Luận văn nghiệm không thay dấu của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Đức Thịnh NGHIỆM KHƠNG THAY DẤU CỦA BÀI TỐN BIÊN DẠNG TUẦN HỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ÐÀO TẠO TRƯỜNG ÐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Đức Thịnh NGHIỆM KHƠNG THAY DẤU CỦA BÀI TỐN BIÊN DẠNG TUẦN HỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng gửi đến PGS.TS – Thầy Nguyễn Anh Tuấn, trưởng khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh lời cảm ơn chân thành sâu sắc Thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi thành thật biết ơn quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn thạc sĩ dành thời gian để đọc luận văn , cho nhận xét quý báu giúp tơi hồn thành tốt luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn đến quý Thầy Cô ngồi Bộ mơn Tốn khoa Tốn – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học tự nhiên tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức quý giá cho suốt thời gian theo học trường Tôi xin cảm ơn đến Thầy Cô Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học Sau cùng, tơi xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến bạn bè, đồng nghiệp nhiệt tình giúp đỡ tơi Đặc biệt, tơi xin gửi tất lịng u thương lịng biết ơn chân thành đến gia đình tơi, chỗ dựa cho tinh thần vật chất tạo điều kiện tốt cho học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhiều kiến thức thân cịn hạn chế thời gian nghiên cứu cịn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận dẫn đóng góp quý báu, chân thành quý Thầy Cô bạn đọc luận văn Xin chân thành cảm ơn Tp HCM, tháng 11 năm 2012 Tác giả Lê Đức Thịnh MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .5 MỘT SỐ KÝ HIỆU .7 CHƯƠNG 1:BÀI TỐN BIÊN TỔNG QT CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT 1.1 Sự tồn nghiệm toán biên tổng quát cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc .8 1.2 Tính xấp xỉ nghiệm toán biên tổng quát cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc 22 CHƯƠNG 2:NGHIỆM CĨ DẤU KHƠNG ĐỔI CỦA BÀI TỐN BIÊN DẠNG TUẦN HỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC NHẤT 30 2.1 Giới thiệu toán .30 2.2 Nghiệm khơng dương tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc 32 2.3 Nghiệm khơng dương tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân với đối số lệch 46 2.4 Nghiệm không âm tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm bậc 51 2.5 Nghiệm không âm tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân đối số lệch: 54 2.6 VÍ DỤ .55 KẾT LUẬN .63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình vi phân hàm đời từ kỷ XIX, song đến phát triển mạnh mẽ nhờ ứng dụng sâu sắc lĩnh vực như: học, sinh học, nông học ngành kỹ thuật khác Song phát triển xây dựng theo hướng phát triển mạnh mẽ từ năm 1995 nhà toán học như: I Kiguradze, B Puza, R Hakl, A Lomtatidze, J Sremr, I P Stavroulakis, … Vấn đề tồn nghiệm dương hay nghiệm không thay dấu năm gần nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu , ví dụ tài liệu:[2], [3], [9], [10], [11] Chính lý chúng tơi chọn đề tài: “ Nghiệm khơng thay dấu tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất” để nghiên cứu tìm hiểu Trong luận văn chủ yếu nghiên cứu việc tồn nghiệm có dấu khơng thay đổi tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc ứng dụng cho phương trình vi phân đối số lệch Cụ thể nghiên cứu việc tồn nghiệm có dấu khơng đổi phương trình vi phân hàm bậc tuyến tính: u ′ (t ) =  (u )(t ) + q (t ) với điều kiện biên dạng tuần hoàn: u (a ) − λu (b ) = c  : C ([a,b];  ) → L ([a,b];  ) toán tử tuyến tính bị chặn, λ, c ∈ + q ∈ L ([a, b];  + ) Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trong chương này, chúng tơi trình bày lại định lý tồn nghiệm , tính xấp xỉ nghiệm tốn biên tổng qt cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp sau: u ′ (t ) =  (u )(t ) + q (t ) với điều kiện biên: h (u ) = c ,  : C ([a,b];  ) → L ([a,b];  )và h : C ([a,b ];  ) →  hàm tuyến tính bị chặn , q ∈ L ([a,b ];  ) c ∈  Chương 2: Trong chương này, chúng tơi sử dụng kết trình bày chương để xét việc tồn nghiệm có dấu khơng đổi tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc nhất: u ′ (t ) =  (u )(t ) + q (t ) u (a ) − λu (b ) = c Sau chúng tơi áp dụng kết để nghiên cứu việc tồn nghiệm cho phương trình vi phân đối số chậm đối số lệch bậc dạng: u ′ (t ) = ( ) (τ ( )) − ( ) (µ ( )) + ( ) p t u t g t u t q t u (a ) − λu (b ) = c Luận văn tài liệu tham khảo cho người quan tâm nghiên cứu nghiệm khơng thay dấu tốn biên dạng tuần hồn cho phương trình vi phân hàm bậc MỘT SỐ KÝ HIỆU  : tập số tự nhiên  : tập số thực  + = [0; +∞ ) Với x ∈  , ta ký hiệu: [ x ]: phần nguyên x [x ([ x− x ] = x+ x x + ,[ ] = − ]  ) : không gian Banach hàm liên tục C a,b ; u c = max {u (t ) : t ∈[ a,b]} [ ] →  với chuẩn u : a,b C ([a, b ]; + ) = {u ∈C ([a, b];  ) : u ( t ) ≥ 0,t ∈[ a,b]}  ([a,b ];  ) : tập hàm liên tục tuyệt đối C [ ]→  u : a,b L ([a, b ];  ) : khơng gian Banach hàm khả tích Lebesgue p : [a, b ] →  với b chuẩn P L = ∫ p ( s ) ds a L ([a, b ];  + ) = {p ∈ L([a,b];  ) : p (t ) ≥ 0,t ∈[ a,b]} mesA : độ đo Lebesgue tập A Μ ab : tập hàm đo τ : [a,b ] → [a,b ] Lab : tập toán tử tuyến tính bị chặn  : C ([a,b ];  ) → L([ a,b] ; )  ab : tập tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh, nghĩa là, với toán tử  ∈ Lab , L tồn η ∈ L ([a,b];  + ) thỏa :  (v )(t ) ≤ η (t ) v c ,với t ∈ [a,b ], v ∈ C ([a,b ];  ); Pab : tập toán tử tuyến tính khơng âm, nghĩa là, hàm  ∈ Lab ánh xạ từ tập C ([a,b ]; + ) đến tập L ([a,b ]; + ) ,với chuẩn  = sup {  (v ) L : v ≤ 1} c CHƯƠNG 1:BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT Trong chương 1, chủ yếu nghiên cứu tồn ,duy nghiệm tính xấp xỉ nghiệm tốn biên tổng qt cho phương trình vi phân hàm tuyến tính sau: u ′ (t ) =  (u )(t ) + q (t ) h (u ) = c ,  : C ([a,b];  ) → L ([a,b];  )và h : C ([a,b ];  ) →  hàm tuyến tính bị chặn , q ∈ L ([a,b ];  ) , c ∈  Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [7] 1.1 Sự tồn nghiệm tốn biên tổng qt trình phân hàm tuyến tính bậc choviphương Trên đoạn [a,b], xét toán biên cho phương trình vi phân hàm tuyến tính: u ′ (t ) =  (u )(t ) + q (t ), (1.1) với điều kiện biên: h (u ) = c , (1.2)  ∈ Lab , h : C ([a,b ];  ) →  hàm tuyến tính bị chặn , q ∈ L ([a,b];  ) c∈ Nghiệm (1.1) hàm u ∈ C ([a, b];  ) thỏa đẳng thức (1.1) hầu khắp nơi đoạn [a,b] Nghiệm toán (1.1), (1.2) nghiệm u (1.1) thỏa điều kiện (1.2) Cùng với toán (1.1), (1.2), ta xét toán tương ứng sau: (1.10 ) u ′ (t ) =  (u )(t ) ( 1.20 ) ( ) =0 h u Nếu  ∈ Lab tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh, tài liệu [11],[14]I Kiguradze B Puza chứng minh kết sau: Định lý 1.1 Giả sử  tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh,  ∈ Lab Khi tốn (1.1), (1.2) có nghiệm toán tương ứng (1.10 ) , (1.20 ) có nghiệm tầm thường Ta thấy định lý 1.1 đòi hỏi  ∈ Lab Điều kiện bao trùm lớp hàm tuyến tính bị chặn, chẳng hạn phương trình vi phân hàm bậc với đối số lệch sau: u ′ (t ) = ( ) (τ ( )) + ( ), p t u t q t p, q ∈ L ([a,b ];  ),τ ∈ M ab ,  (v )(t ) = p (t ) v (τ (t )) , ∀ t ∈ [a,b] trường hợp đặc biệt (1.1) Mặt khác, Schaefer chứng minh tồn toán tử  ∈ Lab cho   ∉ L , tức tồn tốn tử tuyến tính bị chặn không bị chặn mạnh (xem định ablý tài liệu [6]) Do vấn đề nảy sinh cách tự nhiên kết định lý 1.1 có hay khơng  tốn tử liên tục mà không bị chặn mạnh Vấn đề nhà toán học Sech quan tâm giải tài liệu [7] Định lý 1.2 Cho  ∈ Lab Khi tốn (1.1), (1.2) có nghiệm tốn tương ứng (1.10 ) , (1.2 ) có nghiệm tầm thường Để chứng minh định lý 1.2, trước hết ta nhắc lại số định nghĩa bổ đề sau: - Cho X không gian topo, X * khơng gian đối ngẫu với +∞ ⊆ X gọi hội tụ yếu tới x ∈ X thỏa: ϕ ( x) = lim ϕ ( x ) với - Một dãy {xn }n=1 n→+∞ n +∞ ϕ ∈ X * Khi đó, điểm x gọi giới hạn yếu dãy {x } n = n 10 - Tập M ⊆ X gọi compact tương đối yếu lưới nằm M chứa lưới hội tụ yếu thuộc X +∞ ⊆ X gọi yếu với ϕ ∈ X * , dãy {ϕ ( xn )}+∞ - Dãy {xn }n=1 n=1 - Không gian X gọi hoàn toàn yếu dãy yếu nằm X có giới hạn yếu thuộc X - Cho X Y không gian Banach T : X → Y tốn tử tuyến tính bị chặn Tốn tử T gọi liên tục hoàn toàn yếu ảnh cầu đơn vị nằm X tập compact tương đối yếu nằm Y Định nghĩa 1.3 Tập M ⊆ L ([a,b ];  ) có tính chất liên tục tuyệt đối theo tích phân với ε > , tồn δ > cho với tập đo E ⊆ [a,b ] thỏa điều kiện mesE ≤ δ , bất đẳng thức sau đúng: ∫ ( ) ≤ε E s ds Từ báo [3] ta có kết pquả sau: với p∈M Bổ đề 1.4 [3, định lý IV.8.6] Không gian L ([a,b ];  ) hoàn toàn yếu Bổ đề 1.5[3, định lý VI.7.6] Tốn tử tuyến tính bị chặn từ không gian C ([a,b ];  ) sang không gian Banach hồn tồn yếu tốn tử liên tục hồn toàn yếu Bổ đề 1.6 [3, định lý IV.8.11] Nếu tập M ⊆ L([ a,b] ;  ) compact tương đối yếu, có tính chất liên tục tuyệt đối theo tích phân Mệnh đề 1.7