(Luận văn) bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - NGUYỄN VŨ THỤ NHÂN lu an n va p ie gh tn to BÀI TOÁN BIÊN HAI ðIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC HAI d oa nl w oi lm ul nf va an lu Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 z at nh LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC z gm @ m co l NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN an Lu Tp Hồ Chí Minh – 2008 n va ac th si LỜI CẢM ƠN ðầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc ñối với PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN – Khoa Toán – Tin học, Trường ðại học Sư Phạm dành thời gian cơng sức tận tình hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q Thầy Cơ Hội ñồng chấm luận văn ñã dành thời gian ñọc, chỉnh sửa ñóng góp ý kiến giúp cho tơi hồn thành lu luận văn cách hồn chỉnh an va Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám Hiệu trường ðH Sư n phạm Tp.HCM, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn - Tin học, Phịng KHCN – SðH gh tn to quý Thầy Cô giảng dạy, tạo điều kiện cho chúng tơi hồn thành khóa học p ie Và để có kết ngày hơm nay, tơi giúp đỡ nl w tận tình Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý, nhận ñược lời d oa động viên, đóng góp ý kiến bạn ñồng nghiệp Khoa Vật Lý – Trường an lu ðH Sư phạm Tp.HCM bạn bè người thân ðặc biệt, xin dành tặng kết cho ba mẹ gia đình thân u va ul nf – người ln tạo ñiều kiện, hỗ trợ ñộng viên oi lm tơi vượt qua khó khăn bước đường nghiên cứu khoa học Cuối cùng, trình viết luận văn này, khó tránh khỏi z at nh thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Mọi ý kiến đóng góp, xin gửi theo ñịa chỉ: z gm @ Nguyễn Vũ Thụ Nhân Khoa Vật Lý, Trường ðại học Sư Phạm Tp.HCM l Email: nguyenvuthunhan@gmail.com an Lu Xin chân thành cảm ơn m co 280 An Dương Vương, Quận 5, Tp.HCM n va ac th si Mục lục Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục .3 Danh mục ký hiệu MỞ ðẦU .8 lu an Chương GIỚI THIỆU BÀI TOÁN .10 va n Chương MỘT SỐ CÔNG CỤ, KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12 to BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TỐN KHƠNG THUẦN NHẤT 12 p ie gh tn 2.1.1 ðịnh nghĩa 2.1.1 .12 oa nl w 2.1.2 ðịnh nghĩa 2.1.2 .12 2.1.3 Bổ ñề 2.1.1 (bổ ñề tính giải ñược phương trình vi phân d an lu hàm khơng nhất) 13 BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TỐN PHI TUYẾN17 oi lm ul 2 nf va 2.1.4 Bổ ñề 2.1.2 .15 2.2.1 ðịnh nghĩa 2.2.1 .17 z at nh 2.2.2 ðịnh nghĩa 2.2.2 .17 2.2.3 Mệnh ñề 2.2.1 ([8]) 17 z gm @ 2.2.4 Mệnh ñề 2.2.2 ([8]) 18 l 2.2.5 Bổ ñề 2.2.1 .18 m co 2.2.6 Mệnh ñề 2.2.3 19 an Lu 2.2.7 Mệnh đề 2.2.4 (Tính chất tập V0 ((a; b); ℓ) 19 2.2.8 Bổ ñề 2.2.2 20 n va ac th si Chương CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA BÀI TỐN BIÊN HAI ðIỂM .23 BÀI TOÁN (1.1), (1.2) 23 3.1.1 ðịnh lý 3.1.1 23 3.1.2 Bổ ñề 3.1.1 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận) 23 3.1.3 Hệ 3.1.1 .27 3.1.4 Hệ 3.1.2 .28 3.1.5 ðịnh lý 3.1.2 30 lu an 3.1.6 Bổ ñề 3.1.2 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận) 30 va n 3.1.7 ðịnh lý 3.1.3 34 to tn 3.1.8 Bổ ñề 3.1.3 .35 p ie gh ðịnh lý 3.1.3’ .39 3.1.9 Hệ 3.1.3 .39 Hệ 3.1.4 42 oa nl w 3.1.10 BÀI TỐN (1.1), (1.2) CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM d an lu VỚI PHẦN CHÍNH KHƠNG TĂNG 45 nf va 3.2.1 ðịnh lý 3.2.1 45 oi lm ul 3.2.2 Bổ ñề 3.2.1 .45 3.2.3 Bổ ñề 3.2.2 .47 z at nh 3.2.4 Hệ 3.2.1 .51 3.2.5 Hệ 3.2.2 .55 z gm @ 3.2.6 Hệ 3.2.3 .56 l 3.2.7 Hệ 3.2.4 .58 m co KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 64 an Lu TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 n va ac th si Danh mục ký hiệu
R: tâp hợp số thực
R+ = [0, + ∞)
N: tập hợp số tự nhiên
C ([a ; b]; R) không gian ánh xạ liên tục u: [a, b] → R [a ; b] với chuẩn: || u ||C = max { |u(t)|: a ≤ t ≤ b} lu
C0 ([a ; b]; R) = { u ∈ C( [a ; b]; R) : u(a) = 0, u(b) = 0} an n va
C1([a ; b]; R) không gian ánh xạ khả vi, liên tục u: [a, b] → R tn to với chuẩn: u C1 = u C + u' C { } ie gh
C01 ([ a ; b]; R) = u ∈ C1 ([a; b]; R) : u (a) = 0, u (b) = p
' ([a ; b]; R) khơng gian hàm liên tục tuyệt đối [a ; b],
C b u d chuẩn: oa nl w với ñạo hàm cấp liên tục tuyệt ñối, hàm u: [a ; b] → R với lu ' C = u ( a ) + ∫ u '( s ) ds a an nf va ' 
C loc ( I ; D ) (với I ⊂ [a ; b] D ⊂ R) tập hợp ánh xạ u: I →D oi lm ul ' ( I0 ; D) với tập compact I0 ⊂ I liên tục tuyệt ñối I cho u ∈ C ' ([a ; b]; (0, + ∞)) = {u ∈ C ' ([a ; b]; R): u(t) > 0, ∀ a ≤ t ≤ b}
C z at nh
L ([ a; b ]; R ) không gian hàm f : [a ; b] → R khả tích Lebesgue f L = ∫ f ( s ) ds gm a @ [a ; b] với chuẩn: z b m co l
L ( ( a; b ) ; R+ ) = { f ∈ L(( a; b); ℝ ) : f (t ) ≥ 0, ∀a < t < b} an Lu n va ac th si
LP((a ; b); R), p> 1, không gian hàm f : (a ; b) → R, f P ∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , với chuẩn f 1/ p Lp b  p =  ∫ f ( s ) ds  a 
K ( ( a; b ) xR n ; D ) , n ∈ N , D ⊂ R , tập hợp ánh xạ f : ( a; b ) x R n → D thỏa mãn ñiều kiện Caratheodory ñịa phương, nghĩa là: f (., x ) : ( a; b ) → D ño ñược với x ∈ Rn
lu  sup an { f (., x ) , x ∈ D } ∈ L ( ( a;b ) , R ) + với tập compact n va D0 ∈ R n tn to  f ( t ,.) : R n → D liên tục hầu khắp nơi với t ∈ (a ; b) p ie gh
M((a ; b); D), với D ⊂ R, tập hàm ño ñược f: (a ; b) → D
L0([a;b]) tập hợp toán tử ℓ : C ([ a; b ]; R ) → L ( ( a; b ) ; R ) tuyến nl w tính, bị chặn thỏa mãn ñiều kiện: { d oa sup ℓ ( v )(.) : v C } = ∈ L ( ( a; b ) ; R+ ) (*) lu va an
L1((a ; b)) tập hợp toán tử ℓ : C ([ a; b ]; R ) → L ( ( a; b ) ; R ) liên ul nf tục, dương thỏa mãn ñiều kiện (*) { sup F (v )(.) : v z at nh tục thỏa mãn ñiều kiện: oi lm
K((a ; b)) tập hợp toán tử F: C1 ([ a; b]; ℝ ) → L(( a; b); ℝ) liên C1 } ≤ r ∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , ∀r > z tục thỏa mãn ñiều kiện: ' C } ≤ r ∈ L ( ( a; b ) ; R+ ) , ∀r > m co { sup F ( v )(.) : v l gm @ '  ((a ; b)) tập hợp toán tử F: C
K ([ a; b]; ℝ ) → L(( a; b); ℝ) liên an Lu n va ac th si
σ: L((a ; b); R) → L((a ; b); R) toán tử ñược xác ñịnh bởi:  t   σ ( p)(t ) = exp  ∫ p( s) ds   a +b    t σ α ( p)(t ) = σ ( p )( s ) ds σ ( p )(t ) α∫ t b lu σ ab ( p)(t ) = σ ( p)( s) ds ∫ σ ( p )( s)ds σ ( p)(t ) ∫a t an va n [ p ]+ = ½ ( p + p ) tn to [ p ]− = ½ ( p − p ) Với u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≥ v(t), a≤ t ≤ b p ie gh
Ta nói tốn tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} không giảm nếu: ta có: w oa nl ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a≤ t ≤ b d
Ta nói tốn tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} không tăng nếu: lu ul nf ta có: va an Với u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≤ v(t), a≤ t ≤ b oi lm ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a ≤ t ≤ b
Nghiệm toán: u”( t) = F (u) (t) z at nh
' ( [ a ; b]; R) thỏa mãn phương trình với F∈K((a ; b)) hàm u ∈ C z hầu khắp nơi (a ; b) gm @ m co l - an Lu n va ac th si MỞ ðẦU Lý chọn ñề tài Lý thuyết tốn biên cho phương trình hàm ñược hình thành phát triển từ kỷ XVIII ngày tìm ứng dụng rộng rãi lĩnh vực kinh tế khoa học kỹ thuật Song, từ năm 1997, việc nghiên cứu phát triển theo hướng thực phát triển mạnh thu ñược nhiều kết Các kết nghiên cứu nhóm nhà tốn học lu an Grudia Cộng hòa Czech dẫn dắt giáo sư viên sỹ Ivan n va Kiguradze - Viện trưởng viện toán học Tbilisi cơng trình tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza R.Hakl, gh tn to Trong năm gần ñây, vấn ñề ñạt ñược nhiều kết p ie A.Lomtatidze Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu w luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng tác oa nl giả d Mục ñích nghiên cứu an lu Trong luận văn này, tiếp tục học tập nghiên cứu tồn nf va nghiệm tốn biên hai điểm cho phương trình: phương oi lm ul trình vi phân hàm cấp hai nhất, phương trình vi phân hàm cấp hai khơng nhất, áp dụng kết đạt cho phương trình vi phân hàm cấp hai z at nh ñối số lệch ðối tượng phạm vi nghiên cứu z Trong luận văn này, trọng việc nghiên cứu tính giải @ m co Ý nghĩa khoa học thực tiễn l phân hàm bậc hai gm ñược nghiệm tốn biên hai điểm cho phương trình vi an Lu Kết luận văn sở ñể tiếp tục nghiên cứu lớp toán biên hai ñiểm, nhiều ñiểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai n va ac th si phương trình vi phân hàm bậc cao áp dụng kết cho phương trình vi phân đối số lệch bậc cao Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm có chương: Chương Phần giới thiệu tốn Chương Một số cơng cụ, kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày khái niệm, lu định nghĩa, bất đẳng thức liên quan đến q trình xây dựng kết an tốn ðồng thời, chúng tơi xây dựng bổ đề tính giải va n tốn biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai to tn Chương Các kết tốn ie gh Dựa kết chương ñể xây dưng p ñiều kiện ñủ cho tồn nghiệm cho phương trình vi phân hàm bậc hai oa nl w d oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 10 Chương GIỚI THIỆU BÀI TỐN Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tồn nghiệm phương trình: u’’ (t) = F (u)(t) (1.1) u(a) = 0, u(b) = (1.2) thỏa mãn điều kiện: lu an đó: F ∈ K((a ; b)) va n Bài toán (1.1), (1.2) ñã ñược nghiên cứu chi tiết trường hợp F F(u)(t) = f ( t, u (t), u’(t)), với f ∈K((a ; b)xR2; R) p ie gh tn to tốn tử Nemytski, nghĩa là: Khi đó, tốn (1.1) trở thành: (1.3) nl w u '' = f (t , u (t ), u '(t )) d oa Các kết tốn biên (1.3), (1.2), trình bày cơng an lu trình nhà toán học S.N.Bershtein [5], M.Nagumo, C.De la Vallée va Poussin, L Tonelli H Epheser Hiện nay, lý thuyết tốn biên dạng oi lm khơng khả tích ul nf (1.3), (1.2) hình thành cách đầy đủ, hàm f hàm Trong năm gần ñây, vấn ñề ñạt ñược nhiều kết z at nh cơng trình tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza R.Hakl, z A.Lomatatidze Vì vậy, cơng việc luận văn tiếp tục học tập gm @ phát triển ñề tài theo hướng tác giả l Trong năm gần đây, cơng trình nghiên cứu lý thuyết m co toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm ([1 - 4, - 8], ) Hơn nữa, toán (1.3), (1.2), tiếp tục ñược nghiên cứu tỉ mỉ trường hợp tổng quát an Lu Tuy nhiên, gặp khó khăn sử dụng kỹ thuật lý thuyết n va ac th si 52 Ta xét: −1 t b  b wε (t ) = ε +  ∫ σ ( g )( s )ds   ∫ σ ( g )( s ) ds ∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds + a a  t t b  + ∫ σ ( g )( s )ds ∫ σ b ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds  , với a ≤ t ≤ b a t  Áp dụng bất ñẳng thức (3.2.22) ta chọn ε > cho: < wε ( t ) < , với a ≤ t ≤ b (3.2.24) lu an Ta tính wε" (t ) : va n tn to b t t a t b a t wa (t ) = ∫ σ ( g )( s )ds ∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds ðặt : p ie gh wb (t ) = ∫ σ ( g )( s )ds ∫ σ b ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) ) ds t nl w Ta có : wa' (t ) = −σ ( g )(t ).∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds + d oa a ( b an lu + ∫ σ ( g )( s )ds σ a ( g )(t ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) t ) va b oi lm t ul nf wb' (t ) = σ ( g )(t ).∫ σ b ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds − ( t z at nh − ∫ σ ( g )( s ) ds σ b ( g )(t ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) a t ) z wa" (t ) = − (σ ( g )(t ) ) '.∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds − ( ) gm @ a ( ( )) m co b l − (σ ( g )(t ) ) σ a ( g )(t ) [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t )  −σ ( g )(t ) σ a ( g )(t ) [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) t an Lu ' ' + ∫ σ ( g )( s )ds (σ a ( g )(t ) ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) + (σ a ( g )(t ) ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) )    n va ac th si 53  t   σ ( g )(t ) = exp  ∫ g ( s ) ds  ;  a +b    Mà : t σ a ( g )(t ) = σ ( g )( s )ds ; σ ( g )(t ) ∫a b σ ( g )( s )ds σ ( g )(t ) ∫t σ b ( g )(t ) = lu [ p ]+ = ½ ( p + p ) ; an [ p ]− = ½ ( p − p ) (σ ( g )(t ) ) ' = g (t ).σ ( g )(t ) ; n va Nên : t tn to a σ ( g )(t ) p ie gh (σ a ( g )(t ) ) ' = σ ( g )(t ) − g (t ).∫ σ ( g )( s) ds = − g (t ).σ a ( g )(t ) b t nl w (σ b ( g )(t ) ) ' = σ ( g )(t ) − g (t ).∫ σ ( g )( s ) ds d oa σ ( g )(t ) t w (t ) = − g (t ).σ ( g )(t ).∫ σ a ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds − an " a lu Suy ra: = − g (t ).σ b ( g )(t ) va a ( b ) oi lm ( ul b nf ' −2 (σ ( g )(t ) ) σ a ( g )(t ) [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t )  + ∫ σ ( g )( s )ds (σ a ( g )(t ) ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) )    ) t b ∫ z at nh + σ ( g )( s )ds [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) − g (t ).∫ σ ( g )( s ) ds.σ a ( g )(t ) ([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) (3.2.25) t t b wb" (t ) = g (t ).σ ( g )(t ).∫ σ b ( g )( s ) ([ p ( s ) ]− + ℓ(1)( s ) )ds - z t ( ) t gm @ Tương tự : t t m co a l ' −2 (σ ( g )(t ) ) σ b ( g )(t ) [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t )  − ∫ σ ( g )( s )ds (σ b ( g )(t ) ) ([ p (t )]− + ℓ(1)(t ) )    a ∫ a ([ p(t )] + ℓ(1)(t ) ) (3.2.26) an Lu + ∫ σ ( g )( s ) ds.([ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) + g (t ) σ ( g )( s ) ds.σ b ( g )(t ) − n va ac th si 54 Mặt khác, ta lại có : −1 b  wε (t ) =  ∫ σ ( g )( s ) ds  ( wa" (t ) + wb" (t ) ) a  '' Nên từ (3.2.25) (3.2.26) ta có : −1 b  " ' wε (t ) = ( g (t ).wε (t ) − [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) +  ∫ σ ( g )( s ) ds  a  t b (σ ( g )(t ) ) [ p (t ) ] + ℓ(1)(t ) '  − σ ( g )( s )ds (σ ( g )(t ) ) [ p (t ) ] + ℓ(1)(t ) '   σ ( g )( s ) ds ∫  − −  a  ∫a  b   t lu ( ) ( ) an Mà : va t b ' '       ∫ σ ( g )( s )ds (σ a ( g )(t ) ) [ p(t ) ]− + ℓ(1)(t )  − ∫ σ ( g )( s )ds (σ b ( g )(t ) ) [ p(t )]− + ℓ(1)(t )       a t n ( ( ) t b  = ([ p(t )]− + ℓ(1)(t ) )  ∫ σ ( g )( s )ds.σ a ( g )(t ) − ∫ σ ( g )( s)ds.σ b ( g )(t )  a t  gh tn to ) ' p ie d oa nl w t b   σ ( g )( s )ds t σ ( g )( s )ds  b ∫ ∫ ' =0 = ([ p(t )]− + ℓ(1)(t ) )  ∫ σ ( g )( s)ds a − ∫ σ ( g )( s)ds t t  σ ( g )(t ) σ ( g )( t ) a     nf wε" (t ) = − [ p (t ) ]− + g (t ).wε' (t ) + ℓ(1)(t ) , với a < t < b oi lm ul Vậy: wε" (t ) = ( g (t ).wε' (t ) − [ p (t ) ]− + ℓ(1)(t ) ) va an lu Nên: z at nh Kết hợp (3.2.24) ta có kết quả: (3.2.27) wε" (t ) ≤ p (t ).wε (t ) + g (t ).wε' (t ) + ℓ( wε )(t ) , với a < t < b (3.2.28) z ðiều chứng tỏ với hàm g ∈ M((a ; b); R) tồn l gm @ '([ a ; b]; R) cho: wε ∈ C w’’(t) ≤ p(t)w(t) + g(t)w’(t) + ℓ(w)(t), với a < t < b m co Nên : (p, g, g) ∈ V0((a; b); ℓ) an Lu Vậy ñiều kiện (3.2.3) ñịnh lý 3.2.1 ñược thỏa mãn n va ac th si 55 Mặt khác, từ (3.2.23) ta có: [ F (v)(t ) − p(t )v(t ) − g (t )v '(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) ≥ − p (t )v (t )sgn v (t ) − g (t )v '(t )sgn v (t ) + p (t ) v(t ) + g (t ) v '(t ) − q (t ) ≥ −q (t ) Do đó, điều kiện (3.2.1), (3.2.2) ñược thỏa mãn với (p1, g1, g2) ≡ (p, g, g) Vậy áp dụng ñịnh lý 3.2.1 ta có phương trình (1.1), (1.2) có nghiệm Vậy hệ 3.2.1 ñược chứng minh lu an 3.2.5 Hệ 3.2.2 va Ta ñịnh nghĩa: n def tn to ℓ(v)(t ) = h(t )v(τ (t )), v ∈ C ([a; b]; R) (1.6) ie gh Xét phương trình: u "(t ) = h ( t ) u ( t ( t ) ) + G ( u )( t ) p τ ∈ M((a ; b); (a ; b)) G ∈ K((a ; b)) nl w Giả sử với v ∈ C01 ([a; b]; R ) ta có: d oa G (v)(t )sgn v(t ) ≥ −q(t ), q ∈ L ( ( a; b ) ;R + ) , (3.2.29) va an lu Ngoài ra, giả sử h(t) ≤ 0, a < t < b (3.2.30) giả sử với ε ∈ (0; b – a) ta có: ( s − a ) h( s ) ds + (τ (t ) − a ) oi lm ∫ ul τ (t ) nf ( b − τ (t ) ) a b ∫τ (b − s) h(s) ds ≤ b − a − ε , a < t < b (t ) z at nh (3.2.31) Khi đó, tốn (1.6), (1.2) có nghiệm z Chứng minh hệ 3.2.2: @ gm Trước tiên, ta chứng minh : (p1, g1, g2) ≡ (0,0,0) ∈ V0((a; b); ℓ) m co l Thật vậy: t b   Xét: wε (t ) = ε + (b − t ) ∫ ( s − a) h( s) ds + (t − a) ∫ (b − s) h( s) ds  , a ≤ t ≤ b b−a b−a Do (3.2.31) ta có : a wε (τ (t )) ≤ 1, a < t < b t  an Lu  (3.2.32) n va ac th si 56 Mặt khác, ta lại có : t b   wε (t ) =  (b − t )(t − a ) h(t ) − ∫ ( s − a ) h( s ) ds − (t − a )(b − t ) h(t ) + ∫ (b − s ) h( s ) ds  b−a a t  ' b t   ( b − s ) h ( s ) ds − ( s − a ) h( s ) ds  ∫ ∫ b−a t a  = Suy ra: wε" (t ) = ( −(b − t ) h(t ) − (t − a) h(t ) ) = − h(t ) = h(t ) (do h(t) < 0) b−a lu an Vậy, từ (3.2.32) ta có: wε" (t ) ≤ h(t ) wε" (τ (t )) n va ' ([ a; b ];R ) cho: Do đó, tồn wε ∈ wε ∈ C tn to w"(t ) ≤ ℓ ( w )( t ) , với a < t < b p ie gh Nên : (0, 0, 0) ∈ V0((a; b); ℓ) u’’(t) = h(t) u(τ(t)) + G(u)(t) = F(u)(t) Xét tốn: nl w Ta có : : ñiều kiện (3.2.1), ñược (3.2.2) thỏa mãn vớ i an lu Do d oa [ F (v)(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) = G (v)(t )sgn v(t ) ≥ −q(t ) nf va ( p1 , p2 , g1 , g ) ≡ ( 0,0,0,0 ) oi lm ul Vậy áp dụng định lý 3.2.1 ta có phương trình (1.6), (1.2) có nghiệm z at nh Vậy hệ 3.2.2 ñược chứng minh 3.2.6 Hệ 3.2.3 z Cố ñịnh ñiều kiện (3.2.30) giả sử tồn c ∈ [a ; b] cho: gm b @ c ∫ σ a ( f )(s) h(s) ds < 1, ∫ σ b ( f )(s) h(s) ds < c m co c l a (3.2.34) an Lu h( s ) ds < 1, a < t < b ( f )( s ) σ t (t − τ (t ))σ ( f )(t ) ∫ (3.2.33) n va ac th si 57 ñó: f (t ) = h(t )(τ (t ) − t ), a < t < b (3.2.35) Ngoài ra, giả sử bất ñẳng thức (3.2.31) ñúng với v ∈ C01 ([a ; b]; R ) , q ∈ L((a ; b); R+) tốn (1.6), (1.2) có nghiệm Chứng minh hệ 3.2.3: Ta chứng minh: (p1, g1, g2) ≡ (0,0,0) ∈ V0((a; b); ℓ) Thật : c b ∫ σ a ( f )(s) h(s) ds ≥ ∫ σ b ( f )(s) h(s) ds lu Giả sử: an a (3.2.36) c n va b c   ∫ σ a ( f )( s ) h( s ) ds < ∫ σ b ( f )( s ) h( s ) ds  c a  tn to t  c h(ξ )  wε (t ) = ε + ∫ σ ( f )( s )  ∫ dξ  ds, a < t < b a  s σ ( f )(ξ )  p ie gh ðặt: oa nl w b    c h(ξ )  dξ  ds, a < t < b   wε (t ) = ε − ∫ σ ( f )( s )  ∫  t  s σ ( f )(ξ )    d Từ (3.2.32) (3.2.33), ta chọn ε > cho lu va an < w ε(t) < 1, với a ≤ t ≤ b nf Lấy ñạo hàm cấp cấp hai wε(t) Ta có : oi lm ul  c h( s )  wε' (t ) = σ ( f )(t )  ∫ ds  , a < t < b  t σ ( f )( s )  z at nh Khi :  c h( s )   c h( s )  wε (t ) = (σ ( f )(t ) )  ∫ ds  + σ ( f )(t )  ∫ ds   t σ ( f )( s )   t σ ( f )( s )  " ' ' z l gm @  c h( s )  = f (t ) (σ ( f )(t ) )  ∫ ds  − h(t )  t σ ( f )( s )  m co  c h( s )  = h(t ) + h(t )(τ (t ) − t ) (σ ( f )(t ) )  ∫ ds   t σ ( f )( s )  an Lu = h(t ) + h(t )(τ (t ) − t ) wε' (t ) , với a < t < b n va ac th si 58 Do (3.2.34) nên: wε" (t ) ≤ 0, a < t < b Do đó, wε' (t ) khơng tăng, từ ta có: τ (t ) ∫ wε (s)ds < wε (t ) (τ (t ) − t ) , a < t < b ' ' (3.2.37) t Kết hợp (3.2.37) với wε" (t ) ta có: wε" (t ) ≤ h(t ) + h(t ) ( wε (τ (t )) − wε (t ) ) = h(t ) (1 − wε (τ (t )) ) + h(t ) wε (t ) ≤ h(t ) wε (τ (t )) (do wε(t) < h(t) < 0, với a < t< b) lu an '([a; b]; R ) cho: Do đó, tồn wε ∈ C va n w"(t ) ≤ ℓ(w)(t), với a < t < b tn to Nên : (0, 0, 0) ∈ V0((a; b); ℓ) ie gh Xét toán: p u "(t ) = h(t) u(τ(t)) + G(u)(t) = F(u)(t) [ F (v)(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) = G (v)(t )sgn v(t ) ≥ −q(t ) : điều kiện lu Do d oa nl w Ta có : (3.2.1), (3.2.2) thỏa mãn vớ i nf va an ( p1 , p2 , g1 , g ) ≡ ( 0,0,0,0 ) oi lm ul Vậy áp dụng định lý 3.2.1 ta có phương trình (1.6), (1.2) có nghiệm 3.2.7 Hệ 3.2.4 z at nh Vậy hệ 3.2.3 ñược chứng minh z Xét phương trình dạng (1.4): @ gm u "(t ) = p1( t)u( t) + p2( u)( t).u’( t) + h( t) u( τ( t) + G( u)( t) m co l đó: τ ∈ M((a ; b); (a ; b)), p1∈ L((a ; b); R) p2, G ∈ K((a ; b)) Giả sử ñiều kiện (3.2.2) (3.2.31) ñược thỏa mãn với an Lu v ∈ C01 ([a; b]; R ) , p2, G ∈ K((a ; b)), q∈L((a ; b); R+) n va ac th si 59 Ngoài ra, giả sử tồn số λi ∈ [0;1], α ij ∈ [0; +∞), i, j = 1,2 c ∈ [ a; b] cho: +∞ ∫α 11 (c − a ) > 1− λ1 ds + α12 s + s +∞ ∫α , − λ1 21 (b − c ) > 1−λ2 ds + α 22 s + s (3.2.38) − λ2 ( t − a ) [ p1 (t ) + h(t )] ≥ −α11 , λ1 Và λ   (t − a )λ1  g1 (t ) + + (τ (t ) − t ) h(t )  ≥ −α12 , a < t < c t−a   lu ( b − t ) [ p1 (t ) + h(t )] ≥ −α 21 , an λ2 va n λ   (b − t )λ2  g1 (t ) + + (τ (t ) − t ) h(t )  ≤ α 22 , c < t < b b−t   Với phiếm hàm h thỏa mãn ñiều kiện (3.2.30) ie gh tn to (3.2.39) p Khi đó, tốn (1.4), (1.2) có nghiệm Chứng minh hệ 3.2.4: w oa nl Ta cần chứng minh : (p, g1, g2) ∈ V0((a; b); ℓ) d Hay cần chứng minh: với hàm g ∈ M ( ( a; b ) ; R ) thỏa mãn bất an lu ñẳng thức: va g1(t) ≤ g(t) ≤ g2(t), với a < t < b ul nf ' ([a; b]; R ) cho: tồn w ∈ w ∈ C oi lm w"(t ) ≤ p ( t ) w ( t ) + g ( t ) w’ ( t ) + ℓ ( w )( t ) , với a < t < b z at nh Thật : Giả sử c ∈ (a ; b) (trường hợp c = a, c = b chứng minh hoàn toàn tương tự) z Do (3.2.38) nên tồn < γi < ki < + ∞, i = 1, cho: 1−λ1 − λ1 k2 , Ta xây dựng hai hàm ρ1, ρ2 cho : 21 + α 22 s + s (b − c ) = 1− λ2 (3.2.40) − λ2 m co ∫α γ ds l 11 + α12 s + s (c − a ) = gm ∫α γ ds @ k1 an Lu n va ac th si 60 k1 ∫ ρ1 ( t ) ds α11 + α12 s + s k2 ∫ (t − a ) = 1−λ1 (b − t ) = (3.2.41) 1− λ2 ds ρ2 ( t ) , a < t ≤ c − λ1 α 21 + α 22 s + s − λ2 ,c ≤ t < b (3.2.42) Từ (3.2.40) ta có: γ1 < ρ1(t) < k1, a < t < c, γ2 < ρ2(t) < k2, c < t < b, lu an va n Xét: gh tn to ρ1 (c) = γ1, ρ2 (c) = γ2 (3.2.43)  t  − λ1 exp   ∫ ( s − a ) ρ1 ( s ) ds  , a ≤ t ≤ c  c  v(t ) =  c  − λ2  b − s s ds exp ( ) ρ ( )   ,c < t ≤ b ∫  t   (3.2.44) p ie t   −λ1  (t − a) ρ1 (t ).exp  ∫ ( s − a)−λ1 ρ1 ( s )ds  , a < t < c   c  Suy : v '(t ) =  (3.2.45)  c  −(b − t )−λ2 ρ2 (t ).exp  (b − s )−λ1 ρ2 ( s ) ds  , c < t < b ∫    t   d oa nl w va an lu Ta lại có : oi lm ul nf  −λ (t − a )−λ1−1.ρ (t ) + (t − a )−λ1 ρ ' (t ) + (t − a )−2λ1 ρ (t ) 1     t   −λ1  ,a < t < c exp ( s − a ) ρ ( s ) ds  ∫   c   v ''(t ) =  −λ (b − t )−λ2 −1 ρ (t ) − (b − t )−λ2 ρ ' (t ) + (b − t )−2λ2 ρ (t ) 2    c    (b − s )−λ1 ρ ( s ) ds  , c < t < b exp ∫    t   z at nh (3.2.46) z l gm @ Mặt khác , từ (3.2.41), (3.2.42) ta có : m co ρ1' (t ) = −(t − a )−λ1 (α11 + α12ρ1 (t ) + ρ12 (t )) , an Lu ρ2' (t ) = (b − t )−λ2 (α21 + α22ρ2 (t ) + ρ22 (t )) (3.2.47) n va ac th si 61 Thế (3.2.47) vào (3.2.46) ta có : λ1 1 v '(t ) − α + α12ρ1 (t ) + ρ12 (t )).v (t ) + ρ12 (t ).v (t ) 2λ1 ( 11 2λ1 (t − a ) (t − a) (t − a ) v ''(t ) = − λ1 α12 −λ v '(t ) − α11.v(t ) − t − a ) ρ1 (t ).v(t ) 2λ1 λ1 ( (t − a ) (t − a ) (t − a ) =−  α λ1  12  − + v ( t ) 2λ λ1   v '(t ) , ( t − a ) t − a (t − a ) ( )   lu =− α11 với a < t < c (3.2.48) an Tương tự ta có : n va  α λ2  22  + − v ( t ) 2λ λ2   v '(t ) , c < t < b (3.2.49) b − t b − t (b − t ) ( )   α21 gh tn to v ''(t ) = − v "(t ) ≤ , với a < t < b (3.2.50) p ie Suy : v’(t) < 0, c < t < b ; v’(c-) ≥ v’(c+) oa nl w '  Ngoài ra: v (t ) > 0, a ≤ t ≤ b, v ∈ C loc (( a; b ) \ {c}; R+ ), v '(t ) > , a < t < c (3.2.51) d Khi đó, xét hàm ño ñược g : (a ; b) → R thỏa mãn : a 0, u0(b) = v(b) > nên : u0(t)> an Lu Và : n va ac th si 63 Vậ y w(t) > với a ≤ t ≤ b ' ([ a; b]; R ) cho: Hay : tồn w ∈ w ∈ C w ''(t ) ≤ p (t ) w(t ) + g (t ) w '(t ) + h(t ) w(τ (t )) , với a < t < b Nghĩa : (p, g1, g2) ∈ V0((a; b); ℓ) Vậy ñiều kiện (3.2.2) ñịnh lý 3.2.1 ñược thỏa mãn Tiếp tục, xét toán : u’’( t) = p1( t)u( t) + p2( u)( t).u’( t) + h( t) u( τ( t) + G( u)( t) = F(u)(t) lu an Ta có : n va [ F (v)(t ) − p1 (t )v(t ) − p2 (v)(t )v '(t ) − ℓ(v)(t )]sgn v(t ) = G (v)(t )sgn v(t ) ≥ −q(t ) nên ñiều kiện (3.2.1) ñược thỏa mãn gh tn to (do bất ñẳng thức (3.2.29)) p ie Do ñó, áp dụng ñịnh lý 2.1 ta có tốn (1.4), (1.2) có w nghiệm d oa nl Vậy hệ 3.2.4 ñược chứng minh oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 64 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn ñã ñạt ñược mục tiêu ban ñầu ñề Qua kết luận văn, chúng tơi nghiên cứu tính giải tính nghiệm tốn biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai áp dụng kết cho phương trình vi phân đối số lệch Qua đó, câu hỏi tự nhiên đặt là: kết cịn hay khơng lu cho phương trình vi phân hàm bậc cao Hơn nữa, tốn chúng an n va tơi cịn chưa nghiên cứu tính chất xấp xỉ nghiệm dạng tuần hồn, hay tốn biên nhiều điểm cho phương trình vi phân hàm gh tn to Ngồi ra, kết cịn hay khơng toán biên p ie bậc cao w Các vấn đề nói chung cịn mở, chưa giải cặn kẽ oa nl Chính vậy, thơng qua kết đạt luận văn này, chúng tơi mong muốn mở rộng tiếp tục nghiên cứu vấn ñề vừa nêu d oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh I.Kiguradze and B.Puza , On boundary value problems for systems of linear functional differential equations, Czechslovak Math, J 47, (1997) (No.2) , 341-373 I.Kiguradze and B.Puza , Conti–Opial type theorems for systems of lu functional differential equations, Differentsialnye Uravneniya, 33, an (1997) (No.2) , 185-194 va n I.Kiguradze and B Puza , On the sovability of nonlinear boundary value to gh tn problems for fuctional differential equations, Georgian Math, J, (1998) (No 3), 251-262 ie p I T.Kiguradze, Some singluar boudary value of problem for ordinary nl w S.N.Berstein, On variational calculus equations Uspekhi mat.nauk d oa differential quations , Tbilisi Univ Press, Tbilisi (1975) an lu (1940), (No.1), 32 – 74 J.Hale, Theory of functional differential equations Springer-Verlag, va A.G.Lomtatidze, On a boundary value problem for second order oi lm ul nf NewYork-Heidelberg-Berlin, (1977) nonlinear ordinary differential equations with singularities, z at nh Differentsial’snye Uraneniya 22 (1986), (No.3), 416 – 426 A.G.Lomtatidze and S.V Mukhigulashvili, On a two-point boundary z gm @ value problem for second order functional differential equations, Mem Differential Equations Math Phys.10 (1997), 125 – 128, m co l 150 – 152 an Lu n va ac th si 66 V.V.Gudkov, Yu A.Klokov, A.J.Lepin and V.D.Ponomarev, Two-point boundary value problems for ordinary equations, Zinatne, Riga, (1973) 10 I.T.Kiguradze, On a priori estimates for derivatives of bounded funtions satisfying second order differential inequalities, Differentsial’nye Uravneniya (1967), (No 7), 1043 - 1052 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si