Phân bố giá trị của ánh xạ phân hình từ đa tạp kahler vào đa tạp xạ ảnh và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thị Nhung PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CA NH X PHN HèNH ă T A TP KAHLER VÀO ĐA TẠP XẠ ẢNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thị Nhung PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CỦA ÁNH XẠ PHN HèNH ă T A TP KAHLER VO A TP XẠ ẢNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 9.46.01.05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Sĩ Đức Quang Hà Nội, 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án mới, cơng bố tạp chí Tốn học có uy tín giới Các kết nêu luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Nhung ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành quan tâm hướng dẫn tận tình PGS.TS Sĩ Đức Quang Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Thầy, cảm ơn Thầy bảo, sẻ chia tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn đến GS.TSKH Hà Huy Khối, người định hướng khuyến khích tơi nghiên cứu khoa học, tạo nhiều hội để tơi học tập giao lưu với nhà khoa học hướng nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi dành cho Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô anh chị em seminar Hình học phức Bộ mơn Hình học Tô pô, đặc biệt TS Phạm Đức Thoan TS Lê Ngọc Quỳnh, động viên, trợ giúp trao đổi khoa học hữu ích q trình tơi học tập nghiên cứu Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Trường Đại học Thăng Long, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, anh chị em đồng nghiệp Bộ mơn Tốn giúp đỡ, quan tâm chia sẻ để tơi ln có điều kiện thuận lợi suốt trình học nghiên cứu sinh Cuối cùng, xin bày tỏ lịng biết ơn từ tận đáy lịng đến gia đình người thân ln bên tơi, khích lệ động viên tơi, chia sẻ khó khăn để tơi hồn thành luận án Tác giả iii MỤC LỤC Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Danh mục quy ước kí hiệu vi MỞ ĐẦU 1 TỔNG QUAN QUAN HỆ SỐ KHUYẾT KHƠNG LẤY TÍCH PHÂN CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH GIAO VỚI HỌ SIÊU MẶT DƯỚI TỔNG QUÁT 18 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 19 2.2 Định lý quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình 27 VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CĨ CÙNG ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ SIÊU PHẲNG 3.1 53 Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu họ siêu phẳng vị trí tổng quát 54 3.2 Định lý cho ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng 57 SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA BA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CĨ CÙNG ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT SỐ SIÊU PHẲNG 4.1 67 Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình từ hình cầu họ siêu phẳng vị trí tổng quát 68 4.2 Định lý phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng 73 iv Kết luận kiến nghị 92 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 94 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO v DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong toàn luận án, thống số kí hiệu sau • Pn (C): khơng gian xạ ảnh phức n− chiều • z = |z1 |2 + · · · + |zm |2 1/2 với z = (z1 , , zm ) ∈ Cm • B(r) := {z ∈ Cm : z < r} hình cầu mở bán kính r Cm • S(r) := {z ∈ Cm : z = r} mặt cầu bán kính r Cm √ −1 (∂ − ∂): toán tử vi phân • d = ∂ + ∂, dc := 4π • βn−1 := (ddc z )n−1 , σn := dc log z ∧ (ddc log z )n−1 : dạng vi phân • O(1): hàm bị chặn r • O(r): vơ lớn bậc với r r → +∞ • o(r): vơ bé bậc cao r r → +∞ • log+ r = max{log r, 0}, r • “ || P ”: có nghĩa mệnh đề P với r ∈ [0, +∞) nằm tập Borel E [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞ • |S|: lực lượng tập hợp S • I(x): số nguyên lớn không vượt x • BCNN{d1 , , dq }: bội số chung nhỏ số nguyên dương d1 , , dq • Zero(h) : tập khơng điểm hàm h • supp(ν) : giá divisor ν vi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết Nevanlinna bắt đầu nghiên cứu phân bố giá trị hàm phân hình mặt phẳng phức Năm 1926, R Nevanlinna mở rộng định lý Picard nhỏ cách chứng minh hai định lý quan trọng mà thường gọi định lý thứ định lý thứ hai Cơng trình R Nevanlinna quan tâm mạnh mẽ có nhiều kết quan trọng cơng bố tác A Bloch [2], H Cartan [4],[5], H Weyl F J Weyl [42] Đặc biệt, H Cartan mở rộng lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình khơng gian xạ ảnh phức sau L Ahlfors [1] đưa cách tiếp cận hình học cho kết H.Cartan Weyls Vào năm tiếp theo, W Stoll [35] số nhà toán học khác P Griffiths, B Shiffman tổng quát kết cho trường hợp nhiều biến phức đồng thời phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào đa tạp xạ ảnh Trong thập kỉ vừa qua, nhiều nhà toán học quan tâm đến toán tổng quát lý thuyết Nevanlinna lên cho trường hợp ánh x phõn hỡnh t a Kăahler vo a xạ ảnh Năm 1985, H Fujimoto [14] xây dựng lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp đa Kăahler M y v cú ph song chnh hỡnh với hình cầu B(R0 ) khơng gian phức nhiều chiều Cm Điểm khác biệt đa Kăahler tng quỏt khụng cú hm vột cn parabolic, khơng thể xây dựng khái niệm thông thường cho hàm đếm divisor, hàm đặc trưng hàm xấp xỉ ánh xạ Để vượt qua khó khăn này, dựa vào tính giảm khoảng cách không gian sở so với không gian phủ, Fujimoto chuyển toán cho ánh xạ phân hình f từ M thành tốn cho f từ B(R0 ) vào không gian xạ ảnh Pn (C) Đồng thời, H Fujimoto đưa khái niệm phương pháp để giải trường hợp khác biệt áp dụng lý thuyết Nevanlinna hình cầu B(R0 ) so với Cm Cụ thể là, ông đưa khái niệm số khuyết khơng lấy tích phân thiết lập quan hệ số khuyết cho ánh xạ phân hình từ M vào không gian xạ ảnh Pn (C) giao với họ siêu phẳng Sau kết H Fujimoto, T V Tấn V V Trường [38] chứng minh định lý số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ M giao với họ siêu mặt vị trí tổng quát Tuy nhiên, khái niệm “dưới tổng quát” tác giả đặc biệt cần thêm điều kiện so với định nghĩa thông thường Bằng cách khác, M Ru S Sogome [32] mở rộng kết H Fujimoto cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh với siêu mặt vị trí tổng quát Theo nghĩa tự nhiên khái niệm “dưới tổng quát”, số tác giả sau thiết lập quan hệ số khuyết cho ánh xạ phân hình siêu mặt vị trí tổng quát Q Yan [43], Đ Đ Thái S Đ Quang [40] Tuy nhiên, kết tác giả chưa phải mở rộng thực cho kết M Ru S Sogome quay họ siêu mặt vị trí tổng quát Do đó, câu hỏi tự nhiên đặt là: “Liệu thiết lập quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân tốt cho trường hợp họ siêu mặt vị trí tổng quát không?” Trong luận án này, đưa phương pháp để trả lời cho câu hỏi Sau R Nevanlinna đưa định lý năm điểm hay gọi định lý nhất, nhiều tác giả mở rộng định lý lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) Những kết thuộc H Fujimoto [11] L Smiley [34], L Smiley chứng minh hai ánh xạ phân hình trùng chúng ảnh ngược 3n + siêu phẳng giao ảnh ngược hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều hai Việc có thêm điều kiện đối chiều giao ảnh ngược hai siêu phẳng giúp thực nhiều biến đổi hàm đếm có nhiều kết cải tiến định lý L Smiley đưa Những kết tốt theo hướng thuộc Z Chen Q Yan [6], H H Giang, L N Quỳnh S Đ Quang [16] Năm 1986, sau thiết lập thành cơng quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân, H Fujimoto [15] đưa định lý cho ánh xạ phân hình từ M vào Pn (C) với họ siêu phẳng Tuy nhiên, định lý H Fujimoto khơng thuộc hướng có thêm điều kiện đối chiều nên không khái quát kết đề cập quay trường hợp Cm Do vậy, mục đích luận án mở rộng định lý H Fujimoto đồng thời tổng quát kết đạt Cm Khi số siêu phẳng khơng đủ lớn ta khơng thể suy kết luận tốn Tuy nhiên, với số điều kiện định, ta ánh xạ xét có liên hệ đại số với Bài tốn phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) bắt đầu nghiên cứu báo S Ji [18] có nhiều kết cơng bố Một số kết tốt gần thuộc Z Chen Q Yan [7], S Đ Quang [24], S Đ Quang L N Quỳnh [26] Từ đó, cách tự nhiên, chúng tơi đặt câu hỏi: “Có thể mở rộng kết phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình từ Cm thành ánh xạ từ M vào Pn (C) không?” Chúng lưu ý nay, chưa có kết đưa cho phụ thuộc đại số ánh xạ phân hình M , toán cho ánh xạ phân hình từ M số tác giả nghiên cứu sau báo H Fujimoto năm 1986 Nguyên nhân kỹ thuật xếp hàm đếm xếp lại họ siêu phẳng dùng toán Cm hay định lý M , không sử dụng làm toán suy biến M Do đó, chương cuối luận án, đề xuất kỹ thuật khắc phục khó khăn này, để xây dựng mối liên hệ đại số ánh xạ phân hình từ đa tạp Kăahler T nhng lý nh trờn, chỳng tụi la chọn đề tài “Phân bố giá trị ánh xạ phõn hỡnh t a Kă ahler vo a xạ ảnh ứng dụng ”, để sâu vào nghiên cứu việc thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho trường hợp ánh xạ phân hình siêu mặt vị trí tổng quát, đồng thời nghiên cứu toán toán phụ thuộc đại số cho ánh xạ phân hình giao với họ siêu phẳng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án thiết lập quan hệ số khuyết không lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ đa Kăahler vo a x nh vi h siờu mặt vị trí tổng qt Tiếp theo luận án nghiên cứu toán toán suy biến hay phụ thuộc đại số cỏc ỏnh x phõn hỡnh t a Kăahler vo không gian xạ ảnh giao với họ siêu phẳng vị trí tổng quát tổng quát Bây giờ, ta đặt P := PI Khi đó, ta |R|=q−1 I∈IR νP (z) = νPI |R|=q−1 I∈IR = q (q − 1) u=1 q−1 2q(q − 1) + [n] [1] νHv (f u ) (z) − νHv (f u ) (z) v=1 q 2q − 1) [n] νHv (f u ) (z) + u=1 (q − 1) v=1 2q + 3n − 9n q [1] νHv (f u ) v=1 q [1] νHv (f u ) v=1 q [n] νHv (f u ) (z) u=1 v=1 Trường hợp 3: q ≡ ( mod 3) Tương tự Trường hợp 2, xét tập tùy ý R = {i1 , , iq−2 } {1, , q} Ta có νPI (z) 3 [n] [1] νHv (f u ) (z) − νHv (f u ) (z) u=1 Đặt P := v∈R 2(q − 2) + q [1] νHv (f u ) v=1 PI , từ ta có |R|=q−2 I∈IR νP (z) = νP I |R|=q−2 I∈IR = u=1 q v=1 (q − 1)(q − 2) [n] 2q(q − 1)(q − 2) [1] νHv (f u ) (z) − νHv (f u ) (z) + (q − 1)(q − 2) q [n] νHv (f u ) (z) + u=1 v=1 (q − 1)(q − 2) 2q + 3n − · 9n 2q − 1) q [1] νHv (f u ) v=1 q [1] νHv (f u ) v=1 q [n] νHv (f u ) (z) u=1 v=1 9n q γ := 2q + 3n − 3 9n (q − 1)q Nếu q ≡ ( mod 3), đặt β := γ := (2q + 3n − 3)(q − 1) 9n q(q − 1)(q − 2) Nếu q ≡ ( mod 3), đặt β := · γ := (2q + 3n − 3) (q − 1)(q − 2) Nếu q ≡ ( mod 3), đặt β := 85 Khi đó, từ trường hợp trên, ta nhận α := βγ = 3nq 2q + 3n − q [n] νHv (f u ) (z) βνP (z) u=1 v=1 với z ∈ / S Chú ý trường hợp, tồn γ phần tử PI Ta lại có |P |β C( f f2 f )βγ = C(|f ||f ||f |)α , C số dương Từ Bổ đề 4.2.2, ta suy q 2N − n + + ρn(n + 1) + α = 2N − n + + ρn(n + 1) + 3nq , 2q + 3n − điều trái với giả thiết Như f ∧ f ∧ f ≡ M Định lý 4.2.5 Giả sử M , f , f , f H1 , , Hq cho Định lý 4.2.3 Cho n p n số nguyên dương Giả sử khẳng định sau thỏa mãn: (a) min{νHi (f ) , p} = min{νHi (f ) , p} = min{νHi (f ) , p} (1 i q), q −1 i=1 (f ) (Hi ) (b) f = f = f Nếu q > 2N − n + + ρn(n + 1) + q(2n + p) ánh xạ f × f × f từ M vào 2q − + 3p Pn (C) × Pn (C) × Pn (C) suy biến tuyến tính Chứng minh Giả sử f × f × f : M → Pn (C) × Pn (C) × Pn (C) khơng suy biến tuyến tính, Pn (C)× Pn (C)× Pn (C) nhúng P(n+1) −1 (C) phép nhúng Segre Khi đó, với s, t, l ta có P := Det (Hs (fi ), Ht (fi ), Hl (fi ); 3) ≡ i Theo Bổ đề 4.2.1, ta nhận q νP (z) i=s,t,l [1] ( {νHi (f u ) (z)} − νHi (f k ) (z)) + u [1] / S νHi (f k ) (z), z ∈ i=1 Lấy tổng hai vế bất đẳng thức theo (s, t, l), ta có νP (z) q q [1] (3 {νHi (f u ) (z)} + (2q − 3)νHi (f k ) (r)) i=1 u 86 (4.5) Bây giờ, với số nguyên a, b, c thỏa mãn min{a, p} = min{b, p} = min{c, p}, ta 2q − + 3p (min{a, n} + min{b, n} + min{c, n}) 2n + p min{a, b, c} + (2q − 3) (4.6) Thật vậy, cách thay a, b, c min{a, n}, min{b, n}, min{c, n}, khơng tính tổng qt, giả sử n a c Nếu c b p, ta suy 2q − + 3p (min{a, n} + min{b, n} + min{c, n}) 2n + p 2q − + 3p (6n − 2p + 3)(c − p) 3c + (2q − 3) − (2n + c) = 2n + p 2n + p min{a, b, c} + (2q − 3) − Trường hợp ngược lại, c < p a = b = c, từ 2q − + 3p (min{a, n} + min{b, n} + min{c, n}) 2n + p 2q − + 3p (2q − 3)(2n + p − 3c) + 6c(n − p) = 3c + (2q − 3) − 3c = 2n + p 2n + p min{a, b, c} + (2q − 3) − Do đó, bất đẳng thức (4.6) chứng minh Từ kết bất đẳng thức (4.5), ta suy 2q − + 3p (2n + p)q νP (z) Từ đó, cách đặt β = q [n] νHi (f u ) (z) u=1 i=1 (2n + p)q , ta nhận 2q − + 3p q (n) νHi (f u ) (z) (4.7) βνP (z) u=1 i=1 C f f f , với C số dương Từ đó, |P |β q(2n + p) α = β = Từ Bổ đề 4.2.2, suy 2q − + 3p Dễ thấy |P | q 2N − n + + ρn(n + 1) + C α( f f2 q(2n + p) 2q − + 3p Điều trái với giả thiết Do đó, f × f × f suy biến tuyến tính M Ta kết thúc chứng minh Định lý 4.2.5 Định lý 4.2.6 Cho M , f , f , f H1 , , Hq thỏa mãn giả thiết giống Định lý 4.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 87 f )α , (a) min{νHi (f ) , 1} = min{νHi (f ) , 1} = min{νHi (f ) , 1} (1 (b) f = f = f i q), q −1 i=1 (f ) (Hi ) 3nq f ∧ f ∧ f ≡ Nói 2q + 2n − riêng, ánh xạ f , f f phụ thuộc đại số M Khi đó, q > 2N − n + + ρn(n + 1) + Tương tự chứng minh Định lý 4.2.3, trước chứng minh Định lý 4.2.5, ta cần chứng minh bổ đề then chốt sau Bổ đề họ gồm số chẵn véc tơ không gian véc tơ ba chiều, ln phân hoạch thành nhóm gồm hai véc tơ độc lập tuyến tính Bổ đề 4.2.7 Cho q, N hai số nguyên thỏa mãn q 2N + 2, N q số chẵn Xét họ {a1 , , aq } véc tơ không gian véc tơ 3−chiều thỏa mãn rank {aj }j∈R = với tập R ⊂ Q = {1, , q} có lực lượng |R| = N + Khi đó, tồn phân hoạch q/2 j=1 Ij {1, , q} thỏa mãn |Ij | = rank {ai }i∈Ij = với j = 1, , q/2 Chứng minh Trước hết, từ giả thiết, chọn hốn vị (i1 , , iq ) {1, , q} cho họ véc tơ {aiq , aiq−1 }, {aiq−2 , aiq−3 }, , {aik+2 , aik+1 } độc lập tuyến tính {aik , aik−1 , , ai1 } phụ thuộc tuyến tính Điều suy rank {aiq , aiq−1 } = · · · = rank {aik+2 , aik+1 } = rank {aik , aik−1 , , ai1 } = Hiển nhiên, ta có k = 2l N , với số nguyên không âm l Đặt A = {{aiq , aiq−1 }, {aiq−2 , aiq−3 }, , {aik+2 , aik+1 }} B = {aik , aik−1 , , ai1 } Nếu l = hiển nhiên khẳng định Bổ đề 4.2.7 Khi l ≥ 1, ta chứng minh kết luận Bổ đề 4.2.7 quy nạp theo l Với l = ta có B = {ai2 , ai1 } Ký hiệu span(B) không gian véc tơ sinh véc tơ B Nếu tất A có véc tơ span(B) 88 q 2N + 2, ta nhận N + véc tơ span(B) Từ đó, tồn tập chứa N + véc tơ có hạng Điều trái với giả thiết Do đó, tồn đôi A, chẳng hạn {aiq , aiq−1 } cho rank {aiq , ai1 } = rank {aiq−1 , ai2 } = Khi đó, (A, B) phân hoạch cần tìm Bây giả sử Bổ đề 4.2.7 với l t, t Ta chứng minh Bổ đề 4.2.7 với l = t + Thật vậy, đặt B = B \ {ai2 , ai1 } Ta có |B | = t theo giả thiết quy nạp, (A, B ) chia thành đơi độc lập tuyến tính Sử dụng giả thiết quy nạp tiếp cho phân hoạch {ai2 , ai1 }, ta kết thúc Bổ đề 4.2.7 Chứng minh Định lý 4.2.6 Xét M3 không gian véc tơ trường M ký hiệu Q = {1, , q} Với i ∈ Q, ta đặt Vi = Hi (f ), Hi (f ), Hi (f ) ∈ M3 Giả sử f ∧ f ∧ f ≡ Vì họ siêu phẳng {H1 , , Hq } vị trí N −dưới tổng quát nên với tập R ⊂ Q có lực lượng |R| = N + 1, tồn ba số l, t, s ∈ R cho véc tơ {Vl , Vt , Vs } độc lập tuyến tính Điều có nghĩa  Hl (f ) Ht (f ) Hs (f )    2  PI := det   Hl (f ) Ht (f ) Hs (f )  ≡ 0, Hl (f ) Ht (f ) Hs (f ) với ký hiệu I = {l, t, s} Trường hợp q ≡ ( mod 2) Áp dụng Bổ đề 4.2.7, tìm phân hoạch {J1 , , Jq/2 } Q thỏa mãn |Jj | = rank {Vv }v∈Jj = với j = 1, 2, , q/2 Với j (1 j q/2), chọn véc tơ Vsj cho rank {Vi }i∈Jj ∪{sj } = Đặt Ij = Jj ∪ {sj }, ta có PIj ≡ với j = 1, , q/2 Xét z không thuộc S Đặt [n] [1] νHi (f u ) (z) − (2n + 1)νHi (f k ) (z) (1 νi (z) = k 3, i ∈ Q) u=1 Ta ý với số dương a, b, c ta có (min{a, b, c} − 1) 89 min{a, n} + min{a, n} + min{a, n} − 2n − Khi [n] [1] {νHi (f u ) (z)} − νHi (f k ) (z) u [1] νHi (f u ) (z) − (2n + 1)νHi (f k ) (z) u=1 với z ∈ Supp νHi (f k ) Điều kéo theo [1] {νHi (f u ) (z)}) − νHi (f k ) (z) u [n] [1] νHi (f u ) (z) − (2n + 1)νHi (f k ) (z) = νi (z) u=1 Theo Bổ đề 4.2.2, ta có q q νPIj (z) [1] νHi (f k ) (z) νi (z) + i=1 i∈Ij [1] νHi (f k ) (z) νi (z) + i=1 i∈Jj Bây giờ, đặt q/2 PQ = PIj j=1 Khi đó, ta nhận q νPQ (z) q [1] νi (z) + q i=1 q = νHi (f k ) (z) i=1 q [n] [1] νHi (f u ) (z) − (2n + 1)νHi (f k ) (z)) + q ( i=1 u=1 q i=1 q [n] [1] νHi (f u ) (z) + (q − 2n − 1) = i=1 u=1 1+ [1] νHi (f k ) (z) νHi (f k ) (z) i=1 q − 2n − 3n q [n] νHi (f u ) (z) i=1 u=1 Bằng cách đặt P := PQ , bất đẳng thức suy q [n] νHi (f u ) (z) i=1 u=1 3n νP (z) q+n−1 Trường hợp q ≡ ( mod 2) Xét tập R = {j1 , , jq−1 } {1, , q} Ta thấy (q − 1) ≡ ( mod 2) Lập luận hoàn toàn tương tự Trường hợp cho 90 q−1 i=1 νij (z) + (q R, ta có νPR (z) Đặt P := [1] q i=1 νHi (f k ) (z) − 1) PR Khi đó, ta nhận |R|=q−1 νP (z) = νP R |R|=q−1 q q [1] νi (z) + q(q − 1) (q − 1) i=1 i=1 q = (q − 1) νHi (f k ) (z) q [n] [1] νHi (f u ) (z) − (2n + 1)νHi (f k ) (z)) + q(q ( i=1 u=1 q i=1 [1] [n] i=1 u=1 (q − 1) + νHi (f k ) (z) q νHi (f u ) (z) + (q − 2n − 1) = (q − 1) [1] − 1) νHi (f k ) (z) i=1 q − 2n − 3n q [n] νHi (f u ) (z) i=1 u=1 Từ đó, ta có q 3n νP (z) (q + n − 1)(q − 1) [n] νHi (f u ) (z) i=1 u=1 3n q γ := (q + n − 1) 3n (q − 1)q Nếu q ≡ ( mod 2), đặt β := γ := (q + n − 1)(q − 1) Nếu q ≡ ( mod 2), đặt β := Dễ thấy trường hợp trên, ta ln có α := βγ = 3nq 2(q + n − 1) q [n] νHi (f u ) (z) βνP (z) f )βγ = C( f f2 u=1 i=1 Ta có |P |β C( f f2 f )α , C số dương Từ Bổ đề 4.2.2, ta suy q 2N − n + + ρn(n + 1) + α = 2N − n + + ρn(n + 1) + 3nq , 2(q + n − 1) điều trái với giả thiết Vậy f ∧ f ∧ f ≡ M từ Định lý 4.2.6 chứng minh 91 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án nghiên cứu toán lý thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ phân hình từ đa tạp Kăahler vo a x nh, õy a Kăahler cú ph ph dng song chnh hỡnh vi mt hình cầu Cm Luận án đạt số kết sau: • Chứng minh định lý quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ỏnh x phõn hỡnh t a Kăahler vo khụng gian xạ ảnh giao với họ siêu mặt vị trí tổng qt • Chứng minh định lý quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh x phõn hỡnh t a Kăahler vo a xạ ảnh giao với họ siêu mặt vị trí tổng quát • Chứng minh định lý cho ỏnh x phõn hỡnh t a Kă ahler vào không gian xạ ảnh giao họ siêu phẳng vị trí tổng quát với điều kiện đối chiều giao ảnh ngược k siêu phẳng họ hai • Chứng minh số định lý phụ thuộc đại số ba ánh xạ phân suy biến tuyn tớnh ca ỏnh x tớch t a Kăahler vào không gian xạ ảnh giao với họ siêu phẳng vị trí tổng quát 92 Kiến nghị Trong trình nghiên cứu vấn đề luận án, suy nghĩ số hướng nghiên cứu sau • Trong luận án, chúng tơi chứng minh định lý cho ánh xạ phõn hỡnh t a Kăahler vo khụng gian x ảnh giao với họ siêu phẳng mà không xét đến trường hợp siêu mặt theo phương pháp đề Chương hai, số siêu mặt tham gia lớn Trong thời gian tới, nghiên cứu cách làm để đưa định lý cho ỏnh x phõn hỡnh t a Kăahler vo đa tạp xạ ảnh giao với họ siêu mặt mà số siêu mặt tham gia nhỏ Ngoài ra, chúng tơi nghiên cứu tốn cho ánh x phõn hỡnh t a Kăahler vo a xạ ảnh giao với họ siêu mặt bội chặn ánh xạ phân hình xét với điều kiện tổng qt • Chúng tơi tiếp tục nghiên cứu phụ thuộc đại số cho họ ánh x phõn hỡnh t a Kăahler vo khụng gian xạ ảnh đa tạp xạ ảnh họ tham gia siêu mặt họ tham gia siêu phẳng xét điều kiện tổng quát bội chặn ánh xạ phân hình • Chúng tơi dự định nghiên cứu toán lý thuyết phân bố giá trị cho ánh x phõn hỡnh t a Kăahler vi lp a Kăahler tng quỏt hn so vi a cú phủ song chỉnh hình với hình cầu Cm mà xem xét luận án 93 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] S D Quang, N T Q Phuong and N T Nhung (2017), Non-integrated defect relation for meromophic maps from a Kahler manifold intersecting hypersurfaces in subgeneral of P n (C), Journal of Mathematical Analysis and Application, 452 (2017), pp 1434–1452 [2] N T Nhung and L N Quynh, Unicity of meromorphic mappings from complete Kăahler manifolds into projective spaces, Houston Journal of Mathematics, 44(3) (2018), pp 769–785 [3] N T Nhung and P D Thoan, On degeneracy of three meromorphic mappings from complete Kăahler manifolds into projective spaces, Comput Methods Funct Theory, 19(3) (2019), pp 353–382 [4] S D Quang, L N Quynh and N T Nhung, Non-integrated defect relation for meromorphic mappings from a Kă ahler manifold with hypersurfaces of a projective variety in subgeneral position, gửi đăng 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L Ahlfors (1941), “The theory of meromorphic curves”, Ada Soc Sci Fenn Nova Ser., Ser A, 3(4) , pp 171–183 [2] A Bloch (1926), “Sur les systemes de fonctions uniformes satisfaisant a l’equation d’une variete algebrique dont l’irregularite depasse la dimension”, J de Math., , pp 19–66 [3] H Cao (2018), “Algebraical Dependence and Uniqueness Problem for Meromorphic Mappings with Few Moving Targets”, Bull Malays Math Sci Soc., 41(2), pp 837–853 [4] H Cartan (1928), “Sur les systeme de fonctions holomorphes a varietes lineaires lacunaires et leurs applications”, Ann Sci Ecole Norm Sup C, 45, pp 255–346 [5] H Cartan (1933), “Sur les zeros des combinaisons lineaires de p fonctions holomorphes donnees”, Mathematica (Cluf), , pp 5–31 [6] Z Chen and Q Yan (2009), “Uniqueness theorem of meromorphic mappings into PN (C) sharing 2N + hyperplanes regardless of multiplicities”, Internat J Math., 20 , pp 717–726 [7] Z Chen and Q Yan (2011), “A Degeneracy Theorem For Meromorphic Mappings With Truncated Multiplicities”, Acta Mathematica Scientia, 31B(2), pp 549–560 [8] P Corvaja and U Zannier (2004), “On a general Thue’s equation”, Amer J Math., 126, pp 1033–1055 95 [9] J Evertse and R Ferretti (2002), “Diophantine inequalities on projective variety”, Internat Math Res Notices, 25, pp 1295–1330 [10] J Evertse and R Ferretti (2008), “A generalization of the subspace theorem with polynomials of higher degree”, Developments in Mathematics, 16, pp 175– 198, Springer-Verlag, New York [11] H Fujimoto (1975), “The uniqueness problem of meromorphic maps into the complex projective space”, Nagoya Math J., 58, pp 1–23 [12] H Fujimoto (1983), “On the Gauss map of a complete minimal surface in Rm ”, J Math Soc Japan, 35(2), pp 279–288 [13] H Fujimoto (1983), “Value distribution of the Gauss maps of complete minimal surfaces in Rm ”, J Math Soc Japan, 35, pp 663–681 [14] H Fujimoto (1985), “Non-integrated defect relation for meromorphic maps of complete Kăahler manifolds into PN1 (C) × · · · × PNk (C)”, Japan J Math., 11(2), pp 233–264 [15] H Fujimoto (1986), “A unicity theorem for meromorphic maps of a complete Kăahler manifold into PN (C)”, Tohoku Math J., 38(2), pp 327–341 [16] H H Giang and L N Quynh and S D Quang (2012), “Uniqueness theorems for meromorphic mappings sharing few hyperplanes”, J Math Anal Appl., 393, pp 445–456 [17] W K Hayman (1964), Meromorphic functions, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, Oxford [18] S Ji (1988), “Uniqueness problem without multiplicities in value distribution theory”, Pacific J Math., 135, pp 323–348 [19] L Karp (1982), “Subharmonic functions on real and complex manifolds”, Math Z., 179, pp 535554 [20] R Nevanlinna (1926), Einige Eideutigkeitssăatze in der Theorie der meromorphen Funktionen”, Acta Math., 48, pp 367–391 96 [21] E I Nochka (1983), “On the theory of meromorphic functions”, Sov Math Dokl., 27, pp 377–381 [22] J Noguchi (2005), “A note on entire pseudo-holomorphic curves and the proof of Cartan–Nochka’s theorem”, Kodai Math J., 28, pp 336–346 [23] J Noguchi and T Ochiai (1990), Introduction to Geometric Function Theory in Several Complex Variables, Trans Math Monogr 80, Amer Math Soc., Providence, Rhode Island, 1990 [24] S D Quang (2012), “A Finiteness theorem for meromorphic mappings with few hyperplanes”, Kodai Math J., 35, pp 463–484 [25] S D Quang (2013), “Algebraic dependences of meromorphic mappings sharing few moving hyperplanes”, Ann Polonici Math., 108(1) , pp 61–73 [26] S D Quang and L N Quynh (2015), “Algebraic dependences of meromorphic mappings sharing few hyperplanes counting truncated multiplicities”, Kodai Math J., 38, pp 97–118 [27] S D Quang (2019), “Degeneracy and finiteness theorems for meromorphic mappings in several complex variables”, Chin Ann Math Ser B, 40(2), pp 251–272 [28] S D Quang (2019), “Degeneracy second main theorems for meromorphic mappings into projective varieties with hypersurfaces”, Trans Amer Math Soc., 371 , pp 2431–2453 [29] Le Ngoc Quynh, “Uniqueness problem of meromorphic mappings from a complete Kăahler manifold into a projective variety”, arXiv:1610.08822v1 [math.CV] [30] M.Ru (2001), “A uniqueness theorem with moving targets without counting multiplicity”, Proc Amer Math Soc., 129, pp 2701–2707 [31] M.Ru (2009), “Holomorphic curves into algebraic varieties”, Ann Math., 169, pp 255–267 97 [32] M Ru and S Sogome (2012), “Non-integrated defect relation for meromorphic maps of complete Kăahler manifolds into Pn (C) intersecting hypersurfaces, Trans Amer Math Soc., 364(3), pp 1145–1162 [33] M Ru and S Sogome (2013), “A uniqueness theorem for meromorphic maps of a complete Kăahler manifold into Pn (C) sharing hypersurfaces, Proc Amer Math Soc., 141(12), pp 4229-4239 [34] L Smiley (1983), “Geometric conditions for unicity of holomorphic curves”, Contemp Math., 25, pp 149–154 [35] W Stoll (1953)(1954), “Die beiden Hauptsatze der Wertverteilungstheorie bei Punktionen mehrerer komplexen Veranderlichen”, Acta Math., 90, pp.1–15 and 92, pp 55–169 [36] W Stoll (1989), “On the propagation of dependences”, Pac J Math 139(2), pp 311–337 [37] T V Tan and V V Truong (2008), “Three meromorphic mappings sharing some common hyperplanes”, J Math Anl Appl., 348, pp 562–570 [38] Tran Van Tan and Vu Van Truong (2012), “A non-integrated defect relation for meromorphic maps of complete Kăahler manifolds into a projective variety intersecting hypersurfaces, Bull Sci Math., 136, pp 111–126 [39] D D Thai and S D Quang (2006), “Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables”, Internat J Math., 17, pp 1223–1257 [40] D D Thai and S D Quang (2019), Non-integrated defect relation meromorphic maps of Kăahler manifolds into projective varieties”, S.D Math Z., 292(1–2), pp 211–229 [41] P D Thoan, P V Duc and S D Quang (2013), “Algebraic dependence and unicity theorem with a truncation level to of meromorphic mappings sharing moving targets”, Bull Math Soc Sci Math Roumanie, 56(104) [42] H Weyl and F.J Weyl (1943), Meromorphic Functions and Analytic Curves, Princeton University Press, Princeton 98 [43] Q Yan (2013), “Non-integrated defect relation and uniqueness theorem for meromorphic maps of a complete Kăahler manifold into P n (C)”, J Math Anal Appl., 398, pp 567–581 [44] S.T Yau (1976), “Some function-theoretic properties of complete Riemannian manifolds and their applications to geometry”, Indiana U Math J., 25, pp 659–670 99 ... khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình Trong mục này, chúng tơi chứng minh hai định lý quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho ánh xạ phân hình từ M vào không gian xạ ảnh đa tạp xạ ảnh giao với... tích phân cho ánh xạ phân hình từ M vào đa tạp xạ ảnh Định lý 2.2.10 Cho M l a Kă ahler y chiu m có phủ phổ dụng M song chỉnh hình với hình cầu Cm Cho f ánh xạ phân hình khơng suy biến đại số từ. .. tài ? ?Phân bố giá trị ca ỏnh x phõn hỡnh t a Kă ahler vào đa tạp xạ ảnh ứng dụng ”, để sâu vào nghiên cứu việc thiết lập quan hệ số khuyết khơng lấy tích phân cho trường hợp ánh xạ phân hình siêu