không gian với thứ tự sinh bởi nón và các ánh xạ giữa chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ BẢO XUN KHƠNG GIAN VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NĨN VÀ CÁC ÁNH XẠ GIỮA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Tp Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ BẢO XUN KHƠNG GIAN VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NĨN VÀ CÁC ÁNH XẠ GIỮA CHÚNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Tp Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Chúng ( người làm luận văn ) thực luận văn với giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn, PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Từ công việc giảng dạy kiến thức chuyên môn đến việc hướng dẫn thu thập tài liệu vẽ phương pháp nghiên cứu khoa học, thầy hướng dẫn trình bày hiểu biết theo cách logic, sáng , khoa học… Chúng xin ghi nhận giúp đỡ q giá thầy Các tài liệu sử dụng luận văn giảng thầy , cô giáo lớp học, sách tham khảo, báo khoa học… có liên quan đến đề tài luận văn, phép sử dụng học tập Tôi xin cam đoan không chép hay dựa dẫm vào công trình nghiên cứu riêng tư khác Một lần nữa, xin gởi đến thầy PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY lòng biết ơn sâu đậm Người làm luận văn Nguyễn Thò Bảo Xuyên MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC CHƯƠNG 1: PHẦN TỔNG QUAN CHƯƠNG 2: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1 Các khơng gian Banach .9 2.2 Các kí hiệu 10 2.3 Các định lý 10 CHƯƠNG 3: NĨN VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN KHƠNG GIAN BANACH 13 3.1 Nón thứ tự sinh nón – nón liên hợp 14 3.1.1 Nón thứ tự phần 14 3.1.2 Nón liên hợp 15 3.2 Nón sinh 18 3.2.1 Định nghĩa tính chất 18 3.2.2 Các điều kiện cần đủ nón sinh 20 3.3 Nón chuẩn 22 3.3.1 Định nghĩa tính chất 22 3.3.2 Các điều kiện cần đủ nón chuẩn 25 3.4 Nón qui – nón Minihedral 28 3.4.1 Nón qui 28 3.4.2 Nón minihedral 30 3.5 Nón làm đầy (Allows plastering) 32 3.5.1 Nón lầm đầy 32 3.5.2 Ánh xạ tuyến tính dương 32 3.6 Nón điểm bất động ánh xạ tăng 36 CHƯƠNG 4: MỘT SỐ ÁNH XẠ GIỮA CÁC KHƠNG GIAN BANACH 39 4.1 Ánh xạ tuyến tính dương .39 4.1.1 Tính liên tục mở rộng ánh xạ tuyến tính dương 39 4.1.2 Tính chất phổ ánh xạ tuyến tính dương 43 4.1.3 Phương trình tuyến tính khơng 51 4.2 Ánh xạ tăng .53 4.2.1 Tính liên tục ánh xạ tăng 53 4.2.2 Sự tương quan ánh xạ tăng đạo hàm 57 4.2.3 Điểm bất động ánh xạ tăng 60 4.3 Ánh xạ lồi 65 4.3.1 Điều kiện ánh xạ lồi 65 4.3.2 Điểm bất động ánh xạ u0 -lõm 70 4.3.3 Tính chất vectơ riêng giá trị riêng 75 CHƯƠNG 5: PHẦN KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 CHƯƠNG 1: PHẦN TỔNG QUAN Chúng ta thấy quan hệ thứ tự  , đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu hàm biến Khi chuyển sang xét ánh xạ tác động  k hay không gian đònh chuẩn chương trình đại học ta chưa rõ thấy vai trò quan hệ thứ tự Quan hệ thứ tự đưa vào không gian vectơ từ năm 1930 công trình Kantorovich, Krein, Rutman, Birkhoff, Krasnoselskii,…theo cách khác đặc biệt phương pháp đònh nghóa thứ tự qua nón Krien – Rutman Qua đònh nghóa nón , ( người làm luận văn ) xin giới thiệu luận văn cách hệ thống, chi tiết tương đối đầy đủ : • Về dạng nón tính chất chúng, • nh hưởng tính chất nón lên ánh xạ Bằng kiến thức nhận từ giảng thầy hướng dẫn từ hướng dẫn thầy , thu thập tài liệu ( bao gồm sách tham khảo, báo khoa học,…) có liên quan đến đề tài luận văn, nghiên cứu tìm hiểu chúng sử dụng kết quả, phương pháp lập luận Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, Topo đại cương…Chúng trình bày nội dung sau đây: Chương : Phần tổng quan Chương : Các kiến thức chuẩn bò Chúng đònh nghóa lại kí hiệu Toán học nhằm làm rõ nội dung luận văn Chúng nêu kết quả, đònh lý chứng minh đầy đủ tài liệu tương ứng sử dụng luận văn Chương : Không gian với thứ tự sinh nón Chúng trình bày đònh nghóa nón quan hệ thứ tự phần sinh nón Đồng thời tìm hiểu tính chất dạng nón theo quan hệ thứ tự sinh nên : • • • • • Nón liên hợp Nón sinh Nón chuẩn Nón qui – Nón làm đầy Nón minihedral Nghiên cứu thêm tương quan nón Nhiều ví dụ trình bày phần nhằm mục đích làm rõ chất dạng nón tương quan nón nói Sau cùng, nghiên cứu ảnh hưởng dạng nón lên tồn điểm bất động ánh xạ không compact Chương : nh xạ không gian có thứ tự Trong phần này, nghiên cứu tính chất ánh xạ : • nh xạ tuyến tính dương :  Tính liên tục mở rộng theo đònh lý Haln – Banach  Tính chất phổ phương trình tuyến tính không Chúng trình bày Ví dụ nhằm hiểu rõ ánh xạ u0 - bò chặn u0 -dương • nh xạ tăng  Tính liên tục  Sự tương quan ánh xạ tăng đạo hàm  Điểm bất động Tại đây, thấy Ví dụ , ứng dụng lý thuyết điểm bất động ánh xạ tăng qua cách xét toán tìm nghiệm tuần hoàn với chu kì 2π phương trình : x / + a= ( t ) x f t, x ( t ) , x ( t − h ) • nh xạ lồi  Các điều kiện ánh xạ lồi tương quan ánh xạ lồi ‘dấu’ đạo hàm cấp  Điểm bất động ánh xạ u0 -lõm : tồn xấp xỉ điểm bất động ánh xạ u0 -lõm với dãy đơn điệu tăng  Tính chất vectơ riêng giá trò riêng Chương : Phần kết luận Trong phần này, trình bày kiến thức thu nhận trình nghiên cứu thực luận văn , đồng thời nêu ý nghóa vấn đề mà nhận thức Sau TÀI LIỆU THAM KHẢO CHƯƠNG 2: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1 Các khơng gian Banach Trong luận văn này, sử dụng không gian đònh chuẩn ( không gian Banach ) với chuẩn tương ứng sau để làm ví dụ minh họa cho dạng nón đònh nghóa làm rõ tính chất chúng • Không gian hàm liên tục C= (J ) với chuẩn – max : x {x : J →  / x hàm liên tục} = max x ( t ) , ∀x ∈ C ( J ) t∈J • Không gian hàm khả vi liên tục C1= (J ) {x : J →  / x hàm khả vi x với chuẩn – max: x= x / } liên tục = max x ( t ) , đònh nghóa chuẩn với: t∈J x + x / , ∀x ∈ C1 ( J )   p ng gian Lp ( Ω )  x đo Ω : ∫ x d µ < ∞  • Khô=   Ω p   p =  ∫ x d µ  , p ≥ Ω  ∞ p   p = x x / • Không gian l= ( n )n∈ ∑ xn < ∞   n =1   Với chuẩn x p p p  ∞ Với p ≥ có chuẩn x =  ∑ xn   n =1  • Không gian dãy hội tụ 0: c= Với chuẩn x = sup xn n∈ {=x ( x ) n n∈ } / xn → 2.2 Các kí hiệu Các kí hiệu sau thường đònh nghóa đề cập đến, nhiên nêu trước để phần trình bày luận văn rõ ràng +  = :  0, ∞ )   n+ := {x = ( x , x , , x ) : x n k } ≥ 0, ∀k = 1,2, , n { C+ ( J ) x ∈ C ( J ) / x ≥ J  C+ :== {x ∈ L ( Ω ) / x ≥ Ω ( h.k.n )}  L+p := L+p ( Ω ) =  l+p := } p {x= ( x ) n n∈ } ∈ l p / xn ≥ 0, ∀n ∈   Kí hiệu θ vectơ -không không gian vectơ X X * không gian liên hợp X hay không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục X, có vectơ -không θ *  Phần tập A không gian topo X, kí hiệu : A hay intA  Kết sau sử dụng luận văn Các tập : 0 0 0  + , K3 ,  n+ ,  + ( J ) ≠ ∅ L+p ( J ) = l+p = ∅  Đối với topo yếu khái niệm liên quan kí hiệu : w – đóng ( đóng yếu ) , w – compact ( compact yếu ) …  Nếu M tập X f : M → Y mở rộng f lên X ánh xạ F : X → Y cho F = ( x ) f ( x ) , ∀x ∈ M Nếu F thỏa thêm số tính chất đó, chẳng hạn tuyến tính , F gọi mở rộng tuyến tính f 2.3 Các định lý Các đònh lý sau đây, sử dụng để chứng minh mệnh đề, đònh lý … luận văn : 10 Từ hàm ta xây dựng hàm khả vi, tuần hoàn có chu kì 2π nghiệm phương trình (*) 4.3 Ánh xạ lồi 4.3.1 Điều kiện ánh xạ lồi Đònh nghóa: Giả sử X, Y không gian Banach có nón K X , KY M ⊂ X tập lồi nh xạ f : M → Y gọi lồi nếu: f tx + (1 − t ) y  ≤ tf ( x ) + (1 − t ) f ( y ) , ∀t ∈  0,1 x , y ∈ M so sánh Bổ đề : Nếu g hàm lồi [a,b] g liên tục (a,b) Chứng minh Với r , t, s ∈ ( a, b ) : r < t < s ⇒ = t s−t t −r s−t t −r r+ s ⇒ g= t) g (r ) + g ( s) ( s−r s−r s−r s−r g ( t ) − g (r ) Suy g ( s) − g (t ) ≤ t −r s−t Bây giờ, với khoảng (α , β ) : a < α < β < b t, t / ∈ (α , β ) , t ≠ t / (1) p dụng bất đẳng thức (1) ta có: M1 = g (α ) − g ( a ) α −a ( ) ≤ { ( ) ≤ g (b) − g ( β ) = M g (t ) − g t/ t−t / b−β } Suy g ( t ) − g t / ≤ max M1 , M1 t − t / , ∀t, t / ∈ (α , β ) Nghóa là, g ánh xạ Lipschitz (và g liên tục) khoảng mở (a,b) nên liên tục (a,b) Bổ đề : 65 Nếu g hàm lồi [a,b] có đạo hàm phải t ∈ ( a, b ) g+/ ánh xạ tăng Chứng minh t1 , t2 ∈ ( a, b ) t1 < t2 Lấy  ∀t ∈ ( t1 , t2 ) ⇒ Khi t → t1+ ⇒ g+/ ( t1 ) ≤ g ( t ) − g ( t1 ) g ( t2 ) − g ( t ) t2 − t g ( t2 ) − g ( t1 )  Với t > t2 < t1 ⇒ Khi t → t2+ ⇒ t − t1 ≤ t2 − t1 g ( t2 ) − g ( t1 ) g ( t2 ) − g ( t1 ) t2 − t1 t2 − t1 g ( t ) − g ( t2 ) ≤ t − t2 ≤ g+/ ( t2 ) Bổ đề chứng minh Bổ đề : Nếu g hàm liên tục [a,b] có đạo hàm phải g+/ ( t ) ≥ 0, ∀t ∈  a, b ) g hàm tăng Chứng minh  Trường hợp g+/ ( t ) > 0, ∀t ∈  a, b ) { } Lấy t1 , t2 ∈ ( a, b ) t1 < t2 đặt: A = t ∈ t1 , t2  / g ( t1 ) ≤ g ( t ) Do lim+ t → t1 g ( t ) − g ( t1 ) g ( t ) − g ( t1 ) = g+/ ( t1 ) > ⇒ ∃δ ∈ ( 0, a − t1 ) : t ∈ ( t1 , t1 + δ ) ta có >0 t − t1 t − t1 nên tập A khác rỗng tồn tạ= i t0 sup A ≥ t1 Giả sử t0 < t2 ⇒ lim+ t → t0 g ( t ) − g ( t0 ) n ε g+/ ( t0 ) > thì: = g+/ ( t0 ) > Khi đó, chọ = t − t0 66 ∃δ ∈ ( t0 , t2 − t0 ) : Suy g ( t ) − g ( t0 ) t − t0 g ( t ) − g ( t0 ) t − t0 − g+/ ( t0 ) < ε = g+/ ( t0 ) > ⇒ g ( t ) > g ( t0 ) , ∀t ∈ ( t0 , t0 + δ ) , mâu thuẫn với t0 = sup B Vậ= y t0 t2 g= ( t2 ) g ( t0 ) ≥ g ( t1 )  Trường hợp g+/ ( t ) ≥ 0, ∀t ∈  a, b ) Với ε > , cho trước, đặt h= ( t ) g ( xt ) + ε t, ∀t ∈ 0,1 Ta có h+/ (= t ) g+/ ( t ) + ε > theo h ( t1 ) ≤ h ( t2 ) ⇔ g ( t1 ) + ε t1 ≤ g ( t2 ) + ε t2 , ∀ε > Suy g ( t1 ) ≤ g ( t2 ) Đònh lý 13 : Giả sử X, Y không gian Banach có nón K X , KY M ⊂ X tập lồi K X -mở Khi đó, ánh xạ f : M → Y liên tục, có đạo hàm theo nón điểm M mệnh đề sau tương đương : (1) f ánh xạ lồi (2) ∀x , y ∈ M : x ≤ y ⇒ f+/ ( x )( y − x ) ≤ f+/ ( y )( y − x ) (3) f ( y ) ≥ f ( x ) + f+/ ( x )( y − x ) , ∀x , y ∈ M x, y so sánh Chứng minh • (1) ⇒ ( ) Lấy x , y ∈ M : x ≤ y Do M tập lồi, K X -mở nên ∃ε > : x + t ( y − x ) ∈ M , ∀t ∈  0,1 + ε ) 67 ( ) Với A ∈ KY∗ , xét g (= t ) A  f x + t ( y − x )  g hàm số xác đònh    0,1 + ε ) , liên tục ( f, A liên tục ) lồi ( A tuyến tính f lồi ) Hơn nữa:  f  x + t ( y − x ) + h ( y − x ) − f  x + t ( y − x )     = A  h  h    Nên h → 0+ ta nhận được: g+/ = ( t ) A  f+/ x + t ( y − x ) ( y − x ) Ta có g (t + h) − g (t ) ( ) Theo bổ đề 8, từ tồn g+/ ( y ) , ∀t ∈  0,1 + ε ) , suy g+/ hàm tăng Khi đó, với g+/ ( ) ≤ g+/ (1) ⇒ f+/ ( x )( y − x ) ≤ f+/ ( y )( y − x ) • ( ) ⇒ ( 3) Lấy x , y ∈ M : x ≤ y A ∈ KY* ( ) ( ) Xét g (= t ) A  f x + t ( y − x ) − f+/ ( x ) x + t ( y − x )  , ∀t ∈  0,1   Khi đó, g xác đònh liên tục [0,1] Hơn nữa, f+/ ( x ) tuyến tính ta có:  f  x + t ( y − x ) + h ( y − x ) − f  x + t ( y − x )      /  A − f+ ( x )( y − x )  h h     / t A  f+/ x + t ( y − x ) ( y − x ) − f+/ ( x )( y − x )  Nên h → 0+ ta nhận được: g= +( )   g (t + h) − g (t ) ( ) Mặt khác, x + t ( y − x ) ≥ x  x + t ( y − x )  − x = t ( y − x ) nên theo mệnh đề (2) : ( ) f+/ x + t ( y − x ) t ( y − x )  ≥ f+/ ( x ) t ( y − x )  với tính tuyến tính đạo hàm ( ) theo nón , số t > nên f+/ x + t ( y − x ) ( y − x ) − f+/ ( x )( y − x ) ≥ ⇒ g+/ ( t ) ≥ Do g hàm tăng , từ g ( ) ≤ g (1) A ∈ KY* bất kì, ta (3) Nếu x ≥ y lí luận ta có mệnh đề (3) , với x , y ∈ M so sánh 68 nghóa mệnh đề (3) • ( 3) ⇒ (1) Với t ∈ ( 0,1) , x, y so sánh " y, x + t ( y − x ) " " x , x + t ( y − x ) " cặp so sánh p dụng vào mệnh đề (3) ( ( ) ) ( ( ta có: ) )  f ( y ) ≥ f x + t ( y − x ) + f / x + t ( y − x ) (1 − t )( y − x ) +   /  f ( x ) ≥ f x + t ( y − x ) + f+ x + t ( y − x ) ( −t )( y − x ) (a) (b) Khử số hạng đạo hàm phải (a) (b) , ta được: ( ) f (1 − t ) x + ty ≤ (1 − t ) f ( x ) + tf ( y ) , ∀t ∈ ( 0,1) Vậy f hàm lồi Đònh lý 14 : Giả sử X, Y không gian Banach có nón K X , KY M ⊂ X tập lồi K X -mở Khi đó, ánh xạ f : M → Y liên tục, có đạo hàm phải f+/ : M → L ( X , Y ) f+/ / ( x ) , ∀x ∈ M liên tục tồn đạo hàm phải cấp 2: thì: f ánh xạ lồi f+/ / xác đònh dương , nghóa f+/ / ( x )( u, u ) > 0, ∀u ∈ K X Chứng minh Lấy x, y ∈ M : x < y ∃ε > : x + t ( y − x ) ∈ M , ∀t ∈  0,1 + ε ) Do M tập lồi, K X -mở nên Đặt ( ) g= ( t ) f+/ x + t ( y − x ) ( y − x ) , ∀t ∈ 0,1 + ε ) hàm số xác đònh, liên tục nữa: g (t + h) − g (t ) h Khi = ( ( ) ) f+/ x + t ( y − x ) + h ( y − x ) ( y − x ) − f+/ x + t ( y − x ) ( y − x ) h ( ) h → 0+ ⇒ g+/ ( t= ) f+/ / x + t ( y − x ) ( y − x )( y − x ) 69 • Nếu f+/ / xác đònh dương điểm M g+/ ( t ) ≥ 0, ∀t theo bổ đề , từ g ( ) ≤ g (1) ⇒ f+/ ( x )( y − x ) ≤ f+/ ( y )( y − x ) Theo đònh lý 13 f ánh xạ lồi • Nếu f ánh xạ lồi theo mệnh đề (2) đònh lý 13: Với ( ) ( )( ) t, t / ∈  0,1 + ε ) : t < t / u ∈ K X ⇒ f+/ ( x + tu )  t / − t u  ≤ f+/ x + t / u  t / − t u      ( Nên g hàm tăng Với ) ( ) f+/ ( x + tu )( u ) ≤ f+/ x + t / u ( u ) ⇒ g ( t ) ≤ g t / Suy y= x + u , g+/ ( t ) ≥ suy : f+/ ( x + tu )( u )( u ) ≥ 0, ∀t ⇒ f+/ ( x )( u )( u ) ≥ 4.3.2 Điểm bất động ánh xạ u0 -lõm Đònh nghóa : Trên không gian Banach X có nón K, với u0 > θ , xét ánh xạ A : K → K , giả sử : Với x > θ ⇒ ∃α , β > : α u0 ≤ Ax ≤ β u0 với x ∈ K cho có α / , β / > : α / u0 ≤ x ≤ β / u0 Khi : • Nếu ∀t ∈ ( 0,1) ⇒ ∃δ > : A ( tx ) ≥ (1 + δ ) tAx • Nếu ∀t ∈ ( 0,1) ⇒ ∃δ / > : A ( tx ) ≤ − δ / tAx ( Đònh lý 15 : 70 ) A gọi u0 -lõm A gọi u0 -lồi Nếu A : K → K ánh xạ tăng u0 -lõm A có nhiều điểm bất động Chứng minh Giả sử x1 , x2 > hai điểm bất động A, A u0 -lõm nên: α u ≤ Ax1 =x1 ≤ β1u0 ∃α1 , β1 ,α , β > :  α u0 ≤ Ax2 =x2 ≤ β u0 α1 α α β u0 ≥ Ax2 = x2 β2 β2 β2 Từ x1 =Ax1 ≥ α1u0 = Tập D => {t / x1 ≥ tx2 } khác rỗng ( ví chứa t = α1 ) bò chặn ( ngược β2 lại D có dãy tn → ∞ ⇒ x2 ≤ θ , trái với giả thiết ) nên tồn tạ i t0 sup D > = Ta cần chứng minh t0 ≥ Thật vậy, giả sử ngược lại t0 ∈ ( 0,1) , A tăng u0 -lõm nên tồn số δ >0 x1 Ax1 ≥ A ( t0 x2 ) A ( t0 x2 ) ≥ (1 + δ ) t0 Ax2 = (1 + δ ) t0 x2 mà = cho : nên: x1 ≥ (1 + δ ) t0 x2 ⇒ (1 + δ ) t0 ∈ D ⇒ (1 + δ ) t0 ≤ sup D = t0 vô lí Vậy t0 ≥ ⇒ x1 ≥ t0 x2 ⇒ x1 ≥ x2 Vai trò x1 , x2 nên ta có bất đẳng thức ngược lại theo x1 = x2 Bây giờ, ta chứng minh tồn dãy đơn điệu hội tụ điểm bất động ánh xạ u0 -lõm Trước hết ta nhắc lại u0 -chuẩn khảo sát chương Trên không gian Banach thực X với nón K u0 > θ Đặt : Xu = { x ∈ X / ∃α > − α u0 ≤ x ≤ α u0 } Khi : 71 a Xu không gian X b Với x ∈ Xu , đặt R[ x= ] {α > / −α u ≤ x ≤ α u0 } ≠ ∅ x u= inf R[ x ] chuẩn Xu ta gọi u0 -chuẩn u 0 c Nếu K nón chuẩn ∃ M > : ∀x ∈ Xu ⇒ x ≤ M x (X u0 ) u0 , nữa, , u không gian Banach Đònh lý 16 : Nếu A : K → K ánh xạ tăng , u0 -lõm có điểm bất động dương x > θ với x0 > θ cho trước đặt = xn Axn −1 , ∀n ∈  Khi xn − x u0 → (n → ∞) Chứng minh Bước : Đặt Với t ∈ ( 0,1) v= tx = Avn , ∀n ∈  +1 Do A u0 -lõm nên ∃α , β > : α u0 ≤ Ax =x ≤ β u0 δ > cho : v0 ≤ (1 + δ ) v0 = (1 + δ ) tx = (1 + δ ) tAx ≤ A ( tx ) = v1  tx ≤ x v= Và A tăng nên : ∀n ∈  , đặt nên tồn v1 = Av0 ≤ Av1 = v2 ⇒ ⇒ ≤ +1 , ∀n ∈   v1 = Av0 ≤ Ax = x ⇒ ⇒ ≤ x , ∀n ∈  Dn => {t / tx ≤ } tập khác rỗng bò chặn pn sup Dn ≤ = Hơn nữa, Dn ⊂ Dn +1 ⇒ ( pn ) dãy tăng , bò chặn , hội tụ số p ≤ n Giả sử ∀n ∈  , p < ⇒ p ∈ ( 0,1) ⇒ ∃δ > : A ( px ) ≥ (1 + δ ) px pn = p hiển nhiên A ( pn x ) ≥ (1 + δ ) pn x 72 pn < p ta A ( pn x ) ≥ (1 + δ ) pn x có Từ đây, +1= Avn ≥ A ( pn x ) ≥ (1 + δ ) pn x ⇒ pn +1 ≥ (1 + δ ) pn ( (1 + δ ) p n ∈ Dn +1 ) Bằng qui nạp ta có: pn ≥ (1 + δ ) p0 → ∞ n mâu thuẫn với pn ≤ Vậy p = 1 Với t > ⇒ < t Đặt w= tx wn= Awn , ∀n ∈  +1 Bước 2: Do A u0 -lõm nên ∃α , β > : α tu0 ≤ tAx =tx =w0 ≤ β tu0 δ > cho :  w  (1 + δ ) (1 + δ ) w ≥ w1 ⇒ w ≤ tx = w x = Ax = A   ≥ Aw0 = 1 t t t  t  w= tx ≥ x (1) (2) Do A ánh xạ tăng nên từ (1) suy ( wn ) dãy giảm từ (2) bò chặn n ∀n ∈  , đặt En => {t / tx ≥ wn } tập khác rỗng bò chặn nên tồn tạ= i qn inf En ≥ Hơn nữa, En ⊂ En +1 ⇒ ( qn ) dãy giảm , bò chặn , hội tụ số n q ≥1 Giả sử q >1⇒  qx  (1 + δ ) ∈ ( 0,1) ⇒ ∃δ > : = = A  ≥ x Ax A ( qx ) q q  q  q x 1+ δ /  q  q 1+ δ t > q ⇒ A= ( qx ) A  t tx  ≥ t A ( tx ) ≥ qt A ( tx )   Suy A ( qx ) ≤ ( ) 73 A ( tx ) ≤ Hay t x , theo ∀n ∈  , qn ≥ q ta có 1+ δ qn x 1+ δ Từ đây, A ( qn x ) ≤ wn +1 = Awn ≤ A ( qn x ) ≤ Bằng qui nạp ta có:  qn q  qn ∈ En +1  x ⇒ qn +1 ≤ n  1+ δ 1+ δ  1+ δ  qn ≤ q0 (1 + δ ) n →0, mâu thuẫn với qn ≥ 1, ∀n ∈  Vậy q = Bước 3: chứng minh đònh lý Với x0 > θ , cho trước, đặt = xn Axn −1 , ∀n ∈  α u ≤ x = Ax ≤ β u0 ∃α , β ,α , β > :  α u0 ≤ x1 = Ax0 ≤ β u0 Do A ánh xạ u0 -lõm nên Suy ra: α0 α β β x ≤ β u0= α u0 ≤ x1 ≤ β u0= α u0 ≤ x β β α α Chọn hai số  α   β  t1 , t2 : < t1 < 1,  t2 > max 1,   β   α  Với t1 ∈ ( 0,1) t2 > , làm lại toán bước bước ta có: v0 = t1 x ≤ x1 ≤ t2 x = w0 Suy pn x ≤ ≤ xn +1 ≤ wn ≤ qn x , ∀n ∈  = = pn lim qn , ta suy Do − (1 − pn ) β u0 ≤ xn +1 − x ≤ ( qn − 1) β u0 lim n →∞ n →∞ điều phải chứng minh : xn − x u0 →0 (n → ∞) Nhận xét : Nếu đònh lý 16, có thêm giả thiết, K nón chuẩn từ xn − x ≤ M xn − x u , 74 ta dãy ( xn ) hội tụ x , không gian Banach X n 4.3.3 Tính chất vectơ riêng giá trị riêng Đònh lý 17 : Cho A : K → K ánh xạ u0 -lõm , tăng Khi đó: ( ) Nếu x1 = λ1 Ax1 , x2 = λ2 Ax2 x1 ∈ K \ {θ } λ1 ≤ λ2 x1 ≤ x2 Giả sử A có it hai giá trò riêng tập giá trò riêng A khoảng trường hợp sau: a K nón qui b K nón chuẩn ánh xạ A compact Chứng minh Do x1 > θ Ax1 ≥ θ ⇒ λ1 > λ2 > Do A ánh xạ u0 -lõm nên ∃α1 , β1 > : α1u0 ≤ Ax1 ≤ β1u0 ⇒ λ1α1u0 ≤ λ1 Ax1 =x1 ≤ λ1β1u0 Tương tự, Từ suy ∃α , β > : α u0 ≤ Ax2 ≤ β u0 ⇒ λ2α u0 ≤ λ2 Ax2 =x2 ≤ λ2 β u0 x2 ≥ λ2α 2= u0 Và kéo theo tập D= λ2α λα λ1β1u0 ≥ 2 x1 λ1β1 λ1β1 {t > / x ≥ tx1} ≠ ∅ Giả sử ∀t ∈ D ⇒ t < , D bò chặn nên tồn = t0 sup D t0 ∈ D ⇒ t0 < p dụng điều kiện u0 -lõm A điểm x1 thỏa λ1α1u0 ≤ x1 ≤ λ1β1u0 t0 ∈ ( 0,1) ⇒ ∃δ > : A ( t0 x1 ) ≥ (1 + δ ) t0 x1 75 x2 ≥ t0 x1 ⇒ Ax2 ≥ A ( t0 x1 ) ≥ (1 + δ ) t0 Ax1 Khi : Mà A tăng x2 ≥ λ2 λ λ + δ ) t0 x1 ⇒ (1 + δ ) t0 ∈ D ⇒ (1 + δ ) t0 ≤ t0 ( λ1 λ1 λ1 Vậy D có chứa số t ≥ x2 ≥ tx1 ≥ x1 Giả sử A có hai giá trò riêng α1 ,α (α < α1 ) x1 , x2 , gọi λ1 = α1 λ2 = α2 vô lí ứng với hai vectơ riêng ( chứng minh ) ⇒ λ1 < λ2 ⇒ x1 ≤ x2 Ta có: α ∈ α ,α1  giá trò riêng A ⇔ ∃ x ∈ x1 , x2 : Ax =α x ∈ λ1 , λ2  ⇔ x ∈ x1 , x2 điểm bất động ánh xạ λ A : x1 , x2 → K với λ = α Do A ánh xạ tăng λ > nên λ A ánh xạ tăng λ Ax1 ≥ λ1 Ax1 = x1 ( a ) x2 ( b ) λ Ax2 ≤ λ2 Ax2 = Và λ ∈ λ1 , λ2  ⇒  Từ đây: a Nếu K nón qui , áp dụng hệ đònh lý 12 ánh xạ tăng A với điều kiện (a) (b) có điểm bất động ( b Nếu A nón chuẩn A compact λ A x1 , x2 ) x1 , x2 tập compact tương đối , theo hệ đònh lý 12 ánh xạ tăng A với điều kiện (a) (b) có điểm bất động 76 x1 , x2 CHƯƠNG 5: PHẦN KẾT LUẬN Qua luận văn này, học tập trước hết phương pháp nghiên cứu khoa học, nắm vững hơn, rõ ràng sáng sủa kiến thức học hỏi qua cách trình bày cách hệ thống, chi tiết tương đối đầy đủ dạng nón , tính chất chúng, ảnh hưởng tính chất nón lên ánh xạ Nội dung luận văn trình bày chương chương Trong chương 3, nhận rõ chất khác dạng nón tác động lên dạng nón khác lên ánh xạ theo cách khác Qua nón liên hợp, tính đối ngẫu nón sinh nón chuẩn xác đònh mệnh đề 11 Nón chuẩn với nhiều cách nhận biết nhiều điều kiện cần đủ nó, thứ tự sinh nón chuẩn cho ta nhiều kết thú vò Nón qui nón hoàn toàn qui cách tiếp cận tính chất Giải tích thực với thứ tự thông thường  Phần cuối chương mệnh đề 14 nói tồn điểm bất động ánh xạ F : a, b → a, b theo nhiều dạng nón khác nhau, tồn dựa vào chất nón nhiều dựa vào chất ánh xạ Trong chương 4, ta nghiên cứu nhiều dạng khác ánh xạ nh xạ tuyến tính dương , cho phép mở rộng từ không gian lên không gian lớn thành ánh xạ có tính dương tuyến tính , có tính liên tục Một lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt, ánh xạ u0 -dương , qua đònh lý Krein – Rutman , xác đònh nhiều tính chất vectơ riêng giá trò riêng nh xạ tăng hai không gian Banach có thứ tự có tập điểm gián đoạn, giống Giải tích thực tập không đếm ta tập thưa Các mối tương quan tính đơn điệu ánh xạ “dấu” đạo hàm bậc Giải tích thực, ta gặp lại phần có Điểm bất động ánh xạ tăng , qua nguyên lý Entropy nghiên cứu 77 tầm ảnh hưởng rộng lớn hơn, có nhiều ứng dụng toán tìm nghiệm tuần hoàn có chu kì 2π ví dụ Cũng ánh xạ tuyến tính dương ánh xạ tăng , với ánh xạ lồi ta gặp lại tính chất quen thuộc Giải tích thực, tương quan tính lồi ánh xạ “dấu” đạo hàm bậc Sự tồn không điểm bất động ánh xạ u0 -lõm nghiên cứu đồng thời với phương pháp xấp xỉ điểm bất động dương dãy đơn điệu tăng Các tính chất vectơ riêng giá trò riêng ánh xạ u0 -lõm phần nghiên cứu cuối luận văn Rõ ràng không nghi ngờ nữa, phương pháp Krein – Rutman đònh nghóa thứ tự nhờ nón dễ áp dụng có nhiều ứng dụng Lý thuyết không gian với thứ tự sinh nón ánh xạ tác động chúng xây dựng hoàn chỉnh tìm ứng dụng đa dạng Tin học lý thuyết, Kinh tế, Lý thuyết tối ưu, việc giải phương trình vi phân tích phân … 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan đức Chính Giải tích hàm, tập Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp , 1978 [2] Lê hoàn Hóa Giải tích phi tuyến [3] Nguyễn bích Huy Giải tích phi tuyến [4] K Deimling Nonliear Functional Analysis, Springer , 1985 [5] L Gasinski, N.S Papageorgiou Nonlinear Analysis , Chapman & Hall / CRC , 2005 [6] D Guo, V Lakshmikantham Nonlear problems in abstract cones ,Academic Press, 1988 [7] M.A Krasnoselskii Positive solutions of operator equations, Groningen, Noordhoff, 1964 [8] M Krein , A Rutman Linear Operators living invariant a cone, Usp Math Nauk , 1948 79 [...]... tiếp lên nón K • Sau cùng, tất nhiên không thể bỏ qua ánh xạ tăng và điểm bất động , theo đó ta cũng thấy được rằng: Nếu nón K “ đủ tốt “ thì có thể giảm thiểu nhiều yêu cầu đối với ánh xạ F, trong việc nghiên cứu về sự tồn tại của điểm bất động 13 3.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón – nón liên hợp 3.1.1 Nón và thứ tự từng phần Đònh nghóa: • Giả sử X là không gian Banach và K là tập con đóng khác rỗng sao...  r 0 r  x   Vậy K là nón sinh p n, với X L= • Tuy nhiê = ( J ) và K L+p ( J ) khi đó: mọi x ∈ X ⇒ x + = max { x ,0} , x − = max {− x ,0} ∈ K và x = x + − x _ nên K là nón sinh và 0 ta cũng biết K = ∅ Mệnh đề 6 : Giả sử X là không gian Banach và quan hệ thứ tự ≤ , xác đònh bởi nón K, khi đó, với B B= = (θ ,1) và C K  B thì các mệnh đề sau đây là tương đương : a K là nón sinh b Tồn tại số ρ > 0 :... ∈ K và u , v ≤ M x  với M =  r  19 3.2.2 Các điều kiện cần và đủ của nón sinh Mệnh đề 5 : đó: Giả sử X là không gian Banach và quan hệ thứ tự ≤ , xác đònh bởi nón K, khi 0 Nếu K ≠ ∅ thì K là nón sinh Điều ngược lại không đúng Chứng minh 0 • Lấy x0 ∈ K ( ≠ ∅ ) và r > 0 : B ( x , r ) ⊂ K Với mỗi x ∈ X \ {θ } ta có x0 + Từ λ K ⊂ K , ∀λ > 0 ⇒ = x rx ∈ B ( x, r ) ⊂ K x x  rx  x  x0 + , x ∈ K và. .. chứng minh 3.2 Nón sinh 3.2.1 Định nghĩa và tính chất Đònh nghóa : Nón K trong không gian Banach X gọi là nón sinh nếu K − K =, X và là nón toàn phần nếu K − K = X Hiển nhiên, nếu K là nón sinh thì K là nón toàn phần ( K − K = X ) và theo * * mệnh đề 2 thì nón liên hợp K cùng là một nón trên X Mệnh đề 4 : Nếu K là nón sinh thì tồn tại số M > 0 sao cho: ∀x ∈ X ⇒ ∃ u, v ∈ K : x = u − v và u , v ≤ M x... ∈B−K  y y y  Vậy chuẩn trên X là bán đơn điệu do đó K là nón chuẩn Mệnh đề 11 : 26 Cho X là không gian Banach, K là nón trên X có nón liên hợp K * , khi đó ta có: (a) K là nón sinh khi và chỉ khi K * là nón chuẩn (b) K là nón chuẩn khi và chỉ khi K * là nón sinh Chứng minh (a) • Nếu K là nón sinh thì có số δ > 0 : δ B ⊂ C −= C với B B (θ= ,1) và C B  K , giả sử f (x) ⇒ = B⇒ x f , g ∈ X * : 0 ≤ f ≤... f (x ) ≥α n i =1 p i n p n p µΩ → ∞ , Vậy K không làm đầy được 35 vô lí thì: 3.6 Nón và điểm bất động của ánh xạ tăng Trong phần này, X là không gian Banach có thứ tự ≤ , xác đònh bởi nón K Ta sẽ khảo sát mối liên hệ giữa các tính chất của nón K vàsự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng F:D⊂ X → X Đònh nghóa : • nh xạ F : D ⊂ X → X gọi là: `  Tăng nếu ∀x , y ∈ X : x < y ⇒ Fx ≤ Fy  Tăng thực sự... một thứ tự trên X và gọi là nón K, cũng có thể thêm vào K, một số tính chất khác của  + để giải quyết được các vấn đề đang nghiên cứu, khi đó, ta có nón đặc biệt hơn, trong phần này: • Trước hết, ta xét sự tương quan của các nón đặc biệt đó • Nón liên hợp K * là một tập con của không gian liên hợp X * , dù nhiều trường hợp nó chưa phải là nón nhưng các tính chất của nó có ảnh hưởng trực tiếp lên nón. .. chặn , mâu thuẫn 3.4 Nón chính qui – nón Minihedral 3.4.1 Nón chính qui Đònh nghóa : Cho X là không gian Banach có thứ tự xác đònh bởi nón K khi đó : • K gọi là nón chính qui ( regular) nếu mọi dãy tăng và bò chặn trên đều hội tụ • K gọi là hoàn toàn chính qui ( fully regular ) nếu mọi dãy tăng và bò chặn ( theo chuẩn ) thì hội tụ Mệnh đề 12 : Giả sử trên không gian Banach X có nón K, khi đó ta có dây... = →0 n+2 Vậy K không là nón chuẩn ( ( ) 30 )  Do max { x , y} ∉ X nên K không là minihedral và cũng không là nón sinh , tuy nhiên, K là nón toàn phần Ví dụ 2: • Cho X = Lp ( J ) và K = L+p = { x ∈ X / x ≥ 0 h.k.n trên J} thì K là minihedral mạnh, minihedral và theo đònh lý Beppo Levi ( đònh lý hội tụ đơn điệu ) thì K là nón chuẩn , {( x ) / x ≥ 0, ∀i ∈ } và K • Cho X = c0 không gian các dãy hội tụ=... là nón làm đầy được 3.5.2 Ánh xạ tuyến tính dương Đònh nghóa :  f ∈ K * gọi là thực sự dương nếu f > 0 trên K \ {θ }  f ∈ K ∗ gọi là dương đều nếu tồn tại λ > 0 : f ( x ) ≥ λ x , ∀x ∈ K 32 Mệnh đề 13 : Cho X là không gian Banach với không gian liên hợp X * , K là nón trên X và có nón liên hợp K * , khi đó ta có: (a) Nếu X khả ly thì tồn tại ánh xạ thực sự dương f ∈ K ∗ (b) Nón K làm đầy được khi và ... luận văn Chúng nêu kết quả, đònh lý chứng minh đầy đủ tài liệu tương ứng sử dụng luận văn Chương : Không gian với thứ tự sinh nón Chúng trình bày đònh nghóa nón quan hệ thứ tự phần sinh nón Đồng... 13 3.1 Nón thứ tự sinh nón – nón liên hợp 14 3.1.1 Nón thứ tự phần 14 3.1.2 Nón liên hợp 15 3.2 Nón sinh 18 3.2.1 Định nghĩa tính chất 18 3.2.2 Các điều...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ BẢO XUN KHƠNG GIAN VỚI THỨ TỰ SINH BỞI NĨN VÀ CÁC ÁNH XẠ GIỮA CHÚNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã