LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Lê Hoàn Hóa giảng viên khoa Toán Tin Đại học Sư phạm TP HCM Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với thầy vì thầy đã hướng[.]
LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Lê Hồn Hóa - giảng viên khoa Toán -Tin - Đại học Sư phạm TP HCM Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc với thầy thầy hướng dẫn, bảo, giúp đỡ tận tình suốt trình làm luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô khoa Toán - Tin -Trường Đại học Sư phạm TPHCM, người cung cấp kiến thức cần thiết q trình học tập Tơi xin cảm ơn thầy phịng Sau đại học - Đại học Sư phạm TP HCM giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Cuối cùng, Luận văn khơng thể hồn thành khơng có ủng hộ, động viên lớn gia đình bạn bè Tơi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình bạn Trần Văn Ly, Nguyễn Ngọc Tú,…đã ln quan tâm, góp ý, giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 Học viên Nguyễn Thị Tuyết Mai MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Error! Bookmark not defined LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG : CÁC ĐỊNH NGHĨA 0.1 TÔPÔ YẾU 0.2 ÁNH XẠ LIPSCHITZ 0.3 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER 0.4 ĐIỀU KIỆN PALAIS-SMALE 0.5 SỰ KHẢ VI CỦA PHIẾM HÀM 11 0.6 KHÔNG GIAN HÀM 13 CHƯƠNG : ĐỊNH LÝ MINIMAX 20 1.1 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG ĐÈO 20 1.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX TỔNG QUÁT 24 CHƯƠNG : MỘT SỐ ỨNG DỤNG 31 2.1 BÀI TỐN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH 32 2.2 TỚI HẠN PHI TUYẾN 35 2.3 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN TÍNH 41 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 CÁC KÝ HIỆU Ω : miền N , Lp ( Ω= ) Lp ( Ω, µ=) { f : Ω → đo được, ∫ f d µ < ∞ , ≤ p < ∞} p Ω u p := (∫ D ( Ω ) := u ( x ) dx p Ω ) 1/ p , {u ∈ C ( Ω ) : supp u tập compắc Ω} ∞ H ( N ) , D1,2 ( N ) , H 01 ( N ) , D01,2 ( N ) : không gian Sobolev 2* := ∞, N= 1,2, := N / ( N − ) , N ≥ o A : tập mở A A : tập đóng A B ( x, r ) : cầu mở với tâm x bán kính r B [ x, r ] : cầu đóng với tâm x bán kính r Ta định nghĩa: → hội tụ mạnh; ⇀ hội tụ yếu Cho hàm ϕ : X → S tập X ta có: ϕ d := {u ∈ X : ϕ ( u ) ≤ d }, Sδ := {u ∈ X : dist ( u, S ) ≤ δ }, dist ( u , S )= inf { u − v , v ∈ S } MỞ ĐẦU Toán học ngành khoa học cổ xưa nhân loại Nó có sức hút mãnh liệt, niềm đam mê nhiều hệ nhà khoa học, chứa đựng kho tàng vơ tận bí ẩn khả ứng dụng nhiều lĩnh vực khác sống Toán học sử dụng học thuyết tốn, kỹ thuật tính tốn, thuật tốn, với hỗ trợ công nghệ thông tin để giải vấn đề từ kinh tế, khoa học, kỹ thuật, vật lý đến vấn đề thuộc khoa học xã hội nhân văn Phương trình vi phân phi tuyến góp phần tạo nên bí ẩn ứng dụng Vậy khơng thử tìm hiểu để thấy vẻ đẹp nó? Có thể có người nghĩ giải tốn tuyến tính dễ tốn phi tuyến Nhưng dễ hay khó khơng vấn đề ta nắm chìa khóa tốn Nhiều tốn phi tuyến vật lý khoa học xã hội quy tìm điểm tới hạn hàm số (những hàm số thực không gian khác nhau) Có nhiều điểm mà người đi xuyên qua dãy núi nhìn chiều ngang, trèo lên mà không tụt xuống Những điểm tới hạn học điểm cực đại điểm cực tiểu nhiều hoạt động giải tích dành để tìm điểm Một tốn khó tìm điểm mà chúng điểm cực đại hay cực tiểu Cho nên từ định lý minimax đời, cơng cụ quan trọng cho toán ứng dụng bao trùm nhiều lĩnh vực học, vật lý học, hình học vi phân, kỹ thuật xây dựng, lý thuyết điều khiển, sinh vật học kinh tế học Mục đích luận văn trình bày bổ đề, định lý quan trọng số ứng dụng định lý minimax nghiên cứu tồn nghiệm toán biên ( tham khảo [8] ) Luận văn gồm chương Chương gồm khái niệm tôpô yếu, điều kiện PalaisSmale, đạo hàm Gateaux, đạo hàm Fréchet, không gian hàm, định lý nhúng Sobolev, định lý nhúng Rellich, bất đẳng thức Poincaré Chương gồm định lý đường đèo cho không gian Hilbert, nguyên lý minimax tổng quát, định lý đường đèo cho không gian Banach, định lý điểm yên ngựa định lý liên kết Chương gồm ứng dụng định lý đường đèo định lý liên kết để chứng minh tồn nghiệm toán CHƯƠNG : CÁC ĐỊNH NGHĨA 0.1 TƠPƠ YẾU Giả sử X khơng gian tuyến tính, X ′ khơng gian liên hợp đại số X , F khơng gian tuyến tính X Tôpô đầu xác định họ ánh xạ F kí hiệu σ ( X , F ) Đó tơpơ yếu X cho phiếm hàm f ∈ F liên tục Giả sử X không gian định chuẩn, X * không gian liên hợp X Tôpô σ ( X , X * ) gọi tôpô yếu X Họ tập hợp có dạng n { } U ( x0 ; f1 , , f n , ε ) = x ∈ X : f k ( x ) − f k ( x0 ) < ε , k =1 (trong x0 ∈ X , { f1, , f n } họ hữu hạn phần tử X * , ε số dương) sở tôpô yếu X Tôpô yếu không gian định chuẩn yếu tôpô xác định chuẩn (được gọi tơpơ mạnh) Các khái niệm: tập hợp đóng yếu, compắc yếu,…được hiểu tập hợp đóng, compắc,…đối với tơpơ yếu Các khái niệm: tập hợp đóng mạnh, compắc mạnh,…được hiểu tập hợp đóng, compắc,…đối với tơpơ mạnh Dãy phần tử { xn } X gọi hội tụ yếu đến phần tử x0 ∈ X { xn } hội tụ đến x0 tôpô yếu σ ( X , X * ) Khi đó, ta viết xn ⇀ x0 Dãy phần tử { xn } X gọi hội tụ mạnh đến x0 ∈ X { xn } hội tụ đến x0 tơpơ mạnh Khi đó, ta viết xn ⟶ x0 lim xn − x0 = n→∞ Định lý 0.1 Giả sử { xn } dãy phần tử không gian định chuẩn X , x0 ∈ X Khi đó: 1) xn ⇀ x0 ⇔ lim f ( xn ) = f ( x0 ) với f ∈ X * n→∞ 2) xn ⇀ x0 ⇒ { xn } bị chặn x0 ≤ lim xn Định lý 0.2 Cho không gian Banach X , Y ánh xạ tuyến tính A : X → Y Khi đó: A liên tục ⇔ A liên tục σ ( X , X * ) , σ (Y , Y * ) 0.2 ÁNH XẠ LIPSCHITZ Cho ( X , d X ) , (Y , dY ) hai không gian mêtric Ánh xạ A : X → Y gọi ánh xạ Lipschitz tồn số thực k ≥ cho với x1 , x2 ∈ X dY ( Ax1 , Ax2 ) < k d X ( x1 , x2 ) (*) - Số k ( A ) bé thỏa (*) gọi hệ số Lipschitz A - Nếu k ( A ) < ta nói A ánh xạ co hệ số k = k ( A ) hay A k -co Ánh xạ A : X → Y gọi ánh xạ Lipschitz địa phương với x X tồn lân cận U x cho A bị thu hẹp đến U ánh xạ Lipschitz 0.3 BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER Cho f ∈ Lp , g ∈ Lq , 1 + = fg ∈ L1 , ta có p q ∫ Ω fg d µ ≤ f p g 0.4 ĐIỀU KIỆN PALAIS-SMALE q với ≤ p < ∞ Nhiều tốn biên tương đương với phương trình Au = (1) A : X → Y ánh xạ hai không gian Banach Trong toán biến phân, tồn hàm số ϕ : X → cho A = ϕ ′ (đạo hàm Gateaux ϕ ), nghĩa ϕ ( u + tv ) − ϕ ( u ) t →0 t Au , v = lim Không gian Y tương ứng khơng gian đối ngẫu X ′ X phương trình (1) tương đương với ϕ ′ ( u ) = , nghĩa ϕ ′ ( u ) , v = , ∀v ∈ X (2) Một điểm tới hạn ϕ nghiệm u (2) giá trị ϕ u giá trị tới hạn ϕ Làm để tìm giá trị tới hạn? Khi ϕ bị chặn dưới, cận c := inf ϕ X ứng cử tự nhiên Nguyên lý biến phân Ekeland [4] dẫn đến tồn dãy ( un ) cho ϕ ( un ) → c , ϕ ′ ( un ) → Một dãy gọi dãy Palais-Smale mức c Phiếm hàm ϕ gọi thỏa điều kiện ( PS )c dãy Palais-Smale mức c chứa dãy hội tụ Nếu ϕ bị chặn thỏa điều kiện ( PS )c mức c := inf ϕ c giá trị tới hạn ϕ X Theo Ambrosetti Rabinowitz, ta xét trường hợp ϕ có cực tiểu địa phương khơng cực tiểu tồn cục Khi tồn r > e ∈ X cho e > r inf ϕ ( u ) > ϕ ( ) ≥ ϕ ( e ) u =r Điểm ( 0,ϕ ( ) ) tách biệt ( e,ϕ ( e ) ) “vòng núi” Nếu ta xét tập hợp Γ đường nối e c := inf max ϕ ( γ ( t ) ) γ ∈Γ t∈[ 0,1] ứng cử tự nhiên Lần nguyên lý biến phân Ekeland dẫn đến tồn dãy ( un ) cho ϕ ( un ) → c , ϕ ′ ( un ) → , Nhưng c tổng quát không giá trị tới hạn ϕ 0.5 SỰ KHẢ VI CỦA PHIẾM HÀM Định nghĩa 0.1 Cho U tập mở không gian Banach X Phiếm hàm ϕ : X → có đạo hàm Gateaux f ∈ X ′ u ∈U với h ∈ X , lim ϕ ( u + th ) − ϕ ( u ) − f , th =0 t →0 t Ký hiệu: f , th = f ( th ) Đạo hàm Gateaux ϕ u ghi ϕ ′ ( u ) Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Fréchet f ∈ X ′ u ∈U lim h →0 ϕ ( u + h ) − ϕ ( u ) − f , h =0 h Phiếm hàm ϕ thuộc C1 (U , ) đạo hàm Fréchet ϕ tồn liên tục U Nếu X không gian Hilbert phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux u ∈U , gradient ϕ u định ϕ′(u ) , h ( ∇ϕ ( u ) , h ) := Ghi 0.1 a) Đạo hàm Gateaux cho ϕ ′ ( u= ϕ ( u + th ) − ϕ ( u ) ) , h : lim t →0 t b) Đạo hàm Frechet đạo hàm Gateaux c) Nếu phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux liên tục ϕ ∈ C1 (U , ) Định nghĩa 0.2 Cho ϕ ∈ C1 (U , ) Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux bậc hai L ∈ ( X , X ′ ) u ∈U với h, v ∈ X , lim ϕ ′ ( u + th ) − ϕ ′ ( u ) − Lth, v = t →0 t Đạo hàm Gateaux bậc hai u ghi ϕ ′′ ( u ) Phiếm hàm ϕ có đạo hàm Fréchet bậc hai L ∈ ( X , X ′ ) u ∈U lim h →0 ϕ ′ ( u + h ) − ϕ ′ ( u ) − Lh = h Phiếm hàm ϕ thuộc C (U , ) đạo hàm Fréchet bậc hai ϕ tồn liên tục U Ghi 0.2 a) Đạo hàm Gateaux bậc hai cho t →0 t ϕ ′′ ( u = ) h, v : lim ϕ ′ ( u + th ) − ϕ ′ ( u ) , v b) Đạo hàm Fréchet bậc hai đạo hàm Gateaux bậc hai c) Nếu phiếm hàm ϕ có đạo hàm Gateaux bậc hai liên tục ϕ ∈ C (U , ) ... dựng, lý thuyết điều khiển, sinh vật học kinh tế học Mục đích luận văn trình bày bổ đề, định lý quan trọng số ứng dụng định lý minimax nghiên cứu tồn nghiệm toán biên ( tham khảo [8] ) Luận văn. .. đèo cho không gian Banach, định lý điểm yên ngựa định lý liên kết Chương gồm ứng dụng định lý đường đèo định lý liên kết để chứng minh tồn nghiệm toán CHƯƠNG : CÁC ĐỊNH NGHĨA 0.1 TÔPÔ YẾU Giả... HÀM 13 CHƯƠNG : ĐỊNH LÝ MINIMAX 20 1.1 ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG ĐÈO 20 1.2 NGUYÊN LÝ MINIMAX TỔNG QUÁT 24 CHƯƠNG : MỘT SỐ ỨNG DỤNG 31 2.1 BÀI TOÁN DIRICHLET NỬA TUYẾN