VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC MAI VIẾT THUẬN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI–[.]
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC MAI VIẾT THUẬN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI–2014 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC MAI VIẾT THUẬN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT HÀ NỘI–2014 i TĨM TẮT Luận án nghiên cứu tính ổn định mũ ổn định hóa dạng mũ, tốn đảm bảo chi phí điều khiển (guaranteed cost control) cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ Luận án gồm ba chương Trong chương 1, giới thiệu số kiến thức sở tốn ổn định, tốn ổn định hóa, tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Ngồi ra, chương chúng tơi trình bày lại số bổ đề kỹ thuật bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận án chương Trong chương 2, đưa điều kiện đủ cho tính ổn định mũ ổn định hóa dạng mũ cho mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên dạng khoảng Ngồi ra, chúng tơi đưa vài tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa dạng mũ cho lớp hệ điều khiển có trễ biến thiên dạng khoảng với nhiễu phi tuyến Trong chương 3, chúng tơi nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ như: hệ phương trình vi phân có trễ hỗn hợp biến trạng thái biến điều khiển với độ trễ hàm liên tục khơng thiết khả vi; hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ biến thiên dạng khoảng biến trạng thái biến quan sát với độ trễ hàm liên tục không thiết khả vi Bằng cách xây dựng hàm Lyapunov–Krasovskii kết hợp với công thức Newton–Leibniz, điều kiện đủ cho tồn điều khiển ngược ổn định hóa đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ điều khiển có trễ biến thiên hỗn hợp trạng thái điều khiển đưa dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính Ngồi ra, với cách xây dựng hàm Lyapunov–Krasovskii có chứa tích phân bội ba, chúng tơi đưa điều kiện đủ cho tồn điều khiển phản hồi đầu động (dynamic output feedback controllers) bảo đảm chi phí điều khiển cho hệ điều khiển tuyến tính có trễ biến thiên dạng khoảng biến trạng thái biến quan sát ii ABSTRACT In this thesis, the problem of stability, stabilization and guaranteed cost control for functional differential equations with time-varying delay is studied The thesis consists of three chapters Chapter presents mathematical background of stability, stabilization and guaranteed cost control for ordinary differential equations and functional differential equations Some technical propositions needed for the proof of the main results in Chapter and Chapter are presented In Chapter 2, we establish new sufficient conditions for exponential stability and stabilization of neural networks with mixed interval time-varying delays We prove delay-dependent criteria for exponential stabilization of time-varying delay systems with nonlinear perturbations In Chapter 3, we study the problem of guaranteed cost control for some classes of linear time-varying delay systems such as linear systems with mixed interval time-varying delays on state and control; linear systems with interval time-varying delays in observation Based on constructing a new set of Lyapunov–Krasovskii functionals combined with Newton–Leibniz formula, new sufficient conditions for designing guaranteed cost controllers for linear control systems with mixed interval time-varying delays on state and control as well as on observation are established in terms of the solutions of linear matrix inequalities (LMIs) iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Vũ Ngọc Phát Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án kết chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Mai Viết Thuận iv LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy tơi GS TSKH Vũ Ngọc Phát Thầy tận tình hướng dẫn từ làm luận văn thạc sĩ luận án tiến sĩ Phương pháp nghiên cứu, cách phát giải vấn đề, ý tưởng nghiên cứu toán học mà thầy hướng dẫn giúp tơi hồn thành luận án trưởng thành nghiên cứu Thầy tạo điều kiện cho tơi có dịp tiếp xúc giao lưu quốc tế để tơi có thêm tự tin Từ tận đáy lịng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy cố gắng phấn đấu để xứng đáng với công lao Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn ý kiến nhận xét góp ý q báu GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn, GS TSKH Đinh Nho Hào, PGS TS TSKH Vũ Hoàng Linh, PGS TS Nguyễn Thị Bạch Kim, PGS TS Trương Xuân Đức Hà, PGS TS Cung Thế Anh Chính nhờ góp ý, bình luận thầy, mà luận án tiến sĩ tơi hồn thiện Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, cô phòng Tối ưu Điều khiển ân cần bảo, dạy dỗ tơi từ tơi cịn học Cao học làm nghiên cứu sinh Phịng Đồng thời tơi chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh, bạn bè đồng nghiệp xê mi na Phòng Tối ưu Điều khiển quan tâm, động viên, trao đổi đóng góp ý kiến q báu cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên cho hội học tập nghiên cứu Tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn–Tin đặc biệt TS Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Tốn–Tin, tạo điều kiện thu xếp cơng việc thuận lợi cho suốt thời gian làm nghiên cứu sinh Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học toàn thể cán bộ, cơng nhân viên Viện Tốn học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Cuối cùng, tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, đặc biệt bố mẹ, vợ gái Những người động viên, chia sẻ khó khăn tơi suốt năm tháng qua để tơi hồn thành luận án Tác giả Mai Viết Thuận Mục lục Tóm tắt i Abstract ii Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Mục lục v Một số ký hiệu viết tắt vii Mở đầu 1 Cơ sở toán học 1.1 Bài tốn ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường 1.1.1 Bài toán ổn định 1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.1.3 Bài toán ổn định hóa 1.2 Bài toán ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân có trễ 1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 1.2.2 Bài tốn ổn định hóa hệ điều khiển có trễ 1.3 Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 13 13 13 14 15 16 16 21 21 25 Tính ổn định ổn định hóa dạng mũ cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên 27 2.1 Tính ổn định ổn định hóa dạng mũ cho mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên 27 v vi 2.2 Tính ổn định hóa dạng mũ cho hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên với nhiễu phi tuyến 40 Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho số lớp hệ phương trình vi phân có trễ 61 3.1 Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ phương trình vi phân có trễ hỗn hợp biến trạng thái biến điều khiển 61 3.2 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ biến thiên biến trạng thái biến quan sát 74 Kết luận luận án 91 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 94 Một số ký hiệu viết tắt R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian véctơ Euclide thực n−chiều h, i tích vơ hướng hai véctơ x, y ∈ Rn kxk v u n uX n chuẩn Euclide véctơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ R , kxk = t x2i i=1 Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục [a, b], nhận giá trị Rn C ([a, b], Rn ) không gian hàm khả vi liên tục [a, b], nhận giá trị Rn AT ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị ∗ phần tử đường chéo ma trận đối xứng A 0 diag(A, B, C) ma trận chéo khối B 0 C λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk q chuẩn phổ ma trậnA, kAk = λmax (AT A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= K tập hợp hàm liên tục tăng chặt a(.) : R+ → R+ , a(0) = LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) vii Mở đầu Lý thuyết ổn định Lyapunov hình thành sau A.M Lyapunov, nhà tốn học người Nga, công bố bảo vệ thành công luận án tiến sĩ có nhan đề "Bài tốn tổng quan tính ổn định chuyển động" trường Đại học tổng hợp Kharkov năm 1892 Luận án viết tiếng Nga, sau dịch sang nhiều thứ tiếng khác Trong cơng trình mình, A.M Lyapunov xây dựng móng cho lý thuyết ổn định, đặc biệt đưa hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân thường Đó phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov Trong thời kỳ chiến tranh lạnh (1953–1962) việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ động lực nhận quan tâm nhiều nhà nghiên cứu ứng dụng hữu hiệu hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ mà giải phương pháp khác Từ đến lý thuyết ổn định Lyapunov lý thuyết phát triển sơi động Tốn học trở thành phận nghiên cứu thiếu lý thuyết hệ thống ứng dụng Đến năm 60 kỉ XX, với phát triển lý thuyết điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển hay cịn gọi tốn ổn định hóa hệ điều khiển Vì việc nghiên cứu tính ổn định tính ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển hai phương pháp Lyapunov đề xuất mà đặc biệt phương pháp hàm Lyapunov trở thành hướng nghiên cứu thời thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu nước quốc tế (xem [3, 17, 25, 28, 46, 88]) Chúng ta biết độ trễ thời gian thường xuyên xuất hệ thống động lực hệ thống sinh học, hệ thống hóa học mạng lưới điện (xem [12, 70, 71]) Ngoài ra, độ trễ thời gian cịn ngun nhân trực tiếp dẫn đến tính khơng ổn định hiệu suất (poor performance) hệ động lực (xem [12, 28]) Vì lớp hệ phương trình vi phân có trễ thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học (xem [1, 2, 19, 25, 28, 34, 54, 75, 78, 86]) Để ứng dụng tốt thực tiễn, người ta không quan tâm tới việc tìm tiêu chuẩn ổn định