Luận án định lý tồn tại và duy nhất nghiệm đối với một số bài toán biên phi tuyến

1 Tổng quan PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận án muốn sử dụng phƣơng pháp Giải tích hàm phi tuyến nhƣ : phƣơng pháp Galerkin, phƣơng pháp compact yếu toán tử đơn điệu, phƣơng pháp tuyến tính hóa liên hệ với định lý điểm bất động, phƣơng pháp tiệm cận nhằm khảo sát số tốn biên có liên quan đến vấn đề Cơ học Chẳng hạn nhƣ phƣơng trình sóng phi tuyến liên kết với loại điều kiện biên khác xuất toán mô tả dao động màng với ràng buộc phi tuyến bề mặt biên, mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tựa cứng; Các phƣơng trình elliptic mơ tả uốn đàn hồi phi tuyến đƣợc nhúng chất lỏng, Bản luận án chƣơng mở đầu đƣợc chia thành chƣơng Trong chƣơng - sử dụng phƣơng pháp Galerkin cơng cụ hỗ trợ để khảo sát tốn liên quan đến phƣơng trình sóng với công cụ chƣơng 3-4 dành cho việc khảo sát tốn biên phi tuyến có số hạng kỳ dị ■ Trong chƣơng 1, khảo sát tốn ngồi biên R n tập mở bị chận có biên đủ trơn, pháp tuyến đơn vị hƣớng số cho trƣớc, B,f,F,u0 , u hàm cho trƣớc Các giả thiết đặt cho hàm Tổng quan đƣợc sau Trong phƣơng trình (0.1) số hạng phi tuyến B( ‖ ‖ )2 phụ thuộc vào thỏa điều kiện B hàm liên tục xác định R + = [0,+∞); (0.6) Trong trƣờng hợp chiều n = 1, Ω = (0, L), phƣơng trình (0.1) đƣợc tổng qt hóa từ phƣơng trình sau mô tả dao động phi tuyến dây đàn hồi (xem Caƣier [9] ) u độ võng, khối lƣợng riêng, h thiết diện, L chiều dài sợi dây trạng thái ban đầu, E môđun Young P0 lực căng lúc ban đầu Khi f = 0, tốn Cauchy hay hỗn hợp cho phƣơng trình (0.1) đƣợc nghiên cứu nhiều tác giả ; Xem : Aassila [4, 5, 6], Ebihara, Medeiros Miranda [15], Pohozaev [36], Yamada [38] tài liệu tham khảo Bài tốn (0.1),(0.2), (0.4) với = 0, số hạng f = f(u,ut) (tuyến tính hay phi tuyến) đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu nhiều dạng cụ thể khác Chẳng hạn nhƣ: K Nishihara [31], [32], [33] với f = f(ut) = ut , số cho trƣớc; Medeiros [28] nghiên cứu Tổng quan toán (0.1), (0.2), (0.4) với f = f(u) = u2 , Ω tập mở bị chận R3 Hosoya & Yamada xét [16] với f = f(u) = | | u, [17] với f = f( u , u t ) = δ | | δ > 0, α ≥ l số cho trƣớc Trong [14], Dmitriyeva xét toán chiều ( n = ) , (0.1), (0.2), (0.4) Trong ε > số Trong trƣờng hợp nay, tốn (0.1),(0.2), (0.3') ,(0.4) mơ tả dao động phi tuyến hình vng có tải trọng tĩnh Trong [36], Pohozaev xét phƣơng trình hyperbolic tuyến tính sau đây: t r o n g hà hàm số B thỏa điều kiện sau mạnh (0.6), (0.7): Trong [26] Long tác giả khác nghiên cứu tồn nghiệm phƣơng trình sau λ > 0, s > 0, < α < số cho trƣớc Bằng tổng qt hóa [14], [26], chúng tơi xét {1} phƣơng trình sau: Tổng quan Trong chƣơng sử dụng phƣơng pháp Galerkin phƣơng pháp compact yếu kết hợp với phƣơng pháp toán tử đơn điệu để nghiên cứu tồn nghiệm toán (0.1) - (0.4) điều kiện (0.6), (0.7) Sau số dạng cụ thể cho số hạng phi tuyến f(u,ut)cũng đƣợc xem xét Kết tổng quát hóa tƣơng đối kết tƣơng tự [14], [26],[36] đƣợc công bô"trong {1} Phần cuối chƣơng nẩy, khảo sát toán giá trị biên điều kiện đầu sau Ta ý toán (0.1) - (0.4) trƣờng hợp riêng toán (0.14) - (0.19) lấy p = với phƣơng pháp chứng minh tƣơng tự với điều chỉnh thích hợp bƣớc đánh giá tiên nghiệm, chúng tơi thu đƣợc kết tồn nghiệm toán (0.14) - (0.19) điều kiện (0.6), (0.7) Kết tổng quát hóa tƣơng đối kết tƣơng tự {1}, [14], [26], [36] ■ Trong chƣơng 2, xét tốn sau: Tìm cặp hàm (u,P) thỏa Tổng quan u0,u1, f hàm cho trƣớc thỏa số điều kiện đƣợc sau đó, ẩn hàm u(x,t) giá trị biên chƣa biết P(t) thỏa phƣơng trình tích phân phi tuyến sau đây: g, H, k hàm cho trƣớc Trong [3], Áng Alain Phạm thiết lập định lý tồn nghiệm cho toán (0.20) - (0.23) với u , u ,P hàm cho trƣớc Tổng quát hóa kết [3], Long Alain Phạm [12], [13], [18], [19] xét toán (0.20), (0.22), (0.23) liên kết với điều kiện biên không x= có dạng sau mà số hạng phi tuyến f(u,ut)chứa trƣờng hợp (0.25) nhƣ trƣờng hợp riêng Chẳng hạn toán (0.20), (0.22), (0.23) (0.26) đƣợc nghiên Tổng quan cứu ứng với trƣờng hợp k 0, H(s) = hs, với h > [18]; k [12], [13]; H(s) = hs, với h > [17] Trong trƣờng hợp H(s) = hs, với h > , b i toán (0.20) - (0.24) đƣợc thành lập từ toán (0.20) - (0.23) đó, ẩn hàm u(x,t)và giá trị biên chƣa biết P(t) thỏa toán Cauchy cho phƣơng trình vi phân thƣờng nhƣ sau ω > 0, h ≥ 0,P0 ,P1 số cho trƣớc ( [1], [19] ) Trong [1], N.T.An and N.D.Triều nghiên cứu trƣờng hợp đặc biệt toán (0.20)-(0.23), (0.27) (0.28) với u = u1 = P0 = với f ( u , u t ) tuyến tính, nghĩa là, f ( u u t ) = Ku + λ u t K,λ số dƣơng cho trƣớc Trong trƣờng hợp sau nay, toán (0.20) -(0.23),(0.27) (028) mơ hình tốn học mơ tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa cứng Trong trƣờng hợp f ( u , u t ) = | | tốn (0.20) - (0.23), (0.27) (0.28) mơ tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi phi tuyến bề mặt, ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt Từ (0.27), (0.28) ta biểu diễn P(t) theo Po,P1,ω,h,utt(0,t) sau tích phân phần, ta đƣợc Tổng quan Bằng việc khử ẩn hàm P(t), ta thay điều kiện biên (0.21) Khi đó, ta đƣa tốn (0.20) - (0.23), (0.27) (0.28) toán (0.20) -(0.23), (0.29) - (0.31) hay (0.20), (0.22), (0.23), (0.30) - (0.32) Trong [8], Bergounioux, Long, Alain nghiên cứu toán (0.20), (0.21), (0.23), (0.24), với giả thiết K,λ,K1,λ1 số khơng âm cho trƣớc Bài tốn (0.20), (0.21), (0.23), (0.24), (0.22'),(0.33) mô tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa đàn hồi nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính bề mặt, ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt Chƣơng đƣợc chia thành hai phần Trong phần 1, chứng minh định lý tồn nghiệm cho toán (0.20) - (0.24) Chứng minh dựa vào phƣơng pháp Galerkin kết hợp với đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật tính compact hội tụ yếu Khó khăn gặp phải toán điều kiện biên x = Ta ý phƣơng pháp tuyến tính hóa sử dụng báo [11],[20],[35] không dùng đƣợc [3], [8], [10], [12], [13], [18] Tổng quan Trong phần 2, chứng minh nghiệm (u,P) toán ổn định hàm g, H k Các kết thu đƣợc tổng quát hóa tƣơng đối kết [1], [3], [8], [12], [13], [18], [19], [27] đƣợc công bố {4} ■ Trong chƣơng 3, xét tốn biên phi tuyến sau : γ > 0, p ≥ số cho trƣớc, f,F,h hàm số cho trƣớc M : (0,1] x R → R thỏa điều kiện Caratheodory đơn điệu tăng theo biến thứ hai Trong trƣờng hợp γ = 0, toán (0.34),(0.36) u(0) = 0, (0.37) liên hệ với toán uốn đàn hồi phi tuyến có khối lƣợng riêng đƣợc nhúng chất lỏng khối lƣợng riêng γ1 mà Tucsnak [37] thiết lập trƣờng hợp f(x,u) - F(x) = [ ]sinu, số dƣơng, g(x), G(x) hàm cho trƣớc có ý nghĩa học đó, u(x) góc tiếp tuyến với trạng thái bị uốn điểm có hồnh độ cong x trục thẳng đứng Oy Trong trƣờng hợp g(x) số,M(x,u') = M(u')chỉ phụ thuộc vào u ', đơn điệu tăng đủ trơn, Tucsnak [37] nghiên cứu phân nhánh Tổng quan Phƣơng trình tích phân tƣơng đƣơng với (0.34), (0.36),(0.37) phụ thuộc vào tham số λ đo' h1 > 0, h số cho trƣớc Trong [23], [24], Long, Ortiz, Alain nghiên cứu phƣơng trình vi phân Bessel phi tuyến sau Trong [23] tác giả chứng minh phƣơng trình vi phân Bessel phi tuyến (0.39) liên kết với điều kiện biên u(0) = 1, u(+∞ ) = có vơ số nghiệm Ngồi kỹ thuật điểm bất động tác giả [24] chứng minh phƣơng trình (0.39) liên kết với điều kiện Cauchy: u(0) = 1, u'(0) = có nghiệm hai tiến zêrơ x ] [ ] [ cho nghiệm u đạo hàm cấp cấp Trong phần nay, dùng phƣơng pháp Galerkin compact không gian hàm Sobolev có trọng thích hợp để chứng minh tồn nghiệm yếu.Kết thu đƣợc tổng quát hóa tƣơng đối kết [22],[23],[24],[29],[37] đƣợc công bố {2}, {5}, {6} ■ Trong chƣơng 4, chúng tơi xét tốn biên phi tuyến (0.34),(0.35) 10 Tổng quan s ố γ > , p > , h > , g hàm số f, F đƣợc cho trƣớc Ở chƣơng nầy, toán biên phi tuyến chƣơng III đƣợc xét với hàm M(x,u') h(u) đặc biệt Bài toán (0.34), (0.35), (0.40), (0.41) tƣơng ứng với p = đƣợc nghiên cứu Nghĩa, Long [29] Trong phần nay, tƣơng tự nhƣ chƣơng III, thiết lập kết tồn nghiệm khơng gian hàm Sobolev có trọng Tuy nhiên, giả thiết tốn lần nằm ngồi lớp giả thiết đƣợc đƣa vào chƣơng trƣớc báo {2} Điều cho phép nới rộng lớp toán đƣợc xét thuộc dạng (0.34)-(0.36) Chúng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm u h phụ thuộc vào h h → + Chúng chứng tỏ hàm số h h → |uh(l)| liên tục không tăng (0,+∞).Kết thu đƣợc tổng quát hóa tƣơng đối kết {2}, [22], [23], [24], [29] đƣợc công bố {3} 78 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận nghiệm Chúng ta sử dụng ký hiệu tƣơng tự nhƣ chƣơng trƣớc ,chẳng hạn V = 4.2 Định lý tồn nghiệm Ta thành lập giả thiết sau: Nghiệm yếu toán (4.1) - (4.3) đƣợc thành lập từ phƣơng trình biến phân sau Tìm u V cho Chú thích 4.1 Do (3.31) , số hạng u(l),v(l) xuất (4.4) đƣợc xác định với u, V Ta nhận đƣợc (4.4) cách nhân hình thức hai vế V 79 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận nghiệm (4.1) với xᵞ v , sau lấy tích phân phần sử dụng điều kiện (4.2) (3.28) Khi ta có định lý sau Định lý 4.1 Giả sử h > 0, g R ( H ) - ( H ) thỏa Khi tốn biến phân (4.4) có nghiệm u V Hơn nữa, giả sử f(x,y) khơng giảm biến y , i.e., Khi nghiệm u Chú thích 4.2 Số hạng h(u(l)) = hu(l) - g không thỏa mãn điều kiện (H1) chƣơng III p > Chứng minh định lý 4.1 Tƣơng tự nhƣ chứng minh định lý 3.1, chƣơng III, ta gọi {w j} sở đếm đƣợc V Khi ta tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin {u m} theo dạng um = ∑ cmj thỏa hệ phƣơng trình phi tuyến sau Sử dụng bổ đề 3.3, chƣơng III (hoặc xem [27], bổ đề 4.3 , trang 53), từ giả thiết (Hi) - (H4) ta chứng minh hệ (4.6) có nghiệm u m 80 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận nghiệm - Nhân phƣơng trình thứ j hệ (4.6) với cmj, sau lấy tổng theo j = l, ,m, ta đƣợc Từ giả thiết (H2), (H4) từ bất đẳng thức (ii) bổ đề 3.1, chƣơng III, ta thu đƣợc C số độc lập với m Từ (4.8) ta suy Ta suy từ (4.9) Mặt khác, ta suy từ (H3) (4.9), C số độc lập với m - Nhờ (4.9), (4.10) bổ đề 3.2 (trong chƣơng III ), ta suy rằng, dãy {u m} có dãy ký hiệu {um} cho 81 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận nghiệm Do (3.29), (4.9) {um} có dãy ký hiệu {um} cho Um |[, ]  u |[, 1] Co ([,1]), mạnh (15) Mặt khác, ta suy từ (H1), (4.13), rằng: Từ (4.160, giả thiết (H3) bổ đề 3.1 (iii) suy ra: Qua giới hạn (4.6), từ (4.14)(4.15), (4.170 ta chứng minh khơng khó khăn u thỏa mãn phƣơng trình Để chứng minh tồn nghiệm toán biến phân (4.4) cần chứng minh Thật vậy, từ (4.17),(4.18), ta suy Sử dụng tính chất đơn điệu A lý luận quen thuộc chúng tachứng minh ⁄ đƣợc : Sự tồn nghiệm đƣợc chứng minh 82 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận nghiệm Giả sử f thỏa giả thiết (H5), chứng minh nghiệm toán biến phân (4.4) Thật vậy, giả sử u v hai nghiệm toán biến phân (4.4), w = u v thỏa đẳng thức sau Từ ta suy w = Định lý đƣợc chứng minh đầy đủ 4.3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm h → 0+ Trong phần nay, ta giả sử (H1) - (H5) Do định lý 4.1 toán biến phân (4.4) tƣơng ứng với h > 0, có nghiệm u = uh Ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm uh h 0+ Chúng ta xét thêm giả thiết phụ sau hàm f (H6) Tồn số c3 > cho Định lý sau tổng quát kết tƣơng tự [29] Định lý 4.2 Giả sử có giả thiết ( H ) - ( H ’ ) Khỉ i) Bài tốn ( ) tương ứng với h = có nghiêm u0 e V ii) Hơn nữa, f thỏa ( H ) , có đánh giá tiệm cận C số độc lập với h phụ thuộc vào , p, C , C , C , g , q I , q , | | F | | V ’ 83 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận nghiệm Chứng minh định lý 4.2 ii) Trƣớc hết, ta ý số C đánh giá (4.9) khơng độc lập với m mà cịn độc lập với h > Thật từ (4.8) ta suy Từ ta chọn số C cụ thể nhƣ sau Vậy nghiệm uh tốn (4.4) thỏa mãn: Trong C số độc lập với h > Bây giờ, giả sử u h ( tƣơng ứng uh' nghiệm toán (4.4), với tham s ố (tƣơng ứng h ') Lấy w = v (4.25), từ (H6), (4.24) bất đẳng thức sau ta thu đƣợc Do đó, ta suy từ (4.27) 84 Chương 4: Dáng điệu tiệm cận nghiệm Coi {hm} dãy số thực cho h m > 0,hm → 0+ m → +∞ Ta suy từ (4.28) {uhm } dãy Cauchy V Do đó, tồn w € Vsao cho Bằng cách qua giới hạn nhƣ chứng minh định lý 4.1, ta suy w nghiệm toán biến phân (4.4) tƣơng ứng với h = Do đó, w0 = u0, suy uh u0 mạnh V h → 0+ Cho h' → 0+ (4.28), ta có Định lý 4.2 đƣợc chứng minh đầy đủ Định lý 4.3 Giả sử có giả thiết (H1) – (H4), (H6) Khi ta có | | liên tục, khơng tăng [0,1) (i)Hàm số | | | (ii) | Chứng minh định lý 4.3 Coi < h < h ' , h = h-h'