Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tự do Stefan

Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Diệp Nhật Tạo SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN TỰ DO STEFAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 258 Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Diệp Nhật Tạo SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦABÀI TOÁN BIÊN TỰ DO STEFAN Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số 60 46 01 02 : LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 258 Header Page of 258 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng tôi, không chép từ luận văn Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng tài liệu, giảng, thông tin đăng tải tác phẩm, tạp chí danh mục tài liệu tham khảo luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2014 Tác giả Diệp Nhật Tạo Footer Page of 258 Header Page of 258 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành cảm ơn Thầy GS TS Đặng Đức Trọng tận tâm bảo, hướng dẫn suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Quí thầy cô Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh nhiệt tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báo cho suốt khóa học Xin gửi lời cảm ơn Phòng Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2014 Tác giả Diệp Nhật Tạo Footer Page of 258 Header Page of 258 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bổ đề Gronwall 1.2 Phương trình tích phân Volterra tuyến tính loại 1.3 Một số kết sơ hàm Green 1.4 Bổ đề 1.4.1 18 1.5 Ánh xạ co nguyên lý điểm bất động 19 1.5.1 Ánh xạ co 19 1.5.2 Nguyên lý điểm bất động 19 1.6 Nguyên lý cực đại 19 1.7 Một số bất đẳng thức 20 Chương BÀI TOÁN BIÊN TỰ DO MỘT PHA DẠNG STEFAN 22 2.1 Một toán Stefan pha Quy phương trình tích phân 22 2.2 Sự tồn nghiệm toán 29 2.2.1 Sự tồn nghiệm khoảng thời gian nhỏ 41 2.2.2 Sự tồn nghiệm toàn cục 43 Chương MỘT BÀI TOÁN STEFAN HAI PHA VỚI HAI BIÊN TỰ DO 47 3.1 Giới thiệu 47 3.2 Thu gọn phương trình tích phân 54 3.3 Sự tồn nghiệm toán 69 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 Footer Page of 258 Header Page of 258 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Trong luận văn có sử dụng ký hiệu quy ước cần thiết  : Kết thúc chứng minh Sup : Cận Inf ∑ : Cận : Tổng : Chuẩn u exp(u ) = e Max : Giá trị lớn Footer Page of 258 : Giá trị tuyệt đối Header Page of 258 LỜI MỞ ĐẦU Bài toán biên tự toán mà phận biên không cho trước Biên chưa biết gọi biên tự (vì vị trí chúng thay đổi theo thời gian) người ta phải tìm với nghiệm phương trình Bài toán biên tự xuất nhiều lĩnh vực khoa học như: vật lý [1], họcmôi trường liên tục [2], công nghiệp hóa học [3],… Mô hình toán biên tự toán nóng chảy đông đặc chất tinh khiết Nó thường gọi toán Stefan J Stefan công bố vào năm 1890 – 1891 Đó toán tượng tan băng.Giả sử có băng mỏng, vô tận phía, chiếm khoảng a ≤ x < ∞ , giả thiết nhiệt độ băng khắp nơi C điểm x = a trì nhiệt độ T 0C , với T > Khi băng bắt đầu tan (chuyển từ trạng thái rắn sang trạng thái lỏng) vào thời điểm t > pha nước chiếm khoảng a ≤ x < s (t ) Kí hiệu u ( x, t ) nhiệt độ pha nước điểm x , thời điểm t Khi ta có 0, a 2u= xx − ut u ( a, t ) T , = u ( s (t ), t ) 0, = a < x < s (t ), t > 0, (0.1) t > 0, t > 0, (0.2) (0.3) α số ≠ , α = k1 , k1 hệ số truyền nhiệt nước, ρ1 ρ1c1 mật độ nước, c1 nhiệt dung riêng nước Đường x = s (t ) biên tự do, phần trước biên, ngăn cách pha nước pha rắn Điều kiện (0.3) thể nhiệt độ tan băng biên tự 00 C Tuy nhiên, biên tự chưa biết trước, muốn cho toán đặt người ta phải bổ sung thêm điều kiện Footer Page of 258 Header Page of 258 biên tự Điều kiện suy từ định luật bảo toàn lượng gọi điều kiện Stefan ds (t ) = −k1u x ( s (t ), t ), t > dt (0.4) x=s(t) t nước rắn x a Hình Bài toán (0.1) – (0.4) gọi toán Stefan pha, hàm số u ( x, t ), s (t ) ẩn hàm phải tìm toán Nếu nhiệt độ băng phân bổ thời điểm đầu thấp nhiệt độ băng (nhỏ 00 C ) không thiết truyền nhiệt xảy hai pha rắn nước Gọi v( x, t ) nhiệt độ pha rắn, điểm x , thời điểm t Khi v thỏa mãn phương trình điều kiện sau β 2vxx − vt 0, = v( x,0) ψ ( x), = v( s (t ), t ) 0, = s (t ) < x < ∞, t > 0, (0.5) < x < ∞, t > 0, (0.6) (0.7) β số ≠ , β = k2 , k2 hệ số truyền nhiệt băng, ρ ρ 2c2 mật độ băng, c2 nhiệt dung riêng băng, ψ ( x) hàm số khôngdương cho trước (ψ ( x) ≤ ) Điều kiện (0.4) thay điều kiện ds (t ) = −k1u x ( s (t ), t ) + k2 vx ( s (t ), t ), t > dt Footer Page of 258 (0.8) Header Page of 258 Bài toán tìm hàm u ( x, t ), v( x, t ), s (t ) thỏa mãn phương trình điều kiện (0.1) – (0.3), (0.5) – (0.8) gọi toán Stefan hai pha Các toán biên tự không nghiên cứu lĩnh vực vật lý, hóa học mà nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác sinh học [6], tài (định giá rủi ro đầu tư tối ưu) [5],… Hiện nay, ứng dụng toán biên tự thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học thuộc nhiều lĩnh vực khác Từ năm 1981 hội nghị quốc tế toán biên tự tổ chức đặn Cụ thể sau: Montecatini, Ý, 1981; Maubuissons, Pháp, 1984; Irsee, Đức, 1987; Montreal, Canada, 1990; Toledo, Tây Ban Nha, 1993; Zakopane, Polonia, 1995; Crete, Hy Lạp, 1997; Chiba, Nhật Bản, 1999; Trento, Ý, 2002; Coimbra, Bồ Đào Nha, 2005; Stockholm, từ ngày 9-13 tháng sáu năm 2008; Regensburg, Đức, từ ngày 11-15 tháng sáu năm 2012 Nội dung luận văn trình bày tồn nghiệm toán biên tự pha dạng Stefan toán Stefan hai pha với hai biên tự do.Các kết luận văn tổng hợp từ tài liệu [10], [15] Luận văn viết thành ba chương phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo Phần mở đầu trình bày xuất xứ ý nghĩa toán Trong phần giới thiệu ngắn gọn lịch sử phát triển toán biên tự Chương 1.Kiến thức chuẩn bị Chương giới thiệu số kết sơ hàm Green phương trình tích phân Volterra, số kết phục vụ cho việc nghiên cứu chương chương Các kết trình bày chương chương Chương Bài toán biên tự pha dạng Stefan Footer Page of 258 Header Page 10 of 258 Chương trình bày toán biên tự pha dạng Stefan Sự tồn tính nghiệm toán chứng minh nguyên lý điểm bất động Nội dung tham khảo [10], chương Avner Friedman Chương Một toán Stefan hai pha với hai biên tự Chương trình bày toán Stefan hai pha với hai biên tự Bài toán xuất từ hình thành băng Bắc Cực mùa hè Sử dụng nguyên lý điểm bất động ta chứng minh tồn tính nghiệm toán Phần lấy từ báo [15] P T Nam, Alain Pham, D D Trong, P H Quan Footer Page 10 of 258 Header Page 73 of 258 67 (t ) T ( h0 (t )−, t ) − T0 (t ) Bây ta chứng minh ψ ≡ cách ψ 2= dùng kỹ thuật tương tự chứng minh ψ ≡ Cho x → h0 (t ) − (3.2.17) áp dụng bổ đề 1.3.2, ta có / G h ( t ), t ; h ( t ), t h ( t ) ψ ( t ) d t ψ (t ) − ( ) 0 ∫0 t − DO ∫ G2ξ ( h0 (t ), t ; h0 (t ),t )ψ (t )dt = t Từ ta có ψ (t ) 2∫ G2 ( h0 (t ), t ; h0 (t ),t ) h0/ (t ) − DO G2ξ ( h0 (t ), t ; h0 (t ),t ) ψ (t )dt t Chú ý phương trình tích phân Volterra tuyến tính loại hai G2 ( h0 (t ), t ; h0 (t ),t ) h0/ (t ) − DOG2ξ ( h0 (t ), t ; h0 (t ),t ) ≤ const t −t T0 (t ) Do đó, áp dụng bổ đề 1.3.3 ta có ψ ≡ Do T ( h0 (t )−, t ) = Ta lập luận tương tự, thật có rắc rối nhỏ, để suy Áp dụng bổ đề 1.3.1 cho phương trình T ( h0 (t )+, t ) = T0 (t ) T ( hu (t )−, t ) = (3.1.6) với hu (t ) > x > h0 (t ) so sánh định nghĩa gốc T (3.2.9), ta có = T ( x, t ) ∫ G ( x, t; h (t ),t )  D v (t ) + ψ (t ) h (t ) dt t u I / u − ∫ G3 ( x, t ; h0 (t ),t )  DI v2 (t ) + T ( h0 (t )+,t ) h0/ (t ) dt t − DI ∫ G3x ( x, t ; hu (t ),t )ψ (t )dt t t hu0 h0 + DI ∫ G3x ( x, t ; h0 (t ),t ) T ( h0 (t )+,t )dt + ∫ G3 ( x, t ;x ,0 ) T (x )d x So sánh với (3.2.9) ta có ∫ t G3 ( x, t ; h0 (t ),t ) h0/ (t ) − DI G3x ( x, t ; h0 (t ),t ) ψ (t )dt ∫ t / G3 ( x, t ; hu (t ),t ) hu (t ) − DI G3x ( x, t ; hu (t ),t ) ψ (t )dt , Footer Page 73 of 258 (3.2.18) Header Page 74 of 258 68 (t ) T ( h0 (t )+, t ) − T0 (t ) = ψ (t ) T ( hu (t )−, t ) Cho x → h0 (t ) + ψ 3= (3.2.18), ta có ∫ G ( h (t ), t; h (t ),t ) h (t )ψ t 0 / 0 (t )dt t − ψ (t ) − DI ∫ G3ξ ( h0 (t ), t ; h0 (t ),t )ψ (t )dt ∫ G ( h (t ), t; h (t ),t ) h (t ) − D G ξ ( h (t ), t; h (t ),t )ψ t 0 / u u I u (t )dt Từ ta suy ψ (t ) ∫ G3 ( h0 (t ), t ; h0 (t ),t ) h0/ (t ) − DI G3ξ ( h0 (t ), t ; h0 (t ),t ) ψ (t )dt t −2 ∫ G3 ( h0 (t ), t ; hu (t ),t ) hu/ (t ) − DI G3ξ ( h0 (t ), t ; hu (t ),t ) ψ (t )dt t (3.2.19) Cho x → hu (t ) − (3.2.18), ta có ∫ G ( h (t ), t; h (t ),t ) h (t ) − D G ξ ( h (t ), t; h (t ),t )ψ t 0 u / I u (t )dt = ∫ G3 ( hu (t ), t ; hu (t ),t ) hu/ (t )ψ (t )dt t t + ψ (t ) − DI ∫ G3ξ ( hu (t ), t ; hu (t ),t )ψ (t )dt Từ ta suy ψ (t ) 2∫ G3 ( hu (t ), t ; h0 (t ),t ) h0/ (t ) − DI G3ξ ( hu (t ), t ; h0 (t ),t ) ψ (t )dt t −2 ∫ G3 ( hu (t ), t ; hu (t ),t ) hu/ (t ) − DI G3ξ ( hu (t ), t ; hu (t ),t ) ψ (t )dt t (3.2.20) Lưu ý phương trình (3.2.19) (3.2.20) hệ phương trình tích phân Volterra tuyến tính loại hai G3 ( hu (t ), t ; h0 (t ),t ) h0/ (t ) − DI G3ξ ( hu (t ), t ; h0 (t ),t ) ≤ Footer Page 74 of 258 const , t −t Header Page 75 of 258 69 G3 ( h0 (t ), t ; hu (t ),t ) hu/ (t ) − DI G3ξ ( h0 (t ), t ; hu (t ),t ) ≤ const t −t , nghĩa Áp dụng bổ đề 1.3.3 ta suy ψ ≡ ψ ≡ Do T ( hu (t )−, t ) = (3.1.4), T ( h0 (t ), t ) = T0 (t ) Khi hoàn thành (C2) bao hàm (3.1.3) (3.2.4) Thật vậy, từ (3.2.4) ta có t T (h00 ) + ∫ v0 (t )dt + n0 v0 (t ) = −m0 s0 (t ) / −m0 s0 (t ) Chứng minh hoàn thành  Do (3.2.15) nên T0 (t ) + n0T0 (t ) = 3.3 Sự tồn nghiệm toán Bây ta hoàn thành chứng minh định lý 3.1.1 Ta cần chứng minh hệ (3.2.5), (3.2.8), (3.2.11) (3.2.12) có nghiệm v = ( v0 , v1 , v2 , v3 ) , nghiệm mở rộng mở rộng điều kiện hu (t ) > h0 (t ) giữ Lưu ý hệ có dạng = v Pv =: ( P0v, Pv , P2 v, P3v ) , P0v, Pv , P2 v, P3v vế phải (3.2.5), (3.2.8), (3.2.11), (3.2.12) tương ứng Kí hiệu C (σ , M ) không gian hàm v = ( v0 , v1 , v2 , v3 ) liên tục σ ] v [0,σ ] : đoạn [ 0,= max v (t ) ≤ M j 0,3 t∈[0,σ ], j = ( ) Khi v = P (0) phụ thuộc vào điều kiện đầu h00 , hu0 , T , S liên tục [0, ∞) Cố định M > đủ lớn, cho M ≥ P (0) [0,1] ( ) Mệnh đề 3.3.1.Tồn σ > phụ thuộc vào h00 , hu0 , T , S cho ánh xạ P : C (σ , M ) → C (σ , M ) ánh xạ co Lưu ý C (σ , M ) không gian metric đầy đủ Do từ mệnh đề 3.3.1 nguyên lý ánh xạ co P có điểm bất động v ∈ C (σ , M ) Footer Page 75 of 258 Header Page 76 of 258 70 ( ) Suyra hệ (3.1.1) – (3.1.8) có nghiệm h0 , hu , T , S (0,σ ) mệnh đề 3.2.1 Chứng minh.Đầu tiên tất cả, ta xét σ > đủ nhỏ, cho hu0 − h00 σ≤ 2λI + λ0 M ( ) Sau cho v ∈ C (σ , M ) , ta có hu (t ) − h0 (t ) ≥ hu0 − h00 − hu (t ) − hu (0) − h0 (t ) − h0 (0) , ∀0 ≤ t ≤ t ≤ σ Mặt khác, từ (3.2.13) (3.2.14) ta có hu (t ) − hu (0) ≤ λI ∫ v3 (t ) dt ≤ λI ∫ Mdt ≤ λI Mt t t 0 ( ) ττ h0 (τ ) − h0 (0) ≤ λI ∫ v2 ( s ) ds +λ0 ∫ v1 ( s ) ds ≤ λI + λ0 M τ 0 nên ( ) hu (t ) − h0 (t ) ≥ hu0 − h00 − λI Mt − λ0 + λI M t ( ) ≥ hu0 − h00 − 2λI + λ0 M σ hu0 − h00 hu0 − h00 ≥h −h − = > 0, ∀0 ≤ t ≤ t ≤ σ 2 u 0 (3.3.1) Đặc biệt hu (t ) > h0 (t ), ∀t ∈ [ 0,σ ] P xác định C (σ , M ) Bây ta đánh giá Pv − Pv [0,σ ] với v, v ∈ C (σ , M ) Trong phần sau, kí hiệu hu h0 cho (3.2.13), (3.2.14) v thay v Để đơn giản, ta kí hiệu C0 > số phụ thuộc vào điều kiện đầu ( h , h ,T 0 u , S ) Ta vào chi tiết P3 P0 , P1 , P2 xử lý tương tự Nhớ Footer Page 76 of 258 Header Page 77 of 258 71 ( P3v ) (t ) = DI ∫0 G3 x ( hu (t ), t; hu (t ),t )v3 (t )d t −2 DI ∫ G3 x ( hu (t ), t ; h0 (t ),t )v2 (t )dt t −2 ∫ G3 ( hu (t ), t ; h0 (t ),t )v0 (t )dt t hu0 +2 ∫ G3 ( hu (t ), t ;x ,0 )Tx0 (x )d x h0 Ta cần vài đánh giá sơ liên quan đến hàm Green G3 Bổ đề 3.3.1.Với v, v ∈ C (σ , M ), ≤ t < t ≤ σ ξ ∈  , ta có ) ( C0 G3 x ( hu (t ), t ; hu (t ),t ) − G3 x hu (t ), t ; hu (t ),t ≤ v − v , 0,σ ] [ t −t C0 G3 ( hu (t ), t ; h0 (t ),t ) − G3 hu (t ), t ; h0 (t ),t ≤ v − v , [0,σ ] t −t C0 G3 x ( hu (t ), t ; h0 (t ),t ) − G3 x hu (t ), t ; h0 (t ),t ≤ v − v , [0,σ ] t −t G ( h (t ), t ;x ,0 ) − G h (t ), t ;x ,0 ( ) ( u ( ) (3.3.2) (3.3.3) (3.3.4) ) u (   h (t ) − x  ( hu (t ) − x )2  u  ≤ C0 exp  −  + exp  −     DI t DI t     )    v − v   [0,σ ]   (3.3.5) Chứng minh.Xem  ( h (t ) − hu (t ) ) h (t ) − hu (t ) exp  − u G3 x ( hu (t ), t ; hu (t ),t ) = − u  DI ( t − t ) p DI3 ( t − t )      hàm biến hu (t ) − hu (t ) dùng công thức Lagrange ta có ( G3 x ( hu (t ), t ; hu (t ),t ) − G3 x hu (t ), t ; hu (t ),t ( ) ) ( hu (t ) − hu (t ) ) − hu (t ) − hu (t )     2θ θ2   exp  − 1− = −   3 4 D t t D t t − − ( ) ( ) I I    p DI ( t − t ) ( ) với θ ( hu (t ) − hu (t ) ) hu (t ) − hu (t ) Footer Page 77 of 258 Header Page 78 of 258 72 Ta có hu (t ) −= hu (t ) λI (∫ t ) t t v3 ( s )ds − ∫ v3 (= s )ds λI ∫ v3 ( s )ds t nên (t ) ) λI ∫ v3 ( s )ds − λI ∫ v3 ( s )ds ( hu (t ) − hu (t ) ) − ( hu (t ) − hu = t t t t ≤ λI ( t − t ) v − v Đặt z = θ2 DI ( t − t ) [0,s ] ≥ Áp dụng bất đẳng thức e − z − z ≤ − 2z ≤ 2, ∀z ≥ 0, ta có 1+ z   − 2z θ2 2θ exp  − = e− z − z ≤ ≤  1− t t D t D t z 4 − − + ( ) ( ) I I   Vậy ta có ( G3 x ( hu (t ), t ; hu (t ),t ) − G3 x hu (t ), t ; hu (t ),t ≤ λI ( t − t ) v − v [0,σ ] π D (t − t ) I ≤ λI v − v [0,σ ] π D (t − t ) I ≤ ) C0 t −t v − v [0,σ ] Bây ta chứng minh (3.3.3) Áp dụng công thức Lagrange ta có ( G3 ( hu (t ), t ; h0 (t ),t ) − G3 hu (t ), t ; h0 (t ),t ( ) ) ( hu (t ) − h0 (t ) ) − hu (t ) − h0 (t )  θ1  θ12  exp  − = −    DI ( t − t )  p DI3 ( t − t ) ( ) với θ1 ( hu (t ) − h0 (t ) ) hu (t ) − h0 (t ) hu0 − h00 Lưu ý từ (3.3.1) suy θ1 ≥ > Footer Page 78 of 258 Header Page 79 of 258 73 Ta có ( hu (t ) − h0 (t ) ) − ( hu (t ) − h0 (t ) ) ≤ hu (t ) − hu (t ) + h0 (t ) − h0 (t ) t t t ≤ λI ∫ v3 ( s ) − v3 ( s ) ds + λI ∫ v3 ( s ) − v3 ( s ) ds + λ0 ∫ v1 ( s ) − v1 ( s ) ds ( ) ≤ 2λI + λ0 s v − v Đặt z = θ12 DI ( t − t ) [0,s ] ≥ −z Áp dụng bất đẳng thức e z ≤ 1, ∀z ≥ 0, ta có   θ12 θ12 = e − z z ≤ exp  −   DI ( t − t )  DI ( t − t ) Vậy ta có ( G3 ( hu (t ), t ; h0 (t ),t ) − G3 hu (t ), t ; h0 (t ),t ≤ ≤ ( 2λ + λ )σ I v − v [0,σ ] θ1 p DI t − t ( 2λ + λ )σ I v − v [0,σ ] θ1 p DI t − t )   θ12 exp  −  − t D t DI ( t − t ) ( ) I   θ12 C0 ≤ t −t v − v [0,σ ] Ta chứng minh (3.3.4) lập luận tương tự Thật vậy, áp dụng công thức Lagrange ta có ( G3 x ( hu (t ), t ; h0 (t ),t ) − G3 x hu (t ), t ; h0 (t ),t )    θ22 2θ 2     = − ( hu (t ) − h0 (t ) ) − hu (t ) − h0 (t ) exp  − 1−     D t − t D t − t 4 ( ) ( ) I I    ( ) ( ) với θ ( hu (t ) − h0 (t ) ) hu (t ) − h0 (t ) Đặt z = θ22 DI ( t − t ) Footer Page 79 of 258 ≥ Header Page 80 of 258 74 Áp dụng bất đẳng thức e − z z − z ≤ z − 2z ≤ 4, ∀z ≥ 0, ta có 1+ z + z ( G3 x ( hu (t ), t ; h0 (t ),t ) − G3 x hu (t ), t ; h0 (t ),t ≤ ≤ ( 2λ + λ )σ I ( v − v [0,σ ] θ 22 p DI t − t ) 2λI + λ0 σ v − v θ    θ22 θ22 exp  − 1 −  DI ( t − t )  DI ( t − t )  DI ( t − t )  [0,σ ] p DI t − t 2 ) θ22 ≤ C0 t −t v − v [0,σ ] Cuối cùng, ta chứng minh bất đẳng thức (3.3.5) Áp dụng công thức Lagrange ta có  hu (t ) − hu (t )  θ3  θ32     − G3 ( hu (t ), t ;x ,0 ) − G3 hu (t ), t ;x ,0 = exp  −  p DI3t  DI t  ( ) ( ) với θ3 ( hu (t ) − ξ ) hu (t ) − ξ Lưu ý t hu (t ) − hu (t ) ≤ λI ∫ v3 (t ) − v3 (t ) dt ≤ λI t v − v e− z z ≤ [0,σ ] , z θ32 ≤ , = z ≥ 1+ z DI t (   h (t ) − x  ( hu (t ) − x )2   θ3  u  exp  −  ,exp  −  ≤ max exp  −   DI t DI t  DI t       (  h (t ) − x  ( hu (t ) − x )2  u ≤ exp  −  + exp  −    DI t DI t    Do ta có Footer Page 80 of 258 )  ,   )       Header Page 81 of 258 75 ( ) G3 ( hu (t ), t ;x ,0 ) − G3 hu (t ), t ;x ,0 ≤ λI v − v λI t v − v [0,σ ] θ3 p DI3t  θ32  exp  −   DI t   θ  θ32    θ32  =  exp  −  .exp  −  8DI t  D t 2p DI2  DI t   I     h (t ) − x     x − ( ) h t ( ) + − u   v − v ≤ C0 exp  − u  exp     [0 ,σ ]   8 D t D t   I I       [0,σ ] ( Bây ta đánh giá P3v − P3 v [0,σ ] ) với v, v ∈ C (σ , M ) Nhớ P3 tổng bốn số hạng ( P3v ) (t ) = DI ∫0 G3 x ( hu (t ), t; hu (t ),t )v3 (t )dt t −2 DI ∫ G3 x ( hu (t ), t ; h0 (t ),t )v2 (t )dt t −2 ∫ G3 ( hu (t ), t ; h0 (t ),t )v0 (t )dt t hu0 +2 ∫ G3 ( hu (t ), t ;x ,0 )Tx0 (x )d x h0 Với số hạng P3 , dùng (3.3.2) ta có ( ) G3 x ( hu (t ), t ; hu (t ),t ) v3 (t ) − G3 x hu (t ), t ; hu (t ),t v3 (t ) ( ) ≤ G3 x ( hu (t ), t ; hu (t ),t ) − G3 x hu (t ), t ; hu (t ),t v3 (t ) ( ) + G3 x hu (t ), t ; hu (t ),t v3 (t ) − v3 (t ) ≤ = C0 M v − v t −t C0 ( M + 1) Do Footer Page 81 of 258 t −t [0,σ ] v − v + [0,σ ] C0 t −t v − v I [0,σ ] , ∀0 ≤ t ≤ t ≤ σ Header Page 82 of 258 76 ∫ G ( h (t ), t; h (t ),t ) v (t ) − G ( h (t ), t; h (t ),t ) v (t ) t 3x u C0 ( M + 1) ≤ u t −t v − v [0,σ ] 3x u u t ≤ C0 ( M + 1) σ v − v [0,σ ] , t ∈ [ 0,σ ] Ta đánh giá tương tự cho số hạng thứ hai thứ ba P3 (3.3.3) (3.3.4) Với số hạng cuối P3 , từ (3.3.5) tính bị chặn Tx ta có ∫ hu0 h00 ( ) G3 ( hu (t ), t ;x ,0 ) − G3 hu (t ), t ;x ,0 Tx0 (x )d x (   h (t ) − x  ( hu (t ) − x )2  u   ≤ C0 v − v exp  −  + exp  − ∫  [0,σ ]    DI t DI t h0     hu0 )   d x     = y hu (t ) − ξ ta có Đặt  ( hu (t ) − x )2 ∫ exp  − 8DI t −∞  ∞ ∞ ∞   y2   x2   dx = ∫ exp  − 8DI t  dy = ∫ exp  − 8DI t  dx  −∞ −∞  = y hu (t ) − ξ ta có Đặt (  h (t ) − x − u exp ∫  8DI t −∞  ∞ )  ∞ ∞ 2  d x = exp  − y  dy =exp  − x  d x ∫  8DI t  −∞∫  8DI t   −∞  Từ ta có (   h (t ) − x exp  − ( hu (t ) − x )  + exp  − u ∫   8DI t   DI t −∞     ∞  x2  =2 ∫ exp  −  d x =2 p DI t D t  I  −∞ ∞ (ở ta áp dụng bổ đề 1.4.1) Do Footer Page 82 of 258 )   dx     Header Page 83 of 258 ∫ hu0 h00 77 ( ) G3 ( hu (t ), t ; ξξξξπ ,0 ) − G3 hu (t ), t ; ,0 Tξ0 ( )d ≤ 2C0 DI t v − v [0,σ ] Tóm lại, ta có P3v − P3 v [0,σ ] ≤ C0 σ v − v [0,σ ] , C0 đại diện cho số phụ thuộc vào điều kiện đầu ( h , h ,T 0 u ,S0 ) Ta có đánh giá tương tự cho P0 , P1 , P2 Do với σ > đủ nhỏ cho σ ≤ , ta có 4C02 Pv − Pv [0,σ ] Lưu ý ≤ v − v , ∀v, v ∈ C (σ , M ) σ 0, [ ] (3.3.6) M ≥ P ( ) [0,1] ≥ P ( ) [0,σ ] Do từ (3.3.6) suy P : C (σ , M ) → C (σ , M ) ánh xạ co  Để hoàn thành chứng minh định lý 3.1.1, ta chứng minh nghiệm mở rộng mở rộng hu (σ ) > h0 (σ ) Mệnh đề 3.2.1 cho phép ta xem toán tìm v = ( v0 , v1 , v2 , v3 ) thay cho toán tìm ( h , h ,T , S ) Giả sử v = ( v , v , v , v ) nghiệm hệ (3.2.5), (3.2.8), 0 u (3.2.11) (3.2.12) [ 0,σ ] mà hu (t ) > h0 (t ), ∀t ∈ [ 0,σ ] Từ nghiệm v , ta có ( ) thể mở rộng cách tự nhiên h0 , hu , T , S [ 0,σ ] cách dùng sơ đồ chứng minh mệnh đề 3.2.1 Bây ta phải kiểm tra ( h (σ ), h (σ ),T (.,σ ), S (.,σ ) ) thỏa (H1) – (H3) u Thật vậy, điều kiện (H1) hiển nhiên thỏa mãn Với (H2), tính liên tục Tx (.,σ ) ( −∞, h0 (σ ) ) ∪ ( h0 (σ ), hu (σ ) ) bảo đảm (3.2.7) (3.2.10), Footer Page 83 of 258 Header Page 84 of 258 78 mà giữ với t = σ Cách xử lý T giao diện bảo đảm mối quan hệ Tx (= h0 (σ )−,σ ) v1 (σ ) , Tx (= h0 (σ )+,σ ) v2 (σ ) , Tx ( hu (σ )−,σ ) = v3 (σ ) , T= hu (σ )−,σ ) Hơn nữa, từ (3.2.7) tính bị ( h0 (σ ),σ ) T0 (σ ) , T (= chặn Tx ta có h0 (0) lim sup T ( ξ,sξξξ ) = lim sup ∫ G2 ( ξ, t ; ,0)Tξ0 ( )d ξ ξξ →−∞ →−∞ −∞ ∞ ≤ Tξξ (ξξξξ ) ∫ G2 ( ξ, t ; ,0) d ≤ sup T ( ) sup h0 (0) >ξξ h0 (0) > >−∞ >−∞ −∞ ∞ Ở ta dùng tính chất hàm Green ∫ G ( x, t;x ,0) dx = Thật vậy, ta có −∞  ( x − x )2  exp  − = G2 ( x, t ; x , )  D t p DO t O   Đặt y = x − x dy = − d ξ DO t ∞ ∫ , 0) d x G2 ( x, t ; x= −∞ DO t ∞ Do π e dy = ∫= ππ − y2 −∞ Do (H2) thực Tương tự, (H3) thỏa mãn ( ) Xem h0 (σ ), hu (σ ), T (.,σ ), S (.,σ ) điều kiện đầu mới, ta dùng mệnh đề 3.3.1 để mở rộng nghiệm v = ( v0 , v1 , v2 , v3 ) hệ (3.2.5), (3.2.8), ( ) (3.2.11) (3.2.12) 0,σ *  mà hu (t ) > h0 (t ), ∀t ∈ 0,σ * với σ * > σ Cuối ( cùng, từ mệnh đề 3.2.1 nghiệm mở rộng v dẫn tới nghiệm mở rộng h0 , hu , T , S hệ (3.1.1) – (3.1.8) ( h , h ,T 0 u ( 0,σ ) * , S ) Chứng minh hoàn tất  Footer Page 84 of 258 ) tương ứng với điều kiện đầu Header Page 85 of 258 79 KẾT LUẬN Trên sở tổng hợp, phân tích tài liệu tham khảo [10] [15], sử dụng nguyên lý điểm bất động luận văn chứng minh tồn tính nghiệm toán biên tự pha dạng Stefan toán Stefan hai pha với hai biên tự Qua luận văn này, thật làm quen với công tác nghiên cứu khoa học.Tôi học tập phương pháp nghiên cứu tài liệu, phương pháp làm việc nhóm.Những kiến thức, kinh nghiệm đạt trình nghiên cứu quý báu thân Mặc dù cố gắng, thời gian khả hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến.Tôi xin chân thành cảm ơn Footer Page 85 of 258 Header Page 86 of 258 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Đình Bình (2001), Một số toán biên tự ẩn phương trình truyền nhiệt, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Hà Nội Trịnh Anh Ngọc (1996), Bài toán biên tự học môi trường liên tục, Luận án phó tiến sĩ khoa học Toán lý, Đại học Tổng hợp Tp Hồ Chí Minh, Tp Hồ Chí Minh Phan Hữu Sắn (1991), Một số toán biên tự nảy sinh từ công nghiệp hóa học, Luận án phó tiến sĩ Toán lý, Đại học Bách khoa Hà Nội, Hà Nội Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, tr 59 Tiếng Anh Teitur Arnarson (2008), PDE methods for free boundary problems infinancial mathematics, Doctoral Thesis, Stockholm, Sweden H M Byrne andM A J Chaplain (1997), Free boundary value problems associated with the growth and development of multicellular spheroids, Cambridge University Press T Cazenave and A Haraux (1998), An Introduction to Semilinear Evolution Equations, Clarendon Fresss, Oxfoford, pp 55 H Eicken (1994), Structure of under-ice melt ponds in the central Arctic and their effect on the sea-ice cover,Limnol Oceanogr 39(3), 682–694 H Eicken, H.R Krouse, D Kadko, and D.K Perovich (2002), Tracer studies of pathways and rates of meltwater transport through Arctic summer sea ice, J Geophys Footer Page 86 of 258 Header Page 87 of 258 81 Res 107 (C7) (2002) 8049, http://dx.doi.org/10.1029/2000JC000583 10 A Friedman (1964), Partial Differential Equations of Parabolic Type, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ 11 T.C Grenfell and G.A Maykut (1977), The optical properties of ice and snow in the Arctic Basin, J Glaciol 18, 445–463 12 A.M Hanson (1965), Studies of the mass budget of Arctic pack-ice floes, J Glaciol 5, 701 - 709 13 S Martin and P Kauffman (1974), The evolution of under-ice melt ponds or double diffusion at the freezing point, J Fluid Mech 64, 507–527 14 M.G McPhee, J.H Morison, and F Nilsen (2008), Revisiting heat and salt exchange at the ice-ocean interface: ocean flux and modeling considerations, J Geophys Res 113 (2008) C06014, http://dx.doi.org/10.1029/2007JC004383 15 P T Nam, P N D Alain, D D Trong, and P H Quan (2014), Ice formation in the Arctic during summer: False-bottoms,Applied Mathematics and Computation 227, 857-870 16 F Nansen (1987), Farthest North, Constable, Westminster, England 17 D Notz, M.G McPhee, M.G Worster, G.A Maykut, K.H Schlunzen, and H Eicken (2003), Impact of underwater-ice evolution on Arctic summer sea ice, J Geophys Res 108 (C7) (2003) 3223, http://dx.doi.org/10.1029/2001JC001173 18 N Untersteiner and F.I Badgley (1958), Preliminary Results of Thermal Budget Studies on Arctic Pack Ice during Summer and Autumn, in Arctic Sea Ice, U.S, vol.598, National Academy of Sciences-National Research Council Publication, pp 85–92 19 A.W Woods (1992), Melting and dissolving, J Fluid Mech 239, 429–448 Footer Page 87 of 258 ... VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Diệp Nhật Tạo SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦABÀI TOÁN BIÊN TỰ DO STEFAN Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số 60 46 01 02 : LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... Chương BÀI TOÁN BIÊN TỰ DO MỘT PHA DẠNG STEFAN 22 2.1 Một toán Stefan pha Quy phương trình tích phân 22 2.2 Sự tồn nghiệm toán 29 2.2.1 Sự tồn nghiệm khoảng thời gian nhỏ 41 2.2.2 Sự tồn. .. MỞ ĐẦU Bài toán biên tự toán mà phận biên không cho trước Biên chưa biết gọi biên tự (vì vị trí chúng thay đổi theo thời gian) người ta phải tìm với nghiệm phương trình Bài toán biên tự xuất