(Luận văn) bài toán xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt tuyến tính một chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– lu an ĐỖ THỊ TUYẾT NGA n va p ie gh tn to d oa nl w BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th THÁI NGUYÊN - 6/2020 si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ TUYẾT NGA lu an n va gh tn to p ie BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH MỘT CHIỀU d oa nl w an lu oi lm ul nf va Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 z at nh z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THỊ NGỌC OANH m co l gm @ an Lu n va ac th THÁI NGUYÊN - 6/2020 si Mục lục Trang Danh sách bảng lu Danh sách hình vẽ an n va gh tn to Lời nói đầu p ie Một số kiến thức nl w Chương d oa 1.1 Giới thiệu toán an lu 1.2 Rời rạc hóa tốn 14 14 va 1.2.1 Rời rạc hóa tốn thuận theo biến khơng gian Bài tốn xác định nguồn cho phương trình z at nh Chương oi lm ul nf 1.2.2 Rời rạc toán thuận theo biến thời gian 16 truyền nhiệt tuyến tính chiều 19 z 2.1 Bài toán biến phân 20 @ gm 2.2 Rời rạc toán biến phân 22 l 2.3 Phương pháp gradient liên hợp 25 m co 2.4 Ví dụ số 28 an Lu Kết luận 34 n va ac th si 35 Tài liệu tham khảo lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Danh sách hình vẽ 2.1 Ví dụ 1: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu lu an = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng va ω cho công thức (2.28) 30 n tn to 2.2 Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu gh = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng 30 p ie ω cho công thức (2.28) Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu w 2.3 oa nl = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng d ω cho cơng thức (2.28) lu Ví dụ 1: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu an 2.4 31 nf va = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng 2.5 32 oi lm ul ω cho cơng thức (2.29) Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu z at nh = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho cơng thức (2.29) Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu z 2.6 32 @ 33 m co l ω cho công thức (2.29) gm = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng an Lu n va ac th si Danh sách bảng 2.1 lu Tham số hiệu chỉnh γ, số bước lặp n∗ , sai số kf −fn∗ kL2 (0,T ) an giá trị phiếm hàm Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω cho theo va công thức (2.28) 31 n tn to 2.2 Tham số hiệu chỉnh γ, số bước lặp n∗ , sai số kf −fn∗ kL2 (0,T ) gh giá trị phiếm hàm Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω cho theo p ie công thức (2.29)) 33 d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời nói đầu Trong nhiều nghiên cứu thực tế, hàm nguồn trình truyền lu nhiệt yêu cầu cần phải xác định từ vài thông số ta an va quan sát hay đo [1, 2, 4, 5] Đây toán ngược xác n định hàm vế phải hay phần hàm vế phải (hàm nguồn) phương gh tn to trình truyền nhiệt Vì ứng dụng quan trọng thực tế nên ie có nhiều nghiên cứu lý thuyết giải số phát triển p [1, 3, 5, 6] nl w Bài tốn ngược tốn đặt khơng chỉnh Một toán d oa gọi đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard thỏa mãn tất điều kiện: an lu i) Tồn nghiệm; ii) Nghiệm nhất; iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện tốn Nếu điều kiện khơng va ul nf thỏa mãn tốn gọi đặt khơng chỉnh Bài tốn đặt không oi lm chỉnh thường gây nhiều vấn đề nghiêm trọng làm cho nghiệm số cổ điển không ổn định, tức sai số nhỏ kiện đầu vào z at nh dẫn tới sai số lớn với nghiệm Ta xét ví dụ sau đây: z @ Xét chuỗi Fourier ∞ X an cos nt = f (t) ∼ (a0 , a1 , , ) l gm n=0 (0.1) m co Chọn an = an + n , n ≥ a0 = a0 Trong chuẩn l2 , ta có ∞ ∞ X X 2 1/2 1/2 = = n n2 n=1 n=1 π =  √ −→ 0,  → an Lu k(a1 , a2 , ) − (a1 , a2 , )kl2 (0.2) n va ac th si Mặt khác  kf (t) − f (t)kC[0,π] ∞ X  = ∞ = n n=0 (0.3) Từ phương trình (0.2) (0.3) ta có hệ số sai khác nhỏ dẫn tới sai khác hàm vế phải f (t) Nội dung luận văn trình bày chương: Chương giới thiệu số kiến thức chuẩn bị, phương trình truyền nhiệt chiều dạng tổng quát, toán thuận, phương pháp sai phân lu an hữu hạn rời rạc toán thuận va Chương nghiên cứu toán xác định hàm vế phải cách sử n thức gradient phiếm hàm mục tiêu tính thơng qua nghiệm gh tn to dụng phương pháp biến phân kết hợp với hiệu chỉnh Tikhonov, cơng p ie tốn liên hợp trường hợp liên tục (Định lý 2.1) w trường hợp rời rạc (Định lý 2.2) Trong chương này, chúng tơi trình oa nl bày lại phương pháp gradient liên hợp để tìm cực tiểu phiếm hàm mục d tiêu Luận văn trình bày vài ví dụ số minh họa cho phương an lu pháp số đề xuất với tính chất khác hàm vế phải cần tìm nf va Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến oi lm ul TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh người trực tiếp hướng dẫn luận văn, tận tình bảo hỗ trợ tơi tìm hướng nghiên cứu, tiếp cận thực z at nh tế, tìm kiếm tài liệu, xử lý phân tích số liệu, giải vấn đề để tơi hoàn thành luận văn khoa học z Ngoài ra, trình học tập, nghiên cứu thực đề tài tơi @ gm cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, giúp đỡ quý thầy cô, đồng l nghiệp, bạn bè người thân Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến: m co • Những người thân gia đình hỗ trợ, tạo điều kiện thuận lợi Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên an Lu cho suốt thời gian tơi theo học khóa thạc sỹ trường Trường n va • Q thầy Khoa Tốn- Tin q thầy phịng Đào tạo - KHCN ac th HTQT, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên truyền si đạt cho tơi kiến thức bổ ích suốt hai năm học vừa qua • Bạn bè, đồng nghiệp ln động viên, hỗ trợ tơi q trình học tập nghiên cứu! Tôi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2020 Học viên lu an Đỗ Thị Tuyết Nga n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức lu an va n Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức định nghĩa nghiệm yếu phương pháp sai phân rời rạc tốn thơng ie gh tn to sử dụng luận văn như: số khơng gian hàm, tốn thuận, p qua lược đồ Crank-Nicolson w Giới thiệu toán oa nl 1.1 d Cho Ω = (0, L) ⊂ R and Q = (0, L) × (0, T ), S = {0, 1} × (0, T ) Xét an lu nf va phương trình    u − (a(x, t)ux )x + b(x, t)u = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t),    t u(x, t) = 0, (x, t) ∈ S,     u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω oi lm ul (x, t) ∈ Q, z at nh (1.1) z Trong a, b ϕ khơng gian L∞ (Q), g ∈ L2 (Q), f ∈ L2 (0, T ) @ nữa, ϕ ≥ ϕ > 0, (1.2) an Lu với ϕ số m co l gm u0 ∈ L2 (Ω) Giả sử a ≥ a > với a số b ≥ Hơn va Định nghĩa 1.1 (Bài toán thuận) [5] Khi hệ số a(x, t), b(x, t), n ac th điều kiện ban đầu u0 , hàm vế phải biết (gồm f (t), ϕ(x, t), g(x, t)), si 17 Ta viết lại dạng  um+1 = Am um + ∆tB m F m+1/2 , u0 = u (1.27) ∆t m −1 ∆t m Λ ) (E − Λ ), 2 ∆t m −1 B m = (E + Λ ) , E ma trận đơn vị Am = (E + lu an va Ký hiệu (·, ·) k · k tương ứng tích vơ hướng chuẩn Euclide n không gian RNx Ta nhận kết tính ổn định lược đồ sai gh tn to phân sau p ie Bổ đề 1.2 Lược đồ (1.27) ổn định oa nl w Chứng minh Từ phương trình (1.27) ta nhận kum+1 k ≤ k(E+ d ∆t m −1 ∆t ∆t Λ ) (E− Λm )kkum k+∆tk(E+ Λm )−1 kkF m+1/2 k 2 (1.28) an lu k(E + oi lm ul lý 2.1, p 220] ta có nf va Mặt khác, Λm nửa xác định dương, sử dụng bổ đề Kellogg [3, Định ∆t m −1 ∆t m Λ ) (E − Λ )k ≤ 2  ((E + ∆t m Λ )φ, (E + ∆t m Λ )φ) (φ, φ) ((φ, φ) + ∆t(Λφ, φ) + an Lu φ (φ, φ) m co = sup (ϕ, ϕ) l φ  gm = sup + ∆t m −1 Λ ) ϕ @ (E + ∆t m −1 Λ ) k = sup ϕ ∆t m −1 Λ ) ϕ, (E z k(E + z at nh Hơn ≤ n va ∆t2 m m (Λ φ, Λ φ) ac th si 18 Do vậy, từ phương trình (1.28) ta nhận kum+1 k ≤ kum k + kF m+1/2 k, kum k ≤ kum−1 k + kF m−1/2 k, ··· ku1 k ≤ ku0 k + kF 1/2 k Đặt kvk = ku0 k, kf k = max kF m+1/2 k, ta có m lu kum+1 k ≤ kvk + (m + 1)∆tkf k (1.29) an n va Như vậy, lược đồ sai phân (1.27) ổn định số dương cdd không phụ thuộc vào hệ số a b thỏa mãn Nx M X X p ie gh tn to Chú ý, tài liệu [1] tác giả chứng minh tồn k,m |u | 1/2 m=0 k−0 w ≤ cdd |uk0 |2 1/2 + Nx M X X d oa nl Nx  X (1.30)  |f m ϕk,m + g k,m |2 )1/2 m=0 k−0 k−0 oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 19 Chương Bài toán xác định nguồn cho lu an n va phương trình truyền nhiệt tuyến p ie gh tn to tính chiều nl w Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn tìm lại thành phần d oa phụ thuộc thời gian vế phải phương trình từ quan sát tích an lu phân (như trình bày Phần Lời nói đầu, tốn ngược, đặt khơng chỉnh) Tức ta xây dựng lại hàm f (t) hàm vế phải Z oi lm ul nf va từ quan sát tích phân ω(x)u(x, t)dx = h(t), t ∈ (0, T ), lu(x, t) = Ω z at nh ω(x) ∈ L∞ (Ω) hàm trọng R Ω ω(x)dx (2.1) > 0, kiện quan sát h giả thiết không gian L2 (0, T ) z gm @ Với mục đích đó, chúng tơi đưa toán toán biến phân cực tiểu hóa phiếm hàm mục tiêu, đồng thời cơng thức gradient l m co phiếm hàm dạng liên tục rời rạc thông qua nghiệm tốn liên hợp Thuật tốn sử dụng tìm cực tiểu phiếm hàm mục an Lu tiêu thuật toán gradient liên hợp Đồng thời chương này, chúng n pháp đề xuất va tơi trình bày vài thử nghiệm số để minh họa cho phương ac th si 20 2.1 Bài toán biến phân Như giới thiệu Chương 1, ta sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu đưa tốn tốn biến phân cực tiểu hóa phiếm hàm mục tiêu (đã đánh số lại cho tiện theo dõi) γ Jγ (f ) = klu(f ) − hk2L2 (0,T ) + kf − f ∗ k2L2 (0,T ) 2 (2.2) với γ tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm f ∗ ước lượng lu f ∈ L2 (0, T ) an n va Sử dụng công thức Green Định lý 1.1 [7, Định lý 3.18], (x, t) ∈ Q, p ie gh tn to toán liên hợp cho tốn (1.1) có dạng   ∂p ∂ ∂p
   − − a(x, t) + b(x, t)p = ω(x) (lu(t) − h(t)) ,   ∂t ∂x ∂x p(x, t) = 0, (x, t) ∈ S,      p(x, T ) = 0, x ∈ Ω oa nl w (2.3) d an lu Phiếm hàm (2.2) khả vi Fréchet công thức gradient phiếm nf va hàm cho thông qua định lý oi lm ul Định lý 2.1 Phiếm hàm Jγ khả vi Fréchet cơng thức gradient ∇Jγ (f ) f có dạng ∇Jγ (f ) = Ω z at nh Z p(x, t)ϕ(x, t)dx + γ(f (t) − f ∗ (t)), (2.4) z gm @ với p(x, t) nghiệm toán liên hợp (2.3) Chứng minh Ta ý rằng, đổi chiều thời gian toán liên l m co hợp (2.3) ta nhận dạng toán thuận (1.1) Do nghiệm toán liên hợp hiểu theo nghĩa nghiệm yếu tồn an Lu nghiệm yếu khơng gian W (0, T ) cho tốn liên va hợp n Ký hiệu h·, ·i tích vô hướng L2 (0, T ) Cho biến phân nhỏ δf ac th si 21 f , ta có 1 J0 (f + δf ) − J0 (f ) = klu(f + δf ) − hk2L2 (0,T ) − klu(f ) − hk2L2 (0,T ) 2 = hlδu(f ), lu(f ) − hi + klδu(f )k2L2 (0,T ) , lu δu(f ) nghiệm toán   ∂δu ∂ ∂δu
   − a(x, t) + b(x, t)δu = δf (t)ϕ(x, t),   ∂t ∂x ∂x (x, t) ∈ Q, (x, t) ∈ S, an δu(x, t) = 0,      δu(x, 0) = 0, n va x ∈ Ω Từ ước lượng (1.5) ta nhận ie gh tn to (2.5) p klδu(f )k2L2 (0,T ) = o(kδf kL2 (0,T ) ) kδf kL2 (0,T ) → oa nl w Ta có d J0 (f + δf ) − J0 (f ) = hlδu, lu − hi + o(kδf kL2 (0,T ) ) Z T Z 
= ωδudx lu − h dt + o(kδf kL2 (0,T ) ) Z0 T Z Ω  ωδu(lu − h)dx dt + o(kδf kL2 (0,T ) ) = Ω Z TZ = ωδu(lu − h)dxdt + o(kδf kL2 (0,T ) ) oi lm ul nf va an lu Ω z at nh Sử dụng công thức Green Định lý 1.1 [7, Định lý 3.18] z Do T Z J0 (f + δf ) − J0 (f ) = ac th Ω n = D δf ϕpdxdt + o(kδf kL2 (0,T ) ) E ϕ(x, t)p(x, t)dx, δf + o(kδf kL2 (0,T ) ) Ω va 0Z δf ϕpdxdt Ω an Lu Z Z m co Ω T l gm @ cho (2.3) (2.5), ta có Z TZ Z ωδu(lu − h)dxdt = si 22 Như vậy, J0 khả vi Fréchet gradient J0 có dạng Z ∇J0 (f ) = ϕ(x, t)p(x, t)dx Ω Từ đẳng thức này, ta nhận công thức (2.4) Định lý chứng minh xong 2.2 Rời rạc toán biến phân Tiếp theo mục này, rời rạc phiếm hàm mục tiêu J0 (f ) lu an sau: n va J0h,∆t (f ) := M ∆t X |∆h Nx X (2.6) k=0 uk,m (f ) nhấn mạnh phụ thuộc nghiệm u vào f m gh tn to m=1 ω k uk,m (f ) − hm |2 , p ie số điểm lưới theo trục thời gian Kí hiệu ω k = ω(xk ) xấp xỉ nl w hàm ω(x) Ω điểm xk , ví dụ lấy k d oa ω = |ω(k)| Z ω(x)dx (2.7) ω(k) lu nf va an Để đơn giản ký hiệu, ta sử dụng ký hiệu f với nghĩa hàm lưới xác P m 1/2 định lưới {0, ∆t, , M ∆t} với chuẩn kf k = (∆t M m=0 |f | ) oi lm ul Do xấp xỉ lh u(f ) lu(f ) có dạng z at nh lh u(f ) = (lh0 u(f ), lh1 u(f ), , lhM u(f )) với z m = 0, 1, , M (2.8) m co l k=0 ω k uk,m (f ), gm = ∆h Nx X @ lhm u(f ) Để cực tiểu hóa phiếm hàm (2.6) phương pháp gradient liên thông qua định lý sau an Lu hợp, trước tiên ta cần tính gradient phiếm hàm mục tiêu J0h,∆t (f ) va n Định lý 2.2 Gradient ∇J0h,∆t (f ) hàm mục tiêu J0h,∆t f cho ac th si 23 ∇J0h,∆t (f ) = M −1 X ∆t(B m )∗ ϕm η m , (2.9) m=0 η nghiệm tốn rời rạc    η m = (Am+1 )∗ η m+1 + ψ m+1 , m = M − 2, , 0,    η M −1 = ψ M ,     η M = 0, (2.10) lu an với va m  n ψ = ψ k,m k = ω ∆h Nx X
ω k uk,m (f )−hm , k ∈ Ωh , m = 0, 1, , M to k=0 tn (2.11) gh p ie ma trận (Am )∗ (B m )∗ cho ∆t m Λ )(E + ∆t m Λ )(E + (B m )∗ = (E − ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 Λ ) (E − Λ1 )(E + Λ ) , 4 ∆t m −1 Λ ) (2.12) d oa nl w (Am )∗ = (E − va an lu Chứng minh Cho biến phân nhỏ δf f , từ công thức (2.6) ta nhận nf oi lm ul J0h,∆t (f + δf ) − J0h,∆t (f ) m=1 ∆hω v 2 + ∆t M X ∆h m=1 k k,m ∆hω v 2 + ∆t M X ∆hω v +∆t M X k=0 Nx X k=0 hv m , ψ m i n m=1 v k,m ψ k,m va
k k,m v k,m ω k (lhm u(f ) − hm ) an Lu m=1 ∆h Nx X m co m=1 k=0
2 l k k,m m=1 k=0 Nx M X ∆t X lhm u(f ) − hm gm = − m=1 k∈Ωh Nx  M X ∆t X M ∆t X @ = + δf ) − h m=1 M X  ∆t X
m z = lhm u(f z at nh = M ∆t X ac th (2.13) si 24 v m = {v k,m := uk,m (f + δf ) − uk,m (f )} Từ (1.27) ta có v nghiệm tốn  v m+1 = Am v m + ∆tB m δf ϕm , m = 0, , M − 1, v = (2.14) Nhân vô hướng hai vế phương trình thứ m (2.14) với véc tơ η m ∈ RNx cộng kết lại theo m = 0, , M − 1, ta nhận M −1 X lu hv m+1 M −1 X m ,η i = an m=0 va m=0 M −1 X n = m m m hA v , η i + ∆t hv m , A
m ∗ M −1 X hB m δf ϕm , η m i m=0 M −1 X η m i + ∆t to m=0 (2.15) hB m δf ϕm , η m i m=0 gh tn Trong đó, ký hiệu h·, ·i tích vơ hướng RNx Am
∗ ma trận p ie liên hợp ma trận Am Nhân vô hướng hai vế phương trình (2.10) với véc w m ,η i = M −2 X hv m+1 , (A m+1 ∗ m+1 )η i+ M −2 X an lu hv m+1 d M −2 X oa nl tơ v m+1 , lấy tổng theo m = 0, , M − 2, ta nhận m=0 m=0 va m=0 M −1 X hv m , (Am )∗ η m i + M −1 X (2.16) hv m , ψ m i m=1 oi lm m=1 ul nf = hv m+1 , ψ m+1 i Nhân vô hướng hai vế phương trình thứ hai (2.10) với véc tơ z at nh v M , ta có hv M , η M −1 i = hv M , ψ M i z (2.17) @ m M , η i+hv , η M −1 i= m=0 M −1 X m m ∗ m hv , (A ) η i+ m=1 m m hv m , ψ m i + hv M , ψ M i m=1 ac th hB δf ϕ , η i = M −1 X n m=0 m va η i + ∆t M −1 X (2.18) an Lu hv , A
∗ hv m , ψ m i+hv M , ψ M i m=1 Từ (2.15), (2.18) ta nhận M −1 X m co hv m+1 l M −2 X gm Từ (2.16) (2.17), ta nhận si 25 Vì v = nên ∆t M −1 X m m m hB δf ϕ , η i = m=0 M −1 X m m M M X M hv , ψ i + hv , ψ i = m=1 hv m , ψ m i m=1 (2.19) Mặt khác từ đánh giá (1.30) ta có Nx M X X
2 ω k v k,m = o(kf k) m=1 k=0 lu Do từ (2.13) (2.19) ta nhận an + δf ) − J0h,∆t (f ) = ∆t n va J0h,∆t (f M −1 X hδf, (B m )∗ ϕm η m i + o(kf k) (2.20) m=0 gh tn to Như vậy, J0h,∆t khả vi gradient phiếm hàm J0h,∆t có dạng p ie (2.9) w Chú ý Vì ma trận Λ đối xứng, ta có với m = 0, , M ∆t m −1 ∆t m ∆t m −1 ∆t m Λ )(E + Λ ) (E − Λ )(E + Λ ) 4 4 d oa nl (Am )∗ = (E − lu Và an ∆t m ∆t m −1 Λ )(E + Λ ) 4 Định lý chứng minh xong 2.3 oi lm ul nf va (B m )∗ = (E − Phương pháp gradient liên hợp z at nh Khi ta ước lượng gradient Jγ , ta sử dụng thuật tốn z gradient liên hợp để tìm cực tiểu phiếm hàm mục tiêu (1.14) Quá @  −∇Jγ (f k ) k d = −∇J (f k ) + β k dk−1 l γ k > 0, k2 , αk = argminα≥0 Jγ (f k + αdk ) (2.22) ac th k ∇Jγ (f k−1 ) n k ∇Jγ (f k ) k2 va β = (2.21) an Lu k k = 0, m co f k+1 = f k + αk dk , gm trình tính sau: si 26 Để tính αk , ta thực sau Ký hiệu u˜[f ] nghiệm toán   n ∂ ∂u P ∂u
   − (x, t) + b(x, t)u = f (t)ϕ(x, t), (x, t) ∈ Q,   ∂t i=1 ∂xi ∂xi  u(x, t) = 0,     u(x, 0) = 0, (x, t) ∈ S, x ∈ Ω, (2.23) lu u[u0 , g] nghiệm   n ∂ ∂u P ∂u
   − a (x, t) + b(x, t)u = g(x, t),   ∂t i=1 ∂xi i ∂xi an (x, t) ∈ Q, n va (2.24) gh tn to  u(x, t) = 0, (x, t) ∈ S,     u(x, 0) = u (x), x ∈ Ω p ie Khi w lu(f ) = l˜ u[f ] + lu[u0 , g] := Af + lu[u0 , g] d L2 (0, T ) oa nl Af := l˜ u[f ] tốn tử tuyến tính bị chặn từ L2 (0, T ) vào lu va an Ta có αk nghiệm toán cực tiểu sau oi lm ul nf αk = argminα≥0 Jγ (f k + αdk ) Ta có z at nh γ Jγ (f k + αdk ) = klu(f k + αdk ) − hk2L2 (0,T ) + kf k + αdk − f ∗ k2L2 (0,T ) 2 γ = kA(f k + αdk ) + lu[u0 , g] − hk2L2 (0,T ) + kαdk + f k − f ∗ k2L2 (0,T ) 2 γ = kαAdk + lu(f k ) − hk2L2 (0,T ) + kαdk + f k − f ∗ k2L2 (0,T ) 2 z = αkAdk k2L2 (0,T ) + hAdk , lu(f k ) − hiL2 (0,T ) ac th + γαkdk k2L2 (0,T ) + γhdk , f k − f ∗ iL2 (0,T ) n va dα an Lu dJγ (f k + αdk ) m co l gm @ Đạo hàm Jγ (f k + αdk ) theo α có dạng: si 27 Cho dJγ (f k + αdk ) dα k α =− =− =− hAdk , lu(f k ) − hiL2 (0,T ) + γhdk , f k − f ∗ iL2 (0,T ) kAdk k2L2 (0,T ) + γkdk k2L2 (0,T ) hdk , A∗ (lu(f k ) − h)iL2 (0,T ) + γhdk , f k − f ∗ iL2 (0,T ) kAdk k2L2 (0,T ) + γkdk k2L2 (0,T ) (2.25) hdk , A∗ (lu(f k ) − h) + γ(f k − f ∗ )iL2 (0,T ) kAdk k2L2 (0,T ) + γkdk k2L2 (0,T ) lu an n va =− = 0, ta nhận hdk , ∇Jγ (f k )iL2 (0,T ) kAdk k2L2 (0,T ) + γkdk k2L2 (0,T ) p ie gh tn to Từ (2.21), αk tính theo cơng thức    h−∇Jγ (f k ), ∇Jγ (f k )iL2 (0,T )    − kAdk k2 k L2 (0,T ) + γkd kL2 (0,T ) k α =  h−∇Jγ (f k ) + β k dk−1 , ∇Jγ (f k )iL2 (0,T )     − kAdk k2L2 (0,T ) + γkdk k2L2 (0,T ) (2.26) k > d oa nl w k = 0, an lu Do đó, nf va α = oi lm ul k∇Jγ (f k )k2L2 (0,T ) k kAdk k2L2 (0,T ) + γkdk k2L2 (0,T ) , k = 0, 1, 2, (2.27) z at nh Phương pháp gradient liên hợp áp dụng cho phiếm hàm (2.6) có dạng sau z @ Bước Cho xấp xỉ ban đầu f ∈ RM +1 tính phần dư rˆ0 = gm (lh1 u(f ) − h1 , lh2 u(f ) − h2 , , lhM u(f ) − hM ) việc giải lược đồ m co l (1.27) với f thay giá trị ban đầu xấp xỉ f đặt k = Bước Tính gradient r0 = −∇Jγ (f ) cho công thức (2.9) an Lu việc giải toán liên hợp (2.10) Sau đó, đặt d0 = r0 Bước Tính ac th klh d0 k2 + γkd0 k2 n α = kr0 k2 va si 28 lh d0 tính từ lược đồ (1.27) với f thay d0 g(x, t) = 0, u0 = Tiếp theo, đặt f = f + α d0 Bước Với k = 1, 2, · · · , tính rk = −∇Jγ (f k ), dk = rk +β k dk−1 , krk k2 k β = krk−1 k2 lu Bước Tính αk an krk k2 k n va α = klh dk k2 + γkdk k2 0, u0 = Tiếp theo, đặt ie gh tn to với lh dk tính từ lược đồ (1.27) với f thay dk g(x, t) = p f k+1 = f k + αk dk w Ví dụ số d oa nl 2.4 an lu Trong mục này, chúng tơi trình bày vài ví dụ số minh họa cho thuật toán đề xuất Cho T = 1, chúng tơi thử nghiệm thuật tốn xây va oi lm toán sau ul nf dựng lại thành phần phụ thuộc thời gian f (t) hàm vế phải cho ≤ t ≤ 0.5 z , 0.5 ≤ t ≤ 0.25 ≤ t ≤ 0.75 m co ngược lại l gm @  1 • Ví dụ 3: f (t) = 0 z at nh • Ví dụ 1: f (t) = sin(πt),  2t • Ví dụ 2: f (t) = 2(1 − t) an Lu Lý chọn hàm mức độ trơn khác với hàm phải tìm n khả vi t = 0.5 ví dụ cuối hàm gián đoạn va Ví dụ thứ hàm trơn, ví dụ thứ hai hàm liên tục không ac th si 29 Khi thực ví dụ số này, chúng tơi chọn hàm u nghiệm phương trình (1.1), chọn hàm ϕ f , sau tính hàm g vế phải (1.1) Khi có u chúng tơi tính lu = h đặt nhiễu kiện quan sát h, thử nghiệm số thực với nhiễu khác nhau, thuật toán dừng kf k+1 − f k k đủ nhỏ lu Cho Ω = (0, 1) Ta xây dựng hàm f từ hệ    u − uxx = f (t)ϕ(x, t) + g(x, t), < x < 1, < t < 1,    t u(0, t) = u(1, t) = 0, < t < 1,     u(x, 0) = u0 (x), < x < an n va sau cho hàm f hàm Ví dụ 1, Ví dụ 2, Ví dụ gh tn to Cho u(x, t) = sin(πx)(1 − t), u0 (x) = sin(πx), ϕ(x, t) = (x2 + 5)(t2 + 5) p ie 3, sau tính g(x, t) Đối với quan sát lu chọn hàm trọng sau (2.28) d oa nl w ω(x) = x2 + 2 với  = 0.01 (2.29) ngược lại ul nf 0 x ∈ (x0 − , x0 + ) va ω(x) = an lu  1 quan sát điểm oi lm Chú ý toán tử quan sát với hàm trọng (2.29) xem z at nh Các kết số minh họa từ Hình 2.1-Hình 2.6 Từ kết z ta thấy thuật toán hữu hiệu nhiễu đầu @ vào lớn 10% Trong Bảng Bảng 2, liệt kê tương ứng gm m co tiêu l tham số hiệu chỉnh, sai số L2 , số bước lặp giá trị hàm mục an Lu n va ac th si 30 Noise=0.01 Exact.Sol 1 0.8 0.8 f(t) f(t) Noise=0.1 Exact.Sol 0.6 0.6 0.4 0.2 0.2 lu 0.4 an n va to 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 t gh tn t p ie Hình 2.1: Ví dụ 1: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.28) d oa nl w an lu oi lm ul 0.8 0.8 f(t) z at nh f(t) Noise =0.01 Exact.Sol nf va Noise =0.1 Exact.Sol 0.6 0.6 0.4 z 0.2 0.2 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 0 t 0.2 m co l gm @ 0.4 0.6 0.8 t an Lu Hình 2.2: Ví dụ 2: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu n va = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.28) ac th si 31 Noise=0.1 Exact.Sol Noise=0.01 Exact.Sol 0.8 0.8 0.6 0.6 f(t) f(t) 0.4 0.2 0.2 0 lu 0.4 an n va to 0.2 0.4 0.6 0.8 −0.2 0.2 0.4 0.6 t 0.8 t p ie gh tn −0.2 Hình 2.3: Ví dụ 3: So sánh nghiệm xác nghiệm số với nhiễu = 0.1 (bên trái) nhiễu d oa nl w = 0.01 (bên phải) Hàm trọng ω cho công thức (2.28) kf − fn∗ kL2 (0,T ) 0.05 9.7E − 1.501E − 10−2 0.01 10 2.0E − 2.4957E − 10−1 0.05 13 8.9E − 8.4764E − 10−2 0.01 15 5.9E − 1.6665E − 3 10−1 0.05 18 9.8E − 1.2768E − 10−2 0.01 29 8.4E − Nhiễu 10−1 z at nh n∗ @ oi lm ul nf va an lu γ Ví dụ Jγ (fn∗ ) z l gm 2.541E − m co Jγ (fn∗ ) (hàm trọng ω cho theo công thức (2.28) an Lu Bảng 2.1: Tham số hiệu chỉnh γ , số bước lặp n∗ , sai số kf − fn∗ kL2 (0,T ) giá trị phiếm hàm n va ac th si