Luận văn sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian

www.VNMATH.com MỞ ĐẦU Từ cuối kỷ XIX nhiều nhà khoa học quan tâm tìm lời giải cho tốn ổn định chuyển động Ở thời điểm đó, người ta đưa nhiều đ ịnh nghĩa khác khái niệm này, chẳng hạn đ ịnh nghĩa A.Poincaré, V.Rumyantsev, Chỉ từ A.M Lyapunov (1857-1918) cơng bố cơng trình “Bài tốn tổng qt tính ổn định chuyển động” vào năm 1892 Nga dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định nghiên cứu cách có hệ thống trở thành phận quan trọng lý thuyết đ ịnh tính phương trình vi phân Kể từ đó, lý thuyết ổn đ ịnh nhiều nhà khoa học khắp giới quan tâm nghiên cứu Đến nay, kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định lĩnh vực toán học nghiên cứu sôi thu nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công nghệ, s inh thái học, Lyapunov giải toán ổn đ ịnh hai phương pháp, phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi phương pháp phổ hay phương pháp thứ Lyapunov) phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi phương pháp thứ hai Lyapunov) Vào năm 70 kỷ trước, số toán có liên quan đến phương trình vi phân dạng: A t x '(t) +B t x(t) đó, A det A t R R a số, Đây dạng đặc biệt phương trình vi phân đại số (differential algebraic equation-DAE) Ngay sau đó, loại phương trình vi phân nh iều nhà tốn học sâu nghiên cứu Để nghiên cứu DAE người ta thường làm sau: phân rã chúng nhờ phép c hiếu để hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình đại số Ngồi ra, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com vài phương pháp khác Đến người ta tìm nhiều kết cho phương trình vi phân đại số tương tự phương trình vi phân thường chẳng hạn lý thuyết Floquet, tính ổn đ ịnh tiệm cận nghiệm phương trình với ma trận hệ số Trong hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn đ ịnh mà D.Hinr ic hs en A.J.Pritchard đưa ra, hai ông hình thành hướng nghiên cứu nghiên cứu tính ổn định vững hệ động lực dựa khái niệm bán kính ổn định Hướng nghiên cứu thu hút ý tâm huyết nhiều nhà tốn học tí nh hiệu tính thời ứng dụng tốn kỹ thuật Nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh nghiên cứu ổn đ ịnh hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời g ian đưa cơng thức bán kính ổn đ ịnh báo “Stability radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations” đăng tải JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006 Luận văn gồm 61 trang, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham Đây báo sở để thực luận văn khảo, gồm có ba chương: Chương I: Một số khái niệm hệ phương trình vi phân đại số Chương trình bày kiến thức sở để sử dụng chương sau Chương II: Bán kính ổn đ ịnh hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số Chương trình bày tốn tính bán kí nh ổn đ ịnh cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng Ax'(t) - Bx(t) A, B ma trận thực, det A Chương III: Bán kính ổn đ ịnh hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động Chương nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com A t x' t A K K , B , công thức bán kính ổn đ ịnh đưa Luận văn hồn thành khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ khoa học Cô g iáo - Tiến sĩ Đào Thị Liê n Qua tơi xin bày tỏ lị ng biết ơn sâu sắc công lao vô bờ cô không quản thời gian cơng sức hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, khoa Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đào tạo tạo điều kiện tốt để luận văn hồn thành Sau tơi xin bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tơ i, quan nơi công tác (Trường PT Vùng Cao - Việt Bắc) động viê n, tạo điều kiện cho yên tâm học tập, nghiên cứu Mặc dù cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế th iếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn ho àn thiện Thái Nguyên, tháng năm 2008 Học viên cao học Lƣu Thị Thu Hồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn www.VNMATH.com CHƢƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Phép chiếu - Chỉ số cặp ma trận Định nghĩa 1.1.1 Cho P  P gọi phép c hiếu 2P Nhận xét 1.1.2 i) Cho P phép c hiếu Khi đó, ta có: KerP ii) Mỗi phân tích  n  tồn phép c hiếu P cho imP = U KerP = V, P gọi phép c hiếu lên U dọc theo V Đặt Q:=I – P Q phép c hiếu phép c hiếu lên V dọc theo U Định nghĩa 1.1.3 (C hỉ số ma trận) Cho A  Số tự nhiê n k gọi số ma trận A, ký hiệu indA, số nhỏ mà KerAk indA  Định lý 1.1.4 Với A imAk  ta lu ơn có:  với k thoả mãn 0