MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt LỜI MỞ ĐẦU 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1 1 Bổ đề Gronwall 5 1 2 Phương trình tích phân Volterra tuyến t[.]
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bổ đề Gronwall 1.2 Phương trình tích phân Volterra tuyến tính loại 1.3 Một số kết sơ hàm Green 1.4 Bổ đề 1.4.1 18 1.5 Ánh xạ co nguyên lý điểm bất động 19 1.5.1 Ánh xạ co 19 1.5.2 Nguyên lý điểm bất động 19 1.6 Nguyên lý cực đại 19 1.7 Một số bất đẳng thức 20 Chương BÀI TOÁN BIÊN TỰ DO MỘT PHA DẠNG STEFAN 22 2.1 Một tốn Stefan pha Quy phương trình tích phân 22 2.2 Sự tồn nghiệm toán 29 2.2.1 Sự tồn nghiệm khoảng thời gian nhỏ 41 2.2.2 Sự tồn nghiệm toàn cục 43 Chương MỘT BÀI TOÁN STEFAN HAI PHA VỚI HAI BIÊN TỰ DO 47 3.1 Giới thiệu 47 3.2 Thu gọn phương trình tích phân 54 3.3 Sự tồn nghiệm toán 69 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Trong luận văn có sử dụng ký hiệu quy ước cần thiết : Kết thúc chứng minh Sup : Cận Inf ∑ : Cận : Tổng : Chuẩn u exp(u ) = e Max : Giá trị lớn : Giá trị tuyệt đối LỜI MỞ ĐẦU Bài toán biên tự tốn mà phận biên không cho trước Biên chưa biết gọi biên tự (vì vị trí chúng thay đổi theo thời gian) người ta phải tìm với nghiệm phương trình Bài toán biên tự xuất nhiều lĩnh vực khoa học như: vật lý [1], họcmôi trường liên tục [2], cơng nghiệp hóa học [3],… Mơ hình toán biên tự tốn nóng chảy đơng đặc chất tinh khiết Nó thường gọi tốn Stefan J Stefan cơng bố vào năm 1890 – 1891 Đó tốn tượng tan băng.Giả sử có băng mỏng, vơ tận phía, chiếm khoảng a ≤ x < ∞ , giả thiết nhiệt độ băng khắp nơi C điểm x = a ln trì nhiệt độ T 0C , với T > Khi băng bắt đầu tan (chuyển từ trạng thái rắn sang trạng thái lỏng) vào thời điểm t > pha nước chiếm khoảng a ≤ x < s (t ) Kí hiệu u ( x, t ) nhiệt độ pha nước điểm x , thời điểm t Khi ta có 0, a 2u= xx − ut u ( a, t ) T , = u ( s (t ), t ) 0, = a < x < s (t ), t > 0, (0.1) t > 0, t > 0, (0.2) (0.3) α số ≠ , α = k1 , k1 hệ số truyền nhiệt nước, ρ1 ρ1c1 mật độ nước, c1 nhiệt dung riêng nước Đường x = s (t ) biên tự do, phần trước biên, ngăn cách pha nước pha rắn Điều kiện (0.3) thể nhiệt độ tan băng biên tự 00 C Tuy nhiên, biên tự chưa biết trước, muốn cho tốn đặt người ta phải bổ sung thêm điều kiện biên tự Điều kiện suy từ định luật bảo toàn lượng gọi điều kiện Stefan ds (t ) = −k1u x ( s (t ), t ), t > dt (0.4) x=s(t) t nước rắn x a Hình Bài toán (0.1) – (0.4) gọi toán Stefan pha, hàm số u ( x, t ), s (t ) ẩn hàm phải tìm tốn Nếu nhiệt độ băng phân bổ thời điểm đầu thấp nhiệt độ băng (nhỏ 00 C ) không thiết truyền nhiệt xảy hai pha rắn nước Gọi v( x, t ) nhiệt độ pha rắn, điểm x , thời điểm t Khi v thỏa mãn phương trình điều kiện sau β 2vxx − vt 0, = v( x,0) ψ ( x), = v( s (t ), t ) 0, = s (t ) < x < ∞, t > 0, (0.5) < x < ∞, t > 0, (0.6) (0.7) β số ≠ , β = k2 , k2 hệ số truyền nhiệt băng, ρ ρ 2c2 mật độ băng, c2 nhiệt dung riêng băng, ψ ( x) hàm số khôngdương cho trước (ψ ( x) ≤ ) Điều kiện (0.4) thay điều kiện ds (t ) = −k1u x ( s (t ), t ) + k2 vx ( s (t ), t ), t > dt (0.8) Bài tốn tìm hàm u ( x, t ), v( x, t ), s (t ) thỏa mãn phương trình điều kiện (0.1) – (0.3), (0.5) – (0.8) gọi toán Stefan hai pha Các toán biên tự không nghiên cứu lĩnh vực vật lý, hóa học mà cịn nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác sinh học [6], tài (định giá rủi ro đầu tư tối ưu) [5],… Hiện nay, ứng dụng toán biên tự thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học thuộc nhiều lĩnh vực khác Từ năm 1981 hội nghị quốc tế toán biên tự tổ chức đặn Cụ thể sau: Montecatini, Ý, 1981; Maubuissons, Pháp, 1984; Irsee, Đức, 1987; Montreal, Canada, 1990; Toledo, Tây Ban Nha, 1993; Zakopane, Polonia, 1995; Crete, Hy Lạp, 1997; Chiba, Nhật Bản, 1999; Trento, Ý, 2002; Coimbra, Bồ Đào Nha, 2005; Stockholm, từ ngày 9-13 tháng sáu năm 2008; Regensburg, Đức, từ ngày 11-15 tháng sáu năm 2012 Nội dung luận văn trình bày tồn nghiệm toán biên tự pha dạng Stefan toán Stefan hai pha với hai biên tự do.Các kết luận văn tổng hợp từ tài liệu [10], [15] Luận văn viết thành ba chương phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo Phần mở đầu trình bày xuất xứ ý nghĩa toán Trong phần giới thiệu ngắn gọn lịch sử phát triển toán biên tự Chương 1.Kiến thức chuẩn bị Chương giới thiệu số kết sơ hàm Green phương trình tích phân Volterra, số kết phục vụ cho việc nghiên cứu chương chương Các kết trình bày chương chương Chương Bài toán biên tự pha dạng Stefan Chương trình bày tốn biên tự pha dạng Stefan Sự tồn tính nghiệm tốn chứng minh nguyên lý điểm bất động Nội dung tham khảo [10], chương Avner Friedman Chương Một toán Stefan hai pha với hai biên tự Chương trình bày tốn Stefan hai pha với hai biên tự Bài toán xuất từ hình thành băng Bắc Cực mùa hè Sử dụng nguyên lý điểm bất động ta chứng minh tồn tính nghiệm toán Phần lấy từ báo [15] P T Nam, Alain Pham, D D Trong, P H Quan Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số kết làm sở cho chương sau.Các kết tổng hợp từ [4], [7], [10], [15] 1.1 Bổ đề Gronwall Cho T > 0, λ ∈ L ( 0, T ) , λ ≥ hầu khắp nơi C1 , C2 ≥ Giả sử ϕ ∈ L1 ( 0, T ) , ϕ ≥ hầu khắp nơi cho λϕ ∈ L1 ( 0, T ) t ϕ (t ) ≤ C1 + C2 ∫ λ ( s ) ϕ ( s ) ds , ∀t ∈ ( 0, T ) Khi ta có t ϕ (t ) ≤ C1 exp C2 ∫ λ ( s) ds , ∀t ∈ ( 0, T ) Trường hợp đặc biệt, C1 = , ta có ϕ = hầu khắp nơi 1.2 Phương trình tích phân Volterra tuyến tính loại Phương trình tích phân Volterra tuyến tính loại hai có dạng s ϕ ( s= ) f ( s ) + λ ∫ K ( s, t )ϕ (t )dt , a ≤ s ≤ b , a hàm f , K cho trước, λ tham số, ϕ hàm cần tìm 1.3 Một số kết sơ hàm Green Cho a (t ), b(t ) hàm khả vi liên tục a (t ) < b(t ), ∀t ≥ Cho κ > số cho u ( x, t ) nghiệm phương trình khuếch tán ∂u ∂ 2u = κ , t > 0, b(t ) > x > a (t ) ∂t ∂x Ta giới thiệu hàm Green cho phương trình (1.3.1), (1.3.1) ( x − x )2 H (t − t ) exp − , ( t ) κ − t pκ (t − t ) = G ( x, t ;x ,t ) H hàm Heaviside, 1, t > 0, H (t ) = 0, t < Bổ đề sau hữu ích cho việc biến đổi phương trình vi phân (1.3.1) phương trình tích phân Volterra loại Bổ đề 1.3.1.Nếu u nghiệm (1.3.1) với t > a (t ) < x < b(t ) ta có = u ( x, t ) ∫ G ( x, t; b(t ),t ) κ ux ( b(t )−,t ) + u ( b(t ),t ) b '(t ) dt t − ∫ G ( x, t ; a (t ),t ) κ ux ( a (t )+,t ) + u ( a (t ),t ) a '(t ) dt t −κ ∫ Gx ( x, t ; b(t ),t ) u ( b(t ),t )dt t +κ ∫ Gx ( x, t ; a (t ),t ) u ( a (t ),t )dt t +∫ b (0) a (0) G ( x, t ;x ,0 ) u (x ,0 )d x Chứng minh.Lưu ý Gt + κ Gξξ = 0, ∀t < t , G ( x, t ;x , t −=) δ ( x − x ) , +∞, x = 0, x ≠ 0, δ = H ' hàm delta Dirac, δ ( x) = Thật vậy, ta có ( x − x )2 exp − t →t − pκ (t − t ) κ ( t − t ) G ( x, t ; x , t − ) lim = ε 4κ (t − t ) Ta Đặt y= x − x ,= G ( x, t ; x , t −= ) lim e →0 + y2 exp − = ) δ ( x − x ) δ ( y= e pe (1.3.2) Khi Khi t < t H (t − t ) = = G ( x , t ; x ,t ) ( x − x )2 exp − , − κ t t ( ) pκ (t − t ) ( x − x )2 ( x − x )2 Gt = exp − − , 3 κ t t ( ) − pκ (t − t ) pκ (t − t ) ( x − x )2 x −x Gx exp − , = 3 κ t t ( ) − pκ (t − t ) ( x − x )2 ( x − x )2 Gxx = exp − − 4κ (t − t ) pκ (t − t )5 pκ (t − t )3 Từ ta có Gt + κ Gξξ = 0, ∀t < t , ) Ta có với u = u (ξτ κ ∂G ∂u ∂ ∂u ∂G ∂ u ∂u ∂G ∂ 2G G u G u κ − = + − − ∂ ∂ξξξξξξξξξ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 ∂ ∂ ∂ 2u ∂ 2G ∂u ∂ (uG ) = κG − κu = G + uGτ = ∂ξξττ ∂ ∂ ∂ Suy κ ∂ ∂u ∂G ∂ −u − G (uG ) = ∂ξξξτ ∂ ∂ ∂ Ta cóvới v = uG , ( ) ∂ ∂ v , d v( , )d = ξτξξτξ ( ) ( ) ∫a (ττ ) ∂ττ ∂ ∫a ( ) ), ) b '( ) + v ( a ( ), ) a '( ) −v ( b(ττττττ ) b (ττ b( ) Thật vậy, trường hợp a(t ) ≡ 0, > b( ), 0 ξτ H ( b(τξ )− )= < b( ) ξτ nên ∞ ∂ ∂ = ξτξτξξτξ v d , ) ( ) ( ∫0 ∂ττ ∫0 H ( b( ) − ) ∂ ( v ( , ) ) d ∞ ∂ ∞ ∂ = ∫ ) − ) v ( , ) d − ∫ H ( b(τξξτξτξξτξ H ( b( ) − ) v ( , ) d ∂ττ ∂ b (τ ) Mặt khác ∂ / ) − )= δ ( b(τξτ ) − ) b '( ) H ( b(τξτξτξ H ' ( b( ) − )( b( ) − )= τ ∂τ ∫ ∞ ∞ / dτξξτξξτξτξ ( b( ) − ) v ( , ) d = ∫ H ξ ( − b( ) ) v ( , ) d ∞ ξ →∞ , ) H ( − b( ) ) ξ =0 − ∫ vξ/ ( , ) H ( − b( ) ) d = v (ξτξτξτξτξ ∞ lim v (ξτξτξττ , ) − ∫ vξ/ ( , ) d = v ( b( ), ) , = b (τ ) ξ →∞ nên ∂ , )) d ( v (ξτξ ∂τ ∞ ∂ ∞ = H ( b(τξξτξdτξτξτξ ) − ) v ( , ) d − ∫ ( b( ) − ) b '( )v ( , ) d ∫ ∂τ ∂ b (τ ) = v (ξτξτττ , ) d − v ( b( ), ) b '( ) ∂τ ∫0 ∫ b (τ ) ( ( ) ) Nếu a (t ) số, ta viết ∂ , )) d ( v (ξτξ a (τ ) ∂τ ) ∂ b (ττ a( ) ∂ = ∫ , )) d − ∫ v (ξτξξτξ ( (v ( , )) d 0 ∂ττ ∂ ∂ b (τ ) = , ) d − v ( b( ), ) b '( ) v (ξτξτττ ∂τ ∫0 ∂ a (τ ) − , ) d + v ( a ( ), ) a '( ) v (ξτξτττ ∂τ ∫0 ∂ b (τ ) = , ) d − v ( b( ), ) b '( ) + v ( a ( ), ) a '( ) v (ξτξττττττ ∂τ ∫a (τ ) ∫ b (τ ) ( ( ( ) ) ) ... sáu năm 2012 Nội dung luận văn trình bày tồn nghiệm toán biên tự pha dạng Stefan toán Stefan hai pha với hai biên tự do. Các kết luận văn tổng hợp từ tài liệu [10], [15] Luận văn viết thành ba chương... chương Các kết trình bày chương chương Chương Bài toán biên tự pha dạng Stefan 4 Chương trình bày toán biên tự pha dạng Stefan Sự tồn tính nghiệm toán chứng minh nguyên lý điểm bất động Nội dung... toán biên tự tốn mà phận biên không cho trước Biên chưa biết gọi biên tự (vì vị trí chúng thay đổi theo thời gian) người ta phải tìm với nghiệm phương trình Bài tốn biên tự xuất nhiều lĩnh vực