Không gian giả meetric nón và sự tồn tại điểm giả bất động của ánh xạ cyclic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ ÁNH TUYẾT KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLIC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Không gian giả mêtric nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . 5 1.2 Nón trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Sự tồn tại điểm giả bất động của ánh xạ cyclic trong không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của ánh xạ cyclic co kiểu Banach trong không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 2.2 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Kannan trong không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng quan trọng trong Toán học và nhiều ngành kĩ thuật khác. Kết quả quan trọng đầu tiên phải kể đến trong lý thuyết điểm bất động là nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach (1922). Người ta đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều lớp không gian khác nhau. Một trong những hướng mở rộng đó là đưa ra khái niệm ánh xạ co cyclic và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của nó. Năm 2003, Krik và các cộng sự [8] đã mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach cho lớp ánh xạ thỏa điều kiện co cyclic. Sau đó, nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co cyclic trong không gian mêtric. Năm 2007, Huang Long-Guang và Zhang Xian [6] đã thay giả thiết hàm mêtric nhận giá trị trong tập các số thực không âm bởi nhận giá trị trong một nón định hướng trong không gian Banach và đưa ra khái niệm không gian mêtric nón. Sau đó, nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu và đạt nhiều kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric nón. Trong [1], Lê Thị Dung đã định nghĩa không gian giả mêtric nón và nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động trong không gian này. Một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là các kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric có còn đúng cho trường hợp không gian giả mêtric nón nữa hay không? Để tập dượt nghiên cứu khoa học, để tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động chúng tôi tiếp cận vấn đề này để nghiên cứu các ánh xạ cyclic và các điều kiện để ánh xạ cyclic tồn tại điểm bất động trong không gian giả 2 mêtric nón, tìm cách mở rộng một số kết quả về điểm giả bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric cho không gian giả mêtric nón. Với mục đích đó luận văn được trình bày thành hai chương. Chương 1. Không gian giả mêtric nón Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của tôpô đại cương, giải tích hàm có liên quan đến nội dung của luận văn. Trình bày khái niệm, ví dụ và các tính chất cơ bản của nón trong không gian Banach. Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm, ví dụ về không gian giả mêtric nón và chứng minh tính chất tôpô của không gian giả mêtric nón mà chúng ta cần dùng trong chương 2. Chương 2. Sự tồn tại điểm giả bất động của ánh xạ cyclic trong không gian giả mêtric nón Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này đầu tiên chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ cyclic co và co suy rộng kiểu Banach trong không gian giả mêtric nón, đó là các Định lí 2.1.4, Hệ quả 2.1.5 và Hệ quả 2.1.6. Sau đó, chúng tôi đưa ra một vài định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Kannan trong không gian giả mêtric nón, đó là các Định lí 2.2.1, 2.2.2, 2.2.7, các Hệ quả 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5. Các kết quả này là sự mở rộng của một số kết quả trong các tài liệu [5], [7], [8], [9], [10]. Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của Thầy giáo, PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Đại Học Vinh. Tác giả xin chân thành cảm ơn các quý Thầy, Cô giáo Tổ Giải tích trong Khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. 3 Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học khoá 20, chuyên ngành Giải tích đã giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Tác giả 4 CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN Trong chương này, đầu tiên nhắc lại một số khái niệm cơ bản của tôpô đại cương, giải tích hàm có liên quan đên smooij dung của luận văn. Trình bày khái niệm, ví dụ và các tính chất cơ bản của nón trong không gian Banach. Sau đó trình bày khái niệm, ví dụ về không gian giả meetric nón và chứng minh tính chất tôpô của không gian giả meetric nón cần dùng trong chương 2. 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn. 1.1.1 Định nghĩa. ([4]) Cho tập hợp X. Họ T các tập con của X được gọi là tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện (T 1 ) ∅ và X ∈ T ; (T 2 ) Nếu G i ∈ T , i ∈ I thì  i∈I G i ∈ T ; (T 3) Nếu G 1 , G 2 ∈ T thì G 1  G 2 ∈ T . Tập hợp X cùng với tôpô trên T nó được gọi là không gian tôpô và kí hiệu là (X, T ) hay đơn giản hơn là X. Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô. Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở. Giả sử A ⊂ X. Tập A được gọi là đóng nếu X \ A là mở. 1.1.2 Định nghĩa. ([4]) Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊂ A. Cho không gian tôpô X, x ∈ X và U(x) là họ tất cả các lân cận của x. Họ B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ U(x) tồn tại V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U . 1.1.3 Định nghĩa. ([3]) Dãy {x n } trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n 0 ∈ N sao cho x n ∈ U với mọi n ≥ n 0 . Khi đó, ta viết x n → x hoặc lim n→∞ x n = x. 1.1.4 Định nghĩa. ([4]) Không gian tôpô X được gọi là thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) có lực lượng đếm được. Không gian tôpô X được gọi là T 2 - không gian hay không gian Haus- dorff nếu hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x = y tồn tại các lân cận tương ứng U x , U y của x, y sao cho U x ∩ U y = ∅. Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội tụ tới một điểm duy nhất. 1.1.5 Định nghĩa. ([4]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y . ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f(x), tồn tại lân cận U của x sao cho f(U) ⊂ V . ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X. 1.1.6 Định lý. ([4]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y . Khi đó các điều kiện sau đây tương đương 1. f liên tục trên X 2. Nếu E là tập mở trong Y thì f −1 (E) mở trong X 3. Nếu E là tập đóng trong Y thì f −1 (E) đóng trong X 6 1.1.7 Định nghĩa. ([3]) Giả sử X là tập khác rỗng và d : X × X −→ R. Hàm d được gọi là mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau: (i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ; (ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X; (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X. Tập hợp X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký hiệu (X, d) hay đơn giản hơn là X. 1.1.8 Định nghĩa. ([3]) Cho X là không gian mêtric. Một dãy {x n } trong X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho với mọi n, m ≥ n 0 thì d(x n , x m ) < ε. Mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy. Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Tập con A ⊂ X được gọi là tập đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh, nói cách khác mọi dãy Cauchy trong A đều hội tụ tới điểm thuộc A. Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóng của một không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ. 1.1.9 Định nghĩa. ([3]) Cho X là không gian mêtric. Tập A ⊂ X được gọi là tập compăc nếu mọi dãy {x n } trong A đều có một dãy con {x n k } hội tụ đến một điểm thuộc A. 1.1.10 Định nghĩa. ([3]) ánh xạ f : (X, d) → (Y, ρ) từ không gian mêtric (X, d) vào không gian mêtric (Y, ρ) được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại α ∈ [0, 1] sao cho ρ(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y) với mọi x, y ∈ X. 1.1.11 Định lý. ([3]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, f : X → X là ánh xạ co từ X vào chính nó. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm x ∗ ∈ X sao cho f (x ∗ ) = x ∗ . Điểm x ∗ có tính chất f(x ∗ ) = x ∗ được gọi là điểm bất động của ánh xạ f. 7 1.1.12 Định nghĩa. Giả sử X là tập khác rỗng và ánh xạ d : X × X → R (x, y) → d(x, y) ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách hay là giả mêtric trên X nếu d thỏa mãn 3 tiên đề sau đây với bất kì x, y, z thuộc vào X i) 0 ≤ d(x, y), d(x, y) = 0 nếu x = y; ii) d(x, y) = d(y, x) iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Tập X cùng với giả khoảng cách d được gọi là không gian giả mêtric và kí hiệu (X, d). 1.1.13 Định nghĩa. ([3]) Giả sử E là không gian vectơ trên trường K = R hoặc K = C. Hàm p : E −→ R được gọi là chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện sau: (i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 ⇔ x = 0; (ii) p(λx) = |λ|p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K; (iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E. Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x ∈ E. Ta thường kí hiệu chuẩn của x là x. Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là không gian định chuẩn. 1.1.14 Mệnh đề. ([3]) Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức d(x, y) = x − y, ∀x, y ∈ E xác định một mêtric trên E. Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn. Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach. 8 1.1.15 Định lý. ([3]) Nếu E là không gian đinh chuẩn thì ánh xạ chuẩn: x → x, ∀x ∈ E; phép cộng: (x, y) → x + y, ∀(x, y) ∈ E × E; và phép nhân với vô hướng: (λ, x) → λx, ∀(λ, x) ∈ K × E là các ánh xạ liên tục . 1.1.16 Định lý. ([3]) Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó, với mỗi a ∈ E và với mỗi λ ∈ K, λ = 0 các ánh xạ x → x + a, x → λx, ∀x ∈ E là các phép đồng phôi E lên E. 1.1.17 Định nghĩa. ([4]) Cho tập hợp X và ≤ là quan hệ hai ngôi trên X. Quan hệ ≤ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau: (i) x ≤ x với mọi x ∈ X; (ii) Từ x ≤ y và y ≤ x suy ra x = y với mọi x, y ∈ X; (iii) x ≤ y; y ≤ z suy ra x ≤ z với mọi x, y, z ∈ X. Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận và kí hiệu (X, ≤) hoặc X. 1.1.18 Định nghĩa. ([4]) Giả sử ≤ là một quan hệ hai ngôi trên X và A ⊂ X. 1) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên (tương ứng cận dưới) của A nếu a ≤ x (tương ứng x ≤ a) với mọi phần tử a ∈ A. 2) Phần tử x ∈ X được gọi là cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng) của A nếu x cũng là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y cũng là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A thì x ≤ y (tương ứng y ≤ x). Khi đó, ta kí hiệu x = sup A ( tương ứng x = inf A ). 9 [...]... 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN Chương này đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Banach và các ánh xạ cyclic co kiểu Kannan trong không gian giả mêtric nón Trong chương này ta luôn giả thiết (X, d) là không gian giả mêtric nón (nói gọn là X ) với giả thiết mêtric nón d nhận giá trị trong nón P của không gian. .. điểm giả bất động Hơn nữa, nếu x và y là hai điểm giả bất động của f thì d(x, y) = 0 Chứng minh Hệ quả 2.1.6 là trường hợp đặc biệt của Hệ quả 2.1.5 khi lấy p = 1 và A1 = X 2.2 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Kannan trong không gian giả mêtric nón Mục này đưa ra một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ cyclic thoả mãn điều kiện co kiểu Kannan trong không. .. gian Banach thực E với intP = ∅ và ≤ cùng là hai quan hệ trên E được xác định bởi P 2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Banach trong không gian giả mêtric nón Mục này chứng minh một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ thoả mãn điều kiện co cyclic 2.1.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian giả mêtric nón và f : X → X 1) ánh xạ f được gọi là co kiểu Banach... = α ∈ [0, 1) với mọi t ∈ P 3) Nếu X là không gian mêtric nón thì điểm giả bất động chính là điểm bất động Nói cách khác, điểm bất động là trường hợp đặc biệt của điểm giả bất động 2.1.3 Định nghĩa ([8]) Cho A1 , A2 , , Ap , Ap+1 = A1 là các tập khác rỗng của không gian giả mêtric nón X và ánh xạ T : p i=1 Ai → p i=1 Ai ánh xạ T được gọi là p -cyclic (nói gọn là cyclic) nếu T (Ai ) ⊂ Ai+1 với mọi i =... Kannan trong không gian giả mêtric nón Các định lí này là sự mở rộng của một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric nón đã được trình bày trong các tài liệu tham khảo [5], [7], [8], [9] và [10] 2.2.1 Định lý Cho {Ai }p là họ các tập con đóng, khác rỗng của không i=1 gian giả mêtric nón đầy đủ X và T : p i=1 Ai → p i=1 Ai , là ánh xạ cyclic tức là T (Ai... nếu T là ánh xạ p cyclic và T có điểm giả bất động x thì x ∈ p i=1 Ai 2.1.4 Định lý Giả sử X là không gian giả mêtric nón đầy đủ,A1 , A2 , , Ap là các tập con đóng khác rỗng trong X, Ap+1 = A1 và f : p i=1 Ai → p i=1 Ai là ánh xạ cyclic sao cho tồn tại hàm g : P → [0, 1) thỏa mãn d(f x, f y) ≤ g(d(x, y))d(x, y) (2.1) với mọi x ∈ Ai , y ∈ Ai+1 với mọi i = 1, 2, , p Khi đó, nếu g là hàm không giảm, tức... cận U của a 17 tồn tại c ∈ intP sao cho B(a, c) ⊂ U Từ đó suy ra tồn tại số tự nhiên nc sao cho xn ∈ B(a, c) ⊂ U với mọi n ≥ nc Do đó, xn → a 1.3.9 Mệnh đề ([1]) Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, a ∈ X c và c ∈ intP Khi đó, họ U = {B(a, n ) : n = 1, 2, } là một cơ sở lân cận tại điểm a, do đó X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất Chứng minh Giả sử U là lân cận bất kì của điểm. .. nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho d(f x, f y) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ X, ở đây, ta viết f x thay cho f (x) với mọi x ∈ X 2) ánh xạ f được gọi là co suy rộng nếu tồn tại hàm g : P → [0, 1] sao cho d(f x, f y) ≤ g(d(x, y))d(x, y), ∀x, y ∈ X 20 3) Điểm x ∈ X được gọi là điểm giả bất động của f nếu d(x, f x) = 0 2.1.2 Nhận xét 1) Nếu f là ánh xạ co thì f liên tục 2) ánh xạ co là trường hợp đặc biệt của ánh xạ. .. d(x, a) = c Từ đó y ∈ B(a, c) và do đó B(x, c ) ⊂ B(a, c) Vậy B(a, c) ∈ T c) Lấy x, y ∈ X sao cho x = y và d(x, y) = 0 Khi đó mọi hình cầu B(x, c) đều chứa y Từ đó suy ra X không là T1 - không gian Chú ý Nếu X là không gian giả mêtric nón mà d(x, y) > 0 với mọi x = y thì X là không gian mêtric nón Do đó, X là T2 - không gian Từ đây về sau, khi nói tới không gian giả mêtric nón X ta hiểu tôpô trên X là... Từ đó ta suy ra (1 − a)d(x∗ , T x∗ ) t 1 t, ∀t ∈ intP Vì a ∈ [0, 2 ] nên từ bất đẳng thức cuối cùng và Bổ đề 1.2.6.viii) ta có d(x∗ , T x∗ ) = 0 tức là x∗ là điểm giả bất động của T Theo chứng minh trên thì T xn = T xn+1 → x∗ Ta chứng minh x∗ là điểm giả bất động duy nhất của T Thật vậy, giả sử y ∗ cũng là điểm giả bất động của T nghĩa là d(y ∗ , T y ∗ ) = 0 Khi đó, T x∗ ∈ Fx∗ , T y ∗ ∈ Fy∗ Do đó, . về không gian giả mêtric nón và chứng minh tính chất tôpô của không gian giả mêtric nón mà chúng ta cần dùng trong chương 2. Chương 2. Sự tồn tại điểm giả bất động của ánh xạ cyclic trong không. 9 1.3 Không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. Sự tồn tại điểm giả bất động của ánh xạ cyclic trong không gian giả mêtric nón. hiểu về lý thuyết điểm bất động chúng tôi tiếp cận vấn đề này để nghiên cứu các ánh xạ cyclic và các điều kiện để ánh xạ cyclic tồn tại điểm bất động trong không gian giả 2 mêtric nón, tìm cách mở