Luận án tiến sĩ toán giải tích về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic

1 MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Một số ký hiệu thường dùng luận án Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 24 1.1 Một số kiến thức Giải tích 24 1.2 Một số kiến thức nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn 30 1.3 Bài tốn đặt khơng chỉnh 35 1.4 Phương pháp chỉnh hóa làm nhuyễn 38 Chương Bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian 42 2.1 Giới thiệu toán 42 2.2 Đánh giá ổn định 49 2.3 Chỉnh hóa tốn xác định nguồn 51 2.4 Thuật tốn ví dụ số 63 2.5 Kết luận Chương 72 Chương Bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian khơng gian 73 3.1 Giới thiệu tốn 73 3.2 Đánh giá ổn định 75 3.3 Chỉnh hóa tốn xác định nguồn 79 3.4 Thuật tốn ví dụ số 88 3.5 Kết luận Chương 97 Chương Bài tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic khơng gian Banach 98 4.1 Giới thiệu tốn 98 4.2 Chỉnh hóa tốn xác định nguồn 100 4.3 Thuật tốn ví dụ số 114 4.4 Kết luận Chương 118 Kết luận chung kiến nghị 119 Danh mục cơng trình NCS có liên quan đến luận án 121 Tài liệu tham khảo 122 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình khoa học riêng tơi Luận án hồn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Văn Đức TS Nguyễn Trung Thành Các đồng tác giả đồng ý để đưa kết viết chung vào luận án Các nội dung, kết quả, kết luận mà tơi trình bày luận án chưa công bố cơng trình khoa học khác Tác giả Lương Duy Nhật Minh LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến người Thầy mình: PGS TS Nguyễn Văn Đức (Viện sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh) TS Nguyễn Trung Thành (Giáo sư Đại học Rowan, Hoa Kỳ) người đặt toán, định hướng nghiên cứu cho tác giả Trong suốt trình học tập nghiên cứu, Thầy ln nhiệt tình tận tâm dạy cho tác giả nhiều điều, hướng dẫn khoa học Thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Đức Thầy giáo TS Nguyễn Trung Thành, luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Bộ mơn Giải tích, Viện Sư phạm Tự nhiên, Phịng đào tạo Sau đại học phòng ban chức Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, đồng nghiệp người bạn thân thiết sẻ chia, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả Lương Duy Nhật Minh MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN TT Các ký hiệu Giải thích ý nghĩa ký hiệu Lp (Rn ) k · kL2 b F(v) := v F−1 (v) := v ˇ H p (Rn ) k · kHp ||| · |||q k∗f Dν 10 Sν (g) 11 Mη,2 (Rn ) 12 13 14 15 16 ∂α ∂tα Eα,β , Eα,1 Rn ∆ N∗ , R∗ Không gian hàm có lũy thừa bậc p khả tích Rn , p = 1, Chuẩn không gian L2 (Rn ) Phép biến đổi Fourier hàm v ∈ L2 (Rn ) Phép biến đổi Fourier ngược hàm v ∈ L2 (Rn ) Không gian Sobolev H p (Rn ) Chuẩn không gian Sobolev H p (Rn ) Chuẩn ||| · |||q không gian Sobolev H p (Rn ) Tích chập hàm k f Nhân Dirichlet q n Sν (g)(x) := (Dν ∗ g)(x) π Tập hợp hàm nguyên dạng mũ η theo biến x ∈ Rn thuộc L2 (Rn ) Đạo hàm bậc phân Caputo với bậc α ∈ (0, 1) Hàm Mittag–Leffler Khơng gian thực n-chiều Tốn tử Laplace Tập số nguyên dương tập số thực dương LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn xác định nguồn phương trình parabolic nhà khoa học quan tâm nghiên cứu từ năm 60 kỉ 20 Các nhà toán học có cơng trình tốn xác định nguồn kể Cannon ([13, 14, 17]), Đinh Nho Hào ([51, 52]), Đặng Đức Trọng ([120, 121]), Hasanov ([55, 56]), Isakov ([63]), Li ([79, 80, 81, 82], Savateev ([107]), Prilepko ([99], [103]), Yang Fu ([27, 133]), Bài tốn kể thường đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard ([45, 65]) Một toán gọi đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard thỏa mãn ba điều kiện sau: i) Nghiệm tốn ln tồn ii) Nghiệm toán iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào liệu tốn Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn, tốn gọi đặt khơng chỉnh Với tốn đặt khơng chỉnh, sai số nhỏ liệu dẫn đến sai lệch lớn nghiệm Do đó, tốn đặt khơng chỉnh thường khó giải số tốn đặt chỉnh liệu sử dụng toán thường tạo đo đạc nên khơng tránh khỏi có sai số Hơn nhiều tính tốn thực gần Để giải tốn đặt khơng chỉnh, nhà khoa học thường đề xuất phương pháp chỉnh hóa, tức sử dụng nghiệm toán đặt chỉnh để làm nghiệm xấp xỉ cho tốn đặt khơng chỉnh ban đầu Các nghiên cứu toán xác định nguồn phương trình parabolic thường tập trung vào ba chủ đề là: i) Tính nghiệm ([3, 5, 13, 20, 21, 59, 63, 64, 86, 99, 103]) ii) Tính ổn định nghiệm ([3, 5, 28, 31, 49, 50, 64, 71, 79, 86, 125, 134, 139]) iii) Các phương pháp chỉnh hóa phương pháp giải số ([19, 27, 28, 32, 33, 48, 51, 52, 54, 55, 58, 94, 99, 129, 134, 135]) Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic mơ hình tốn học tốn thực tiễn xác định nguồn nhiệt phương trình truyền nhiệt ([14, 25, 27, 120]), xác định nguồn ô nhiễm nước, ô nhiễm không khí ([1, 80, 81, 82, 126, 140]), Hiện có nhiều vấn đề mở liên quan đến tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic cần nghiên cứu, kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho trường hợp phương trình có hệ số phụ thuộc thời gian chưa nghiên cứu cách đầy đủ, có vài kết tính nghiệm dạng toán đưa [25, 111] Hướng nghiên cứu toán xác định nguồn phương trình parabolic bậc phân nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học ([5, 6, 53, 69, 70, 75, 87, 110, 127, 128, 134, 135]) Tuy nhiên, hầu hết kết kể dành cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian theo biến khơng gian, có kết dành cho phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian thời gian ([3, 5, 69, 124]) Về kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình parabolic khơng gian Banach, theo tìm kiếm chúng tơi, có số kết cơng trình Prilepko, Piskarev, Shaw ([101]), Hasanov ([57]) Schuster, Kaltenbacher, Hofmann, Kazimierski ([109]) Với lý trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Về số tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic" Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu số toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, tập trung vào ba chủ đề: Thứ nhất, đưa đánh giá ổn định Thứ hai, đề xuất phương pháp chỉnh hóa Thứ ba, chúng tơi thiết lập thuật tốn, lập trình đưa ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa đề xuất luận án Đối tượng nghiên cứu Luận án nghiên cứu toán xác định nguồn 03 trường hợp: i) Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ); ii) Phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ); iii) Phương trình parabolic khơng gian Banach Phạm vi nghiên cứu Chúng nghiên cứu đánh giá ổn định, phương pháp chỉnh hóa phương pháp số để giải toán xác định nguồn cho: phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ); phương trình parabolic bậc phân theo biến khơng gian thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ); phương trình parabolic khơng gian Banach Phương pháp nghiên cứu Đây đề tài thuộc lĩnh vực khoa học chun ngành Tốn Giải tích Tốn Ứng dụng Do đó, chúng tơi chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận lôgic sở kết có Đồng thời chúng tơi sử dụng phương pháp số để giải toán xác định nguồn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm kết nghiên cứu lĩnh vực toán ngược tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic Luận án đạt số kết đánh giá ổn định, đề xuất phương pháp chỉnh hóa phương pháp số để giải toán xác định nguồn cho phương trình parabolic Luận án tài liệu tham khảo cho học viên cao học, nghiên cứu sinh chun ngành Tốn Giải tích, Tốn Ứng dụng người quan tâm đến hướng nghiên cứu Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến luận án Để tiện cho việc giới thiệu kết nghiên cứu liên quan đến toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, chúng tơi lấy ví dụ cụ thể phương trình parabolic tuyến tính khơng gian Hilbert Cho T số thực dương, X không gian Hilbert với chuẩn k · k, u : [0, T ] → X hàm từ [0, T ] đến X F ∈ X Ta xét toán giá trị ban đầu  u0 (t) + Au(t) = F, t ∈ (0, T ), u(0) = 0, (1) A tốn tử tuyến tính khơng bị chặn X Bài tốn (1) tốn thuận, ta cần xác định u F biết Bài toán xác định nguồn cho (1) tìm hàm nguồn F từ đo đạc hàm u Đây toán ngược Có nhiều kiểu đo đạc khác sử dụng, ví dụ: đo đạc biên, đo đạc thời điểm cuối đo đạc số điểm rời rạc Do đó, có nhiều dạng tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic Các tốn xác định nguồn tốn đặt khơng chỉnh Do tính đặt khơng chỉnh, nghiệm tốn khơng phải tồn trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu toán Điều làm cho toán đặt khơng chỉnh khó giải nhiều so với tốn đặt chỉnh Thơng thường, nhà tốn học phải đề xuất phương pháp chỉnh hóa để giải tốn đặt khơng chỉnh Sau đây, chúng tơi tóm tắt số cơng trình tiêu biểu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic Năm 1968, Cannon ([13]) xem xét toán xác định nguồn nhiệt từ quan sát biên Giả sử V miền bị chặn không gian Rn với biên S D tập S Cannon xét tốn tìm cặp hàm u = u(x, t) f = f (x) cho toán giá trị biên ban đầu  ∆u − u = f, t u = φ, (x, t) ∈ V × (0, T ], (x, t) ∈ S × (0, T ] ∪ V¯ × {t = 0}, (2) với quan sát phần biên ∂u ¯ × [τ, T ], = g D ∂n (3) đó, ∆u toán tử Laplace, φ(x, t) g(x, t) hàm biết Cannon chứng minh tồn nhiều nghiệm (u, f ) cho phương trình xây dựng phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ toán Để chứng tỏ tốn đặt khơng chỉnh, Cannon đưa ví dụ   zxx − zt = f (x), (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1],      z(0, t) = z(1, t) = 0, t ∈ (0, 1],  z(x, 0) = 0, x ∈ [0, 1],      zx (0, t) = (−1) an (1 − e−n2 π2 t ) nπ (4) Phương trình cuối (4) liệu đo toán thời điểm t Khi 10 đó, với số nguyên dương n, nghiệm toán  fn (x) = an sin(nπx), zn (x, t) = (−1) an (1 − e−n2 π2 t ) sin(nπx) n2 π √ (5) ∂z (0, t) hội tụ kfn k ∂x lại tiến vô Năm 1993, Yamamoto ([130]) giải toán xác định nguồn nhiệt miền Ω × T Ω = (0, 1) × (0, 1), với nguồn nhiệt có dạng tách biến Cụ thể, Yamamoto nghiên cứu toán giá trị biên ban đầu phương trình truyền nhiệt khơng gian hai chiều   ut − ∆u = σ(t)f (x1 , x2 ) (x1 , x2 ) ∈ Ω, t ∈ (0, T ),    u(x1 , x2 , 0) = (x1 , x2 ) ∈ Ω, (6)     ∂u (x , x , t) = (x1 , x2 ) ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ) ∂n Bằng cách chọn an = n, ta có kiện Bài tốn đặt xác định f từ quan sát kiện biên u(x1 , 0, t) ≡ h(x1 , t), x1 ∈ (0, 1) (7) Với giả thiết σ(0) 6= σ ∈ C [0, T ], Yamamoto chứng minh tính nghiệm tính ổn định toán Năm 1990, Cannon ([15]) đạt số kết đánh giá ổn định cho tốn xác định nguồn phương trình truyền nhiệt không gian R3 Năm 1998, Cannon cộng ([16]) đề cập đến toán xác định nguồn với hàm nguồn có dạng f (t) = f (u(t)) Trong báo này, họ chủ yếu nghiên cứu tính nghiệm Năm 2004, Yi Murio ([137, 138]) sử dụng phương pháp làm nhuyễn để giải tốn xác định nguồn khơng gian chiều hai chiều Họ đạt đánh giá ổn định, đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa thực vài ví dụ số để làm rõ phương pháp mà họ đề xuất Năm 2005, Đặng Đức Trọng cộng ([119]) nghiên cứu \ b S (g)(ξ) g (ξ) ν ν 2 ν kf − f0 kL2 = − |fb(ξ) − fc dξ (ξ)| dξ = 2 I(0, |ξ| ) Rn Rn I(0, |ξ| ) \ b(ξ) với ξ ∈ Qν Nhờ Bổ đề 1.1.12, với ξ ∈ Mν S ν (g)(ξ) = g \ S ν (g)(ξ) = Do kf − f0ν k2L2 Z = Qν Z gb(ξ) I(0, |ξ|2 )