Luận văn bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐẶNG THỊ HẰNG BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HĨA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐẶNG THỊ HẰNG BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HĨA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát THANH HÓA, NĂM 2014 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học theo Quyết định số.… ngày 10 tháng 10 năm 2014 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên GS.TSKH Phạm Kỳ Anh PGS.TS Nguyễn Hữu Điển PGS.TS Tạ Duy Phượng GS.TS Trần Vũ Thiệu TS Lê Văn Hiện Cơ quan công tác ĐHQG Hà Nội ĐHQG Hà Nội Viện Toán học Viện Toán học Trường ĐHSP Hà Nội Chức danh hội đồng Chủ tịch Hội đồng Phản biện Phản biện Ủy viên UV Thư kí Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày 02 tháng 11 năm 2014 (Kí ghi rõ họ tên) Vũ Ngọc Phát Có thể tham khảo luận văn tai Thư viện trường Bộ môn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2014 Ngƣời cam đoan Đặng Thị Hằng ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, viện toán học Việt Nam Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc đến thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập nghiên cứu Đồng thời, em xin cảm ơn thầy, trực tiếp giảng dạy lớp Thạc sĩ tốn Giải tích khóa trường Đại học Hồng Đức; cảm ơn ban giám hiệu nhà trường ban chủ nhiệm khoa Khoa học Tự Nhiên-trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp cổ vũ, động viên chỗ dựa tinh thần vững cho sống, học tập nghiên cứu Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2014 Tác giả: Đặng Thị Hằng iii MỤC LỤC MỞ ĐẦU…………………… ……………………… ……………………1 Chƣơng I: CƠ SỞ TOÁN HỌC………………………………………… 1.1 Phương trình vi phân……………………………………………… 1.2 Đại số tuyến tính………………………………………………………….7 1.3.Bài tốn điều khiển được……………………………………………… 1.4 Bài tốn ổn định…………………………………….………… …… 1.5.Bài tốn ổn định hóa…………………………………………………… 10 1.6 Một số bổ đề bổ trợ……………………………………………….…….11 Chƣơng 2: CÁC TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH HĨA……………………….13 2.1 Phát biểu tốn…………………………………………………….…13 2.2.Tiêu chuẩn ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính tơ nơm… 14 2.3 Tiêu chuẩn ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng tơ nơm………………………………………………………………… …26 KẾT LUẬN……… …….…………… …………………………… ……37 TÀI LIỆU THAM KHẢO….….……………………………………… …38 iv MỘT SỐ KÍ HIỆU Rn : Lp 0; Khơng gian véc tơ tuyến tính thực n chiều ; R m : Không gian tất hàm x(t ) Lp 0; p x(t ) ; R m cho p x(t ) dt L ( Rm ) : Tập hàm bình phương khả tích với giá trị Rm x, y : tích vô hướng hai véc tơ x ( x1; x ; ; xn ); y ( y1; y ; ; yn ) xác định x, y n xi yi i x : I: x x, x Ma trận đơn vị A' : Ma trận chuyển vị ma trận A A 1: Ma trận nghịch đảo ma trận A , xác định A A AA ( A) : : I Tập giá trị riêng ma trận A Nón đối ngẫu dương GC: Điều khiển hồn tồn GR: Đạt hoàn toàn GNC: Điều khiển hoàn tồn MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lí thuyết điều khiển tốn học lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng xuất phát triển thập niên gần Cơng cụ lý thuyết điều khiển tốn học mơ hình phương pháp toán học ứng dụng để giải vấn đề định tính hệ thống điều khiển Trong thực tế, nhiều toán đề cập đến vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đến hệ động lực mô tả phương trình tốn học với thời gian liên tục hay rời rạc dạng: x(t ) f t, x t , u t , t x(k 1) 0, f (k , x(k ), u (k )), k 1, , x(.) biến trạng thái mơ tả đối tượng đầu ra, u(.) biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào hệ thống Các đối tượng điều khiển mơ hình điều điều khiển hệ thống mơ tả liệu đầu vào có tác động mức độ hay mức độ khác làm ảnh hưởng đến vận hành đầu hệ thống Một mục đích quan trọng tốn điều khiển hệ thống tìm điều khiển đầu vào cho hệ thống đầu có tính chất mong muốn Tính ổn định tính chất quan trọng lí thuyết định tính hệ động lực sử dụng nhiều lĩnh vực học, vật lí, tốn, kĩ thuật, kinh tế….Một hệ thống gọi ổn định trạng thái cân nhiễu nhỏ kiện cấu trúc ban đầu hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với hệ thống cân Bài toán ổn định hệ thống bắt đầu nghiên cứu từ cuối kỉ XIX nhà toán học V.Lyapunov Từ năm 60 kỉ XIX, song song với phát triển lí thuyết điều khiển nhu cầu nghiên cứu tính chất định tính hệ thống điều khiển người ta bắt đầu nghiên cứu tính chất ổn định hệ thống điều khiển hay cịn gọi ổn định hóa hệ điều khiển Nói cách giải tích, cho hệ thống mơ tả phương trình tốn học điều khiển ( ví dụ dạng x(t ) f t, x t , u t , t ), tốn ổn định hệ tìm hàm điều khiển mà người ta thường gọi hàm điều khiển ngược u( x) h(t , x) cho hệ động lực x(t ) f (t , h(t , x(t )) F (t , x(t )) ổn định ổn định tiệm cận trạng thái cân Trong tốn ổn định hóa tổng qt, hệ điều khiển x(t ) f t, x t , u t , t thường mơ hình hóa với tác động điều khiển ngược, nhiễu điều khiển, thiết bị điều khiển quan sát,…Một mô hình điều khiển hệ động lực tác động điều khiển ngược thường mô tả theo sơ đồ: Thiết bị điều khiển Hệ điều khiển đầu vào u điều khiển ngược x u đầu x f (t , x, u ) h( x, t ) chế độ kiểm soát điều khiển ( Hệ điều khiển ngược) Như mục đích vấn đề ổn định hóa hệ thống điều khiển tìm hàm điều khiển ngược cho hệ thống cho ứng với điều khiển trở thành hệ thống ổn định trạng thái cân Cơ sở toán học tốn ổn định hóa lý thuyết ổn định Lyapunov Dựa kết biết tính ổn định Lyapunov người ta nghiên cứu, phát triển ứng dụng vào giải tốn ổn định hóa hệ điều khiển Trải qua trình nghiên cứu phát triển, đến lí thuyết ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân nghiên cứu phát triển lý thuyết toán học độc lập ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học ứng dụng, điều khiển kĩ thuật, kinh tế,… Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1.Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số điều kiện đảm bảo tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính ô tô nôm hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng tơ nơm 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày số kiến thức sở phương trình vi phân, đại số tuyến tính, tốn điều khiển được, tốn ổn định hóa số bổ đề bổ trợ - Trình bày tiêu chuẩn ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính tơ nơm hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng tơ nơm Phƣơng pháp nghiên cứu -Sử dụng phương pháp phương trình vi phân, lý thuyết điều khiển lý thuyết ổn định - Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov Bố cục luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Cụ thể là: Chương 1: Cơ sở toán học Chương 2: Bài tốn ổn định hóa Chương 1: Trình bày số kiến thức phương trình vi phân, đại số tuyến tính, tốn điều khiển được, tốn ổn định hóa số bổ đề bổ trợ 24 rank B, AB 0 rank Do hệ cho khơng GNC Nhận xét: Từ ví dụ ta thấy hệ ổn định hóa chưa GNC, điều ngược lại định lí khơng Ví dụ 2: Xét tính ổn định hóa hệ sau, hệ ổn định hóa tìm điều khiển ngược u (t ) x(t ) x(t ) x(t ) x(t ) x (t ) u (t ) Lời giải Đặt: Suy x1 (t ) x(t ), x (t ) x(t ) x1 (t ) x(t ) x (t ), x (t ) x(t ) x(t ) u (t ) x (t ) u (t ) Hệ cho trở thành x1 (t ) x (t ), x (t ) Ta có: A , B x (t ) u (t ) A| B B, AB nên hệ GNC hệ ổn định hóa Suy rank A \ B Tiếp theo ta tìm điều khiển ngược u(t) Xét ma trận K A BK x (t ) ta có k1 k + k1 1 k1 k k 25 Chọn k1 1, k A BK ma trận ổn định Với K ta có u t Kx(t ) x1 t x t x1 t Thay vào hệ cho ta x1 t x t , x t x t x1 t x1 t 3x t , x1 t x t , (*) x t x1 t 5x t Với hệ (*), xét phương trình đặc trưng ( Với 1; , ta tìm nghiệm (*) x (t ) Với ) e t e t ta tìm nghiệm (*) x (t ) e 4t 4e 4t Suy nghiệm tổng quát (*) x (t ) C1e t Ce 4t C1e t 4C e 4t 3x t 26 Do u(t ) x1 (t ) 3x (t ) (C1e C1e t t 3C e 4t ) 3( C1e 13C e 4t t (C1 , C 4C e 4t ) R) Ví dụ 3: Xét tính ổn định hóa hệ x1 (t ) x1 (t ) x (t ) u (t ), x (t ) x (t ) x (t ) u (t ), x (t ) x1 (t ) x (t ) x (t ) u (t ) Lời giải Ta có A B 1 0 A| B 0 Từ ta có: rank A \ B 1 , B, AB, A B 1 nên hệ GNC hệ ổn định hóa 2.3 Tiêu chuẩn ổn định hóa hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính không ô tô nôm Xét hệ x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ), t Trong x(t ) Rn , u(t ) R m , A(t ), B(t ) ma trận hàm liên tục 0; ( 4) 27 Định lí 2.3.1 Hệ ( 4) ổn định hóa tồn ma trận P(t ) liên tục, bị chặn, đối xứng xác định không âm với t , ma trận Q đối xứng, xác định dương thỏa mãn phương trình Ricati vi phân sau P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t ) PI (t ).B(t ).B '(t ).PI (t ) Q 0, PI (t ) P(t ) I (với I ma trận đơn vị) điều khiển ngược xác định u(t ) B '(t ).P(t ).x(t ) , t Chứng minh Xét hàm Lyapunov V ( x(t )) P(t ) x(t ), x(t ) x(t ) PI (t ) x(t ), x(t ) Ta thấy điều kiện xác định dương hàm V (.) thỏa mãn vì: V (0) V ( x(t )) x(t ) , t Lấy đạo hàm theo t thay điều khiển ngược u(t ) V ( x(t )) B '(t ).P(t ).x(t ) ta có P(t ) x(t ), x(t ) PI (t ) x(t ), x(t ) P(t ) PI (t ) A(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) B(t ) B '(t ) PI (t ) x(t ), x(t ) Theo giả thiết P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ).A(t ) PI (t ).B(t ).B '(t ).PI (t ) Q 0, ta có V ( x(t )) Qx(t ), x(t ) (Q) x(t ) Vậy V ( x) hàm Lyapunov chặt, hệ đóng ổn định tiệm cận hệ ổn định hóa với điều khiển ngược u(t ) B '(t ).P(t ).x(t ) , t Ví dụ 1: Xét tính ổn định hóa hệ sau, hệ ổn định hóa tìm điều khiển ngược tương ứng 28 x1 (t ) x (t ) x1 (t ), t e t t x (t ) tu (t ) Lời giải Ta có A 0 t , B t e t t Gọi P(t ) ma trận liên tục, bị chặn, đối xứng xác định không âm với ; ma trận Q đối xứng, xác định dương thỏa mãn phương trình t Ricati vi phân P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t ) PI (t ).B(t ).B '(t ).PI (t ) Q p1 (t ) Để đơn giản, ta giả sử P(t ) p (t ) q1 ,Q q Ta có P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t ) PI (t ).B(t ).B '(t ).PI (t ) Q ' p (t ) 0 ' p (t ) 0 1 p1 (t ) 0 p (t ) p1 (t ) 0 p (t ) p1 (t ) 0 t t e t t p (t ) 1 t e t t t p1 (t ) q1 0 q p (t ) 29 p1 (t ) ' p (t ) p ' (t ) t t t e t t p1 (t ) q1 p ' (t ) (1 p (t )) 4t p (t ) 1 p1' (t ) p1 (t ) q p ' (t ) t t e (1 p (t )) t q1 0 q p (t ) t t e 4t t t p (t ) 4t q p (t ) 1; p (t ) e t , q1 q e Khi P(t ) t 0 e ;Q t thỏa mãn phương trình Ricati P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t ) PI (t ).B(t ).B '(t ).PI (t ) Q Do hệ cho ổn định hóa Ta có u (t ) 1 B '(t ).P(t ).x(t ) t te x1 (t ) t e t te t x (t ) x (t ) Thay vào hệ ta x1 (t ) x (t ) x1 (t ), t e x (t ) x (t ) e t t t t t e t x (t ) x (t ) x (t ) t3 u (t ) 0 q1 Chọn p1 (t ) e p (t ) 0 p1' (t ) suy t e 1 p1 (t ) te t e t t3 te t t3 x1 (t ) e t x (t ) 30 Ví dụ 2: Xét tính ổn định hóa hệ sau x1 (t ) x (t ) 1 t (e t x (t ) tu (t ), x (t ) Lời giải Ta có 1 t e t t A t ,B Gọi P(t ) ma trận liên tục, bị chặn, đối xứng xác định không âm với ; ma trận Q đối xứng, xác định dương thỏa mãn phương trình t Ricati vi phân: P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t ) PI (t ).B(t ).B '(t ).PI (t ) Q p1 (t ) Để đơn giản, ta giả sử: P(t ) p (t ) ;Q q1 0 q Ta có P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t ) PI (t ).B(t ).B '(t ).PI (t ) Q p1' (t ) 0 p ' (t ) t e p (t ) p1 (t ) p (t ) p1 (t ) 1 p1 (t ) 0 t t t e t t p (t ) 1 t t p1 (t ) q1 0 q p (t ) 31 1 t e ' p (t ) p ' (t ) 1 t e t t t t p1 (t ) 1 p1' (t ) t e p ' (t ) p (t ) q t t t e q p ' (t ) p (t ) q1 q e t t e p (t ) p (t ) p (t ) q1 q1 0 q 0 t p1 (t ) p1 (t ) t p (t ) t 0 p (t ) p1' (t ) Chọn p1 (t ) p (t ) e t p1 (t ) p1 (t ) t q1 Khi P(t ) p1 (t ) t ;Q thỏa mãn phương trình Ricati P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t ) PI (t ).B(t ).B '(t ).PI (t ) Q Do hệ đa cho ổn định hóa Định lý sau cho ta tiêu chuẩn tính ổn định hóa dạng mũ Định lí 2.3.2 Hệ (2.4) ổn định hóa mũ tồn ma trận P(t ), Q đối xứng, xác định dương số P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t ) e thỏa mãn t P (t ).B(t ).B '(t ).P (t ) Q PI (t ) P(t ) I (với I ma trận đơn vị) điều khiển ngược xác e định u(t ) t B '(t ).P(t ).x(t ) , t Chứng minh Đặt y(t ) e t x(t ) , hệ (2.4) trở thành: y (t ) ( A(t ) I ) y (t ) e t B(t )u (t ) ( 5) 32 Xét hàm lyapunov V ( y (t )) P(t ) y(t ), y(t ) y(t ) PI (t ) y(t ), y(t ) Ta thấy điều kiện xác định dương hàm V (.) thỏa mãn V (0) 0, V ( y (t )) y (t ) , t Lấy đạo hàm theo t thay điều khiển ngược u(t ) V ( y (t )) e t B '(t ).P(t ).x(t ) ta có P(t ) y (t ), y (t ) PI (t ) y (t ), y (t ) P(t ) y (t ), y(t ) PI (t ) A(t ) A '(t ) PI (t ) y(t), y( t) PI ( t) B( t) u( t), y( t) P(t ) PI (t ) A(t ) A '(t ).PI (t ) e t P (t ) B(t ) B '(t) P (t) y( t), y( t) V ( y (t )) P(t ) PI (t ) A(t ) A '(t ).PI (t ) e t Từ giả thiết: P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t ) P (t ) B(t ) B '(t ) P (t ) y(t ), y(t ) e t P (t ).B(t ).B '(t ).P (t ) Q ta suy ra: V ( y (t )) Qy (t ), y (t ) Vậy V (.) hàm lyapunov hệ (2.5), hệ (2.5) ổn định Từ suy nghiệm y(t ) bị chặn hay M : y(t ) M y(0) , t (*) Vì y(0) x(0) y(t ) e t x(t ) nên ta có (*) e t x(t ) x(t ) M x(0) , t Me t x(0) , t 0 Điều suy hệ đóng (2.4) ổn định mũ, hệ (2.4) ổn định hóa Ví dụ 1: Xét tính ổn định hóa hệ sau Nếu hệ ổn định hóa tìm điều khiển ngược tương ứng 33 x1 (t ) x (t ) x (t ), e (2 et t ) x (t ) u (t ) Lời giải Ta có A 0 e (2 et , B t ) Gọi P(t ) , Q ma trận đối xứng, xác định dương thỏa mãn phương trình Ricati vi phân P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t) Để đơn giản, ta giả sử: P(t ) t e P (t).B(t) B '( t) P ( t) Q p1 (t ) 0 p (t ) q1 ,Q q , Ta có P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t) e t ' p (t ) p ' (t ) et p1 (t ) 0 0 e (2 et t ) p1 (t ) 1 e (2 et p1 (t ) 0 p (t ) P (t).B(t).B '(t) P ( t) Q t p (t ) ) p (t ) p (t ) 0 1 p (t ) q1 0 q 34 p1 (t ) ' p (t ) p ' (t ) t e (2 et e (2 et p1 (t ) ) p (t ) p1' (t ) p1 (t ) q1 p ' (t ) e (2 et t ) p (t ) et 0 p (t ) q1 0 q 0 t ) (1 p (t )) q1 p1' (t ) p1 (t ) p ' (t ) e (2 et t q Chọn p1 (t ) e t ; p (t ) e t q1 et )(1 p (t )) p (t ) q et p (t ) q e Khi P(t ) t e t ;Q thỏa mãn phương trình Ricati e P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t) t P (t).B(t) B '( t) P ( t) Q Do hệ cho ổn định hóa Ta có u (t ) et B '(t ).P(t ).x(t ) e et (0 1) et (2 ) x (t ) u (t ) et et x (t ) (2 ) x (t ) x (t ) t e et x (t ) x (t ) et x (t ) ln(e t ) u (t ) ln(e t ) x (t ) t x1 (t ) t x2 (t ) e x2 (t ) 35 Ví dụ 2: Xét tính ổn định hóa hệ sau x1 (t ) x (t ) x (t ), t e (2 et t ) x (t ) tu (t ) Lời giải Ta có A 0 , B t t e (2 et ) t Gọi P(t ) , Q ma trận đối xứng, xác định dương thỏa mãn phương trình Ricati vi phân e P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t) t P (t).B(t) B '( t) P ( t) Q p1 (t ) Để đơn giản, ta giả sử P(t ) p (t ) ,Q q1 0 q , Ta có e P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t) t ' p (t ) p ' (t ) et p1 (t ) 0 0 t e (2 et t ) p1 (t ) 1 t e (2 et p1 (t ) 0 p (t ) P (t).B(t) B '( t) P ( t) Q p (t ) t ) 0 t t p (t ) p1 (t ) q1 0 q p (t ) 36 p1 (t ) ' p (t ) p ' (t ) 1 t e (2 et p1 (t ) t t e (2 et ) p (t ) p1' (t ) p1 (t ) q1 p ' (t ) t e (2 et t ) p (t ) et 0 t p (t ) q1 0 q 0 t ) (1 p (t )) q1 p1' (t ) p1 (t ) q p ' (t ) t e (2 et Chọn p1 (t ) e t ; p (t ) e q1 t et t )(1 p (t )) p (t ) q t et p (t ) t q e Khi P(t ) t e t ,Q thỏa mãn phương trình Ricati P(t ) A '(t ).PI (t ) PI (t ) A(t) Do hệ cho ổn định hóa e t P (t).B(t) B '( t) P ( t) Q 37 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính Các kết luận văn là: - Giới thiệu cách tổng quan kiến thức sở tốn điều khiển được; lí thuyết ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính - Trình bày số tiêu chuẩn ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính tơ nơm hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng tơ nơm - Đưa ví dụ minh họa áp dụng tiêu chuẩn 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tài liêu tiếng Việt: [1] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển Toán học, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo Dục II Tài liệu tiếng Anh: [3] Ahmed N.U (1982) Element of Finite Dimensional Systems and Control Theory, Longman, New York [4] Zabczyk.J (1992), Mathematical Control Theory, Birkhauser, Berlin