Luận án phương pháp hệ vô hạn giải gần đúng một số bài toán biên tuyến tính trong miền không giới nội

LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TS Đặng Quang Á Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án mới, trung thực chưa công bố cơng trình khác, kết thực nghiệm kiểm tra chương trình tơi thiết kế kiểm thử mơi trường Matlab, số liệu hồn tồn trung thực Những kết viết chung với Thầy hướng dẫn đồng ý đưa vào luận án Nghiên cứu sinh Trần Đình Hùng i LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, GS TS Đặng Quang Á Tôi vô biết ơn giúp đỡ tận tình, q báu mà Thầy dành cho tơi suốt trình thực luận án Thầy dành cho nhiều quan tâm, dẫn động viên giúp cảm thấy tự tin hơn, vượt qua khó khăn, vất vả suốt trình nghiên cứu Nhờ ý tưởng mà Thầy gợi ý, tài liệu bổ ích mà Thầy cung cấp với hướng dẫn, bảo nhiệt tình Thầy cơng việc nghiên cứu, tơi hồn thành đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn Thầy cán nghiên cứu Viện Công nghệ thông tin Trong thời gian qua, Viện CNTT tạo cho môi trường làm việc thuận lợi thường xuyên có lời động viên, nhắc nhở giúp thực tốt công việc nghiên cứu đề tài Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Sư Phạm, Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn tồn thể giáo viên khoa, bạn bè đồng nghiệp, đến gia đình người thân động viên khuyến khích, giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn ii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu ABC Điều kiện biên nhân tạo (Artificial Boundary Condition) NRBC Điều kiện biên không phản xạ (Non-Reflecting Boundary Condition) UG Lưới (Uniform Grid) Lr Lưới không với bước lưới tăng dần bi+1 = x bi + b x hi+1 , i = 0, 1, , b hi+1 = rb hi , i = 1, 2, , r > HG Lưới tựa hyperbol (Hyperbolic Grid) LG Lưới tựa logarithm (Logarithmic Grid) TG Lưới tựa tangent (Tangential Grid) ¯ h ¯ = minb Bước lưới nhỏ lưới không h hi b h Bước lưới lớn lưới không b h = maxb hi error Sai số ∆ Toán tử Laplace i≥1 i≥1 −1 (sij )M , sij = q M sin ijπ M , i, j = 1, 2, , M − S Ma trận Λ Ma trận đường chéo [λ1 , λ2 , , λM −1 ], jπ λj = cos M , j = 1, 2, , M − iii Danh sách hình vẽ βi 1−αi 2.1 Đồ thị hàm αi , βi , với h = 0.1, ε = 0.01 Ví dụ 2.1.1 41 2.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới với h = 0.1, ε = 0.01, error = 0.0085 Ví dụ 2.1.1 41 2.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.1.2 43 2.4 Đồ thị hàm βi 1−αi lưới với h = 0.1, ε = 0.01, N = 911, error = 0.0084 Ví dụ 2.1.2 44 2.5 Đồ thị hàm βi 1−αi lưới Lr với τ = 0.2, ε = 0.01, N = 50, j = 1, 2, , 10 Ví dụ 2.2.1 50 2.6 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới Lr với τ = 0.2, ε = 0.01, N = 50, j = 1, 2, , 10 Ví dụ 2.2.1 50 2.7 Đồ thị hàm βi 1−αi lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N = 73, j = 1, 2, , 10 Ví dụ 2.2.2 51 2.8 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N = 73, j = 1, 2, , 10 Ví dụ 2.2.2 51 2.9 Đồ thị hàm βi 1−αi lưới Lr với τ = 0.1, ε = 0.01, N = 89, j = 1, 2, , 10 Ví dụ 2.2.3 52 2.10 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.2.3 53 2.11 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới với N = 160 Ví dụ 2.3.1 57 2.12 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới Lr với N = 55 Ví dụ 2.3.1.57 iv 2.13 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới tựa HG với Nq = 55 Ví dụ 2.3.1 58 2.14 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới với N = 258 Ví dụ 2.3.2 59 2.15 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới Lr với N = 59 Ví dụ 2.3.2.59 2.16 Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới tựa HG với Nq = 100 Ví dụ 2.3.2 59 3.1 Các điều kiện biên 62 3.2 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε = 0.1 Ví dụ 3.1.1 73 3.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε = 0.1 Ví dụ 3.1.1 73 3.4 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.1, h2 = 0.1, ε = 0.1 ví dụ 3.1.2 74 3.5 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.01, h2 = 0.1, ε = 0.01 ví dụ 3.1.3 75 3.6 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.5, h2 = 0.1, ε = 0.1 ví dụ 3.1.4 76 3.7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.5, h2 = 0.1, ε = 0.1 ví dụ 3.1.4 76 3.8 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, ε = 0.01, N = 70 Ví dụ 3.1.7 81 3.9 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.1.7 82 3.10 Các điều kiện biên hỗn hợp miền 84 (10) 3.11 Đồ thị hàm βi,j (10) 1−αi,j với j = 1, 2, , 15, τ = 0.5 Ví dụ 3.2.1.88 v (10) 3.12 Đồ thị hàm βi,j (10) 1−αi,j với j = 1, 2, , 15, τ = 0.5, N (10) = 23 Ví dụ 3.2.2 89 3.13 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm 0, 1, , N hàm xấp xỉ ∂u b ∂y (xi , 0), ∂u ∂y (xi , 0), i = i = 1, 2, với γ1 = 1, γ2 = 10, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N (10) = 40 Ví dụ 3.2.3 90 3.14 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm 0, 1, , N hàm xấp xỉ ∂u b ∂y (xi , 0), ∂u ∂y (xi , 0), i = i = 1, 2, với γ1 = 10, γ2 = 1, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N (10) = 40 Ví dụ 3.2.3 91 3.15 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm 0, 1, , N hàm xấp xỉ ∂u b ∂y (xi , 0), ∂u ∂y (xi , 0), i = i = 1, 2, với γ1 = 1, γ2 = 10, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N (10) = 41 Ví dụ 3.2.4 92 3.16 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm 0, 1, , N hàm xấp xỉ ∂u b ∂y (xi , 0), ∂u ∂y (xi , 0), i = i = 1, 2, với γ1 = 10, γ2 = 1, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = 0.5, N (10) = 41 Ví dụ 3.2.4 92 3.17 Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−αi,j 1−αi,j đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = 0.1, ε = 0.01 Ví dụ 3.3.1 100 3.18 Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−αi,j 1−αi,j đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = 0.1, ε = 0.1 Ví dụ 3.3.2 101 3.19 Đồ thị hàm βi,j βi,j , 1−αi,j 1−αi,j đồ thị nghiệm xấp xỉ với h2 = 0.1, ε = 0.01 Ví dụ 3.3.3 102 vi Danh sách bảng 1.1 Kết kiểm tra độ xác hàm RC0000.m (Biên Dirichlet) 24 1.2 Kết kiểm tra độ xác hàm RC0001.m (Một biên Neumann) 26 1.3 Kết kiểm tra độ xác hàm RC0002.m (Hai biên Neumann) 27 2.1 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 2.1.1 41 2.2 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 2.1.2 42 2.3 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 2.2.1 49 2.4 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 2.2.2 51 2.5 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 2.2.3 52 3.1 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.1 73 3.2 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.2 74 3.3 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.3 75 3.4 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.4 77 3.5 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.5 80 3.6 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.6 81 3.7 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.7 81 3.8 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.2.1 88 3.9 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.2.2 89 vii 3.10 Sự hội tụ phương pháp với γ1 = 1, γ2 = 10 Ví dụ 3.2.390 3.11 Sự hội tụ phương pháp với γ1 = 10, γ2 = Ví dụ 3.2.491 3.12 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.3.1 100 3.13 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.3.2 101 3.14 Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.3.3 102 viii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục chữ viết tắt ký hiệu iii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị kết bổ trợ 1.1 Phương pháp truy đuổi (phương pháp khử đuổi) giải hệ phương trình vơ hướng ba điểm 1.1.1 Phương pháp truy đuổi từ phải 1.1.2 Phương pháp truy đuổi từ hai phía 10 1.1.3 Tính khả thi ổn định phương pháp 11 1.2 Hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính 12 1.2.1 Khái niệm 14 1.2.2 Các định lý so sánh 15 1.2.3 Hệ quy hồn tồn quy 17 1.3 Lưới tựa 19 1.4 Giới thiệu thư viện chương trình giải tốn elliptic miền chữ nhật 21 1.4.1 Bài toán biên Dirichlet 22 1.4.2 Bài toán với điều kiện biên Neumann 24 Chương Phương pháp hệ vô hạn giải số tốn biên tuyến tính chiều nửa trục 28 2.0 Phương pháp chặt cụt loại phương trình sai phân ba điểm ix 29 2.1 Phương pháp hệ vơ hạn giải tốn dừng chiều nửa trục 33 2.1.1 Mô tả phương pháp hệ vô hạn 33 2.1.2 Sử dụng lưới không lưới tựa 38 2.1.3 Kết thử nghiệm so sánh hai phương pháp hệ vô hạn lưới tựa 40 2.2 Phương pháp hệ vơ hạn giải phương trình parabolic nửa vô hạn 44 2.2.1 Mô tả phương pháp 46 2.2.2 Kết thử nghiệm so sánh hai phương pháp hệ vô hạn lưới tựa 49 2.3 Phương pháp hệ vô hạn giải phương trình dạng phức hợp 54 2.3.1 Phát biểu tốn mơ tả phương pháp 54 2.3.2 Ví dụ số so sánh phương pháp 56 Chương Phương pháp gần giải số tốn biên tuyến tính hai chiều nửa dải 61 3.1 Phương pháp hệ vơ hạn giải tốn elliptic nửa dải 62 3.1.1 Xây dựng lược đồ sai phân 62 3.1.2 Sự ổn định hội tụ 64 3.1.3 Phương pháp giải 67 3.1.4 Ví dụ số 72 3.1.5 So sánh phương pháp hệ vô hạn lưới không phương pháp lưới tựa 77 3.2 Phương pháp số giải phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh nửa dải 83 3.2.1 Phương pháp lặp 85 3.2.2 Ví dụ số 87 x Hình 3.6: Đồ thị hàm 3.1.4 βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, h1 = 0.5, h2 = 0.1, ε = 0.1 ví dụ Hình 3.7: Đồ thị nghiệm xấp xỉ với h1 = 0.5, h2 = 0.1, ε = 0.1 ví dụ 3.1.4 76 Bảng 3.4: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.4 h1 h2 ε N t 0.1 0.1 28 0.0624 0.5 0.1 0.1 55 0.0936 0.1 0.1 0.01 499 0.3276 0.1 0.01 0.01 614 1.5444 Nhận xét 3.1.12 Từ thực nghiệm tính toán ta thấy toán này, sai số thực tế nghiệm hệ cắt cụt thu so với nghiệm nhỏ nhiều so với sai số ε cho trước điều kiện cắt cụt hệ vơ hạn phương trình sai phân, chí nhỏ ε2 Do phải giải M − hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính ba đường chéo nên trường hợp bước lưới h1 , h2 sai số ε nhỏ điểm chặt cụt hệ vơ hạn lớn, thời gian tính tốn tăng lên Do sử dụng lưới khơng lưới tựa tính tốn để giảm số điểm chặt cụt thời gian tính tốn 3.1.5 So sánh phương pháp hệ vô hạn lưới không phương pháp lưới tựa Để so sánh hai phương pháp, ta xét toán (3.1.1) với giả thiết hàm a(x) = ∂ 2u ∂ 2u Lu = γ1 + γ2 − b(x)u = f (x, y), ∂x ∂y x > 0, < y < 1, u(x, 0) = ϕ1 (x), u(x, 1) = ϕ2 (x), u(0, y) = ψ(y), u(x, y) → 0, x → +∞ ≤ b(x) ≤ B, f (x, y) → 0, x → +∞ (3.1.19) Sử dụng lưới không lưới tựa theo x lưới theo y Ký hiệu vi,j giá trị xấp xỉ u(xi , yj ) lưới không lưới tựa đều, fij = f (xi , yj ), (xi , yj ) ∈ ω h , j = 0, 1, , M 77 Để giải toán (3.1.19), ta xét lược đồ sai phân lưới không Lh v ≡ γ1 vxxb + γ2 vyy − bv = fij , i = 1, 2, ; j = 1, 2, , M − 1, bi ), vi,M = ϕ2 (x bi ), v0,j = ψyj , i = 0, 1, ; j = 0, 1, , M, vi,0 = ϕ1 (x vi,j → 0, i → +∞; j = 0, 1, , M (3.1.20) Ký hiệu     γ2 ϕ (x ) h22 i f − v  i,1   i,1           vi,2  fi,2        ψ(y2 )        V0 =  ,  , F i =   , Vi =                vi,M −2  fi,M −2     ψ(yM −1 ) γ2 fi,M −1 − h2 ϕ2 (xi ) vi,M −1  ψ(y1 )  i = 1, 2, Phương trình (3.1.20) viết lại dạng hệ phương trình véc tơ ba điểm Ai Vi−1 + γ2 γ2 T V +B V −(A +B +b +2 )Vi = F i i = 1, 2, (3.1.21) i i i+1 i i i h22 h22 hệ số xác định: Ai = γ1 , ~i b hi Bi = γ1 , i = 1, 2, ~i b hi+1 (3.1.22) Đối với lưới tựa ta có hệ phương trình véc tơ ba điểm Ai Vi−1 + γ2 γ2 T V + B V − (A + B + b + )Vi = F i i = 1, 2, , Nq − i i i+1 i i i h22 h22 (3.1.23) hệ số xác định: γ1 , 2(xi+1/2 − xi−1/2 )(xi−1/4 − xi−3/4 ) γ1 Bi = , 2(xi+1/2 − xi−1/2 )(xi+3/4 − xi+1/4 ) Ai = 78 (3.1.24) T ma trận xác định (3.1.7) Nhân (3.1.21), (3.1.23) với ma trận S đặt Wi = (wi,j ) = SVi , Gi = (gi,j ) = SF i , i = 0, 1, 2, , j = 1, 2, , M − Khi với j cố định ta có hệ phương trình sai phân ba điểm vô hạn lưới không Ai wi−1,j − Ci,j wi,j + Bi wi+1,j = −Fi,j , i = 1, 2, (3.1.25) w0,j = µ0,j , wi,j → 0, i → ∞, Ai , Bi xác định (3.1.22) Đối với lưới tựa ta có hệ phương trình sai phân vơ hướng ba điểm hữu hạn Ai wi−1,j − Ci,j wi,j + Bi wi+1,j = −Fi,j , i = 1, 2, , Nq − (3.1.26) w0,j = µ0,j , wNq ,j = 0, với Ai , Bi xác định (3.1.24) Trong (3.1.25) (3.1.26) ta có µ0,j = M −1 X sj,l v0,l , Fi,j = −gi,j , l=1 Ci,j = Ai + Bi + bi + 4γ2 jπ sin , h22 2M j = 1, 2, , M − Hệ phương trình sai phân (3.1.25) có dạng (2.0.1) với C0 = 1, B0 = Ta có 0< 0< γ1 γ1 ≤ Ai ≤ ¯ , b h h2 4γ2 π sin ≤ di,j h22 2M γ1 γ1 ≤ Bi ≤ ¯ , b h h2 4γ2 (M − 1)π = Ci,j − (Ai + Bi ) ≤ B + sin2 , h2 2M i = 1, 2, , 0< j = 1, 2, , M − Do điều kiện (2.0.2) thỏa mãn Như ta áp dụng Định lý 2.0.2 để chặt cụt hệ phương trình sai phân (3.1.25) Thực nghiệm tính tốn so sánh tính hữu hiệu hai phương pháp 79 số ví dụ, tốn (3.1.19) có nghiệm cho trước Sử dụng lưới phần 2.1, với lưới không Lr : b hi = r b hi−1 , b h1 = 0.01, r = 1.1 lưới tựa LG (1.3.2), TG (1.3.3), HG (1.3.4) với tham số điều khiển c = Trong bảng kết thu N cỡ lớn hệ chặt cụt dòng j với độ xác ε theo Hệ 3.1.7, error = max |vi,j − u(xi , yj )| , i = 1, 2, , N, j = 1, 2, , M − biểu diễn sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác Để so sánh hiệu phương pháp hệ vô hạn lưới không Lr phương pháp lưới tựa đều, ta chọn Nq số N chặt cụt hệ vô hạn trường hợp lưới khơng Lr Ví dụ 3.1.5 Với liệu Ví dụ 3.1.1 , (x2 + 1)2 √ √ exp(−y/ γ) + exp((y − 1)/ γ) + x u= x2 + Kết trình hội tụ trình bày Bảng 3.5 γ1 = γ2 = 1, b(x) = + Bảng 3.5: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.5 UG Lr LG TG HG h, N , error N , error error error error 0.1 0.1 0.1, 287, 0.0393 60, 0.0395 0.0392 0.0392 0.0393 0.01 0.01 0.1, 9006, 9.581e-004 173, 4.969e-004 0.0026 4.199e-004 4.219e-004 h2 ε Ví dụ 3.1.6 Với liệu Ví dụ 3.1.2 γ1 = γ2 = 1, b(x) = , (x + 1) e−y u= + ye−x x+1 Kết trình hội tụ trình bày Bảng 3.6 80 Bảng 3.6: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.6 h2 ε UG Lr LG TG HG h, N , error N , error error error error 0.1 0.1 0.1, 168, 6.407e-004 91, 2.509e-004 0.0018 3.475e-005 2.786e-005 0.1 0.01 0.1, 1745, 2.347e-004 139, 1.311e-005 0.0015 3.272e-005 2.996e-005 Hình 3.8: Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với j = 1, 2, , 9, ε = 0.01, N = 70 Ví dụ 3.1.7 Ví dụ 3.1.7 Tính tốn với kiện γ1 = γ2 = 1, b(x) = x + cos x, u= y sin x x+1 Kết trình hội tụ trình bày Bảng 3.7 Đồ thị hàm βi,j 1−αi,j với giá trị j khác cho Hình 3.8 đồ thị nghiệm xấp xỉ cho Hình 3.9 Bảng 3.7: Sự hội tụ phương pháp Ví dụ 3.1.7 ε Lr LG TG HG N , error error error error 0.1 0.01 70, 2.6682e-004 0.0044 0.001 9.8192e-004 h2 81 (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới Lr với ε = 0.01, b h1 = 0.01, r = 1.1, N = 70 (b) Đồ thị nghiệm xấp xỉ lưới tựa HG với Nq = 70 Hình 3.9: Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.1.7 Nhận xét 3.1.13 Từ thực nghiệm tính tốn thấy giống trường hợp chiều, phương pháp hệ vô hạn lưới không Lr đạt sai số xấp xỉ phương pháp lưới tựa trường hợp tốn khơng có dạng dao động tốt chút hàm dao động tắt dần Ngoài sử dụng lưới không với bước lưới tăng dần nên số điểm chặt cụt hệ vô hạn nhỏ, thời gian chạy chương trình nhanh, tất q trình tính tốn khơng q giây 82 3.2 Phương pháp số giải phương trình elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh nửa dải Trong mục này, tiếp tục phát triển phương pháp hệ vô hạn cho toán giá trị biên elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh nửa dải, có điểm phân cách loại điều kiện biên biên vơ hạn, cụ thể xét tốn ∂ 2u ∂ 2u Lu = γ1 + γ2 − bu(x, y) = f (x, y), ∂x ∂y x > 0, < y < 1, u(0, y) = ϕ1 (y), ≤ y ≤ 1, ∂u (x, 0) = ψ(x), ≤ x ≤ L, ∂y (3.2.1) u(x, 0) = ϕ2 (x), x ≥ L, u(x, 1) = ϕ3 (x), x ≥ 0, u(x, y) → 0, x → +∞, với giả thiết thông thường hàm (3.2.1) liên tục γ1 , γ2 > 0, b ≥ 0, f (x, y) → 0, ϕi (x) → 0, x → +∞, (i = 2, 3) Bài toán (3.2.1) dạng toán truyền dẫn nhiệt mơi trường khơng đẳng hướng [36], γ1 γ2 độ dẫn nhiệt theo hướng x y tương ứng Thành phần −bu(x, y) khả tản nhiệt tỉ lệ thuận với nhiệt độ, f (x, y) mật độ nguồn nhiệt bên ngồi Ở cạnh nửa dải có điểm thay đổi điều kiện biên từ thông lượng nhiệt tới nhiệt độ Cần nhấn mạnh hàm vế phải điều kiện biên không yêu cầu phải có giá compact Có thể nói, việc giải tốn elliptic với điều kiện biên hỗn hợp mạnh nửa dải (3.2.1) nghiên cứu mới, chưa thực trước Cần ý toán (3.2.1) thuộc lớp toán với điều kiện 83 Hình 3.10: Các điều kiện biên hỗn hợp miền biên có kỳ dị điểm phần biên trơn, xảy thay đổi loại điều kiện biên Chúng ta gọi chúng toán giá trị biên hỗn hợp mạnh để phân biệt với tốn khác mà có thay đổi loại điều kiện biên xảy điểm góc Các tốn thuộc loại miền bị chặn thường đưa phương trình chuỗi cặp, cịn miền khơng bị chặn đưa phương trình tích phân cặp (xem [23, 27, 52]), sau phương trình cuối đưa phương trình tích phân Fredholm loại để tìm nghiệm số Hiện nay, để giải toán Laplace elliptic với điều kiện biên kỳ dị miền bị chặn số phương pháp hữu hiệu phát triển, số phương pháp tích phân hàm biên kỳ dị thu hút quan tâm lớn (xem [25, 29, 45, 46]) Trong phương pháp này, nghiệm toán xấp xỉ tổng số hạng nghiệm tiệm cận địa phương mở rộng gần điểm kỳ dị Gần đây, công trình ([19, 20]), tác giả đề xuất phương pháp lặp hiệu chỉnh giá trị đạo hàm biên phân cách để giải toán giá trị biên hỗn hợp mạnh Trong phương pháp toán 84 đưa dãy toán biên hỗn hợp yếu miền toán biên hỗn hợp yếu miền giải cách Sử dụng ý tưởng phương pháp chia miền phát triển đó, chúng tơi dẫn toán (3.1.1) hai toán, tốn miền bị chặn tốn cịn lại miền vơ hạn Đối với tốn miền bị chặn, ta sử dụng lược đồ sai phân với xấp xỉ cấp hai dùng phương pháp thu gọn hồn tồn giải phương trình sai phân Trong tốn miền vơ hạn, áp dụng phương pháp giải mục 3.1 3.2.1 Phương pháp lặp Chia Ω thành hai miền Ω1 , Ω2 biên trơn Γ Ω1 = {(x, y)|0 ≤ x ≤ L, ≤ y ≤ 1}, Ω2 = {(x, y)|x ≥ L, ≤ y ≤ 1}, Γ = {(L, y)|0 ≤ y ≤ 1} T S Khi Ω = Ω1 Ω2 , Ω1 Ω2 = ∅ Ký hiệu ui nghiệm miền Ωi (i = 1, 2) Xét phương pháp lặp sau để tìm nghiệm u1 u2 miền dựa việc cập nhật g = ∂u1 ∂x biên Γ: 1) Cho trước g (0) ∈ L2 (Γ), ví dụ g (0) = 0, ≤ y ≤ 2) Biết g (k) Γ (k = 0, 1, 2, ) giải hai toán liên tiếp sau (k) (k) Lu1 (k) ∂ u1 ∂ u1 (k) ≡ γ1 + γ2 − bu1 (x, y) = f (x, y), < x < L, < y < 1, 2 ∂x ∂y (k) ∂u1 (x, 0) = ψ(x), ≤ x ≤ L, ∂y (k) u1 (x, 1) = ϕ3 (x), ≤ x ≤ L, (k) (k) u1 (0, y) = ϕ1 (y), ≤ y ≤ 1, ∂u1 (L, y) = g (k) (y), ≤ y ≤ ∂x (3.2.2) 85 (k) (k) Lu2 (k) ∂ u2 ∂ u2 (k) ≡ γ1 + γ2 − bu2 (x, y) = f (x, y), x > L, < y < 1, 2 ∂x ∂y (k) (k) u2 (x, 0) = ϕ2 (x), x ≥ L, (k) u2 (x, 1) = ϕ3 (x), x ≥ L, (k) (k) u2 (L, y) = u1 (L, y), ≤ y ≤ 1, u2 (x, y) → 0, x → +∞ (3.2.3) 3) Tính tốn lại xấp xỉ g (k+1) (k) g (k+1) = (1 − τ )g (k) ∂u + τ (L, y), ≤ y ≤ 1, ∂x (3.2.4) < τ < tham số lặp lựa chọn sau Nhận xét 3.2.1 Phương pháp lặp mở rộng phương pháp chia miền phát triển [20] cho trường hợp miền bị chặn áp dụng cho miền không bị chặn Sử dụng lưới miền bị chặn Ω1 lưới không theo hướng x miền không bị chặn Ω2 : ω 1h = {(xi , yj ), xi = ih1 , yj = jh2 , i = 0, 1, , N ; j = 0, 1, , M } , n o bi , yj ), x bi+1 = x bi + b ω 2h = (x hi+1 , yj = jh2 , i = 0, 1, ; j = 0, 1, , M , b0 = L N = 2n , h1 = L/N, h2 = 1/M, x Để giải toán biên hỗn hợp yếu (3.2.2) lưới ω 1h ta sử dụng hàm tiêu chuẩn gói chương trình RC2009 xây dựng tác giả Vũ Vinh Quang [55], phương pháp thu gọn hoàn toàn [20] sử dụng giải phương trình lưới Sử dụng phương pháp hệ vơ hạn lưới khơng đều, tốn biên miền khơng giới nội (3.2.3) giải tương tự toán (3.1.19) 1(k) 2(k) (k) (k) bi , yj ) lưới Ký hiệu vi,j , vi,j giá trị xấp xỉ u1 (xi , yj ), u2 (x ω 1h , ω 2h tương ứng 86 3.2.2 Ví dụ số Thực nghiệm tính tốn chứng tỏ tính hữu hiệu phương pháp lặp (3.2.2) - (3.2.4) toán (3.2.1) biết trước nghiệm Trong miền bị chặn Ω1 , tính tốn thực lưới với bước lưới h1 , h2 theo thư viện chương trình 1.4 Trong miền khơng giới nội Ω2 , ta thực lưới không Lr theo hướng x với bước lưới tăng dần, b h1 = h1 , b hi+1 = rb hi , i = 1, 2, , r = 1.2 chọn L = Trong bảng kết N (k) cỡ hệ chặt cụt bước lặp thứ k với độ xác ε, 1(k) error1 = max |u1 (xi , yj ) − vi,j |, i = 1, 2, , N, j = 1, 2, , M − 2(k) error2 = max |u2 (xi , yj ) − v¯i,j |, i = 1, 2, , N (k) , j = 1, 2, , M − sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác miền bị chặn không bị chặn Ω1 Ω2 tương ứng, thời gian tính tốn t giây Ngồi chúng tơi xét thêm ví dụ nghiệm xác chưa biết để chứng tỏ khả áp dụng phương pháp Ví dụ 3.2.1 Chọn γ1 = 1, γ2 = 3, b = 2, u = e−y + ye−x x+1 Khi ta có hàm vế phải 2e−y e−y −x f (x) = − ye + (x + 1)3 x+1 Kết hội tụ N = 24 = 16, h1 = h2 = 1/N = 0.0625, ε = 0.01 với giá trị khác tham số lặp τ k cho Bảng 3.8 Từ bảng ta thấy nghiệm xấp xỉ tốt đạt τ từ 0.5 (10) tới 0.8 Đồ thị hàm βi,j (10) 1−αi,j với j = 1, 2, , 15, τ = 0.5, k = 10 cho Hình 3.11 87 τ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Bảng 3.8: Sự hội tụ phương pháp k N (k) error1 57 36 1.3203e-004 27 36 1.3886e-004 18 36 1.2707e-004 13 36 1.2827e-004 10 36 1.2990e-004 36 1.3218e-004 36 1.3563e-004 36 1.2935e-004 13 36 1.1963e-004 Ví dụ 3.2.1 error2 6.8097e-005 7.7453e-005 5.1793e-005 4.5731e-005 3.8282e-005 3.8770e-005 4.0356e-005 4.0628e-005 3.9063e-005 t 2.6988 0.9516 0.6396 0.468 0.3744 0.234 0.2184 0.2496 0.4836 (10) Hình 3.11: Đồ thị hàm βi,j (10) 1−αi,j với j = 1, 2, , 15, τ = 0.5 Ví dụ 3.2.1 Ví dụ 3.2.2 Ta lấy γ1 = 5, γ2 = 1, b = 100, u = x2 + y + Khi ta có hàm vế phải f (x) = 28x2 − 4y − 12 100 − (x2 + y + 1)3 x2 + y + Trong ví dụ này, b lớn nhiều so với γ1 γ2 Dưới ta thấy hiệu phương pháp đề xuất đạt Kết hội tụ N = 24 = 16, h1 = h2 = 1/N = 0.0625, ε = 0.01 với giá trị khác tham số lặp τ k cho Bảng 3.9 Từ bảng ta 88 (10) Hình 3.12: Đồ thị hàm βi,j (10) 1−αi,j với j = 1, 2, , 15, τ = 0.5, N (10) = 23 Ví dụ 3.2.2 thấy nghiệm xấp xỉ tốt đạt τ từ 0.5 tới 0.8 Đồ thị hàm (10) βi,j (10) 1−αi,j với j = 1, 2, , 15, τ = 0.5, k = 10 cho Hình 3.12 τ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Bảng 3.9: Sự hội tụ phương pháp k N (k) error1 59 23 1.3868e-004 29 23 1.1141e-004 18 23 1.4792e-004 13 23 1.3321e-004 10 23 1.1147e-004 23 8.1574e-005 23 7.6167e-005 23 7.5941e-005 10 23 1.0172e-004 Ví dụ 3.2.2 error2 9.7532e-005 9.8900e-005 9.7102e-005 9.7847e-005 9.8938e-005 1.0045e-004 1.0465e-004 1.0896e-004 1.1069e-004 t 2.6832 0.9984 0.546 0.39 0.3276 0.2184 0.2028 0.2028 0.3276 Qua ví dụ 3.2.1, 3.2.2 Bảng kết 1.3 sử dụng thư viện chương trình giải số tốn elliptic hình chữ nhật (mục 1.4), ta nhận thấy sai số nghiệm gần hình chữ nhật (giới nội) xấp xỉ Điều cho ta thấy tính hữu hiệu phương pháp lặp đề xuất Tiếp theo thực ví dụ mà chưa biết nghiệm xác toán Để kiểm tra hội tụ phương pháp đề xuất, ký hiệu (k) error1 1(k) 1(k−1) = max |vi,j − vi,j |, i = 1, 2, , N, j = 1, 2, , M − 89 (k) 2(k) 2(k−1) error2 = max |¯ vi,j − v¯i,j |, i = 1, 2, , N (k) , j = 1, 2, , M − sai số nghiệm xấp xỉ bước lặp k so với nghiệm xấp xỉ bước lặp k − miền bị chặn không bị chặn Ω1 Ω2 tương ứng Ví dụ 3.2.3 Ta lấy b = ψ(x) = 0, ϕ1 (y) = y , ϕ2 (x) = e−2x , ϕ3 (x) = 1 , f (x, y) = x+1 x + y2 + Trong ví dụ này, chưa biết nghiệm xác tốn Sử dụng phương pháp đề xuất ta đạt kết hội tụ với k = 10, τ = 0.5 cho bảng 3.10 Đồ thị nghiệm xấp xỉ; đồ thị hàm hàm xấp xỉ ∂u b ∂y (xi , 0), ∂u ∂y (xi , 0), i = 0, 1, , N i = 1, 2, với γ1 = 1, γ2 = 10 γ1 = 10, γ2 = cho Hình 3.13 3.14 tương ứng Bảng 3.10: Sự hội tụ phương pháp với γ1 = 1, (10) N ε N (10) error1 16 0.1 22 4.6e-004 16 0.01 35 4.6e-004 32 0.1 27 5.9e-005 32 0.01 40 5.9e-005 (a) γ2 = 10 (10) error2 3.7e-004 3.7e-004 4.7e-005 4.7e-005 Ví dụ 3.2.3 t 0.3432 0.39 0.4992 0.5304 (b) Hình 3.13: (a) Đồ thị nghiệm xấp xỉ, (b) Đồ thị hàm ∂u (xi , 0), i = 0, 1, , N hàm ∂y ∂u xấp xỉ ∂y (b xi , 0), i = 1, 2, với γ1 = 1, γ2 = 10, h1 = h2 = 1/32, ε = 0.01, τ = (10) 0.5, N = 40 Ví dụ 3.2.3 90 ... số cho trước Trong chương này, đề xuất nghiên cứu phương pháp hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính giải số tốn biên tuyến tính chiều miền khơng giới nội: toán truyền nhiệt dừng chiều, toán. .. tốn biên tuyến tính miền khơng giới nội Nội dung luận án trình bày kết nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm tính tốn phương pháp hệ vơ hạn phương trình đại số tuyến tính, phương pháp lưới tựa so sánh... chia miền khơng giới nội thành hai miền tính tốn giới nội không giới nội phương pháp sử dụng ABC Gần số nhà toán học Nga đề xuất cách xử lý tốn miền vơ hạn, sử dụng lưới tính tốn tựa Phương pháp