M ỤC LỤC
4.3.3. Tính chất của vectơ riêng và giá trị riêng
Định lý 17 :
Cho A K: →Klà ánh xạ u0-lõm , tăng. Khi đĩ:
1. Nếu x1 =λ1Ax x1, 2 =λ2Ax x2 ( 1∈K\{ }θ ) và λ λ1≤ 2 thì x1≤x2
2. Giả sử A cĩ it nhất hai giá trị riêng thì tập các giá trị riêng của A là một khoảng trong các trường hợp sau:
a. K là nĩn chính qui b. K là nĩn chuẩn và ánh xạ A compact Chứng minh 1. Do x1>θ và Ax1≥ ⇒θ λ1 >0 và do đĩ λ2 >0 Do A là ánh xạ u0-lõm nên 1, 1 0 : 1 0u Ax1 1 0u 1 1 0u 1Ax1 x1 1 1 0u α β α β λ α λ λ β ∃ > ≤ ≤ ⇒ ≤ = ≤ Tương tự, ∃α β2, 2 >0 :α2 0u ≤Ax2 ≤β2 0u ⇒λ α2 2 0u ≤λ2Ax2 =x2 ≤λ β2 2 0u Từ đĩ suy ra 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 0 1 1 1 1 1 x λ α u λ α λ βu λ α x λ β λ β ≥ = ≥ Và kéo theo tập D= >{t 0 /x2 ≥tx1}≠ ∅
Giả sử ∀ ∈ ⇒ <t D t 1, khi đĩ D bị chặn trên nên tồn tại
0 sup 0 0 1
t = D và do t ∈ ⇒ <D t
Aùp dụng điều kiện u0-lõm của A
Mà A tăng và x2 ≥t x0 1⇒Ax2 ≥A t x( ) (0 1 ≥ +1 δ)t Ax0 1. Khi đĩ : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 x λ δ t x λ δ t D λ δ t t λ λ λ ≥ + ⇒ + ∈ ⇒ + ≤ vơ lí
Vậy trong D cĩ chứa số t≥1 và x2 ≥tx1 ≥x1
2. Giả sử A cĩ hai giá trị riêng α α α1, 2 ( 2 <α1) ứng với hai vectơ riêng
1, 2 x x , gọi 1 2 1 2 1 2 1 2 1 và 1 x x λ λ λ λ α α = = ⇒ < ⇒ ≤ ( chứng minh trên )
Ta cĩ: α∈ α α2, 1 là một giá trị riêng của A ⇔ ∃ ∈x x x1, 2 :Ax=αx
1, 2
x x x
⇔ ∈ là điểm bất động của ánh xạ λA x x: 1, 2 K với λ 1 λ λ1, 2
α → = ∈
Do A là ánh xạ tăng và λ>0 nên λA cũng là ánh xạ tăng
Và do ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 , Ax Ax x a Ax Ax x b λ λ λ λ λ λ λ ≥ = ∈ ⇒ ≤ = Từ đây:
a. Nếu K là nĩn chính qui , áp dụng hệ quả 2 của định lý 12 thì ánh xạ tăng A
cùng với các điều kiện (a) và (b) cĩ điểm bất động trong x x1, 2 b. Nếu A là nĩn chuẩn và A compact thì λA x x( 1, 2 ) là tập compact
tương
đối , theo hệ quả 1 của định lý 12 thì ánh xạ tăng A cùng với các điều kiện (a) và (b) cĩ điểm bất động trong x x1, 2
CHƯƠNG 5: PHẦN KẾT LUẬN
Qua luận văn này, chúng tơi học tập được trước hết là các phương pháp nghiên cứu khoa học, nắm vững hơn, rõ ràng hơn và sáng sủa hơn các kiến thức đã được học hỏi và qua đĩ bằng cách cĩ thể được chúng tơi trình bày một cách hệ thống, chi tiết và tương đối đầy đủ về các dạng nĩn , các tính chất của chúng, và ảnh hưởng các tính chất của nĩn lên các ánh xạ
Nội dung chính của luận văn này được trình bày tại chương 3 và chương 4
Trong chương 3, chúng tơi nhận rõ bản chất khác nhau của mỗi dạng nĩn và tác động của nĩ lên các dạng nĩn khác cũng như lên các ánh xạ theo mỗi cách khác nhau
Qua nĩn liên hợp, tính đối ngẫu giữa nĩn sinh và nĩn chuẩn được xác định trong mệnh đề 11
Nĩn chuẩn với nhiều cách nhận biết bởi nhiều điều kiện cần và đủ của nĩ, thứ tự sinh bởi nĩn chuẩn cũng cho ta nhiều kết quả thú vị hơn
Nĩn chính qui và nĩn hồn tồn chính qui là một cách tiếp cận các tính chất cơ bản của Giải tích thực với thứ tự thơng thường trên
Phần cuối cùng của chương 3 là mệnh đề 14 nĩi về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ F a b: , → a b, theo nhiều dạng nĩn khác nhau, cĩ vẻ như sự tồn tại này dựa vào bản chất của nĩn nhiều hơn là dựa vào bản chất của ánh xạ
Trong chương 4, ta nghiên cứu về nhiều dạng khác nhau của ánh xạ
Aùnh xạ tuyến tính dương , cho phép chúng ta mở rộng được từ khơng gian con lên khơng gian lớn hơn thành một ánh xạ cũng cĩ tính dương và tuyến tính , đơi khi cịn cĩ cả tính liên tục . Một lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt, các ánh xạ u0-dương , qua định lý Krein – Rutman , xác định nhiều tính chất về vectơ riêng và giá trị riêng
Aùnh xạ tăng trên hai khơng gian Banach cĩ thứ tự cĩ tập các điểm gián đoạn, cũng giống như trong Giải tích thực là tập khơng quá đếm được thì ở đây ta được một tập thưa. Các mối tương quan giữa tính đơn điệu của ánh xạ và “dấu” của đạo hàm bậc 1 trong Giải tích thực, ta cũng gặp lại ở phần này
tầm ảnh hưởng rộng lớn hơn, cĩ nhiều ứng dụng hơn và bài tốn tìm nghiệm tuần hồn cĩ chu kì 2π là một ví dụ
Cũng như các ánh xạ tuyến tính dương và ánh xạ tăng , với ánh xạ lồi ta cũng gặp lại tính chất quen thuộc trong Giải tích thực, đĩ là sự tương quan giữa tính lồi của ánh xạ và “dấu” của đạo hàm bậc 2 . Sự tồn tại khơng quá một điểm bất động của ánh xạ u0-lõm cũng được nghiên cứu đồng thời với phương pháp xấp xỉ điểm bất động dương bằng một dãy đơn điệu tăng
Các tính chất của vectơ riêng và giá trị riêng của ánh xạ u0-lõm là phần nghiên cứu cuối cùng trong luận văn này
Rõ ràng khơng cịn nghi ngờ gì nữa, phương pháp của Krein – Rutman định nghĩa thứ tự nhờ một nĩn là dễ áp dụng và cĩ nhiều ứng dụng hơn cả. Lý thuyết về các khơng gian với thứ tự sinh bởi nĩn và các ánh xạ tác động giữa chúng đã được xây dựng khá hồn chỉnh và tìm được các ứng dụng đa dạng trong Tin học lý thuyết, Kinh tế, Lý thuyết tối ưu, trong việc giải các phương trình vi phân và tích phân …
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phan đức Chính
Giải tích hàm, tập 1. Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp , 1978
[2] Lê hồn Hĩa
Giải tích phi tuyến 1. [3] Nguyễn bích Huy Giải tích phi tuyến [4] K. Deimling
Nonliear Functional Analysis, Springer , 1985 [5] L. Gasinski, N.S. Papageorgiou
Nonlinear Analysis , Chapman & Hall / CRC , 2005 [6] D. Guo, V. Lakshmikantham
Nonlear problems in abstract cones ,Academic Press, 1988 [7] M.A. Krasnoselskii
Positive solutions of operator equations, Groningen, Noordhoff, 1964
[8] M. Krein , A. Rutman
Linear Operators living invariant a cone, Usp Math Nauk , 1948