYẾT CỦA PHÂN LÁ CHO BỞI THÀNH PHẦN REEB TRÊN T2 VÀ CỦA PHÂN LÁ KIM CƯƠNG THựC Trong chưcmg này chúng tôi trình bày mô tả c* - đại số của một số phân lá đơn giản Với gốc độ lần đầu tiên tìm hiểu vấn đề này, chúng tôi xem đây là những ví dụ tham khảo tốt và hy vọng có thể áp dụng vào tính toán cho một vài phân lá khác... trình nổi tiếng của Ehresmann và Reeb K từ đó lý thuyết phân lá không ngừng được phát triển và trở thành một ngành toán học khá phong phú bởi Reeb (1952), Haeíliger (1956), Novikov (1964), Thurston (1974), Molino (1988) và đặc biệt là Alain Connes với công trình xây dựng c* - đại số liên k t với phân lá 2.1 Một số vấn đề về tôpô phân lá Mục tiêu của phần này là cung cấp cho độc giả một số kiến thức mở... gọi là “kiểu ổn định ” của mở rộng (Ọ Bất biến chỉ số của c* - đại so Theo trên, mỗi mở rộng dạng (1.1) xác định duy nhất một phần tử ỵ của nhóm Ext(B,J ) K hiệu Y = ỉndexA và gọi là chỉ số của c* - đại số A Chương 2 MỘT SÓ VẤN ĐÈ VÈ PHÂN LÁ VÀ K- LÝ THUYẾT CỦA PHÂN LÁ Tôpô phân lá xuất hiện một cách tự nhiên từ việc tìm nghiệm của các phương trình vi phân và các hệ khả tích, và trở thành một lĩnh... thường trên T2 là phân lá cho bởi các thành phần Reeb 3.2 K - lý thuyết của các thành phần Reeb Thành phần Reeb là các trụ phân lá khá đơn giản, chúng có cấu trúc các lá và không gian lá dễ hình dung Ở đây chủ yếu chúng tôi trình bày các k t quả đã có trong [6] theo một bố cục đơn giãn và có phần chi tiết hơn Nội dung của phần này đóng vai trò then chốt để tính K - lý thuyết cho các phân lá trơn trên T2... tạp phân lá, và ví dụ mà chúng tôi dùng thường xuyên để minh họa cho các khái niệm ở đây là phân lá Kronecker Phần lớn nội dung ở đây được tham khảo từ [1], [11] 2.1.1 Định nghĩa phân lá (xem [1, tr.41 -42]) (đối chiều n -k) trên V, k hiệu là (V,F); V được gọi là đa tạp phân lá Mỗi đa tạp con liên thông đường tối đại của F trong V được gọi là một lá của phân lá (V,F) Mỗi lá là một đa tạp con dìm k chiều... trên các mầm của các đa tạp con hoành ta có thể xem h Ỵ =h X ữ ([y]) như là một mầm của một vi phôi địa phương của một đa tạp thương địa phương tại x0 2.2 c* - đại số liên k t vói phân lá Đây là một đóng góp đặc sắc của Alain Connes đối với sự phát triển của lý thuyết phân lá Trong phần này chúng tôi nêu lại các bước xây dựng c* - đại số liên k t với phân lá cùng các tính chất của nó, và đặc biệt quan... từ một phân lá của [0,1] X R (phân lá bất biến tịnh tiến) được cho bởi các đường thẳng X = 0, X = 1 và các đồ thị của các hàm số {y - /( X ) + C , IG (0,1)} c K , với hàm /: (0,1) —> ]R thỏa mãn điều kiện lim 1/(x)| = 00 X—>0,1 Việc tìm hiểu các thành phần Reeb cơ sở là hết sức cần thiết cho việc tính K - lý thuyết cho các phân lá trên T 2 có chứa lá đóng Từ nay ta sẽ gọi phân lá có chứa lá đóng không. .. khác hơn 3.1 Phân loại các phân lá trơn trên T2 (xem [6, tr.24-25]) Xuyến T2 là đa tạp định hướng compact hai chiều duy nhất có các phân lá một chiều không tầm thường Sai khác một tương đương tôpô ta có sự phân loại các phân lá Hình 3.1 Hình 3.2 Phân lá của Hình 3.1 được gọi là thành phần Reeb đảo hướng, phân lá của Hình 3.2 được gọi là thành phần Reeb bảo toàn hướng, cần để ý rằng các phân lá trên [0,1] ... tôpô phân lá, hai phân kiểu tôpô đuợc xem (tức xét không gian lóp tôpô phân với quan hệ tuơng đuong trên) Vỉ dụ Tất phân Kronecker ứng với k e Q kiểu tôpô với nhau, kiểu với phân j s l 2.1.4 Không. .. dụ K - lý thuyết MD - phân Cụ thể ta xét K — lý thuyết phân kim cương thực, MD- phân có c* - đại số liên k t không nhúng cách tắc vào mở rộng đơn trường họp thành phần Reeb Do ta phải nhúng vào... phần Reeb sở cần thiết cho việc tính K - lý thuyết cho phân T có chứa đóng Từ ta gọi phân có chứa đóng không tầm thường T2 phân cho thành phần Reeb 3.2 K - lý thuyết thành phần Reeb Thành phần Reeb