Hệ thống và ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên

Mục lục Mục lục Mở đầu Hệ thống số hàm toán đặc biệt 1.1 Hàm Bessel hàm trụ 1.1.1 Định nghĩa tính chất hàm Bessel 1.1.2 Các hàm trụ khác 1.2 Đa thức Legendre 1.2.1 Đa thức trực giao cổ điển Legendre 1.2.2 Đa thức Legendre liên hợp 1.3 5 10 12 12 16 Hàm cầu 1.3.1 Định nghĩa tính chất hàm cầu 1.3.2 Hàm riêng cầu 19 19 23 Ứng dụng hàm toán đặc biệt việc giải biên 2.1 Bài tốn làm nguội hình trụ trịn dài vơ hạn 2.2 Bài tốn khảo sát rung động bề mặt trống 2.3 Bài tốn tán xạ vơ hướng cầu dài toán 25 25 29 34 Kết luận hướng phát triển 41 Tài liệu tham khảo 42 Phụ lục 44 Công bố khoa học 49 Mở đầu Lý chọn đề tài Ngày nay, với phát triển mạnh mẽ vật lý lý thuyết vật lý toán việc sử dụng hàm toán đặc biệt trở nên cần thiết [1] Tầm quan trọng hàm đặc biệt có liên quan đến hai yếu tố Thứ nhất, khảo sát mơ hình tốn học tượng vật lý xảy tự nhiên, ban đầu cần khảo sát toán đơn giản hóa, tức tốn mà nghiệm chúng tìm dạng giải tích (nghiệm xác) Thứ hai, tốn đơn giản hóa sử dụng phép thử (hàm sở) hữu hiệu cho việc lựa chọn thuật toán số học để giải tốn vật lý phức tạp Trong q trình khảo sát toán vật lý lý thuyết hay vật lý toán thường sử dụng hàm đặc biệt khác Nghiệm nhiều toán vật lý quan trọng có liên quan đến vấn đề nghiên cứu trình truyền nhiệt tương tác xạ với chất [2], lan truyền sóng điện từ sóng âm [3], khảo sát lý thuyết phản ứng hạt nhân cấu trúc bên sao, dẫn đến việc tìm hàm riêng tốn Sturm – Liouville chứa phương trình Laplace hay Helmholts, mà tìm thấy dạng giải tích số lượng nhỏ miền khảo sát [4] Trong trường hợp miền khảo sát có dạng đơn giản nhất, đoạn thẳng, hình chữ nhật hay hình bình hành nghiệm hàm biểu diễn thông qua hàm sơ cấp Đối với miền có dạng hình trịn, hình trụ, hình cầu hay miền phức tạp hàm riêng biểu diễn thông qua hàm đặc biệt [5] Trong thực tiễn hàm đặc biệt thường đóng vai trị nghiệm phương trình vi phân khác tốn vật lý Từ đó, thấy hàm đặc biệt có ứng dụng vơ to lớn ngành khoa học tự nhiên, đặc biệt vật lý lý thuyết vật lý tốn Vì việc khảo sát nghiên cứu số hàm toán đặc biệt việc ứng dụng giải toán vật lý nhiệm vụ thiết yếu người nghiên cứu khoa học tự nhiên Trong đề tài khóa luận chúng tơi khảo sát hàm toán đặc biệt thường sử dụng, hàm Bessel, tổng quát hàm trụ, đa thức liên hợp Legendre, sở để tạo hàm cầu ứng dụng chúng việc giải vấn đề vật lý toán, vật lý lý thuyết, vật lý lượng tử có chứa tốn biên phương trình Helmholts Đối tượng phương pháp nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu hàm tốn đặc biệt, tìm hiểu định nghĩa tính chất chúng Khóa luận cịn khảo sát ứng dụng hàm toán việc giải toán biên Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm 49 trang, 15 hình bảng thể qua hai chương: Chương 1: Hệ thống số hàm toán đặc biệt Giới thiệu số hàm toán đặc biệt thường sử dụng vật lý lý thuyết vật lý toán hàm Bessel hay tổng quát hàm trụ, đa thức Legendre cổ điển, đa thức Legendre liên hợp hàm cầu Chương 2: Ứng dụng số hàm toán đặc biệt việc giải tốn biên Trình bày ứng dụng hàm tốn đặc biệt thơng qua việc giải số toán biên toán truyền nhiệt hình trụ dài vơ hạn, tốn khảo sát rung động bề mặt trống toán tán xạ vô hướng cầu dài Cuối phần kết luận hướng phát triển đề tài Chương Hệ thống số hàm toán đặc biệt 1.1 Hàm Bessel hàm trụ Hàm Bessel xuất nghiệm phương trình có chứa toán tử Laplace mặt phẳng tọa độ Oxy Xét phương trình −4u(x, y) ≡ − ∂ 2u ∂ 2u − = λu + f (x, y) ∂x2 ∂y Trong hệ tọa độ cực (r, ϕ) phương trình cho có dạng ∂ − r ∂r  ∂ u˜ r ∂r  − ∂ u˜ = λ˜ u + f˜(r, ϕ), r2 ∂ϕ2 với u˜(r, ϕ) = u(r cos ϕ, r sin ϕ) Nếu nghiệm hàm u˜(r) không phụ thuộc vào ϕ f = phương trình cho trở thành u00 (r) + u0 (r) + λu(r) = r Phương trình xem trường hợp riêng phương trình Bessel Ta có phương trình Bessel dạng tổng quát x2 u00 + xu0 + (x2 − ν )u = (1.1) Mỗi nghiệm hàm khác phương trình Bessel gọi hàm trụ 1.1.1 Định nghĩa tính chất hàm Bessel Xét tính chất hàm Bessel hàm trụ Vì phương trình (1.1) có điểm đặc biệt x = 0, nên nghiệm hàm u(x) biểu diễn dạng chuỗi lũy thừa tổng quát u(x) = x σ ∞ X ak x k , (1.2) k=0 với a0 6= 0, số mũ σ hệ số ak thỏa mãn định nghĩa Chuỗi lũy thừa (1.2) có khả vi đến cấp Thay chuỗi (1.2) vào phương trình (1.1) đồng hệ số hai vế phương trình theo lũy thừa x, ta thu biểu thức truy hồi sau a0 (σ − ν ) = a1 [(σ + 1)2 − ν ] = a2 [(σ + 2)2 − ν ] + a0 = (1.3) ak [(σ + k)2 − ν ] + ak−2 = 0, k = 2, 3, Từ phương trình hệ (1.3), ta suy σ − ν = hay σ = ±ν Chú ý k rằng, ν 6= , k = 1, 2, ta có điều kiện sau (σ + k)2 − ν 6= 0; k = 1, 2, 3, (1.4) Từ phương trình hệ (1.3), σ = ±ν , ta suy a1 = (1.5) Theo điều kiện (1.4), từ phương trình cuối hệ (1.3) ta thu công thức truy hồi ak = − ak−2 , k = 2, 3, (σ + k + ν)(σ + k − ν) (1.6) Từ biểu thức (1.5) (1.6), ta thấy tất hệ số với số lẻ 0, hệ số với số chẵn biểu diễn qua a0 Xét trường hợp σ = ν , đó, biểu thức (1.6) cho k = 2p, ta thu a2p = − a2p−2 2 p(p + ν) (1.7) Áp dụng công thức (1.7) cách tuần tự, ta thu a2p = (−1)p a0 22p p!(ν + 1)(ν + 2) (ν + p) (1.8) Như vậy, nghiệm phương trình Bessel (1.1) xác định với độ xác theo thừa số tùy ý a0 Ta cho a0 dạng a0 = 2ν Γ(ν + 1) (1.9) , với Γ hàm Gamma–Euler Theo tính chất hàm Gamma–Euler [? ] Γ(ν + 1)(ν + 1)(ν + 2) (ν + p) = Γ(p + + ν) Từ công thức (1.8) (1.9), ta thu a2p = (−1)p 22p+ν Γ(ν + 1)Γ(p + + ν) Xét chuỗi Jν (x) = ∞ X k=0 (−1)k Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)  x 2k+ν (1.10) Dùng quy tắc d’Alembert, chứng minh chuỗi (1.10) hội tụ tuyệt x Định nghĩa: Chuỗi (1.10) gọi hàm Bessel loại bậc ν ký hiệu Jν (x) Ta thấy hàm Jν (x) nghiệm riêng phương trình Bessel (1.1) Xét trường hợp σ = −ν Đặt Yν (x) = J−ν (x), thực cách tương tự, ta đến định nghĩa sau Định nghĩa: Chuỗi (1.10), ứng với σ = −ν Yν (x) = ∞ X k=0 (−1)k Γ(k + 1)Γ(k − ν + 1)  x 2k−ν (1.11) Hình 1.1 Hàm Bessel loại Jn (x) ứng với n = 0, 1, hàm Bessel loại hai bậc ν Hình 1.2 Hàm Bessel loại hai Yn (x) ứng với n = 0, 1, Khi ν nhận giá trị không nguyên (ν 6= ±1, ±2 ) hàm Yν (x) nghiệm thứ hai phương trình Bessel Nghiệm độc lập tuyến tính với hàm Bessel loại Jν (x) nên hàm Jν (x) Yν (x) hình thành hệ nghiệm phương trình Bessel bậc ν Nếu ν = n – số nguyên, Yn (x) = (−1)n Jn (x) (1.12) Khi hàm Yn (x) Jn (x) phụ thuộc tuyến tính khơng hình thành hệ nghiệm hàm Ta chứng minh biểu thức (1.12) Vì Γ(−k) = ∞, k = 0, 1, , nên tổng chuỗi công thức (1.11) giá trị k = n, ta có Yn (x) = ∞ X k=n = ∞ X (−1)k Γ(k − n + 1)Γ(k + 1) (−1)n+s Γ(s + 1)Γ(s + n + 1) s=0  x 2k−n  x 2s+n = (−1)n Jn (x) Các hàm trụ Bessel với số liên tiếp (ν − 1, ν ν + 1) đạo hàm liên hệ với hệ thức truy hồi 2ν Jν (x), x ν Jν0 (x) = −Jν+1 (x) + Jν (x), x ν Jν (x) = Jν−1 (x) − Jν (x) x Jν+1 (x) = −Jν−1 (x) + (1.13) (1.14) (1.15) Chú ý rằng, hàm trụ Bessel với số số bán nguyên biểu diễn thông qua hàm sơ cấp Thật vậy, ta có Γ 1 Γ 3  +k = 2 = √ π · · · · (2k + 1) √ π, 2k+1 Từ phương trình (1.10), ta có J (x) = ∞ X k=0 r = (−1)k k!Γ( 32 + k) ∞  x 2k+ 12 X (−1)k 2x+1 x = πx (2k + 1)! k=0 r sin x πx Tương tự, ta có r Y (x) = 2 cos x πx Chú ý rằng, từ công thức (1.13) biểu thức hàm số J 12 (x) Y 12 (x) ta có cơng thức tổng qt sau r Jn+ (x) = 2 πn πn Pn sin x − + Qn cos x − πx x x h        i , với Pn (v) Qn (v) đa thức có bậc khơng vượt q n phụ thuộc vào v , Pn (0) = 1, Qn (0) = Khi x → ∞ ta có cơng thức tiệm cận hàm Bessel r Jν (x) = πν π cos x − − πx h   +O  i x (1.16) Điểm không hàm Bessel: Là điểm mà hàm Bessel nhận giá trị [7] Ở ta xét điểm không hàm Bessel loại có số số nguyên Cụ thể, xét phương trình Jn (x)=0 Phương trình ln có nghiệm dương nghiệm phân bố theo thứ tự tăng dần, tức (n) (n) (n) µ1 < µ2 < < µk < Thực tính tốn giá trị điểm không hàm J0 (x) với độ xác đến chữ số thập phân, ta được: (0) (0) (0) µ1 = 2.4048, µ2 = 5.5201, µ3 = 8.6537, (0) (0) (0) µ4 = 11.7015, µ5 = 14.9309, µ6 = 18.0711 Chú ý rằng, ta tìm khơng điểm hàm Bessel cách sử dụng công thức tiệm cận (1.16), cụ thể cho Jν (x) = 0, ta suy (ν) µk = 1.1.2 3π πν + + kπ, k ∈ Z Các hàm trụ khác Cùng với hàm Bessel Jν (x) tốn vật lý thường sử dụng hàm trụ khác [8] Ta xét số hàm trụ sau Hàm Hankel loại (1) Hν (x) = i [Jν (x)e−iπν − Yν (x)], ν 6= n, n ∈ Z, sin πν 10 (1) Hn (x)   i ∂Jν (x) ∂Yν (x) = Jn (x) + − (−1)n , ν = n; π ∂ν ∂ν Hàm Hankel loại hai (2) Hν (x) = (2) Hn (x) [Jν (x)eiπν − Yν (x)], ν 6= n, n ∈ Z, i sin πν   i ∂Jν (x) ∂Yν (x) = Jn (x) − − (−1)n , ν = n; π ∂ν ∂ν Hàm Neumann Nν (x) = [Jν (x) cos πν − Yν (x)], ν 6= n, n ∈ Z, sin πν   ∂Yν (x) ∂Jν (x) − (−1)n Nn (x) = , ν = n; π ∂ν ∂ν Hàm Infeld hàm Macdonald  π  πi π (1) exp νi Hν (ix) Iν (x) = exp − νi Jν (ix), Kν (x) = 2   Hàm Hankel loại loại hai biểu diễn qua hàm Bessel Neumann sau (2) (1) Hν (x) = Jν (x) + iNν (x), Hν (x) = Jν (x) − iNν (x) (1.17) Sử dụng công thức tiệm cận hàm Bessel Jν (x), ta có biểu thức tiệm cận hàm trụ sau (1) Hν (x) (2) Hν (x) r = r = π π exp i x − ν − πx i π π exp −i x − ν − πx i h  h r Nν (x) =   − 32   − 32  +O x +O x , , π π sin x − ν − + O x− , πx
ex Iν (x) = √ + O(x−1 ) , 2πx r
π −x Kν (x) = e + O(x−1 ) 2x     (1.18) Một đôi hàm số từ hàm số Jν (x), Nν (x), Hν(1) (x), Hν(2) (x) tạo thành hệ nghiệm phương trình Bessel với giá trị ν Từ ta 11 hàm tốn tử Laplace hệ tọa độ cực có dạng ∂ ∆u = r ∂r  ∂u r ∂r  Bằng phương pháp tách biến, nghiệm tốn tìm dạng u(r, t) = R(r)T (t) (2.4) Thay (2.4) vào (2.1) thực phân ly biến số, ta có dR d2 R T0 = + = −λ2 a2 T rR dr R dr2 (2.5) Hàm R(r) nghiệm toán Sturm–Liouville d2 R dR + r + λ2 rR = dr dr |R(0)| < ∞, R(0) = (2.6) (2.7) dR dR d2 R 2d R = λ , = λ , (2.5) trở thành phương trình dr dx dr2 dx2 Bessel bậc không (ν = 0) d2 R dR + + R = dx2 x dr Đặt x = λr =⇒ Nghiệm tổng quát phương trình tổ hợp tuyến tính nghiệm riêng J0 (x) N0 (x) R(x) = CJ0 (x) + DN0 (x); hay R(r) = CJ0 (λr) + DN0 (λr) (2.8) Vì hàm Bessel J0 (λr) hữu hạn đoạn [0, r0 ], nên để điều kiện |R(0)| < ∞ thỏa mãn ta phải có D = Tham số λ xác định từ phương trình J0 (λr0 ) = 0, từ ta tìm trị riêng (0) λr0 = (0) µk µ ⇒ λ = λk = k , k = 1, ∞ r0 27 hàm riêng tương ứng (0) µk r r0 Rk (r) = Ck J0 ! , k = 1, ∞ Từ (2.5) ta có phương trình hàm T (t) (0) µk a r0 T0 + !2 T = 0, nghiệm phương trình có dạng  Tk (t) = Bk exp − (0) µk r0 !2  t , a suy (0) µk uk (r, t) = Ck J0 r0  ! (0) µk Bk exp − r r0 !2  a t Đặt Ak = Ck Bk , ta có (0) µk uk (r, t) = Ak J0 r0  ! (0) µk exp − r r0 !2  a t Từ ta thu nghiệm tổng quát phương trình (2.1) u(r, t) = ∞ X uk (r, t), k=1 ⇒ u(r, t) = ∞ X Ak J0 k=1 (0) µk r0 ! r  (0) µk exp − r0 !2  a t Hệ số Ak xác định từ điều kiện ban đầu (2.3) u(r, 0) = ∞ X (0) Ak J0 k=1 28 µk r r0 ! = ϕ(r) (2.9) Hệ số khai triển Fourier Ak xác định theo hệ trực giao tổng quát ˆ (0) r0 µk r r0 rϕ(r)J0 Ak = ˆ " r0 (0) µk r J0 r0 ! dr (2.10) !#2 dr r Dựa vào tính chất hàm Bessel, ta biểu diễn tích phân mẫu số sau sau !#2 ˆ r0 " (0) i2 µ r2 h k r J0 r0 dr = r (0) J1 (µk ) , hệ số khai triển Fourier có dạng Ak = h r02 ˆ i2 (0) J1 (µk ) (0) r0 rϕ(r)J0 µk r r0 ! dr (2.11) Bằng cách cho thông số ban đầu r0 = 1, a = ϕ(r) = 100, ta thấy rõ biến đổi hàm nhiệt độ u(r, t) không gian theo thời gian qua đồ thị biểu diễn hình (2.2) Code thuật tốn chương trình phần mềm Maple trình bày phần phụ lục A (trang 44) 2.2 Bài toán khảo sát rung động bề mặt trống Một màng đàn hồi hai chiều sức căng tạo rung động (dao động) ngang Các tính chất mặt trống lý tưởng mơ hình hóa rung động màng trịn có độ dày đồng đều, gắn vào khung cứng Do tượng cộng hưởng, tần số rung định (tần số cộng hưởng), màng trịn lưu trữ lượng rung động, bề mặt dao động theo mơ hình đặc trưng sóng dừng Đây gọi chế độ bình thường Một màng có vơ số chế độ bình thường vậy, tần số thấp gọi chế độ Đã có nhiều phương thức tạo rung động cho màng trống, phương thức phụ thuộc vào hình dạng màng thời điểm ban đầu vận 29 Hình 2.3 Hình dạng trống thơng thường Hình 2.4 Đồ thị biểu diễn mặt trống hệ tọa độ hai chiều Oxy tốc ngang điểm màng thời điểm Dao động màng được mơ ta nghiệm phương trình sóng hai chiều với điều kiện biên Dirichlet, khung màng trống xem biên Có thể thấy rung động tùy ý phức tạp màng đàn hồi phân tích thành chuỗi vơ hạn chế độ màng Điều tương tự với việc phân tích hàm tín hiệu thời gian thành chuỗi Fourier [10] Xét màng trống trịn Ω, bán kính r0 hệ tọa độ hai chiều Oxy hình (2.4) Dao động màng trống mô tả hàm u(x, y, t), đặc trưng cho độ cao điểm màng trống phụ thuộc vào thời gian t tọa độ (x, y) Phương trình sóng mơ tả rung động màng trống không gian hai 30 chiều có dạng ∂ 2u = c2 ∂t  ∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y  , (x, y) ∈ Ω, với điều kiện biên u = biên ∂Ω trống Trong hệ tọa độ trụ (r, θ, z) phương trình viết lại sau ∂ 2u = c2 ∂t2  ∂ u ∂u ∂ 2u + + ∂t2 r ∂r r2 ∂θ2  , (2.12) với ≤ r ≤ r0 , ≤ θ ≤ 2π c số dương, đặc trưng cho tốc độ lan truyền sóng màng trống Nghiệm phương trình (2.12) thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet (2.13) u r=r = 0 Xét toán hai trường hợp a Trường hợp đối xứng trục Hàm u(x, y, t) khơng phụ thuộc vào góc θ, lúc (2.12) trở thành ∂ 2u = c2 ∂t2  ∂ u ∂u + ∂t2 r ∂r  (2.14) Bằng phương pháp tách biến, nghiệm toán tìm dạng u(r, t) = R(r)T (t) (2.15) Thay (2.15) vào (2.14) thực phân ly biến số, ta có T0 dR d2 R = + = −λ2 a2 T rR dr R dr2 (2.16) Hàm R(r) nghiệm toán Sturm–Liouville dR d2 R + r + λ2 rR = 0, dr dr |R(0)| < ∞, R(0) = (2.17) (2.18) dR dR d2 R 2d R =λ , = λ , (2.16) trở thành phương trình dr dx dr2 dx2 Bessel bậc không (ν = 0) d2 R dR + + R = dx2 x dx Đặt x = λr =⇒ 31 Nghiệm tổng quát phương trình tổ hợp tuyến tính nghiệm hàm riêng J0 (x) N0 (x) R(x) = CJ0 (x) + DN0 (x); hay (2.19) R(r) = CJ0 (λr) + DN0 (λr) Vì hàm Bessel J0 (λr) hữu hạn đoạn [0, r0 ], nên để điều kiện |R(0)| < ∞ thỏa mãn ta phải có D = Tham số λ xác định từ điều kiện J0 (λr0 ) = 0, từ ta tìm trị riêng (0) λr0 = (0) µk µ ⇒ λ = λk = k , k = 1, ∞, r0 hàm riêng tương ứng (cho Ck = 1) (0) µk r r0 Rk (r) = J0 ! , k = 1, ∞ (2.20) Từ (2.16) ta có phương trình hàm T (t) T ”(t) + λ2 c2 T (t) = (2.21) ⇔ T (t) = A cos(cλt) + B sin(cλt) (2.22) Thay (2.20) (2.22) vào (2.15) ta (0) uk (r, t)   = A cos  (0) cλk t  + B sin  (0) cλk t (0) J0 (λk r), k = 1, ∞ b Trường hợp tổng quát Khi hàm u(x, y, t) phụ thuộc vào góc θ Tương tự trường hợp trên, áp dụng phương pháp tách biến u(r, θ, t) = R(r)Θ(θ)T (t) (2.23) T 00 d2 R dR dΘ2 = + + = −λ2 2 c T R dr r dr r Θ dθ (2.24) Khi (2.12) trở thành 32 Tương tự (2.22) ta có nghiệm hàm T (t) có dạng (2.25) T (t) = A cos(cλt) + B sin(cλt) Xét phương trình R(r) Θ(θ) (2.24) ta d2 R dR d2 Θ + = −λ2 + R dr r dr rΘ dθ (2.26) Đặt − ⇔ d2 Θ = m2 Θ dθ2 (2.27) d2 Θ + m2 Θ = dθ2 Nghiệm phương trình có dạng (2.28) Θ(θ) = C cos(mθ) + D sin(mθ), với m = 0, ∞ C, D số Thay (2.27) vào (2.26) ta λ2 r2 + r d2 R r dR + = m2 R dr R dr (2.29) Tương tự trường hợp đối xứng trục, ta tìm (m) (2.30) R(r) = Jm (λk r), với (m) µ = k , m = 0, ∞, k = 1, ∞ r0 (m) λk (2.31) Từ (2.25), (2.28) (2.30), ta thu nghiệm hàm u(r, θ, t) dạng tổng quát (m) uk (r, θ, t)   = A cos  (m) cλk t  + B sin  (m) cλk t  (m) Jm (λk r)  C cos(mθ) + D sin(mθ) , với m = 0, ∞, k = 1, ∞ Hình (2.5) đồ thị biểu diễn rung động màng trống số trường hợp với giá trị khác m n 33 (0) (0) (1) (1) (2) (2) (a) u1 với µ1 = 2.40483 (d) u1 với µ1 = 3.83171 (g) u1 với µ1 = 5.13562 (0) (0) (1) (1) (2) (2) (0) (0) (c) u3 với µ3 = 8.65373 (1) (1) (f) u3 với µ3 = 10.1735 (2) (2) (i) u3 với µ3 = 11.6198 (b) u2 với µ2 = 5.52008 (e) u2 với µ2 = 7.01559 (h) u2 với µ2 = 8.41724 Hình 2.5 Đồ thị dao động mặt trống với giá trị khác m n Code thuật tốn chương trình phần mềm Maple trình bày phần phụ lục B (trang 45) 2.3 Bài tốn tán xạ vơ hướng cầu dài Phương pháp tách biến đóng vai trị quan trọng toán vật lý toán, đặc biệt tốn tán xạ có chứa phương trình dạng hyperbolic miền khảo sát giới hạn bề mặt tọa độ có hình dạng Trong toán 34 sử dụng phương pháp tách biến hệ tọa độ cầu cho việc tính tốn tán xạ dừng vơ hướng cầu dài với tỉ lệ bước sóng kích thước cầu Một cách tổng thể, toán tán xạ dạng toán phức tạp có số tốn mà nghiệm chúng biểu diễn dạng giải tích Đã có số nghiên cứu tán xạ phòng cầu (dẹt dài) [15–17] nhiều cơng trình khác Mặc dù vậy, nghiệm tốn ln tìm thấy dạng sóng hình cầu (hàm bán kính hàm góc) Trong tốn khảo sát tốn tán xạ dừng vơ hướng có tính chất đối xứng trục cầu dài cách sử dụng phương pháp tách biến Phỏng cầu dài ellipsoid dài có trục lớn trục Oz [18] Chọn trục nhỏ cầu dài đơn vị, phương trình cầu dài hệ tọa độ cầu có dạng [19, 20]: p r = r(θ) ≡ + ε2 cos2 θ, với ε tham số phụ thuộc vào tỉ số trục lớn trục nhỏ cầu dài Hình dạng cầu dài biểu diễn hình (2.6) ứng với giá trị khác ε Hình 2.6 Hình dạng cầu dài ứng với ε2 = 0, 1, 2, (từ trái sang) Trên hình (2.7) trường tán xạ biểu diễn hệ tọa độ cầu (r, ϕ, θ) Θ góc tán xạ Gốc tọa độ hệ tọa độ Decartes trùng với tâm đối xứng cầu trục Oz trùng với trục dài cầu α góc tới (góc hướng sóng tới với trục Oz mặt phẳng Oxy ) Phương pháp tách biến √ Trong phương trình Helmholts ∆ψ + k ψ = 0, với r > rmax = + ε2 (bên cầu với θ = θ = π , lúc cos2 θ = 1) hàm sóng ψ khai triển thành chuỗi ∞ X + +  − − cn χn (r) − cn χn (r) Yn (θ), ψ= n=0 35 Hình 2.7 Biểu diễn tán xạ hình học cầu dài r với Yn (θ) = 2n + Pn (cos θ), χ± n (r) = r π (1) H (2) (kr), Pn − đa thức Legendre, 2kr n+ (1) (2) Hn+ − hàm Hankel loại loại hai 2 ∓∗ + 0− +0 − + Vì χ± , nên χ− n Yn sóng tới, cịn χn Yn sóng n (r) = χn (r), χn χn − χn χn = ikr2 khỏi hay sóng truyền qua Trong toán tán xạ biên độ sóng tới c− n phải cho trước, cịn biên độ − sóng truyền qua c+ n biểu diễn qua cn với điều kiện bề mặt cầu tán xạ p ∂ψ −ikπ + ε2 sin2 θ ... khảo sát ứng dụng hàm toán việc giải tốn biên Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm 49 trang, 15 hình bảng thể qua hai chương: Chương 1: Hệ thống số hàm toán đặc biệt Giới thiệu số hàm toán đặc biệt thường... lý Từ đó, thấy hàm đặc biệt có ứng dụng vơ to lớn ngành khoa học tự nhiên, đặc biệt vật lý lý thuyết vật lý tốn Vì việc khảo sát nghiên cứu số hàm toán đặc biệt việc ứng dụng giải toán vật lý nhiệm... n Hàm unm (r, θ, ϕ), xác định công thức (1.51), nghiệm tổng phương trình Laplace hệ tọa cầu, gọi hàm hình cầu 24 Chương Ứng dụng hàm toán đặc biệt việc giải toán biên Trong phần xét số ứng dụng