Luận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu

Luận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếuLuận văn thạc sĩ: Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  - NGUYỄN NGỌC ÁNH HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YU Luận văn thạc sỹ KHOA HC toán học THI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - NGUYỄN NGỌC ÁNH HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ D YU Chuyên ngành: TON giải tích Mà số: 60.46.01.02 Luận văn thạc sỹ KHOA HC toán học Ngi hng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LI CAM OAN Tổi xin cam oan bÊn luên vôn ny l cổng trẳnh nghiản cựu ởc lêp cừa riảng tổi CĂc số liằu, kát quÊ luên vôn l trung thüc v  ch½nh x¡c Tỉi xin ho n to n chàu trĂch nhiằm và lới cam oan cừa mẳnh XĂc nhên cừa khoa chuyản mổn ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2014 Hồc viản Nguyạn Ngồc nh i Soỏ hoựa bụỷi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mưc lưc MÐ †U Lỵ chồn à ti 1 Mưc ½ch v  nhi»m vư nghi¶n cùu 2.1 Mửc ẵch nghiản cựu 2.2 Nhi»m vư nghi¶n cùu Phữỡng phĂp nghiản cựu Bố cửc cừa luên vôn CĂc kián thực chuân b 1.1 Hm a iÃu hỏa dữợi 1.2 To¡n tû Monge- Ampere phùc 1.3 Nguyản lỵ so sĂnh 13 Hm a iÃu hỏa dữợi vợi kẳ d yáu 18 2.1 CĂc xĐp x chuân tưc 2.2 CĂc lợp nông lữủng cõ trồng 23 2.3 ìợc lữủng dung lữủng 28 2.4 Mi·n gi¡ trà cõa to¡n tû Monge-Ampere phùc 31 K˜T LUŠN T€I LI›U THAM KHƒO 19 37 38 ii Số hóa Trung taõm Hoùc lieọu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mé U Lỵ chồn à ti Lỵ thuyát a thá v l mởt nhĂnh cừa GiÊi tẵch phực nhiÃu bián, ữủc phĂt trin mÔnh m vỏng 30 nôm tr lÔi Ơy NhiÃu kát quÊ quan trồng cừa lỵ thuyát ny ữủc biát án tứ trữợc nhỳng nôm 80 cừa thá k XX Tuy nhiản sỹ phĂt trin cừa lỵ thuyát ny vợi viằc tẳm thĐy nhỳng ựng dửng vo cĂc lắnh vỹc khĂc cừa toĂn hồc nhữ GiÊi tẵch phực nhiÃu bián, GiÊi tẵch hyperbolic, Hẳnh hồc vi phƠn phực, ch thỹc sỹ mÔnh m sau E Berfod v B.A Taylor nôm 1982, xƠy dỹng thnh cổng to¡n tû Monge-Ampere phùc cho lỵp h m a i·u háa dữợi b chn a phữỡng v ữa khĂi niằm dung lữủng cừa mởt têp Borel mởt têp m cừa Cn Ta biát rơng toĂn tỷ Monge-Ampere phực ữủc xĂc nh vợi hm F() nhữ l giợi hÔn yáu cừa dÂy ở o (ddc j )n , õ (j ) l dÂy giÊm tũy ỵ cĂc hm a iÃu hỏa dữợi thuởc lợp E0 () hởi tử án M rởng lợp ny, nôm 2005, Cegrell  ữa lợp hm E() m trản mội compact ω ⊂ Ω, nâ trịng vỵi mët h m lợp F() GƯn Ơy  m rởng lợp F() (nôm 2009) v lợp Ep () (nôm 2011), S Benelkourchi  ữa lợp nông lữủng phực cõ trồng E () Theo hữợng nghiản cựu ny chúng tổi chồn à ti "Hm a iÃu hỏa dữợi vợi ký d yáu" Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mưc ẵch cừa luên vôn l trẳnh by cĂc kát quÊ gƯn Ơy cừa S.Benelkourchi, V.Guedj v A.Zeriahi và toĂn tỷ Monge-Ampere phực miÃn siảu lỗi b chn cừa Cn Nghiản cựu mởt số lợp hm a iÃu hỏa dữợi vợi ký d yáu: õ l cĂc hm vợi nông lữủng Monge-Ampere cõ trồng hỳu hÔn Tờng quĂt hõa cĂc lợp hm ữủc giợi thiằu bi U.Cegrell v cho sỹ phƠn lợp cĂc khổng gian cừa hƯu nhữ tĐt cÊ cĂc hm a iÃu hỏa dữợi khổng b chn CĂc lợp nhữ thá s ữủc mổ tÊ bơng thuêt ngú tèc ë gi£m cõa dung l÷đng Monge-Ampere cõa c¡c têp mực dữợi Mửc ẵch v nhiằm vử nghiản cựu 2.1 Mửc ẵch nghiản cựu Mửc ẵch chẵnh cừa luên vôn l trẳnh by mởt số kát quÊ viằc nghiản cựu và lợp hm a iÃu hỏa dữợi vợi im ký d yáu 2.2 Nhiằm vử nghiản cựu Luên vôn têp trung vo cĂc nhiằm vử chẵnh sau Ơy: + Trẳnh by tờng quan v hằ thống cĂc kát quÊ và cĂc tẵnh chĐt cừa hm a iÃu ho dữợi, toĂn tỷ Monge-Ampere + Trẳnh by mởt số kát quÊ và cĂc hm vợi nông lữủng MongeAmpere cõ trồng hỳu hÔn Tờng quĂt hõa cĂc lợp hm ữủc giợi thiằu bi U.Cegrell v cho sỹ phƠn lợp cĂc khổng gian cừa cĂc hm a iÃu hỏa dữợi khổng b chn Phữỡng phĂp nghiản cựu - Sỷ dửng cĂc phữỡng phĂp cừa giÊi tẵch phực kát hủp vợi cĂc phữỡng phĂp cừa giÊi tẵch hm hiằn Ôi, cĂc phữỡng phĂp cừa lỵ thuyát thá v phực - Trẳnh by lÔi cĂc kát quÊ cừa S.Benelkourchi, V.Guedj v A.zeriahi Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bố cửc cừa luên vôn Nởi dung luên vôn gỗm 40 trang, õ cõ phƯn m Ưu, hai chữỡng nởi dung, phƯn kát luên v danh mửc ti liằu tham khÊo Chữỡng 1: Trẳnh by tờng quan v hằ thống cĂc kát quÊ và cĂc tẵnh chĐt cừa hm a iÃu ho dữợi, toĂn tỷ Monge-Ampere, nguyản lỵ so s¡nh v  c¡c h» qu£ cõa nâ Ch÷ìng 2: L nởi dung chẵnh cừa luên vôn, trẳnh by cĂc kát quÊ nghiản cựu và cĂc lợp hm a iÃu hỏa dữợi vợi ký d yáu: õ l cĂc hm vợi nông lữủng Monge-Ampere cõ trồng hỳu hÔn Tờng quĂt hõa cĂc lợp hm ữủc giợi thiằu bi U.Cegrell v cho sỹ phƠn lợp cĂc khổng gian cừa cĂc hm a iÃu hỏa dữợi khổng b chn PhƯn Ưu cừa chữỡng ny nhưc lÔi mởt vi nh nghắa cỡ bÊn liản quan án lợp Cegrell () cĂc hm a iÃu hỏa dữợi vợi ở o Monge  Ampere b chn Ãu a phữỡng trản miÃn siảu lỗi b Cn Tø â cho °c tr÷ng theo ngỉn ngú dung lữủng cừa hm lợp () Trong mửc 2.1, trẳnh by cĂc xĐp x chẵnh tưc vợi kát quÊ chẵnh cừa mửc ny l: Náu u DM A() thẳ vợi mội têp Borel R R B \ {u = −∞}, (ddc u)n = lim (ddc uj )n , vỵi uj := j→∞ B B∩{u>−j} max(u, −j) l  cĂc xĐp x chẵnh tưc Trong mửc 2.2 trẳnh by cĂc kát quÊ và cĂc lợp nông lữủng cõ trồng, E () cõ nhiÃu tẵnh chĐt khĂc phử thuởc v o χ(0) = ho°c χ(0) 6= 0, χ(−∞) = hoc () 6= , l hm lỗi hay lóm Trong mửc 2.3 trẳnh by cĂc kát quÊ và ữợc lữủng dung lữủng Hằ quÊ 2.3.4  cho c trững cừa lợp E p () theo nghắa tốc ở giÊm cừa dung lữủng cừa têp mực Cử th l : Vỵi p > tịy Số hóa Trung taõm Hoùc lieọu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ỵ, ta cõ p E (Ω) = {ϕ ∈ PSH (Ω); Z +∞ tn+p−1 CapΩ ({ϕ < −t})dt < +∞} ð ¥y Cap kẵ hiằu l dung lữủng Monge- Ampere ữủc giợi thi»u bði E Bedford v  B.A Taylor E p(Ω) = E(), vợi (t) := (t)p Trong mửc 2.4 trẳnh by cĂc kát quÊ nghiản cựu và miÃn giĂ tr cừa toĂn tỷ Monge-Ampere trản cĂc lợp ny Kát quÊ chẵnh cừa mửc ny l : GiÊ sỷ vợi mồi têp compact K ⊂ Ω, µ(K) ≤ Fε(CapΩ(K)), ð â Fε(x) = x( lnn x )n Khi õ tỗn tÔi nhĐt hm F() cho µ = (ddcϕ)n v  CapΩ({ϕ < −s}) ≤ exp(−nH (s)) vỵi x R måi s > 0, ð â H −1 l  h m ng÷đc cõa H(x) = e ε(t)dt + s0(à) Nõi riảng E() vợi (t) = exp(nH (t)/2) Khi < Cap (nghắa l 1) thẳ = (ddc )n vợi F(Ω) cho CapΩ ({ϕ < −s}) gi£m nhanh theo cĐp mụ Cuối l phƯn kát luên trẳnh by tõm tưt kát quÊ Ôt ữủc BÊn luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa PGS.TS PhÔm Hián Bơng NhƠn dp ny tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn PGS.TS PhÔm Hián Bơng và sỹ hữợng dăn hiằu quÊ nhỳng kinh nghiằm quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn Xin chƠn thnh cÊm ỡn Phỏng Sau Ôi hồc, Ban chừ nhiằm Khoa ToĂn, cĂc thƯy cổ giĂo Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Viằn ToĂn hồc v Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi  giÊng dÔy v tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu khoa hồc Xin chƠn thnh cÊm ỡn Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm - Ôi hồc ThĂi Nguyản, Trữớng PTDTNT Phõ BÊng Huyằn ỗng Vôn Tnh H Giang, cĂc ỗng nghiằp  tÔo i·u ki»n gióp ï tỉi v· måi Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ m°t qu¡ trẳnh hồc têp v hon thnh bÊn luên vôn ny BÊn luên vôn chưc chưn s khổng trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát vẳ vêy rĐt mong nhên ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn hồc viản  luên vôn ny ữủc hon chnh hỡn Cuối xin cÊm ỡn gia ẳnh v bÔn b  ởng viản, khẵch lằ tổi thới gian hồc têp, nghiản cựu v hon thnh luên vôn ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2014 TĂc giÊ Nguyạn Ngồc nh Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chữỡng CĂc kián thực chuân b 1.1 Hm a iÃu hỏa dữợi nh nghắa 1.1.1 Cho X l mởt khæng gian tæpæ, h m u : X → [−∞, +∞) ữủc gồi l nỷa liản tửc trản trản X vợi måi α ∈ R tªp hđp {x ∈ X : u(x) < α} l  mð X ành ngh¾a 1.1.2 Cho náu l mởt têp m cừa Cn v  u : Ω → [−∞, ∞) l  mët h m nỷa liản tửc trản v khổng trũng vợi trản bĐt ký thnh phƯn liản thổng no cừa Hm u ữủc gồi l a iÃu ho dữợi náu vợi méi a ∈ Ω v  b ∈ Cn, h m λ u(a + b) l iÃu ho dữợi hoc trũng trản mội thnh phƯn cừa têp hủp { C : a + λb ∈ Ω} Trong tr÷íng hđp ny ta viát u PSH() (é Ơy kẵ hiằu PSH() l lợp hm a iÃu hỏa dữợi ) Sau Ơy l mởt vi tẵnh chĐt cừa hm a iÃu ho dữợi: Mằnh à 1.1.3 Náu u, v ∈ PSH(Ω) v  u = v h¦u kh­p nìi Ω, th¼ u ≡ v M»nh · 1.1.4 H m a iÃu ho dữợi thoÊ mÂn nguyản lỵ cỹc tr miÃn b chn, tực l náu l mởt têp mð li¶n thỉng bà ch°n cõa Cn v  u P SH(), thẳ hoc u l hơng hoc vợi méi Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - NGUYỄN NGỌC ÁNH HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU Chuyên ngành: TON giải tích Mà số: 60.46.01.02 Luận văn thạc sỹ KHOA HC toán... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Do â d(ψ ∧ dc T − dc ψ ∧ T ) = ψ ∧ ddc T − ddc ψ ∧ T Tø m»nh · tr¶n v  dịng cỉng thùc Stokes ối vợi dỏng ta cõ: náu () T l (q, q)- dỏng trản têp m Cn v ψ ∈ C0,(n−q−1,n−q−1)