MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 Chương 2 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC 3 2 1 Giới thiệu bài toán 3 2 2 Kết quả tồn tại (I) 7 2 3 Kết quả tồn tại (II) 20 Chương[.]
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chương 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC 2.1 Giới thiệu toán 2.2 Kết tồn (I) 2.3 Kết tồn (II) 20 Chương 3: NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NON-AUTONOMOUS 28 3.1 Nghiệm tuần hoàn dương hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous 28 3.2 Một số áp dụng 44 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 -1- LỜI MỞ ĐẦU Lí thuyết phương trình vi phân có nhiều ứng dụng lĩnh vực khoa học xã hội vật lí, sinh học Luận văn trình bày lại tồn nội dung báo [6],[7] Bao gồm trình bày tồn nghiệm tuần hoàn dương hệ động lực suy biến nonautonomous bậc hai sử dụng định lí Leray- Schauder nonlinear alternative, định lí điểm bất động Schauder tồn nghiệm tuần hồn dương hệ phương trình vi phân hàm tuần hoàn nonautonomous dựa vấn đề giá trị riêng tốn tử hồn tồn liên tục nón khơng gian Banach Các kết mở rộng nghiên cứu lí thuyết mơ hình tốn sinh học, động lực học dân số Như phương trình vi tích phân Volterra, mơ hình tổng quát n loài cạnh tranh Gilpin – Ayala Luận văn chia thành chương sau Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nghiệm tuần hoàn hệ động lực suy biến non-autonomous bậc hai Chương 3: Nghiệm tuần hồn dương hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous -2- Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định lí Ascoli – Arzela Cho X không gian mêtric compact Tập A ⊂ CK ( X ) compact tương đối A bị chặn đẳng liên tục Định lí Schauder Cho C tập lồi đóng khơng gian Banach E f : C → C liên tục cho f ( C ) tập compắc tương đối Thì f có điểm bất động C Định lí (Leray-Schauder nonlinear alternative) Cho E không gian Banach, D tập mở, bị chặn E , ∈ D Cho T : D → E ánh xạ compắc Khi • Hoặc tồn x ∈∂D λ ≥ cho Tx = λ x • Hoặc T có điểm bất động D Định nghĩa Cho X không gian Banach P tập đóng, khơng rỗng X P nón (i) x, y ∈ P α , β ∈ + αx + β y∈P (ii) x ∈ P − x ∈ P x = Mỗi nón P ⊂ X cảm sinh thứ tự riêng X Ta xác định” ≤ ” P x ≤ y y − x ∈ P Định nghĩa Cho X không gian Banach D ⊂ X , ∈ D Toán tử L : D → X thỏa L0 = , xλ ≠ gọi véctơ riêng giá trị riêng Lxλ = λ xλ λ L -3- Chương 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN NON-AUTONOMOUS BẬC HAI 2.1 Giới thiệu toán Chúng ta nghiên cứu tồn nghiệm dương tuần hoàn chu kì T hệ động lực non-autonomous bậc hai x + a ( t ) x = f ( t , x ) + e ( t ) (2.1) ( Trong a ( t ) , e ( t ) ∈ / T , N ) , f ( t , x ) ∈ ( / T × \ {0}, ) N N lim fi ( t , x ) = +∞ theo t, i = 1,2, , N x →0 + Ta cần= tìm hàm x ( t ) ( x ( t ) , , x ( t ) ) ∈ ( / T , ) N thỏa (2.1) cho N xi ( t ) > 0, ∀t , i = 1,2, , N ( a (t ) (a1 , a2 , , aN ) ∈ / T , Chúng ta kí hiệu= N ) = e(t ) (e1 , e2 , , eN ) ∈ ( / T , N ) Với i = 1,2, , N , ta xét phương trình scalar (vơ hướng) x "+ ( t ) x = ei ( t ) (2.2) Với điều kiện biên tuần= hoàn x ( ) x= (T ) , x ' ( ) x ' (T ) (2.3) Trong mục này, ta giả sử giả thiết sau thỏa mãn (A) Hàm Green Gi ( t , s ) liên quan đến (2.2) (2.3) dương với ( t , s ) ∈ [0,T ] × [0,T ] , i = 1,2, , N Trong mục 3, ta giả sử -4- (B) Hàm Green Gi ( t , s ) liên quan đến (2.2) (2.3) không âm với ( t , s ) ∈ [0,T ] × [0,T ] , i = 1,2, , N Nói cách khác, ngun lí anti-maximum áp dụng cho (2.2), (2.3) Với điều kiện T (A),(B) nghiệm (2.2),(2.3) cho x ( t ) = Gi ( t , s ) ei ( s ) ds ∫ π Khi ( t ) = k , điều kiện (A) tương đương với < k < λ1 = điều kiện (B) T 2 π tương đương với < k ≤ λ1 = T 2 Hàm Green liên quan đến (2.2), (2.3) có dạng g1i ( t , s ) Gi ( t , s ) = g 2i ( t , s ) ,0 ≤ s ≤ t ≤ T ,0 ≤ t ≤ s ≤ T Ta có T T T ∫ x′′ ( s ) G ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) G ( t , s )ds = ∫ e ( s ) G ( t , s ) ds i i 0 T T i i T T ∫ x′′ ( s ) g ( t , s )ds + ∫ x′′ ( s ) g ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) g ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) g ( t , s )ds 1i 2i T = ∫ ei ( s ) Gi ( t , s ) ds 1i 2i -5- ⇒ x ( t ) g 2′ i ( t , t ) − g1′i ( t , t ) − x′ ( t ) g1i ( t , t ) − g 2i ( t , t ) + x′ (T ) g 2i ( t , T ) − g1i ( t ,0 ) + x ( ) g1′i ( t ,0 ) − g 2′ i ( t , T ) T T 0 + ∫ x ( s ) g1′′i ( t , s ) + k g1i ( t , s ) ds + ∫ x ( s ) g 2′′i ( t , s ) + k g 2i ( t , s ) ds T = ∫ ei ( s ) Gi ( t , s ) ds g1′′i ( t , s ) + k g1i ( t , s ) = g1i ( t , s ) = A sin ks + B cos ( −ks ) Ta cần ⇒ ′′ g t , s + k g t , s = ( ) ( ) 2i 2i g 2i ( t , s ) = C sin ks + D cos ( −ks ) g 2is ( t , t ) − g1is ( t , t ) = g1i ( t , t ) = g 2i ( t , t ) Mặt khác g 2i ( t , T ) = g1i ( t ,0 ) g ( t ,0 ) = g ( t , T ) is 1is −kA cos ( kt ) − kB sin ( −kt ) + kC cos ( kt ) + kD sin ( −kt ) = −kt ) C sin ( kt ) + D cos ( −kt ) A sin ( kt ) + B cos (= ⇔ B C sin ( kT ) + D cos ( −kT ) = kC cos ( kT ) + kD sin ( −kT ) = A cos k (T − t ) − cos kt A = 2k (1 − cos kT ) sin k (T − t ) + sin kt B = 2k (1 − cos kT ) ⇔ C = cos kt − cos k (T + t ) 2k (1 − cos kT ) sin k (T + t ) − sin kt D = 2k (1 − cos kT ) -6- Do g1i ( t , s ) = g 2i ( t , s ) = sin k (T − t + s ) + sin k ( t − s ) 2k (1 − cos kT ) sin k (T + t − s ) + sin k ( s − t ) 2k (1 − cos kT ) Trong trường hợp ta có sin k (T − t + s ) + sin k ( t − s ) , 0≤ s ≤t ≤T k − cos kT ( ) Gi ( t , s ) = sin k (T + t − s ) + sin k ( s − t ) , ≤ t ≤ s ≤ T 2k (1 − cos kT ) kT 1 cot ≤ Gi ( t , s ) ≤ kT 2k 2k sin Cho hàm a ( t ) khơng hàm Có tiêu chuẩn Lp chứng minh báo [8] đưa đến bổ đề sau Cho K ( q ) kí hiệu số Sobolev bất đẳng thức sau ∀u ∈ H 01 ( 0, T ) C u q ≤ u′ , 2π 1+ q K ( q ) = qT 4 T Γ hàm Gamma 1− 2+q q 1 Γ q , ≤ q < ∞ 1 1 Γ + q ,q = ∞ -7- Chuẩn Lp kí hiệu p Số mũ liên hợp p kí hiệu p cho 1 + = p p Bổ đề 2.1: Với i = 1,2, , N , giả sử ( t ) > ∈ Lp [ 0, T ] cho 1≤ p ≤ ∞ Nếu p < K ( p ) giả thiết (A) thỏa mãn Hơn nữa, điều kiện (B) thỏa mãn p ≤ K ( p ) Trong giả thiết (A) ta ln kí hiệu = = = mi Gi ( t , s ) , M i max Gi ( t , s ) , σ i 0≤ s ,t ≤T 0≤ s ,t ≤T mi Mi (2.4) Khi M i > mi > < σ i < Ta xác định hàm γ : → N T γ i ( t ) = ∫ Gi ( t , s ) ei ( s ) ds , i = 1,2, , N ei ( t ) nghiệm tuần hồn chu kì T x "+ ( t ) x = Trong chương 2, ta sử dụng kí hiệu sau γ * = γ i ( t ) γ * = max γ i ( t ) i ,t i ,t 2.2 Kết tồn (I) Trong mục này, ta trình bày chứng minh kết tồn Chứng minh dựa định lí Leray-Schauder nonlinear alternative -8- = X [ 0, T ] × × [ 0, T ] kí hiệu Trong áp dụng sau, ta xét xi = sup xi ( t ) , i = 1,2, , N t∈[ 0;T ] x = max xi với x = ( x1 , x2 , , xN ) i Xác định toán tử T : X → X Tx = (T1 x, T2 x, , TN x ) T = (Ti x ) ( t ) T ∫ G ( t , s ) f ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds , i = 1,2, , N i (2.5) i ánh xạ compắc Chứng minh Kiểm tra Ti ( x ) liên tục theo t Với x ∈ X cố định, B ={ x ( s ) + γ ( s ) : s ∈ [ 0;T ]} Do f i liên tục nên fi ([ 0, T ] × B ) bị chặn tức tồn M > cho f i ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ≤ M Với ε > Gi liên tục [ 0, T ] × [ 0, T ] tồn δ > cho t − t ′ < δ Gi ( t , s ) − Gi ( t ′, s ) < ε M 1T , ∀s ∈ [ 0;T ] T T 0 Ti x ) ( t ′ ) ∫ Gi ( t , s ) fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds − ∫ Gi ( t ′, s ) fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds (Ti x ) ( t ) − (= fi liên tục [ 0;T ] × C nên tồn số δ > cho x ( s ) − y ( s ) < δ ⇒ f i ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) − f i ( s, y ( s ) + γ ( s ) ) ≤ ε GT Vì lim xm = x X nên m→∞ ∃mo : ∀m ≥ mo ⇒ xm ( s ) − x ( s ) < δ , ∀s ∈ [ 0;T ] ⇒ xm − x < δ T (Ti xm ) ( t ) − (Ti x ) ( t ) ≤ G ∫ fi ( s, xm ( s ) + γ ( s ) ) − fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds ≤ ε Suy Txm − Tx < ε Vậy T liên tục Chứng minh T ( x ) liên tục đồng bậc Cho A tập bị chặn X , nên có M > cho x ≤ M , ∀x ∈ A ( Do f i liên tục [ 0, T ] × BN 0, M + γ * ) ,trong B ( 0, M + γ ) * N đóng tâm O bán kính M + γ * N nên tồn α i > cho { } = α i max fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) , s ∈ [ 0, T ] cầu ... Chương 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN NON-AUTONOMOUS BẬC HAI 2.1 Giới thiệu toán Chúng ta nghiên cứu tồn nghiệm dương tuần hồn chu kì T hệ động lực non-autonomous bậc hai x +... Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nghiệm tuần hoàn hệ động lực suy biến non-autonomous bậc hai Chương 3: Nghiệm tuần hồn dương hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous -2- Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN... lực suy biến nonautonomous bậc hai sử dụng định lí Leray- Schauder nonlinear alternative, định lí điểm bất động Schauder tồn nghiệm tuần hồn dương hệ phương trình vi phân hàm tuần hoàn nonautonomous