Luận văn nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân với đối số lệch

MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn 2 Mục lục 3 Mở đầu 5 Kiến thức chuẩn bị 7 Chương 1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) 1 1 1 , , , n n i i m[.]

MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị Chương 1: Nghiệm tuần hồn phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch n −1 ( ) n i x( ) ( t ) =∑ x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , x ( t − τ m ( t ) ) i =1 1.1 Giới thiệu 1.2 Ký hiệu 1.3 Các bổ đề 10 1.4 Các định lý 14 Chương 2: Nghiệm tuần hồn phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch x (n) n −1 ( t=) ∑ bi x(i ) ( t ) + f ( t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ m ( t ) ) ) + p ( t ) 27 i =1 2.1 Giới thiệu 27 2.2 Ký hiệu 28 2.3 Các bổ đề 28 2.4 Các định lý 29 Chương 3: Nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc hai loại trung hịa với đối số lệch ( ) x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + a ( t ) x ( t ) + g t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) = p ( t ) 44 3.1 Giới thiệu 44 3.2 Các bổ đề 44 3.3 Các định lý 47 Chương 4: Nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân phi tuyến bậc hai loại trung hịa với đối số lệch ( ) x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) + f t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τn ( t ) ) = g ( t ) 60 4.1 Giới thiệu 60 4.2 Các bổ đề 60 4.3 Định lý 64 Kết luận kiến nghị 73 Tài liệu tham khảo 75 MỞ ĐẦU Bài tốn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân với đối số lệch có ứng dụng lớn vật lý, khoa học nghiên cứu ứng dụng người máy… Trong thời gian gần có nhiều nhà tốn học giới nghiên cứu tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc bậc cao với đối số lệch Vì chúng tơi chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng nhà khoa học nước Ngồi phần kiến thức chuẩn bị, nội dung luận văn gồm bốn chương, chương kết chúng tôi, cụ thể sau: Chương 1: Sử dụng thuyết trùng bậc Mawhin để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch sau n −1 ( ) x n ( t ) =∑ x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , x ( t − τ m ( t ) ) , t ∈  Trong i i =1 số τ i′ ( t ) < Chương : Cũng sử dụng thuyết trùng bậc Mawhin để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch sau x (n) n −1 ( t=) ∑ bi x(i ) ( t ) + f ( t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ m ( t ) ) ) + p ( t ) , t ∈  Trong i =1 bi số khơng địi hỏi giả thiết τ i′ ( t ) < Chương : Trình bày hai kết tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân bậc hai với đối số lệch sau ( ) x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + a ( t ) x ( t ) + g t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ n ( t ) ) = p (t ) , t ∈  Trong kết sử dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii để chứng minh kết sử dụng thuyết trùng bậc Mawhin Trong hai kết đó, trước tiên chúng tơi tìm hàm Green phương trình có dạng x′′ ( t ) + Mx ( t ) = ϕ ( t ) với vài điều kiện cho trước tiến hành đặt ánh xạ thích hợp để sử dụng định lý Krasnoselskii thuyết trùng bậc Mawhin Phương trình xét chương không chứa đạo hàm cấp x′ ( t ) , chúng tơi mở rộng kết nghiên cứu tồn nghiệm tuần hoàn phương trình có chứa x′ ( t ) Đó nội dung chương Chương 4: Trình bày kết chúng tơi, sử dụng định lý điểm bất động Krasnoselskii để chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân bậc hai với đối số lệch sau: ( ) x′′ ( t ) + cx′′ ( t − τ ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) + f t , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τn ( t ) ) = g ( t ) Trước tiên chúng tơi tìm hàm Green phương trình để biến đổi phương trình phương trình tích phân, sau tiếp tục biến đổi đưa dạng tổng ánh xạ co ánh xạ compact, từ áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii Để tìm hàm Green cho phương trình chúng tơi dựa vào kết tìm hàm Green Y Wang, H Lian W Ge [5] cho phương trình có dạng x′′ ( t ) + p ( t ) x′ ( t ) + q ( t ) x ( t ) = ϕ(t ) Kết chúng tơi gửi đến Tạp chí khoa học, Phịng Khoa học cơng nghệ mơi trường trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh duyệt đăng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Bất đẳng thức Holder Giả sử X tập đo Lebesgue  n Ký hiệu Lp ( X ) K - không p gian vectơ tất hàm đo f từ X vào K cho f 1 + = Nếu f ∈ Lp ( X ) , p q Cho p > 1, q > số thực thỏa mãn g ∈ Lq ( X ) fg ∈ L1 ( X ) ∫ X  fg ≤  ∫ f  X p    khả tích Lebesgue p ∫  X q g    q Định lý Azela – Ascoli Cho X không gian compact, Khi tập H ⊂ C ( X , K ) compact tương đối thỏa mãn hai điều kiện sau i) H bị chặn theo điểm ii) H đồng liên tục Toán tử Fredholm Cho E , X hai không gian định chuẩn T : E → X ánh xạ tuyến tính, liên tục T tốn tử Fredholm T −1 ( ) hữu hạn chiều, T ( E ) đóng, = codimT ( E ) dim ( X / T ( E ) ) < +∞ Chỉ số T = ind T dimT −1 ( ) − codimT ( E ) Thuyết trùng bậc Mawhin Cho X Y không gian Banach L : D ( L ) ⊂ X → Y toán tử Fredholm với số P : X → X , Q : Y → Y ánh xạ chiếu cho ImP = KerL , KerQ = ImL= , X KerL ⊕ KerP = , Y ImL ⊕ ImQ Dẫn đến L D( L )∩ KerP : D ( L ) ∩ KerP → ImL khả đảo, ký hiệu ánh xạ ngược K P Giả sử Ω tập mở, bị chặn X, D ( L ) ∩ Ω ≠ ∅ ( ) Ánh xạ N : X → Y gọi L – compact Ω QN Ω bị chặn K P ( I − Q ) N : Ω → X ánh xạ compact Định lý Mawhin Cho L toán tử Fredholm với số N ánh xạ L- compact Ω Giả sử điều kiện sau thỏa mãn i) Lx ≠ λ Nx, x ∈ ( D ( L ) / KerL ) ∩ ∂Ω, λ ∈ ( 0,1) ii) Nx ∉ ImL, x ∈ KerL ∩ ∂Ω ( ) iii) deg JQN KerL , Ω ∩ KerL,0 ≠ , với J : Y / ImL → KerL phép đẳng cấu Khi phương trình Lx = Nx có nghiệm D ( L ) ∩ Ω Định lý Krasnoselskii Giả sử Ω không gian Banach, X tập lồi, đóng, bị chặn Ω U , S : X → Ω ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau i) Ux + Sy ∈ X , ∀x, y ∈ X ii) U ánh xạ co iii) S ánh xạ compact Khi U + S có điểm bất động X Chương NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO VỚI ĐỐI SỐ LỆCH n −1 ( ) n i x( ) ( t ) =∑ x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , x ( t − τ m ( t ) ) i =1 1.1 Giới thiệu Chương trình bày kết tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch có dạng n −1 ( ) n i x( ) ( t ) =∑ x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , x ( t − τ m ( t ) ) , t ∈  (1.1) i =1 Trong • τ ,τ , ,τ m hàm liên tục có chu kì ω • f liên tục f ( ⋅ , x0 , x1 , xm ) hàm tuần hoàn chu kì ω , tức f ( t , x0 , x1 , , x= f ( t + ω , x0 , x1 , , xm ) ∀ ( x0 , x1 , xm ) ∈  m+1 m) 1.2 Ký hiệu { } X =Cωn−1 = x ∈ C n−1 (  ) , x ( t + ω ) = x ( t ) , t ∈  Y =Cω0 ={ x ∈  (  ) : x ( t + ω ) = x ( t ) , t ∈ } { } D ( L ) =domL =Cωn = x ∈  n (  ) : x ( t + ω ) = x ( t ) { Với x ∈ X , x = max x Trong x ∞ Với y ∈ Y , y ∞ n −1 , x′ ∞ , , x( ) ∞ } i i x( ) max x( ) = = max x ( t ) , = ( t ) ( i 1, 2, , n − 1) t∈[ 0,ω ] t∈[ 0,ω ] ∞ ∞ ( ) = max y ( t ) Khi ( X , ⋅ ) , Y , ⋅ ∞ không gian Banach t∈[ 0,ω ] L : X ∩ domL → Y , L ( x ) = x( ) ánh xạ tuyến tính n n −1 ( N : X → Y , N ( x )( t ) =∑ x( ) ( t ) + f t , x ( t ) , x ( t − τ1 ( t ) ) , , x ( t − τ m ( t ) ) i i =1 ) 1.3 Các bổ đề Bổ đề 1.3.1 Với ánh xạ L, N định nghĩa trên, ta có kết sau: i) KerL = c, t ∈ [ 0, ω ] , c ∈ } {x (t ) = ω   ∈ = ii) ImL = y Y : y u du ( )   ∫   iii) L toán tử Fredholm với số iv) Tồn ánh xạ chiếu P : X → X , Q : Y → Y cho: ImP = Ker L ; KerQ = Im L Hơn nữa, với Ω tập mở, bị chặn X, Ω ∩ domL ≠ ∅ N ánh xạ Lcompact Ω v) x ( t ) nghiệm tuần hoàn phương trình (1.1) x nghiệm phương trình Lx = Nx D ( L ) Chứng minh { } n i) KerL = x ∈ X ∩ domL : L ( x ) = x( ) = i i • Trước tiên ta chứng minh với x ∈ KerL x( ) ( t = + ω ) x( ) ( = t ) ( i 1, 2, , n ) x ∈ KerL ⇒ x ( t + ω ) = x ( t ) , ∀t ∈  x ( t + ω + ∆t ) − x ( t + ω ) x ( t + ∆t ) − x ( t ) = lim = x′ ( t ) ∆t →0 ∆t →0 ∆t ∆t x′ ( t + ω ) = lim ⇒ x′ ( t + ω ) = x′ ( t ) , ∀t ∈  x′ ( t + ω + ∆t ) − x′ ( t + ω ) x′ ( t + ∆t ) − x′ ( t ) = lim = x′′ ( t ) ∆t →0 ∆t →0 ∆t ∆t x′′ ( t + ω ) = lim i i Tiếp tục ta chứng minh x( ) ( t = + ω ) x( ) ( = t ) ( i 1, 2, , n ) n • x ∈ KerL ⇒ x ∈ Cωn x( ) = ⇒ x n−1 ( t ) = c ∀t ∈  , c = const ⇒ x( n−2 ) ct + α , α ∈  (t ) = n−2 n−2 Ta có x( ) ( t + ω ) − x( ) ( t ) = cω ⇔ = cω ⇔ c = n −1 Vậy x( ) ( t ) = ∀t ∈  Lập luận tương tự ta có x′ ( t ) = ∀t ∈  ⇒ x ( t ) = c , ∀t ∈  ω   ii) ImL = ∈ = y Y : y u du ( )   ∫   y ∈ ImL ⇒ ∃x ∈ domL ∩ X cho L ( x ) = y n ⇒ ∃x ∈ Cωn : y = x( ) ⇒ y (u ) = x( ) ( u ) n ω ω 0 ∀u ∈  n n −1 n −1 ⇒ ∫ y ( u ) du =∫ x( ) ( u ) du = x( ) (ω ) − x( ) ( ) = ω   Vậy ImL = ∈ = y Y : y u du   ∫ ( )   iii) L toán tử Fredholm với số Dễ kiểm tra L ánh xạ tuyến tính KerL = c, t ∈ [ 0, ω ] , c ∈ } =  ⇒ dim KerL = {x (t ) = ω   ImL =  đóng  y ∈ Y : ∫ y ( u ) du =   ω Thật xét ánh xạ ϕ : Cω →  , ϕ ( y ) = ∫ y ( t ) dt 0 ϕ ánh xạ liên tục ⇒ ϕ −1 {0} tập đóng ω    tập đóng ⇒ ImL =  y ∈ Y : ∫ y ( u ) du =   dim (Y / ImL ) = ⇒ codim ImL= 1= dim KerL Vậy L toán tử Fredholm với số iv) Tồn ánh xạ chiếu P : X → X , Q : Y → Y cho KerL = ImP ; ImL = KerQ Đặt P ( x )( t ) = x ( ) , x ∈ X Ta chứng minh KerL = ImP c Với x ∈ KerL ⇒ x ( t )= c, ∀t ∈  ⇒ x ( ) = Khi x ( t )= c= x ( )= P ( x )( t ) ⇒x= P ( x ) ⇒ x ∈ ImP ⇒ KerL ⊂ ImP Mặt khác P ( x )( t ) = x ( ) ⇒ ImP ⊂ KerL Vậy KerL = ImP Đặt Q ( y )( t ) = ω ω ∫0 y ( s ) ds Ta chứng minh ImL = KerQ Lấy y ∈ KerQ ⇒ Q ( y ) = ⇒ Q ( y )( t )= ω ω ∫0 y ( s ) ds= ω ⇒ ∫ y ( s ) ds = ⇒ y ∈ Im L Vậy KerQ ⊂ ImL ω ω Lấy y ∈ ImL ⇒ ∫ y ( s ) ds = ⇒ y ∈ KerQ Vậy ImL ⊂ KerQ ⇒ ∫ y ( s ) ds = ω ... nhiều nhà toán học giới nghiên cứu tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân bậc bậc cao với đối số lệch Vì chúng tơi chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo... nội dung luận văn gồm bốn chương, chương kết chúng tôi, cụ thể sau: Chương 1: Sử dụng thuyết trùng bậc Mawhin để chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân bậc cao với đối số lệch sau... p ( t ) , t ∈  Trong i =1 bi số khơng địi hỏi giả thiết τ i′ ( t ) < Chương : Trình bày hai kết tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân bậc hai với đối số lệch sau ( ) x′′ ( t ) + cx′′ (