Skkn một số phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số

Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Một số phơng pháp giải BàI TOáN CựC TRị TRONG ĐạI Số trờng thcs A - lời nói đầu C ác toán cực trị đại sè ë cÊp THCS cã mét ý nghÜa rÊt quan trọng em học sinh bậc học cấp (THPT), để giải toán cực trị đại số, tìm giá trị cực đại, cực tiểu, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biẻu thức đại số, ngời ta thờng phải dùng đến công cụ cao cấp toán học: đạo hàm hàm số cấp THCS, (hay nói xác không đợc phép dùng ) công cụ cao cấp toán học nói trên, nên ngời ta phải cách giải thông minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức toán học cấp THCS để giải toán loại Các toán cực trị đại số cấp THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luỵên trí thông minh cho học sinh cấp học Để giải toán cực trị đại số cấp THCS, học sinh phải biến đổi đồng biểu thức đại số, phải biến đổi sử dụng nhiều dạng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến dạng phức tạp Bởi thế, nói, toán cực trị đại số cấp THCS tạo khả giúp học sinh có điều kiện để "rèn luyện kỹ biến đổi đồng " biểu thức đại số Các toán cực trị đại số cấp THCS có liên quan mật thiết đến kiến thức chứng minh bất đẳng thức, phép giải phơng trình hệ phơng trình, chừng mực đến giới GV: Vừ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tnh skkn Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số hạn ẩn tàng nhiều lỉnh vực khác tập hợp, kiến thức hàm số đồ thị, v.v Về mặt t tởng toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế ®êi sèng x· héi, rÌn lun nÕp nghÜ khoa häc, mong muốn làm công việc đạt đợc hiệu cao nhất, tốt Tóm lại, toán cực trị đại số cấp THCS toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán, kỹ t cấp học này, rÊt cÇn thiÕt cho viƯc båi dìng häc sinh giái toán cấp THCS tài liệu tự bồi dỡng đội ngũ giáo viên cấp THCS Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đại số gọi toán cực trị Đại số Các em không thờng gặp toán dạng sách giáo khoa môn Toán, chúng toán khó Các toán cực trị thờng yêu cầu em vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt biến đổi, sắc sảo lập luận phát huy tối đa khả phán đoán Nó lại thờng có nhiều đờng đến ®Ých b»ng c¸ch vËn dơng nhiỊu kiÕn thøc kh¸c Trong có cách giải ngắn gọn hợp lí Viêc giải toán cực trị giúp học sinh có thói quen tìm phơng án tối u giải công việc đời sống, kỷ thuật Trong phần trình bày giới thiệu môt số phơng pháp thờng dùng giải toán cực trị số bài tập áp dụng kiến thức Tôi hy vọng với phần trình bày giúp em bớt khó khăn, tiến tới tự giải đợc toán dạng chắn em thấy toán thú vị B - Néi dung nghiªn cøu GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số I- Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Định nghĩa giá trị lớn Cho biểu thức f(x) xác định D Ta nói M giá trị lín nhÊt cđa f(x) trªn D, kÝ hiƯu : M = maxf(x), hai điều kiện sau đợc thoà mÃn : - Víi mäi x thc D th× f(x) ≤ M, với M số - Tồn x0 thuộc D cho f(x0) = M Định nghĩa giá trị nhỏ Cho biểu thức f(x) xác định D Ta nói m giá trị nhỏ nhÊt cđa f(x) trªn D, kÝ hiƯu : m = minf(x), hai điều kiện sau đợc thoà mÃn : - Víi mäi x thc D th× f(x) ≥ m, với m số - Tồn x0 thuộc D cho f(x0) = m Ta định nghĩa giá trị lớn biểu thức f(x,y, ); giá trị nhỏ biểu thức f(x,y, ) cách tơng tự II Các phơng pháp Phơng pháp - Phơng pháp giải toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức đại số cách đa dạng A(x) ( A(x) 0) a) C¬ së lÝ luËn - Trong tËp hợp số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không dơng số có giá trị lớn - Trong tập hợp số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không âm số có giá trị nhỏ nhÊt Tõ ®ã, cã thĨ suy r»ng tËp hợp M ={A(x) A(x) 0} A(x) đạt giá trị nhỏ A(x) = 0, tập hợp N = {B(x) B(x) } B(x) đạt giá trÞ lín nhÊt B(x) = GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – H Tnh skkn Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số b) Các thí dụ Thí dụ Tìm giá trị nhỏ biểu thøc : A(x) = 2x - 8x + 1, x biến số lấy giá trị thực Giải : A(x) = 2x2 - 8x + = 2x2 - 2.4x + = 2( x2 - 2.2x + - ) + = ( x - )2 - Víi gí trị x, ( x-2)2 nên ta cã A(x) = 2( x - 2)2 - -7 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -7, x = Đáp số : A(x)(nhỏ nhất) = -7, víi x = ThÝ dơ T×m giá trị lớn biểu thức M(x) = -5x - 4x + 1, x biến số lấy giá trị thực Giải: Ta cã : M(x) = -5x2 - 4x + = -5( x2 + = -5( x2 + )2 - )+1 )2 + = -5( x + Ta thÊy ( x+ x+ x ) +1 0, với giá trị x nên -5(x + Từ suy M(x) = -5( x + nhÊt ) = )2 + Vậy M(x) đạt giá trị lớn M(x) = Đáp số : M(x)(lớn )2 , lúc x = , x = Phơng pháp - Phơng pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số cách đa dạng ( 0 ) Thí dô GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn Mét số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Tìm giá trị nhỏ biểu thức đại sè sau: A(x) = , víi x thc miỊn sè thực dơng Giải : Ta có : A(x) = = = Vì x > 0, nên ta có : A(x) = > 0, th× ( x - )2 ≥ 0, A(x) = Với Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ A(x) = Đáp số : A(x) (nhá nhÊt ) = ≥ , lóc ®ã x = với x = Thí dụ Tìm giá trị lớn biểu thức đại số M(x) = với x R Giải: Ta có: M(x) = = (vì x2 + 2x + = ( x + ) Mặt khác, ( x + )2 0, ®ã x + > 0) R nªn ( x+1 )2 + ≥ 2, Tõ ®ã ta cã M(x) = + VËy M(x) ®¹t giá trị lớn M(x) = x R, , lúc (x+1)2 = 0, hay x=-1 §¸p sè : M(x)(lín nhÊt )= , víi x=-1 Thí dụ Tìm giá trị lớn biểu thøc sau : F(x,y) = x,y , víi R GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn H Tnh skkn Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Giải : Ta cã F(x) = y4+ ≠ 0, y = ( R) Mặt khác x2 0, x R nên x2 + ≥ 2, x R ®ã F(x,y) = Vậy F(x,y) đạt giá trị lớn F(x,y) = Đáp số : F(x,y) ( lớn ) = , lóc ®ã x = ; víi x = 0, y R Phơng pháp - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số cách áp dụng bất đẳng thức Côsi a) Cơ sở lí luận : Bất đẳng thức Côsi đợc viết dới dạng khác dới ( áp dụng với số không âm ) Dới dạng thức : 1) 2) 3) Một cách tổng quát: Dới dạng luỹ thừa : 1) 2) 3) Bài toán tìm giá trị nhỏ Chứng minh hai đại lợng dơng x y có tích luôn không đổi tổng chúng đạt giá trị nhỏ giá trÞ cđa chóng b»ng GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Giải Từ toán trên, ta ph¶i chøng minh r»ng víi x > 0, y > 0, xy = k2 (không đổi) x + y đạt giá trị nhỏ x = y Thật áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai sè d¬ng ta cã : ( x+y)2 hay 4xy y x+y Theo gi¶ thiÕt : Ta cã xy = k2 (không đổi), nên ta có : x+y (*) Vậy tổng M = x + y lấy giá trị nhá nhÊt x + y = 2k Theo bÊt đẳng thức Côsi, x + y = 2k = vµ chØ x = y VËy x + y = 2k vµ chØ x = y Tãm l¹i : Víi x > 0, y > xy = k2 (không đổi ), x + y nhá nhÊt vµ chØ x = y Bài toán tìm giá trị lớn Chứng minh rằng, hai đại lợng dơng có tổng không đổi tích chúng đạt giá trị lớn giá trị chúng Giải : (áp dụng bất đẳng thức Côsi chứng minh tơng tự trên) Tóm lại Với x > 0, y > x + y = k (không đổi ) xy lớn x = y GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn Mét số phơng pháp giảI toán cực trị Đại sè Chóng ta sÏ sư dơng kÕt qu¶ cđa hai toán để giải toán cực trị đại số Thí dụ Tìm giá tri nhỏ biểu thức đại số sau: A(x) = , víi x > Gi¶i : Ta cã : A(x) = = 8x + Ta thÊy 8x vµ lµ hai đại lợng lấy giá trị dơng không đổi, nhng tích chúng 8x = 16 luôn không thay đổi Vậy A(x) = 8x + đạt giá trị nhỏ vµ chØ 8x = hay 8x2 = Từ đây, ta tính đợc x2 = , suy x = ®iỊu kiƯn x > 0, ta chØ lÊy giá trị x = Với x = ; A(x)( nhỏ nhÊt ) = + hc x = KÕt hợp với = + = Đáp sè : A(x)( nhá nhÊt ) = 8; víi x = Thí dụ 7: Tìm giá trị lớn biểu thức đại số B(x) =16x3- x6, với x thuộc tập hợp số thực dơng Giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc toán áp dụng bất đẳng thức Côsi Từ B(x) = 16x3 - x6 , ta cã : B(x) = x3(16 -x3 ) Rõ ràng x3 > 0; 16 - x3 > 16 > x3 hay x < (*) GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn Mét sè phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Đến ta nhận thấy x3 16 - x3 hai đại lợng biến đổi nhng tổng chúng x3+ (16-x3) = 16 luôn không thay đổi, tích chúng B(x) = x 3(16-x3) đạt giá trị lớn x = 16 - x3 Từ ta có : 2x3 = 16 hay x3 = Ta tính đợc x = Giá trị x = thoả mÃn điều kiện (*) Vậy B(x) đạt giá trị lớn giá trÞ x = B(x)( lín nhÊt ) = 16 23-26 =(16-23).23 = = 64 Đáp sè: B(x)( lín nhÊt ) = 64, víi x = Phơng pháp - Giải toán cực trị đại số phơng pháp đặt ẩn phụ Thí dụ Với giá trị x biểu thức P(x) = , đạt giá trị nhỏ Giải Đây toán khó giải học sinh Bởi toán ẩn tàng phép giải phơng trình, xét dấu hiệu áp dụng đợc bất đảng thức Côsi hay không, việc biến đổi đồng để rút gọn đợc biểu thức khó khăn 1)Trớc hết ta biến đổi biểu thức dạng để áp dụng đợc toán bất đẳng thức Côsi Bằng cách biến đổi đồng nhất, ta biến đổi tử thức thành tích nhân tử sau rút gọn Cách dài dòng gặp không khó khăn Để đơn giản hơn, ta dùng phơng pháp chia đa thức cho đa thøc 4x4 + 16x3 + 56x2 + 80x + 356 x2+ 2x +5 4x4 + 8x3 + 20x2 4x2 + 8x + 20 + 8x3 + 36x2 + 80x +356 8x3 + 16x2 + 40x + 20x 20x22 ++ 40x 40x ++ 100 356 + + 256 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn Mét sè ph¬ng pháp giảI toán cực trị Đại số Kết ta đợc : P(x) = 4x2 + 8x + 20 + V× x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x+1) + > (*), nên P(x) luôn xác đinh với giá trị x 2) Đặt ẩn phụ để đa xét biểu thúc có dạng đơn giản Tõ P(x) = 4x2 + 8x + 20 + , ta cã : P(x) = ( x + 2x + 5)+ Đặt y = x2 + 2x + 5, ta cã : P(x) = 4y + 4y vµ , vµ y = x2 + 2x + > với x đại lợng lấy giá trị dơng có tích 1024 ( không đổi ) Vậy tổng 4y + 4y = đạt giá trị nhỏ Từ ta đợc y2 = 64 Giải phơng trình y2 = 64, ta đợc y = y = -8 Từ , y > nên ta lấy giá trị y = Với y = x2 + 2x + = 8, giải phơng trình bậc hai ta đợc x = -3 , x = Vậy P(x) lấy giá trị nhỏ x = -3 hc x = ( øng víi y = ), ta tính đợc : P(x) = 4.8 + = 64 Đáp số : P(x) đạt giá trị nhá nhÊt b»ng 64 x = -3 hay x = Thí dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức đại số sau : Q(x) = ( x2 - 2x + ) ( 4x - 2x2 + ), víi x R GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tnh skkn 10 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Giải: Nhận xét hƯ sè cđa Èn x, ta thÊy r»ng 4x - 2x = ( 2x x2 ) = -2( x2 - 2x) Do đặt x2 - 2x + = y th× ta cã : 4x - 2x + = -2( x2- 2x + 2) + = -2y + VËy Q(x) = ( x2 - 2x + ) ( 4x - 2x2 + ) = y ( - 2y ) Ta liên tởng đến vấn đề tích số lớn tổng chúng không đổi y - 2y thoả mÃn điều kiện để tìm giá trị lớn Q(x) ta chuyển sang tìm giá trị lớn biểu thức P(x) = 2.Q(x) Ta cã P(x) = 2.Q(x) = 2.y( - 2y) Ta thÊy y = x2 - 2x + = ( x - ) + > 0, - 2y > > 2y hay y 0, y > nªn 6x > 0, 4y > GV: Vừ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tnh skkn 12 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số ( áp dụng bất đẳng thức Côsi ) Từ Đến ta làm xuất tích xy Theo giả thiết ( ràng buộc ), ta có xy = 216, suy P(x,y) đạt giá trị nhỏ là: P(x,y) = = 144 Đáp số : P(x,y) nhá nhÊt = 144 ThÝ dô 13 Tìm giá trị x, y, z để biểu thức sau : F(x,y,z) = 2x + 3y - 4z đạt giá trị nhỏ Biết x, y, z thoả mÃn hệ ràng buộc sau : Giải: Từ điều kiƯn , tríc hÕt ta tÝnh x, y theo z, ta đợc Để x - 3z  0, suy z  §Ĩ y  th× 3z -  0, suy z  Để x y 0, phải có ®iỊu kiƯn :  z  (***) Thay c¸c gi¸ trị x,y từ (*) (**) vào biểu thức ®· cho ta ®ỵc F(x,y,z) = 2(4 -3z) + 3(3z - 2) - 4z = - z Nh vËy F(x,y,z) phụ thuộc vào giá trị z F(x,y,z) đạt giá trị nhỏ z đạt giá trị lớn Nhng từ ràng buộc, z lấy giá trị khoảng xác định z mà Từ suy : F(x,y,z) đạt giá trị nhỏ với hệ ràng buộc đà cho z = Từ ®ã ta tÝnh ®ỵc x = - 3z = - Và F(x,y,z) nhỏ Đáp số : F(x,y,z) =2nhá nhÊt = 0; y = 3z - = 3 -2=2 = 3 = ; víi x = 0, y = 2, z = GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn 13 Mét số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Thí dụ 14 Cho biểu thức đại số sau : P = x 1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 ; víi x1, x2, x3, x4, x5 lµ đại lợng lấy giá trị không âm HÃy tìm giá trị lớn P, biết : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = Gi¶i: Tõ P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 , x1x4 + x2x5 0, ta cã : P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5  x1x2 + x2x3 + ( x1x4 + x2x5 ) + x3x4 + x4x5 BiÕn tỉng thµnh tÝch ta ®ỵc : P  x2 (x1 + x3 + x5 ) + x4(x1 + x3 + x5) hay P  (x2 + x4) (x1 + x3 + x5 ) §Õn ta nhận thấy : Do giả thiết xi ( i = 1,2,,5) nên tổng (x1 + x3 + x5) vµ tỉng (x2 + x4) đại lợng không âm Đặt U = x1 + x3 + x5 ; V = x2 + x4 Ta cã : U  0, V  vµ U + V = áp dụng bất đẳng thức Côsi ta cã : hay (1) Ta l¹i cã : (x2 + x4) (x1 + x3 + x5 ) = x1x2 + x2x3 + x1x4 + x2x5 + x3x4 + x4 x5 Suy (x1 + x3 + x5 )(x2 + x4)  x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 (2) Từ (1) (2) suy : Theo giả thiết, ta cã x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1, nªn ta cã x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 đạt giá trị lớn chØ Tõ trªn ta suy x1 = x2 = x5 = 0, x3 = x4 = GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – H Tnh skkn 14 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Đáp số : P ( lín nhÊt ) = , víi x1 = x2 = x5 = vµ x3 = x4 = Phơng pháp - Giải toán cực trị đại số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski 1.Bất đẳng thức Bunhiacốpski a) Viết dới dạng luỹ thõa :  ( ax + by )2  ( a2 + b2 ) ( x2 + y2 ) DÊu b»ng xÈy  ( ax + by + cz )2  ( a2 + b2 + c2 ) ( x2 + y2 + z2 ) DÊu b»ng xÈy  Tỉng qu¸t ta cã : ( a1b1 + a2b2 +…+ anbn )2  ( a12 + a22 +…+ an2 )( b12 + b22 + …+ bn2 ) DÊu b»ng xÈy b) ViÕt díi dạng thức: ax + by Dấu xÈy  ax + by + cz  DÊu b»ng xÈy * Tỉng qu¸t ta cã : a1b1 + a2b2 +…+ anbn  DÊu b»ng xÈy 2.C¸c thÝ dơ ThÝ dơ15 GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn H Tnh skkn 15 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Tìm giá trị x, y, z để cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : P = x2 + y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ ®ã BiÕt r»ng x + y + z = 1995 Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho sè 1, 1, vµ x, y, z ta cã : ( x.1 + y.1 + z.1 )2  ( 12 + 12 + 12 )( x2 + y2 + z2 ) hay ( x + y + z )2  ( x2 + y2 + z2 ) Tõ ®ã ta cã : P = x2 + y2 + z2  Theo gi¶ thiÕt : x + y + z = 1995, nªn ta cã P = x + y2 + z2 với P đạt giá trị nhỏ dấu đẳng thức xẩy ra, tøc P = chØ Tõ ( hay x = y = z ) ta tính đợc x = y = z = Đáp số : P ( nhỏ ) = = 665 , víi x = y = z = 665 ThÝ dơ 16 Cho biĨu thøc Q(x,y,z) = , x, y, z đại lợng thoả mÃn điều kiện x2 + y2 + z2 = 169 Tìm giá trị x, y, z để cho Q(x,y,z) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Giải GV: Vừ Quang Nht – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn 16 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho số 2, 4, ta có : x, y, z , hay Q2(x,y,z) = ( 2x + 4y + z )2  Theo gi¶ thiÕt ta cã : x2 + y2 + z2 = 169, víi Q2(x,y,z) 25.169 lúc Từ (*) ta có z = ,y= , ®ã ta cã : (*) = 2x thay vào phơng trình x2 + y2 + z2 = 169, ta cã : x2 + ( 2x )2 + ( )2 = 169  x2 + 4x2 + = 169  25x2 = 4.169  x2 = x= * Víi x = , y= * Víi x = - , y=- Q(x,y,z) = ( lín nhÊt ) Đáp số : Q(x,y,z) = , z= , z=- = 5.13 = 65 ( lín nhÊt ) = 65 øng víi c¸c bé sè ( x =  ;y= ;z ) Phơng pháp - Phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị Thí dụ17 : Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa A = x2 ( - x ), víi x  Gi¶i : a) XÐt  x  Ta cã : A = ( - x ) ¸p dơng bÊt đằng thức Côsi cho số không âm , - x ta đợc GV: Vừ Quang Nht THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn 17 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số (3-x) Do A 4.1 = (1) b)XÐt x > 3, ®ã A < (2) So sánh (1) (2) ta đến kÕt luËn : MaxA =   x = Thí dụ18 : Tìm giá trị lớn B = x Gi¶i : a) XÐt -1  x  th× B  (1) b) XÐt < x  th× B = x Do Max B = x= Phơng pháp : Phơng pháp áp dụng điều kiện có nghiệm phơng trình bậc hai Chúng ta biết điều kiện cần đủ để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) cã nghiÖm = b2 - 4ac , = b,2 ac ( víi b = 2b,); ®iỊu kiƯn đợc sử dụng để giải nhiều dạng toán tìm giá trị lớn (GTLN) tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức Sau mét sè vÝ dơ minh häa ThÝ dơ 19 T×m GTLN GTNN biểu thức Q = Giải: Do x2 - x + > víi mäi x nên Q xác định với x Giả sử tồn x để Q đạt GTLN GTNN, phơng trình Q.( x2 - x + 1) = x2 - 2x +  (Q - 1) x2 + (2 - Q) x + Q - = (*) phải có nghiệm ẩn x Nếu Q = th× (*)  x = NÕu Q (*) phơng trình bậc hai ®èi víi Èn x, cã nghiƯm  x  GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn 18 Mét sè ph¬ng pháp giảI toán cực trị Đại số (2 - Q)2 - 4(Q - 1)(Q - 2)   (Q - 2)(-3Q + 2)    Q  < < suy : Q đạt GTLN x = ( thay vào (*) ); Vì Q đạt GTNN  x = NhËn xÐt : VÝ dô cã thĨ më réng cho biĨu thøc tỉng qu¸t cã d¹ng víi b22 - 4a2c2 < Q(x) = ThÝ dụ 20 : Tìm GTLN GTNN biểu thức Q = Giải: Ta có Q xác định với x, y Ta tìm Q để tồn x, y tháa m·n Q = hay Q.x2 - x + Q.y2 + 7Q - 2y - = (*) Với Q = (*) trở thành x + 2y + = hiển nhiên tồn x y, chẳng hạn x = 0, y =- Với Q tồn x, y thỏa m·n (*)  tån t¹i y tháa m·n : 4Q2y2 - 8Qy + 28Q2 - 4Q -1   0    28Q2 - 4Q -   - Víi x = 1, y = Q = Với x = ,y= nên Q đạt GTLN Q = - Q nên Q đạt GTNN - Phơng pháp 10 : Tìm giá trị nhỏ hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối a) Cơ sở lý luận : Khi tìm giá trị nhỏ (GTNN) hay giá trị lớn (GTLN) biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, thờng xét trờng hợp để khử dấu giá trị tuyệt ®èi ®Ĩ vÏ ®å thÞ GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn 19 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối nh : , sau xét khả trở thành đẳng thức Vấn đề đề cập đến phơng pháp tìm GTNN, GTLN hiệu cho lớp toán Giả sử tồn m GTNN hàm số f(x) miền D ®ã f(x) m víi mäi x D Víi môt số f(x) f( D m đat giá trị x thoả mÃn điều kiện ) Từ xác định đợc x K, K D đợc gọi phạm vi tìm kiếm Để tìm giá trị m hàm số f(x) miền D, ta cần tìm giá trị m miền K(tơng tự GTLN) Nếu chọn đợc số mà f( ) < f( khác ) ta xác định đợc phạm vi tìm kiếm hẹp Phơng pháp cần có kĩ giải bất phơng trình để tìm đợc K Công việc đợc ví giống nh ta tìm chìa khoá bị đánh rơi, ta chắn bị rơi nhà không lẽ ta lại tìm đờng? b) Mét sè thÝ dơ: ThÝ dơ 21 T×m GTNN cđa hàm số : y = f(x) = + Giải: Hàm số y = f(x) có tập xác định R Cách Vì f( )= nên ta cần tìm x tho¶ m·n f(x) , suy : ; Gi¶i hệ phơng trình trên, ta nhận đợc phạm vi tìm kiÕm K = ChØ cÇn xÐt x K, ta cã x + > 0; - 2x Đẳng thức x¶y x= suy f(x) = - x K GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn 20 Mét sè phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Vậy GTNN f(x) Cách Ta có , suy f(x) = = Mặt khác, f( ) = nên GTNN f(x) Bình lụân : Mặc dù cách đơn giản cách nhng không phát huy đợc cho toán dới Thí dụ 22 Tìm GTNN hàm số sau : a) y = f(x) = b) y = g(x) = ; ; c) y = h(x) = ; Gi¶i 1, Lời giải cho câu a) câu b) Vì f(1) = = g(1) nên ta cần tìm x tho¶ m·n : 2; ; Do f(-1) > g(-1) > nên ta cần xét x thuéc miÒn K = , ta cã f(x) = (x - 1) + Đẳng thức xẩy =x+ x= Vậy GTNN cđa f(x) lµ g(x) = 3(x - 1) + Đẳng thức xẩy -1 = x=1 - K -1 + x -  2.2 + - = K VËy GTNN cña g(x) 2) câu c) GV: Vừ Quang Nht – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn 21 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Vì h(-1) = nên ta cần tìm x thỏa mÃn h(x) suy 2;   2, Gi¶i hƯ hai bÊt phơng trình ta thu đợc miền K = Víi x K ta cã h(x) = -2(x + 1) + Đẳng thức xẩy - x -  - (-1) -1 = =x = -1 K VËy GTNN cđa h(x) lµ III Bµi tËp ¸p dơng Cho biĨu thøc M(x) = x2 - 10x + 40 Với giá trị x M(x) đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ Cho biểu thức Q(x) = Với giá trị x Q(x) đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn Cho biĨu thøc A(x) = , víi x  -1 Tìm giá trị nhỏ A(x) giá trị tơng ứng x Cho biểu thức F(x) = Tìm giá trị x để F(x) đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn biểu thức A(x) với A(x) = Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa y, biÕt r»ng y = , với x > Tìm giá trị x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhÊt : A(x) = , víi x > GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn H Tnh skkn 22 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Tìm giá trị cuả x để hàm số y = đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y) = BiÕt r»ng x > 0, y > x + y = 100 10 Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc M (x, y, z) = xyz Với hệ ràng buộc sau : 11 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B (x,y) = x2 + 26 y2 - 10xy + 14x - 76y + 59 12 Cho hệ phơng trình : Tìm giá trị x, y, z để biểu thức A( x, y, z) = x + y+z đạt giá trÞ lín nhÊt 13 Cho biĨu thøc F(x,y,z,t) = 2x + y + z + t HÃy tìm giá trị lín nhÊt cđa F(x, y, z, t) biÕt r»ng: vµ x, y, z, t số không âm 14 Tìm giá trị nhỏ hàm số sau : F (x) = x ( x +1 )( x + )( x + ) 15 Tìm giá trị đại lợng x, y để cho biểu thức đạt giá trị nhỏ : Q(x,y) = x3 + y3 +xy BiÕt r»ng : x + y = 16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P( x, y, z) = GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn 23 Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Biết x, y, z thoà mÃn điều kiện sau : 17 Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc A(x)= , víi x > 18 Tìm giá trị x, y, z để cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : F ( x, y, z ) = x4 + y4 + z4 BiÕt r»ng x, y, z tho· m·n ph¬ng tr×nh sau : xy + yz + zx = 19 cho biÓu thøc M = x2 + y2 + 2z2 + t2, với x, y, z, t số nguyên âm HÃy tìm giá trị nhỏ M giá trị tơng ứng x, y, z, t BiÕt r»ng : 20 Cho hµm sè : y= + + Tìm khoảng xác định hàm số y Tính giá trị lớn hàm số khoảng xác định giá trị tơng ứng x 21 Tìm giá trị nhỏ hàm số sau : a) y = b) y = ; ; 22 Cho phơng trình bậc hai ẩn sè x vµ y : x2 + 3y2 + 2xy - 10x - 14y + 18 = H·y t×m nghiệm số phơng trình để cho biểu thức A = x + y a) Đạt giá trị lín nhÊt ? GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn 24 Mét số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số b) Đạt giá trị nhỏ ? c- Kết luận chung Trong phần trình bày đà cố gắng su tầm, phân dạng toán cực trị Đại số theo kiến thức thờng dùng giải Tuy nhiên toán cực trị thờng có nhiều cách giải có nhiều cách giải ngắn gọn hợp lí có phơng án độc đáo sáng tạo Tôi đà áp dụng đề tài thời gian tơng đối dài để bồi dỡng học sinh khá, giỏi thấy lúc đầu học sinh mơ hồ toán dạng nhng sau học học sinh đà tích cực học đạt hiệu tơng đối cao trình bày cách giải cho toán; chắn nhiều phơng pháp, cách giải toán hay khó cha su tầm, tìm tòi đợc Tôi hy vọng sau đọc bạn đọc có ý kiến góp ý, bổ sung để phần trình bày hoàn chỉnh hơn, để có ích trình dạy học trình bồi dỡng học sinh giỏi Xin trân trọng cảm ơn! GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh skkn 25 ... Thủy Mai – Hương Sn H Tnh skkn Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Chúng ta sử dụng kết hai toán để giải toán cực trị đại số Thí dụ Tìm giá tri nhỏ biểu thức đại số sau: A(x) = , với x >... viên cấp THCS Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đại số gọi toán cực trị Đại số Các em không thờng gặp toán dạng sách giáo khoa môn Toán, chúng toán khó Các toán cực trị thờng yêu cầu... nhỏ biểu thức đại số cách đa dạng ( 0 ) Thí dụ GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sn H Tnh skkn Một số phơng pháp giảI toán cực trị Đại số Tìm giá trị nhỏ biểu thức đại số sau: A(x) =