Nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân thường không autonomous

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Thị Hồng Huệ NGHIỆM TUẦN HỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHƠNG AUTONOMOUS LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Hồ Thị Hồng Huệ NGHIỆM TUẦN HỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHƠNG AUTONOMOUS Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung luận văn tơi thực có tham khảo tài liệu trích dẫn rõ ràng Tơi khơng chép tài liệu khác Nếu sai thật, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm Hồ Thị Hồng Huệ LỜI CÁM ƠN Đầu tiên, tơi xin kính gởi lời cám ơn sâu sắc chân thành tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán Tin – Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ bảo thầy thời gian làm luận văn tốt nghiệp Tôi xin gởi lời cám ơn đến Quý Thầy Cơ Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy tơi suốt khóa học Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Phịng Sau Đại học – Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gởi lời cám ơn đến Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hồn thành luận văn cách hoàn chỉnh Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln quan tâm động viên giúp tơi hồn thành luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2015 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cám ơn Mục lục Ký hiệu MỞ ĐẦU Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHÔNG AUTONOMOUS 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính 1.1.1 Các định lí tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân tuyến tính 1.1.2 Các bổ đề bổ trợ 1.1.3 Chứng minh định lý 18 1.1.4 Các ý 23 1.2 Phương trình vi phân phi tuyến tính 28 1.2.1 Các định lí tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân phi tuyến tính 29 1.2.2 Các bổ đề bổ trợ 31 1.2.3 Chứng minh định lý 31 CHƯƠNG NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẬC - n 37 2.1 Phương trình vi phân tuyến tính 37 2.1.1 Định lí tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 37 2.1.2 Các bổ đề bổ trợ 38 2.1.3 Chứng minh định lý 43 2.2 Phương trình vi phân phi tuyến tính 46 2.2.1 Các định lí tồn nghiệm phương trình vi phân phi tuyến tính 47 2.2.2 Bổ đề bổ trợ 49 2.2.3 Chứng minh định lý 49 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 KÝ HIỆU Trong suốt báo, giả sử n ≥ ω > Chúng ta sử dụng ký hiệu sau: ( −∞, +∞ ) ,  + = [0, +∞ ) , = ω ω  lk =    2π  n − k −1 (k = 1, , n − 1), ln = [ x ]+ =( x + x ) ; [ x ]− =( x − x ) với • x∈ ζ hàm Riemann zeta, tức +∞ , với x > x k =1 k ζ ( x) = ∑ • Lω khơng gian tất hàm thực tuần hoàn theo chu kỳ ω khả tích Lebesgue [ 0; ω ] • L2ω khơng gian tất hàm thực tuần hồn theo chu kỳ ω khả tích Lebesgue cấp hai [ 0; ω ] • Cω không gian tất hàm u :  →  tuần hoàn theo chu kỳ ω liên tục = u C max { u (t ) : t ∈ [ 0, ω ]} ω • ACω không gian tất hàm u :  →  tuần hoàn theo chu kỳ ω đạo hàm liên tục tuyệt đối • ACωk khơng gian tất hàm u :  →  tuần hoàn theo chu kỳ ω đạo hàm liên tục tuyệt đối đến cấp k u ( k ) ∈ ACω • Zω tập hợp tất hàm không giảm theo biến thứ hai đo theo biến thứ δ :  × [0; +∞) → [0; +∞) cho δ (., ς ) ∈ Lω với ς ≥ lim ς →+∞ ς ω ∫ d (t , ς )dt = ω + Nếu p ∈ Lω ; ∫ p(t )dt ≠ ta đặt  ω   ∫ p (t ) dt   ; γ ( p= ) 1 + 0ω   ∫0 p(t )dt     ω γ ( p) = γ ( p) ∫ p(t ) dt ω + Nếu p1 , p2 ∈ Lω ; ∫ p2 (t )dt ≠ ta đặt  ω   ∫ p0 (t ) dt   ) 1 + 0ω η0 ( p1 , p2=  ;  ∫0 p2 (t )dt     ω η ( p1 , p2 ) = η0 ( p) ∫ p0 (t )dt , với p0 (t )= ( ) p1 (t ) + p2 (t ) + p1 (t ) − p2 (t ) + Nếu h, h0 : [ 0, ω ] →  hàm khả tích thỏa ω ∫ h (t )dt ≠ , 0 ta đặt = µ (h, h0 ) ω ω = , µ0 (h0 ) ∫ h(t ) dt ω ∫ h (t )dt 0 ∫ h (t ) dt ω ∫ h (t )dt 0 Khi hàm h0 hàm khơng đổi dấu hiển nhiên µ (h= µ= , h0 ) ( h0 ) (2.15) + Nếu u ∈ Lω c0 = ω ω ∫0 u (t )dt gọi giá trị trung bình hàm u + Cho x, y ∈ Lω , ta viết x(t ) ≡/ y (t ) nghĩa hàm x hàm y khác tập có độ đo dương MỞ ĐẦU Hiện nay, việc nghiên cứu dao động khoa học công nghệ đưa đến việc giải phương trình vi phân phổ biến Với hệ thống dao động người ta nghiên cứu thêm tác động bên ngồi lên với chu kỳ định Từ đó, người mơ tả nhiều tượng tự nhiên hệ phương trình vi phân thường khơng autonomous phụ thuộc vào chu kỳ thời gian Ví dụ dao động tuyến tính phi tuyến tính tác động ngoại lực tuần hoàn, hệ thống động lực giúp điều khiển tối ưu động máy móc…Và câu hỏi quan trọng đặt dao động có tính tuần hồn tương ứng với lực tác động hay khơng? Câu hỏi có nguồn gốc từ vấn đề học cổ điển học thiên thể sau ứng dụng quan trọng lĩnh vực điện hạt nhân Ngày phương trình vi phân thường khơng autonomous đóng vai trị quan trọng tốn sinh học, dân số toán kinh tế yếu tố tác động thay đổi theo mùa Vì tơi chọn đề tài “NGHIỆM TUẦN HỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHƠNG AUTONOMOUS” cho luận văn tốt nghiệp cao học Trong luận văn chúng tơi chúng tơi trình bày lại cách có hệ thống chứng minh chi tiết kết báo “Periodic solutions of nonautonomous ordinary differential equations” I Kiguradze A Lomtatidze [23], báo “On periodic solutions of n-th order ordinary differential equations” I Kiguradze [11] Luận văn có hai chương Chương Nghiệm tuần hồn cho phương trình vi phân thường khơng autonomous Trong chương ta đưa số điều kiện đủ cho tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân tuyến tính 52 ω = (1 − d ) ρ + (1 + µ ( h1 , h0 ) ) ∫ h(t )dt ω = ρ − dρ + (1 + µ ( h1 , h0 ) ) ∫ h(t )dt =ρ − dρ + dρ =ρ + ( ρ − ρ ) < ρ , p > ρ với l hàm định nghĩa (2.11), ω = ρ0 d −1 (1 + µ ( h1 , h0 ) ) ∫ h(t )dt Vậy ta chứng minh (2.10) Từ Định lí 2.1 Bổ đề 2.4 tốn (2.14), (2.6) có nghiệm tầm thường, nghiệm tùy ý toán (2.5 ) , (2.5 ), (2.6) thỏa ước lượng (2.26), n = r l ( rr với ) + ∑ lk k =2 Sử dụng Bổ đề 2.12, để chứng minh định lí ta chứng minh với α ∈ ( 0,1) nghiệm u tùy ý thỏa (2.25), (2.6) thỏa ước lượng (2.26) Giả sử u nghiệm (2.25), (2.6) với α ∈ ( 0,1) Khi đó, từ (2.17), (2.18) (2.27) - (2.30) ta có u ( n ) (t )sgn(s u (t )) = (1 − α ) h1 (t ) u (t ) + α f ( t , u (t ), , u ( n−1) (t ) ) sgn (s u (t ) ) ( ≥ g (t ) u (t ) − g1 t , u '(t ) , , u ( n −1) (t ) ) u ( n ) (t ) ≤ α h1 (t ) u (t ) + (1 − α ) f ( t , u (t ), , u ( n−1) (t ) ) ( ) ≤ g t , u (t ) , , u ( n−1) (t ) vậy, u nghiệm tùy ý toán (2.5 ) , (2.5 ), (2.6) Tuy nhiên, theo ý nói trên, nghiệm tùy ý tốn (2.5 ) , (2.5 ), (2.6) thỏa ước lượng (2.26) Chứng minh Hệ 2.7 53 Chọn ε > thỏa ω ω n   ε  µ0 (h0 )l1 ∫ h1 (t )dt + (1 + µ (h1 , h0 ) ) ∑ lk ∫ hk (t )dt  < k =2 0   Với ε ∈ ( 0, ε ] , giả sử f (t = , x1 , , xn ) ε f (t , x1 , , = xn ),  hk (t ) ε= hk (t ) (k 0,1, ,= n), h(t ) ε h(t ) Theo (2.17), (2.18), (2.19) ta có n f (t , x , , x )sgn(s x ) ≥ h (t ) x − h (t ) x − h (t ) ∑k k n 1 k =2 n f (t , x , , x ) ≤ h (t ) x + h (t ) ∑k k n k =1 ω ∫ h (t )dt > 0 ω ( µ0 (h0 )l1 ∫ h1 (t )dt + + µ (h1 , h0 ) ω ) ∑ l ∫ h (t )dt n k =2 k k ω ω n   = ε  µ0 (h0 )l1 ∫ h1 (t )dt + (1 + µ (h1 , h0 ) ) ∑ lk ∫ hk (t )dt  < k =2 0   Vì vậy, theo Định lí 2.6 ta có (1.2ε ) nghiệm tuần hoàn theo chu kỳ ω Chứng minh Định lí 2.8 Từ (2.21) ta có bất đẳng thức (2.17), (2.18) với h(t ) = f (t ,0, ,0) Thật vậy, + Chứng minh (2.17) n Đặt= K ( x1 , x2 , , xn ) s f (t , x1 , x2 , , xn )sgn( x1 ) − h0 (t ) x1 + ∑ hk (t ) xk + f (t ,0, ,0) k =2 Cố định x2 , , xn xét hàm K với ẩn x1 Khi x1 > ta có ∂K ( x1 , x2 , , xn ) ∂f (t , x1 , x2 , , xn ) = σ − h0 (t ) > , ∂x1 ∂x1 54 vậy, K hàm tăng ( 0, +∞ ) Suy n K ( x1 , x2 , , xn ) > K (0, x2 , , xn ) = ∑ hk (t ) xk + f (t ,0, ,0) k =2 Khi x1 < ta có ∂K ( x1 , x2 , , xn ) ∂f (t , x1 , x2 , , xn ) = −σ + h0 (t ) < , ∂x1 ∂x1 vậy, K hàm giảm ( −∞,0 ) Suy n K ( x1 , x2 , , xn ) > K (0, x2 , , xn ) = ∑ hk (t ) xk + f (t ,0, ,0) k =2 Từ đó, ta có K ( x1 , x2 , , xn ) ≥ K (0, x2 , , xn ) Tương tự, ta có K ( x1 , x2 , , xn ) ≥ K ( x1 ,0, , xn ), ( x2 ≠ 0) K ( x1 , x2 , , xn ) ≥ K ( x1 , x2 , ,0), ( xn ≠ 0) Vậy K ( x1 , x2 , , xn ) > K (0, x2 , , xn ) ≥ K (0,0, , xn ) ≥ ≥ K (0,0, ,0) = f (t ,0, ,0) ≥ Nên ta có (2.17) + Chứng minh (2.18) tương tự chứng minh (2.17) ta có n K1 ( x1 , x2 , , = xn ) f (t , x1 , x2 , , xn ) − ∑ hk (t ) xk − f (t ,0, ,0) ≤ k =2 n K ( x1 , x2 , , = xn ) f (t , x1 , x2 , , xn ) + ∑ hk (t ) xk + f (t ,0, ,0) ≥ k =2 Từ Định lí 2.6 ta có phương trình (1.2) có nghiệm tuần hồn theo chu kỳ ω Để hoàn tất chứng minh định lí ta chứng minh phương trình (1.2) khơng có nhiều nghiệm tuần hoàn theo chu kỳ ω Giả sử ta có u1 , u2 hai nghiệm tùy ý tuần hoàn theo chu kỳ ω phương (t ) u1 (t ) − u2 (t ) trình (1.2) Đặt u= Khi đó, từ (2.21) ta có 55 = u ( n ) (t )sgn(ss u (t )) u1( n ) (t ) − u2( n ) (t )  sgn( u (t ))  f (t , u1 (t ), u '1 (t ), , u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n −1) (t ))  sgn(s u (t ))  f (t , u1 (t ), u '1 (t ), , u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '1 (t ), , u1( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) +  f (t , u2 (t ), u '1 (t ), , u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) áp dụng định lí giá trị trung bình cho hàm f theo biến thứ hai với x1 nằm u1 (t ); u2 (t ) ta có u ( n ) (t )sgn(s u (t ))  ∂f (t , x1 , u '1 (t ), , u1( n −1) (t ))  =  u (t )sgn(s u (t )) ∂x1   +  f (t , u2 (t ), u '1 (t ), , u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), u ''1 (t ) , u1( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) +  f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n − 2) (t ), u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n − 2) (t ), u2( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) (2.17) ≥ h0 (t ) u (t ) +  f (t , u2 (t ), u '1 (t ), , u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), u ''1 (t ), , u1( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) +  f (t , u2 (t ), u '2 (t ), u ''1 (t ), , u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), u ''2 (t ), u '''1 (t ), , u1( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) +  f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n − 2) (t ), u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n − 2) (t ), u2( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) tương tự, áp dụng định lí giá trị trung bình cho hàm f theo biến thứ ba ta có với x2 nằm u '1 (t ); u '2 (t ) ta có u ( n ) (t )sgn(s u (t ))  ∂f (t , u2 (t ), x2 , , u1( n −1) (t ))  ≥ h0 (t ) u (t ) +   ( u '1 (t ) − u '2 (t ) ) sgn(s u (t )) ∂x2   (2.17) +  f (t , u2 (t ), u '2 (t ), u ''1 (t ), , u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), u ''2 (t ), u '''1 (t ), , u1( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) +  f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n − 2) (t ), u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n − 2) (t ), u2( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) 56 ∂f (t , u2 (t ), x2 , , u1( n −1) (t )) u '(t ) ≥ h0 (t ) u (t ) − ∂x2 +  f (t , u2 (t ), u '2 (t ), u ''1 (t ), , u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), u ''2 (t ), , u1( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) +  f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n − 2) (t ), u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n − 2) (t ), u2( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) (2.18) ≥ h0 (t ) u (t ) − h2 (t ) u '(t ) +  f (t , u2 (t ), u '2 (t ), u ''1 (t ), , u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), u ''2 (t ), , u1( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) +  f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n −2) (t ), u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n −2 ) (t ), u2( n −1) (t ))  sgn(s u (t )) làm tiếp tục q trình ta có n u ( n ) (t )sgn(s u (t )) ≥ h0 (t ) u (t ) − ∑ hk (t ) u ( k −1) (t ) k =2 ( ≥ g (t ) u (t ) − g1 t , u '(t ) , , u ( n−1) (t ) ) = u ( n ) (t ) f (t , u1 (t ), u '1 (t ), , u1( n −1) (t )) − f (t , u2 (t ), u '2 (t ), , u2( n −1) (t )) n n ( k −1) k = k 1= k ≤ ∑ h (t ) u (t ) + h(t ) − ∑ hk (t ) u2( k −1) (t ) − h(t ) suy n u ( n ) (t ) ≤ ∑ hk (t ) u ( k −1) (t ) k =1 Khi đó, u thu hẹp [ 0, ω ] nghiệm toán (2.5 ), (2.5 ), (2.6), với = = λ 1,= g (t ) h0 (t ), g1 ( t , y1 , , yn−1 ) n = yn ) ∑ hk (t ) yk −1 , g ( t , y1 , , n ∑ h (t ) y = k 2= k Mặt khác, từ (2.19), (2.20) ta có k k 57 ω ∫ h (t ) dt 0 ω ∫ h0 (t )dt ω ∫ h (t ) dt ω l1 ∫ h1 (t )dt + ω ω n ω n ∑ lk ∫ hk (t )dt + ∑ lk ∫ hk (t )dt < 1, = k 2= k 0 0 ∫ h (t )dt 0 ta có với ρ > ρ0 = ω ∫ ω h0 (t ) dt ω ∫ h (t )dt ω l1ρ ∫ h1 (t )dt + ∫ h (t ) dt ω n n ∑ l ρ ∫ h (t )dt + ∑ l ρ ∫ h (t )dt < ρ , k k k ω k 2= k = 0 0 0 ∫ h (t )dt ω k suy ω ω n  ω  + h t l ρ h t dt l ρ h t dt ( ) ( ) ( )  ∑ ∫0  ∫0 ∫0 k =2 k k  dt ω n + ∫ ∑ lk ρ hk (t )dt < ρ ω k =2 ∫ h (t )dt 0 nghĩa ω ω  ω  + ρ h t l g t dt ( ) ( ) ∫0  ∫0 ∫0 g1 (t , l2 ρ , , ln ρ )dt  dt ω n + ∫ ∑ lk ρ hk (t )dt < ρ , ω k =2 ∫ g (t )dt 0 hay ω n ∫ h (t )l ( ρ ) + ∑ l ρ h (t )dt < ρ k =2 k k ta có (2.10) ω ∫ g (t , l ( ρ ), l ρ , , l ρ )dt < ρ , ( ρ > ρ n = 0) Theo Bổ để 2.4 ta có (2.12) suy u (t ) ≡ Vậy ta chứng minh định lý Hệ 2.9 chứng minh tương tự Hệ 2.7 58 Chứng minh Định lí 2.10 Giả sử h0 hàm tuần hoàn mở rộng  theo chu kỳ ω n = λ λ1 , h0= h(t ) + ∑ hk (t ) ykλ−k (t ) g (t ), g1 (t , y1 , , yn= −1 ) (2.31) k =2 1, 2, , n ) , tồn ε ∈ ( 0,1) ρ ∈ (1, +∞ ) Với điều kiện λk ∈ ( 0,1) , ( k = để ω ( 2ε l1 ∫ ( h0 (t ) + h1 (t ) ) dt + ε + µ ( h0 + 2h1 , h0 )) ω n ∑ lk ∫ hk (t )dt < k =2 (2.32) Và (2.10) thỏa, n g (t , y1 , ,= yn −1 ) 2ε h0 (t ) y1 + h(t ) + ∑ hk (t ) ykλk (2.33) k =1 Và l hàm xác định (2.11) Với hàm 2σε h0 (t ) ( x − ρ ) , ( x > ρ )  , ( − ρ0 ≤ x ≤ ρ0 ) = ϕ (t , x) 0  2σε h0 (t ) ( x + ρ ) , ( x < − ρ ) (2.34) f ( t , x , , xn ) ϕ ( t , x1 ) + f ( t , x1 , , xn ) 1= (2.35) xét phương trình vi phân u ( n ) = f (t , u , , u ( n −1) ) (2.36) Từ điều kiện (2.22), (2.23) ký hiệu (2.31), (2.33), hàm f tập [0, ω ] ×  n thỏa bất đẳng thức n f ( t , x , , x ) sgn (s x ) ≥ ϕ ( t , x ) sgn (s x ) + h ( t ) x λ1 − h (t ) x ∑k k n 1 1 λk − h(t ) (2.37) k =2 f ( t , x , , x ) sgn (s x ) ≥ g ( t ) x λ − g ( t , x , , x n 1 n Và ) (2.38) 59 f ( t , x , , x ) ≤ g ( t , x , , x ) n n (2.39) Thật vậy, f ( t , x , , x ) ≤ ϕ ( t , x ) + f ( t , x , , x ) n 1 n n ≤ 2ε h0 (t ) x1 + ∑ hk (t ) xk ≤ g ( t , x1 , , xn λk + h(t ) k =1 ) Áp dụng bất đẳng thức Young xk λk − λk ≤ ε xk + η k ,= với ηk ε= ( k 1, 2, , n ) 1− λk Mặt khác, từ (2.34) ta có ϕ (t , x1 )sgn(s x1 ) ≥ 2ε h0 (t ) x1 − 2ερ0 h0 (t ) Từ (2.37) (2.39) ta kết luận [ 0, ω ] ×  n điều kiện n f ( t , x , , x ) sgn (s x ) ≥ h ( t ) x − h (t ) x − h (t ) , ∑k k n 1 (2.40) k =2 n f ( t , x , , x ) ≤ h (t ) x + h (t ) , ∑k k n (2.41) k =1 thỏa , với h0 ( t ) = ε h0 (t ) , h1 ( t ) = 2ε ( h0 (t ) + h1 (t ) ) , hk (t ) = ε hk (t ) ( k = 2, , n ) , n = h (t ) 2ερ h0 (t ) + h(t ) + ∑h k hk (t ) k =1 Thật vậy, f ( t , x , , x ) sgn (s x ) n ≥ sϕ ( t , x1 ) sgn ( x1 ) + h0 ( t ) x1 λ1 n − ∑ hk (t ) xk λk − h(t ) k =2 n n ≥ 2ε h0 (t ) x1 − 2ερ h0 (t ) + h0 ( t ) x1 + h0 (t )hh − ∑ hk (t ) xk − ∑ hk (t ) k −h(t ) k 2= k = 60 n ≥ h0 ( t ) x1 − ∑ hk (t ) xk − h (t ) k =2 f ( t , x , , x ) n n ≤ 2ε h0 (t ) x1 + h1 (t ) x1 + ∑ hk (t ) xk λ λk + h(t ) k =2 n n ≤ 2ε ( h0 (t ) + h1 (t ) ) x1 + ∑ hk (t ) xk + ∑ hk (t )h k + h(t ) k 2= k = n ≤ ∑ hk (t ) xk + h (t ) k =1 Mặt khác, từ (2.32) ta có ω ( ( l1µ0 (h0 ) ∫ h1 (t )dt + + µ h1 , h0 )) n ω k =2 ∑ lk ∫ hk ( t ) dt < Tuy nhiên, từ Định lí 2.6, bất đẳng thức cuối điều kiệu (2.40) (2.41) đảm bảo tồn nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω toán (2.36) Dựa (2.38) (2.39), giới hạn u [ 0, ω ] nghiệm toán (2.1 ), (2.1 ), (2.2), với hàm g , g1 , g thỏa điều kiện Bổ đề 2.4 Bằng bổ đề ta có u (t ) ≤ ρ , t ∈  Tuy nhiên, từ ước lượng đẳng thức (2.35), (2.36) ta có f ( t , u (t ), , u n −1 (t ) ) ≡ f ( t , u (t ), , u n −1 (t ) ) Vì vậy, u nghiệm tuần hồn chu kỳ ω phương trình (2.1) Chứng minh Hệ 2.11 Với hàm = f ( t , x1 , , xn ) n ∑ p (t ) x k =1 k Thỏa điều kiện (2.22), (2.23), với k λk sgn( xk ) + q (t ) , 61 ω  = h0 (t ) ss p1 (t= t k n = h t q = t p t dt ), hk (t ) p= ( ) 1, , , ( ) ( ) , sgn ( ) ) (  k ∫  0 Thật vậy, f (t , x1 , , xn )sgn(s x1 ) n = p1 (t ) x1 sgn(sss x1 )sgn ( x1 ) + ∑ pk (t ) xk k sgn( xk )sgn( x1 ) + q(t )sgn( x1 ) λ1 λ k =1 ≥ σ p1 (t ) x1 ≥ h0 (t ) x1 λ1 λ1 n − ∑ pk (t ) xk λk − q (t ) k =2 n − ∑ hk (t ) xk λk − h(t ) k =2 Và f (t , x1 , , xn ) = n ∑ p (t ) x k =1 k n λk sgn( xk ) + q (t ) k ≤ ∑ pk (t ) xk λk + q (t ) k =1 n ≤ ∑ hk (t ) xk λk + h(t ) k =1 Hơn nữa, hàm h0 thỏa bất đẳng thức (2.19) Vì vậy, tất điều kiện Định lí 2.10 thỏa, từ đảm bảo tồn nghiệm tuần hoàn chu kỳ ω (2.24) 62 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày lại cách hệ thống kết tồn tính nghiệm tuần hồn phương trình vi phân thường không autonomous bậc cao tài liệu [23] I Kiguradze, A Lomtatudze tài liệu [11] I Kiguradze Luận văn gồm hai chương Chương Trình bày lại số kết tồn nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân thường khơng autonomous tài liệu [23] Trong mục 1.1 luận văn trình bày điều kiện đủ tồn nghiệm nghiệm tuần hồn cho phương trình vi phân tuyến tính bậc n (1.1) với kết Định lí 1.1, Định lí 1.2 Định lí 1.3 Trong mục 1.2 dựa định lý mục 1.1 luận văn trình bày điều kiện đủ tồn nghiệm nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân phi tuyến bậc - n (1.2) với kết Định lí 1.9, Định lí 10 Định lí 1.11 Chương Luận văn trình bày lại số kết tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân thường bậc – n tài liệu [11], mục 2.1 luận văn trình bày điều kiện đủ tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân tuyến tính bậc - n (2.1) tổng quát phương trình (1.1) với kết định lý 2.1 Trong mục 2.2 dựa định lý mục 2.1 luận văn trình bày điều kiện đủ tồn nghiệm tuần hoàn phương trình vi phân phi tuyến tính bậc - n (1.2) với kết Định lí 2.6, Định lí 2.8, Định lí 2.10 Đặc biệt, chương từ định lí tồn nghiệm tuần hồn phương trình vi phân (2.1) (1.2) luận văn đề cập thêm hệ (đó Hệ 2.2, Hệ 2.9 Hệ 2.1) tồn 63 nghiệm tuần hồn phương trình vi phân phụ thuộc vào tham số bé (1.2ε ) , (1.2ε ) Vì hiểu biết thân cịn hạn hẹp nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý bảo quý Thầy Cô hội đồng để luận văn hoàn thiện 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Baslandze, S.R., Kiguradze, I.T.: On the unique solvability of a periodic boundary value problem for third-order linear differential equations (in Russian) Differ Uravn.42, 153–158 [English transl.: Differ Equ.42, 165–171 (2006)] [2] Bates, F.W., Ward, J.R Jr.: Periodic solutions of higher order systems Pac J Math.84, 275–282 (1979) [3] De Coster, C., Habets, P.: Two-Point Boundary Value Problems: Lower and Upper Functions Mathematics in Science and Engineering, vol 205 Elsevier, Amsterdam (2006) [4] Fučik, S., Mawhin, J.: Periodic solutions of some nonlinear differential equations of higher order Cas Pest Mat.100, 276–283 (1975) [5] Gaines, R.E., Mawhin, J.L.: Coincidence Degree, and Nonlinear Differential Equations Lecture Notes in Mathematics, vol 568 Springer, Berlin (1977) [6] Gegelia, G.T.: On bounded and periodic solutions of even-order nonlinear ordinary differential equations (in Russian) Differ Uravn.22, 390– 396 [English transl.: Differ Equ.22, 278–283 (1986)] [7] Gegelia, G.T.: On periodic solutions of ordinary differential equations In: Qualitative Theory of Differential Equations (Szeged 1988), Colloq Math Soc János Bolyai, vol 53, pp 211–217 North-Holland, Amsterdam (1990) [8] Hardy, G.H., Littlewood, J.E., Pólya, G.: Inequalities Cambridge University Press, London (1951) [9] Kiguradze, I.: Boundary value problems for systems of ordinary differential equations (in Russian) In: Current Problems in Mathematics Newest Results, vol 30, pp 3–103, Itogi Nauki i Tekhniki, Akad Nauk SSSR, 65 Vsesoyuz Inst Nauchn i Tekhn Inform, Moscow [English transl.: J Sov Math 43, 2259–2339 (1988)] [10] Kiguradze, I.: On bounded and periodic solutions of linear higher order differential equations (in Russian) Mat Zametki37, 48–62 (1985) [11] Kiguradze, I.: On periodic solutions of n-th order ordinary differential equations Nonlinear Anal.40, 309–321 (2000) [12] Kiguradze, I.T (2008) On periodic problem at resonance for higher order nonautonomous differential equations (in Russian) Differ Uravn.44(to appear) [13] Kiguradze, I.T., Kusano, T.: On periodic solutions of higher-order nonautonomous ordinary differential equations (in Russian) Differ Uravn.35, 72–78 [English transl.: Differ Equ.35, 71–77 (1999)] [14] Kiguradze, I., Kusano, T.: On conditions for the existence and uniqueness of a periodic solution of nonautonomous differential equations (in Russian) Differ Uravn.36, 1301–1306 [English transl.:Differ Equ.36, 1436– 1442 (2000)] [15] Kiguradze, I., Kusano, T.: On periodic solutions of even-order ordinary differential equations Ann Mat Pura Appl.180, 285–301 (2001) [16] Kipnis, A.A.: On periodic solutions of higher order nonlinear differential equations (in Russian) Prikl Mat Mekh.41, 362–365 [English transl.: J Appl Math Mech.41, 355–358 (1977)] [17] Lasota, A., Opial, Z.: Sur les solutions péridoques des equations différentielles ordinaires Ann Polon Math.16, 69–94 (1964) [18] Lasota, A., Szafraniec, F.H.: Sur les solutions périodicues d’une équation différentielle ordinaire d’orderen Ann Polon Math.18, 339–344 (1966) 66 [19] Omari, P., Zanolin, F.: On forced nonlinear oscillations innth order differential systems with geometric conditions Nonlinear Anal.8, 723–748 (1984) [20] Mawhin, J.:L2 -estimates and periodic solutions of some nonlinear differential equations Boll Un Mat Italy (4),10, 341–354 (1974) [21] Mawhin, J.: The periodic boundary value problem for some second order ordinary differential equations In: Gregus (ed.) Equadiff (Bratislava 1981), pp 256–259 Teubner, Leipzig (1982) [22] Mawhin, J., Ward, J.R.: Nonuniform nonresonance conditions at the two first eigenvalues for periodic solutions of forced Lienard and Duffing equations Rocky Mt J Math.12, 643–654 (1982) [23].Kiguradze,I., Lomtatidze,A.:Periodic solutions of nonautonomous ordinarydifferential equations.Monatsh Math.159:235–252 (2010) ... (1.2ε ) Chương NGHIỆM TUẦN HỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHƠNG AUTONOMOUS 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính Trong phần này, xét tồn nghiệm tuần hồn cho phương trình vi phân tuyến tính... Định lí tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính Trước hết ta đưa điều kiện đủ cho vi? ??c tồn nghiệm tuần hồn cho phương trình (2.1) Từ ta đưa hệ cho vi? ??c tồn nghiệm tuần hồn cho phương trình (2.1ε... theo chu kỳ ω (1.51) 37 CHƯƠNG NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG BẬC - n 2.1 Phương trình vi phân tuyến tính Xét phương trình vi phân thường khơng autonomous tuyến tính = u (n)