Định thức wronxki và ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TOÁN - - KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỊNH THỨC WRONXKI VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực Lớp Khoa Chuyên ngành: - Đà Nẵng, 5/2017- : TS.Lê Hải Trung : Nguyễn Thị Thanh Ngân : 13ST : Toán : Sư phạm Tốn LỜI CẢM ƠN Được phân cơng khoa Toán trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, đồng ý giáo viên hướng dẫn cho phép tơi tiến hành làm khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân” Tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến tận tình giảng dạy, hướng dẫn qúy thầy, giáo khoa Tốn Đặc biệt cho phép gởi lời biết ơn đến thầy giáo, TS Lê Hải Trung người trực tiếp hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu Trong thời gian nghiên cứu, ban thân tơi khắc phục khó khăn để hồn thành khóa luận Tuy nhiên thời gian có hạn, kiến thức cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy giáo bạn góp ý bổ sung, giúp đỡ để thân tơi hồn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng năm 2017 Sinh viên thực Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4 Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc đề tài CHƢƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 Định nghĩa 1.2 Định nghĩa 1.3 Định lý 1.1 (Về tồn nghiệm) 1.2 Tính chất tốn tử vi phân tuyến tính 1.3 Tính chất nghiệm cho phương trình vi phân 1.4 Tính chất 10 Định nghĩa 1.4 10 Định nghĩa 1.5 10 Định lý 1.2 10 Định nghĩa 1.6 11 Định lý 1.3 (Về nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp n hệ số biến) 11 GVHD: TS Lê Hải Trung -1- SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân CHƢƠNG II ĐỊNH THỨC WRONXKI VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 14 2.1 Định thức Wronxki 14 Định nghĩa 2.1 14 Định lý 2.1 14 Hệ 2.1 15 Định lý 2.2 15 Nhận xét 20 Định lý 2.3 (Đồng thức Abel) 20 2.2 Ứng dụng 22 2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 23 2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 26 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 GVHD: TS Lê Hải Trung -2- SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, Giải tích Tốn học có biến đổi mạnh mẽ Trong đó, lĩnh vực phương trình vi phân phương trình sai phân phương trình tốn học nhằm biểu diễn mối quan hệ hàm chưa biết (một hay nhiều biến) với đạo hàm (có cấp khác nhau), khơng ngừng phát triển nghiên cứu rộng rãi toán học túy Phương trình vi phân xuất sở phát triển khoa học, kỹ thuật u cầu địi hỏi thực tế, mơn tốn học vừa mang tính lý thuyết cao, vừa mang tính ứng dụng rộng Nhiều toán học, vật lý, kinh tế dẫn đến nghiên cứu phương trình vi phân tương ứng Ngành tốn học góp phần xây dựng lý thuyết chung cho ngành toán học khoa học khác Nó có mặt góp phần nâng cao tính hấp dẫn lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu giá trị nhiều ngành tối ưu, điều khiển tối ưu, giải tích số, tính tốn khoa học… Một cơng cụ để chứng minh tính độc lập hệ n hàm số nhằm xây dựng hệ nghiệm sở cho phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số biến thiên sử dụng định thức Wronxki Định thức Wronxki cịn có nhiều ứng dụng khác giúp xác định nghiệm lại phương trình vi phân tuyến tính cấp n,… Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm nghiên cứu số ứng dụng định thức Wronxki việc giải phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số biến thiên GVHD: TS Lê Hải Trung -3- SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận - Nghiên cứu tài liệu, báo liên quan đến phương trình vi phân, định thức Wronxki - Nghiên cứu số ứng dụng định thức Wronxki việc giải phương trình vi phân tuyến tính Phạm vi nghiên cứu - Đề tài tập trung nghiên cứu tìm nghiệm cịn lại phương trình vi phân tuyến tính cấp hai cấp ba - Nghiên cứu tính chất phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số biến Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình nghiên cứu đề tài thực theo quy trình sau: (1) Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức (2) Thu thập tài liệu có liên quan đến phương trình vi phân định thức Wronxki (3) Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài (4) Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu cho quan tâm đến phương trình vi phân ứng dụng định thức Wronxki phương trình vi phân GVHD: TS Lê Hải Trung -4- SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Cấu trúc đề tài Chương I Cơ sở lý thuyết 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 (Phương trình vi phân) Định nghĩa 1.2 (Nghiệm phương trình vi phân) Định nghĩa 1.3 (Phương trình vi phân tuyến tính cấp n hệ số biến thiên) Định lý 1.1 (Về tồn nghiệm) 1.2 Tính chất tốn tử vi phân tuyến tính 1.3 Tính chất nghiệm cho phương trình vi phân 1.4 Tính chất Định nghĩa 1.4 (Phụ thuộc tuyến tính) Định nghĩa 1.5 (Độc lập tuyến tính) Định lý 1.2 Định nghĩa 1.6 (Hệ nghiệm sở) Định lý 1.3 (Về nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp n hệ số biến) Chương II Định thức Wronxki ứng dụng phương trình vi phân 2.1 Định thức Wronxki Định nghĩa 2.1 Định lý 2.1 Hệ 2.1 Định lý 2.2 GVHD: TS Lê Hải Trung -5- SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Định lý 2.3 (Đồng thức Abel) 2.2 Ứng dụng 2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Tài liệu tham khảo GVHD: TS Lê Hải Trung -6- SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân CHƢƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 Phương trình có dạng   F x, y, y, , y( n )  , (1.1) gọi phương trình vi phân thường cấp n, y  y( x ) hàm cần phải tìm Định nghĩa 1.2 Hàm y   ( x ) gọi nghiệm phương trình vi phân (1.1) phương trình (1.1) thay y   ( x ), y   ( x ), , y( n)   ( n) ( x) ta nhận được:   F x, ( x ), ( x ), , ( n) ( x )  Bình thường phương trình (1.1) có khơng nghiệm mà có vơ số nghiệm Định nghĩa 1.3 Phương trình dạng y( n)  P1( x )y( n1)   Pn1( x)y ' Pn ( x)y  f ( x) , (1.2) Pi ( x ), i  1, n , f ( x ) hàm cho trước, y  y( x ) hàm cần phải tìm, y(i ) , i  0, n đạo hàm cấp i hàm y( x ) , gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp n Ở hàm Pi ( x ), i  1, n gọi hệ số phương trình, hàm f ( x ) gọi vế phải phương trình GVHD: TS Lê Hải Trung -7- SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Nếu phương trình (1.2) với f ( x )  gọi phương trình vi phân tuyến tính khơng Khi f ( x )  phương trình (1.2) trở thành: y( n)  P1 ( x )y( n1)   Pn1( x)y ' Pn ( x)y  , (1.3) gọi phương trình tương ứng với (1.2) dn d n1 Kí hiệu L  n  P1 n1   Pn , phương trình (1.2) viết dx dx dạng L  y   y( n)  P1 ( x )y( n1)   Pn1( x )y ' Pn ( x ) , (1.4) gọi phương trình vi phân dạng tốn tử Phương trình dạng (1.3): y( n)  P1 ( x )y( n1)   Pn1( x )y ' Pn ( x )  , gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số biến P1 ( x ), P2 ( x ), , Pn ( x ) Định lý 1.1 (Về tồn nghiệm) Giả sử phương trình vi phân thường cấp n (1.2) với điều kiện đầu điểm: x  x0 , y  y0 , y  y0 , , y( n1)  y0( n1) , (1.5) hàm P1 ( x ), P2 ( x ), , Pn ( x ), f ( x ) xác định liên tục khoảng (a, b) đó, điểm x0  (a, b) Khi (a, b) tồn nghiệm y  y( x ) phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.5)   Chứng minh Ta viết phương trình (1.2) dạng y( n)  F x, y, y, , y( n1) GVHD: TS Lê Hải Trung -8- SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân dW   P1.W dx Tích phân phương trình vi phân tách biến ta thu x  W ( x )  C.e  P1dx x0 Chọn x  x0  W ( x0 )  C Do đó:  P dx W ( x )  W ( x0 )e  , W(x0) giá trị định thức Wronxki x0  (a, b) 2.2 Ứng dụng Đồng thức Abel cho phép ta tìm nghiệm thứ n, độc lập tuyến tính với n  nghiệm độc lập tuyến tính biết phương trình tuyến tính cấp n, cách giải phương trình vi phân cấp n – Nếu biết nghiệm không tầm thường y1 phương trình tuyến tính y( n)  P1 ( x )y( n1)   Pn1( x)y ' Pn ( x)y  , (2.15) ta giảm cấp phương trình cách đổi biến Đặt y  y1  udx Khi tính tuyến tính bảo toàn Thật vậy, đặt z   udx  z  u y  y1z (2.16) Thay vào phương trình (2.15) ta có: a0 ( x )z( n)  a1( x )z( n1)   an ( x )z  , GVHD: TS Lê Hải Trung - 22 - (2.17) SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Ta có y  y1 nên từ (2.16) suy z  nghiệm (2.17) Do an ( x )  (2.17) viết lại: a0 ( x )z( n)  a1( x )z( n1)   an1( x )z  (2.18) Lại có z '  u , (2.18) trở thành a0 ( x)u( n1)  a1( x)u( n2)   an1( x)u  , (2.19) (2.19) phương trình tuyến tính cấp n  2.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp y  P( x )y  Q( x )y  , (2.20) với hệ số biến P( x ), Q( x ) mặc định xác định liên tục khoảng (a, b) Biết y1  y1 ( x ) nghiệm phương trình Giả sử y2 nghiệm độc lập tuyến tính với y1 cho W[y1, y2 ]( x0 )  Khi y1y2  y1y2 W ( x )   P ( x )dx   2e , y12 y1 y1 Tức  y2    P ( x )dx    2e y y  1 GVHD: TS Lê Hải Trung - 23 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Từ ta có y2 ( x )  y1 ( x )   P ( x )dx e dx y12 ( x ) (2.21) Ví dụ 2.4 Tìm nghiệm tổng quát phương trình x y  3xy  y  0, (0, ) biết có nghiệm y1 ( x )  x Giải Theo công thức (2.21), nghiệm độc lập tuyến tính với y1 cho   23x dx  23 ln x y2 ( x )   x e dx   x e dx x x 12 23   x dx   x x x  x2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho (0, ) y( x )  C1  C2 x x Ví dụ 2.5 Tìm nghiệm tổng quát phương trình xy  ( x  1)y  2( x  1)y  0, (0, ) biết có nghiệm y1 ( x )  e2 x Giải Phương trình cho trở thành y  x 1 2( x  1) y  y  x x Theo cơng thức (2.21), nghiệm độc lập tuyến tính với y1 cho GVHD: TS Lê Hải Trung - 24 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân y2 ( x )  e 2x  e  x 1 dx x e x  ln x dx  e  x dx e 2x e4 x e x x  e2 x  x dx  e2 x  x.e 3 x dx e    e2 x   x.e3 x  e3 x      e x  x  1 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho (0, ) y( x )  C1e2 x  C2  3x  1 e x Ví dụ 2.6 Tìm nghiệm tổng quát phương trình 1  x  y  2xy  2y  Biết phương trình có nghiệm y1 ( x )  x Giải Phương trình cho viết lại dạng: y  2x  y  y   x2  x2 Theo công thức (2.16), nghiệm độc lập tuyến tính với y1 cho e   P ( x ) dx y2 ( x )  y1   x e y12  x e  2 x  1 x dx x2  ln1 x x2 dx  x   dx x2  x2  dx  1 x   1   x  dx  x     ln   x 1 x   1 x x  x 1 x   ln  1 x GVHD: TS Lê Hải Trung - 25 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho  x 1 x  y( x )  C1 x  C2   ln  1  1 x  2.4 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp y  P1 ( x )y  P2 ( x )y  P3 ( x )y  (2.22) Biết y1  y1( x ), y2  y2 ( x ) hai nghiệm phương trình Cách Có thể sử dụng phương pháp hạ bậc để (2.22) trở thành phương trình tuyến tính cấp Sau sử dụng cơng thức (2.21) để tìm nghiệm cịn lại phương trình Cách Giả sử y3 nghiệm độc lập tuyến tính với y1 , y2 cho W ( x0 )  Ta có: yi  P1 ( x )yi  P2 ( x )yi  P3 ( x )yi  0, i  1,2,3 (2.23) y1 y2 y3 W  y1 y2 y3  , y1 y2 y3  dW  y1W23  y2 W31  y3 W12 dx (2.25) với Wij  Wji  yi y j  y j yi , i  j GVHD: TS Lê Hải Trung (2.24) (2.26) - 26 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Kết hợp (2.25) với (2.23) ta có dW   P1 ( x )W , dx (2.27)  P dx W  e  (ở ta chọn x0 cho W ( x0 )  ) Mở rộng định thức (2.24) qua cột thứ 3, nghĩa   W12 y3  W12 y3  y1y2  y2 y1 y3  W (2.28) Từ (2.26) ta có W12  y1y2  y2 y1 W12  dW12  y1y2  y2 y1 dx Có thể dễ dàng thấy y1 y2 nghiệm phương trình (2.28):   W12 yc  W12 yc  y1y2  y2 y1 yc  0, c  1,2 Bằng phương pháp biến đổi tham số cho ta nghiệm y3 xác định y1 y2 sau: y3 ( x )  y2 ( x ) y1 ( x )W W  dx  y1 ( x ) 12 y2 ( x )W W  dx (2.29) 12 Ví dụ 2.7 Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y  3y  y  3y  (2.30) Biết phương trình có hai nghiệm y1 ( x )  e x , y2 ( x )  e x GVHD: TS Lê Hải Trung - 27 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Giải Cách Đặt y  e x z phương trình (2.30) trở thành: e x z  4e x z  hay z  4z  Đặt u  z ta có phương trình cấp 2: u  4u  (2.31) Ta có y  e x nghiệm (2.30) nên z  e2 x  u1  2e2 x nghiệm (2.31) Sử dụng cơng thức (2.21) ta có: u2  2e2 x    dx e dx (2e2 x )   e2 x  e4 x dx 1   e2 x  e4 x   e2 x Do u2  e2 x nghiệm (2.31)  z   e2 x dx  e2 x 1  y3  e x z  e x  e2 x  e3 x nghiệm lại (2.30) 2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho y  C1e x  C2e x  C3e3 x GVHD: TS Lê Hải Trung - 28 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Cách Theo cơng thức (2.29), nghiệm độc lập tuyến tính với y1 , y2 cho y3 ( x )  y2 ( x ) y1 ( x )W W  dx  y1 ( x ) y2 ( x )W W  12 dx, 12 đó:  P dx  3dx W e  e   e3 x         W12  y1y2  y2 y1  e x e x  e x e x  e x e x  e x e x  2  x 3x e x e3 x x e e  y3 ( x )  e  dx  e  dx (2)2 (2)2 1  e x  e4 x dx  e x  e2 x dx 4 1 1  e  x e x  e x e2 x 4 1  e3 x  e3 x   e3 x 16 8 x Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho y  C1e x  C2e x  C3e3 x Ví dụ 2.8 Tìm nghiệm tổng qt phương trình:   x  y   x  3 y  xy  y  (2.32) Biết phương trình có hai nghiệm y1 ( x )  e x , y2 ( x )  x x  Giải Cách Đặt y  e x z phương trình (2.32) trở thành GVHD: TS Lê Hải Trung - 29 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân (2  x )e x z  (3  x )e x z  hay z  x 3 z  x 2 Đặt u  z ta có phương trình cấp 2: u  x 3 u  x 2 Ta có y  x nghiệm (2.32) nên z   u1  z  (2.33) x ex 1 x nghiệm (2.33) ex Sử dụng cơng thức (2.21) ta có x 3  dx 1 x e2 x x 2 u2  x  e dx e (1  x )2 1 x e2 x  x  e x  ln( x 2)dx e (1  x ) 1 x e2 x  x   ( x  2)e x dx e (1  x )   x ( x  2)e x dx e x  (1  x )2  x ex  x   1 x 1 e Do u2  1 nghiệm (2.33)  z   1dx   x  y3  e x z  e x  ( x )   xe x nghiệm lại (2.32) Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho y( x )  C1e x  C2 x  C3 xe x GVHD: TS Lê Hải Trung - 30 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Cách Phương trình cho viết thành y  2x  x y  y  y  2 x 2 x 2 x Theo công thức (2.29), nghiệm độc lập tuyến tính với y1 , y2 cho y3 ( x )  y2 ( x ) y1 ( x )W W  dx  y1 ( x ) 12 y2 ( x )W W  dx, 12 đó: W e   P1dx e  x 3  2 x dx  e2 x ln( x 2)   x   e2 x   W12  y1y2  y2 y1  e x x  x e x  e x  xe x  1  x  e x  W122  1  x  e2 x  y3 ( x )  x  e x  x   e2 x dx  e x  x ( x  2)e2 x 1  x  e 1  x  e e  x  2 x ( x  2)  x dx  e  dx 1  x  1  x  2x 2x dx x x 2  ex   x  ex  x   x 1 x 1   e x  xe x Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho  y( x )  c1e x  c2 x  c3 e x  xe x GVHD: TS Lê Hải Trung - 31 -  SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân hay y( x )  C1e x  C2 x  C3 xe x Ví dụ 2.9 Tìm nghiệm tổng qt phương trình: xy  y  xy  y  (2.34) Biết phương trình có hai nghiệm y1 ( x )  e x , y2 ( x )  e x x  Giải Cách Đặt y  e x z phương trình (2.34) trở thành xe x z  (3x  1)e x z  2( x  1)e x z  hay z  3x  2( x  1) z  z  x x Đặt u  z ta có phương trình cấp 2: u  Ta có y  e x 3x  2( x  1) u  u0 x x (2.35) e x nghiệm (2.34) nên z  x  e2 x  u1  z  2e2 x e nghiệm (2.35) Sử dụng cơng thức (2.21) ta có u2  2e2 x   2e2 x  e   x 1 dx x 4e4 x dx e3 x  ln x dx 4e4 x   e2 x  x.e x dx   e2 x xe x  e x   e x  x  1  GVHD: TS Lê Hải Trung - 32 -  SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân Do u2   e x  x  1 nghiệm (2.35) 1  z    e x  x  1 dx  xe x 2 1  y3  e x z  e x xe x  x nghiệm lại (2.34) 2 Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho y( x )  C1e x  C2e x  C3 x Cách Phương trình cho viết thành 1 y  y  y  y  x x Theo công thức (2.29), nghiệm độc lập tuyến tính với y1 , y2 cho y3 ( x )  y2 ( x ) y1 ( x )W W  dx  y1 ( x ) 12 y2 ( x )W W  dx, 12 đó: W e   P1dx e  x dx  eln x  x       W12  y1y2  y2 y1  e x e x  e x e x  2e x e x  2  W122  GVHD: TS Lê Hải Trung - 33 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân x xe x x xe  y3 ( x )  e  dx  e  dx 4 1  e x xe x  e x  e x  xe  x  e x 4 1   x  1    x  1 4  x x     Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho y( x )  C1e x  C2e x  C3 x GVHD: TS Lê Hải Trung - 34 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân KẾT LUẬN Việc sử dụng định thức Wronxki giúp ta kiểm tra xem hệ nghiệm có độc lập tuyến tính hay khơng cách nhanh chóng, giúp suy nghiệm tổng quát phương trình Ngồi biết nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp n, cách sử dụng định thức Wronxki mà ta dễ dàng xác định nghiệm cịn lại phương trình Bài khóa luận giải số nội dung cụ thể sau: Chương I Ở chương này, khóa luận hệ thống hóa khái niệm, kiến thức phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính cấp cao Chương II Bài khóa luận trình bày nội dung kiến thức liên quan đến định thức Wronxki ứng dụng phương trình vi phân: kiểm tra hệ nghiệm độc lập tuyến tính, tìm nghiệm cịn lại phương trình vi phân tuyến tính cấp n Trình bày cơng thức tính nghiệm cịn lại phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp có ví dụ minh họa Mặc dù cố gắng nỗ lực cao thời gian qua, nhiên thời gian có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy bạn góp ý, bổ sung để khóa luận hoàn thiện GVHD: TS Lê Hải Trung - 35 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết Phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Nguyễn Thủy Thanh, Lý thuyết chuỗi phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Mạnh Quý, Giáo trình Phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm [4] Trịnh Đức Tài, Phương trình vi phân (Bài giảng tóm tắt), 2008 [5] B L Moreno-Ley, J López-Bonilla, B Man Tuladhar, On the 3rd order linear differential equation, 2012 [6] Philip Hartman, Ordinary Differential Equations, 2002 [7] William E.Boyce, Richard C.Diprima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 2001 GVHD: TS Lê Hải Trung - 36 - SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân ... Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân CHƢƠNG II ĐỊNH THỨC WRONXKI VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 14 2.1 Định thức Wronxki 14 Định nghĩa... Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân CHƢƠNG II ĐỊNH THỨC WRONXKI VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 Định thức Wronxki Định nghĩa 2.1 Giả sử... phương trình vi phân 2.1 Định thức Wronxki Định nghĩa 2.1 Định lý 2.1 Hệ 2.1 Định lý 2.2 GVHD: TS Lê Hải Trung -5- SVTH: Nguyễn Thị Thanh Ngân Định thức Wronxki ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân