Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic

Mục đích nghiên cứu của Luận văn nhằm đưa ra các đánh giá ổn định. Đề xuất các phương pháp chỉnh hóa. Thiết lập các thuật toán, lập trình và đưa ra các ví dụ số để minh họa cho các phương pháp chỉnh hóa được đề xuất trong luận án này. Mời các bạn cùng tham khảo!

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG DUY NHẬT MINH VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MÃ SỐ: 46 01 02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Nghệ An – 2021 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Vinh, Nghệ An Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn Đức TS Nguyễn Trung Thành Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp vào hồi .phút, ngày .tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Quốc gia Việt Nam Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Bài tốn xác định nguồn phương trình parabolic nhà khoa học quan tâm nghiên cứu từ năm 60 kỉ 20 Các nhà toán học có cơng trình tốn xác định nguồn kể Cannon, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng, Hasanov, Isakov, Li, Savateev, Prilepko, Yang Fu, Bài tốn kể thường đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard Một toán gọi đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard thỏa mãn ba điều kiện sau: i) Nghiệm tốn ln tồn ii) Nghiệm toán iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào liệu toán Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn, tốn gọi đặt khơng chỉnh Với tốn đặt khơng chỉnh, sai số nhỏ liệu dẫn đến sai lệch lớn nghiệm Do đó, tốn đặt khơng chỉnh thường khó giải số tốn đặt chỉnh liệu sử dụng toán thường tạo đo đạc nên khơng tránh khỏi có sai số Hơn nhiều tính toán thực gần Để giải tốn đặt khơng chỉnh, nhà khoa học thường đề xuất phương pháp chỉnh hóa, tức sử dụng nghiệm toán đặt chỉnh để làm nghiệm xấp xỉ cho tốn đặt khơng chỉnh ban đầu Các nghiên cứu toán xác định nguồn phương trình parabolic thường tập trung vào ba chủ đề là: i) Tính nghiệm ii) Tính ổn định nghiệm iii) Các phương pháp chỉnh hóa phương pháp giải số Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic mơ hình tốn học toán thực tiễn xác định nguồn nhiệt phương trình truyền nhiệt, xác định nguồn nhiễm nước, nhiễm khơng khí, Hiện có nhiều vấn đề mở liên quan đến toán xác định nguồn cho phương trình parabolic cần nghiên cứu, kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho trường hợp phương trình có hệ số phụ thuộc thời gian chưa nghiên cứu cách đầy đủ, có vài kết tính nghiệm dạng tốn Hướng nghiên cứu toán xác định nguồn phương trình parabolic bậc phân nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Tuy nhiên, hầu hết kết kể dành cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian theo biến khơng gian, có kết dành cho phương trình parabolic bậc phân theo biến khơng gian thời gian Về kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn phương trình parabolic khơng gian Banach, theo tìm kiếm chúng tơi có số kết liên quan Với lý trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Về số tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic" Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu số toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, tập trung vào ba chủ đề: Thứ nhất, đưa đánh giá ổn định; Thứ hai, đề xuất phương pháp chỉnh hóa; Thứ ba, chúng tơi thiết lập thuật tốn, lập trình đưa ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa đề xuất luận án Đối tượng nghiên cứu Luận án nghiên cứu toán xác định nguồn 03 trường hợp: i) Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ); ii) Phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ); iii) Phương trình parabolic không gian Banach Phạm vi nghiên cứu Chúng nghiên cứu đánh giá ổn định, phương pháp chỉnh hóa phương pháp số để giải tốn xác định nguồn cho: phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ); phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ) phương trình parabolic khơng gian Banach Phương pháp nghiên cứu Đây đề tài thuộc lĩnh vực khoa học chuyên ngành Toán Giải tích Tốn Ứng dụng Do đó, chúng tơi chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận lôgic sở kết có Đồng thời sử dụng phương pháp số để giải toán xác định nguồn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm kết nghiên cứu toán ngược tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic Luận án đạt số kết đánh giá ổn định, đề xuất phương pháp chỉnh hóa phương pháp số để giải tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic Luận án làm tài liệu tham khảo cho học viên cao học, nghiên cứu sinh ngành Toán Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến luận án Để tiện cho việc giới thiệu kết nghiên cứu liên quan đến tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic, chúng tơi lấy ví dụ cụ thể phương trình parabolic tuyến tính khơng gian Hilbert Cho T số thực dương, X không gian Hilbert với chuẩn · , u : [0, T ] → X hàm từ [0, T ] đến X F ∈ X Ta xét toán giá trị ban đầu  u (t) + Au(t) = F, u(0) = 0, t ∈ (0, T ), (1) A tốn tử tuyến tính khơng bị chặn X Bài tốn (1) tốn thuận, ta cần xác định u F biết Bài tốn xác định nguồn cho (1) tìm hàm nguồn F từ đo đạc hàm u Đây tốn ngược Có nhiều kiểu đo đạc khác sử dụng, ví dụ: đo đạc biên, đo đạc thời điểm cuối đo đạc số điểm rời rạc Do đó, có nhiều dạng tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic Các toán xác định nguồn tốn đặt khơng chỉnh Do tính đặt khơng chỉnh, nghiệm tốn khơng phải tồn trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu toán Điều làm cho tốn đặt khơng chỉnh khó giải nhiều so với tốn đặt chỉnh Thơng thường, nhà toán học phải đề xuất phương pháp chỉnh hóa để giải tốn đặt khơng chỉnh Có nhiều phương pháp chỉnh hóa để giải tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic, chẳng hạn như: phương pháp tựa đảo, phương pháp Tikhonov, phương pháp tựa giá trị biên, phương pháp biến phân, phương pháp gradient liên hợp, phương pháp làm nhuyễn, Sau đây, chúng tơi tóm tắt dạng tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic mà luận án nghiên cứu tóm tắt kết mà luận án đạt i) Thứ nhất, nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ), cụ thể xét tốn tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn:  ∂u   (x, t) = a(t)∆u(x, t) + f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),   ∂t u(x, 0) = 0, x ∈ Rn ,     u(x, T ) = g(x), x ∈ Rn , (19) với ∆ toán tử Laplace, hàm a(t), h(t) biết g(x) liệu thời điểm cuối T > Khi tìm hiểu dạng tốn này, chúng tơi nhận thấy tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số khơng phụ thuộc thời gian, có nhiều kết đạt liên quan đến tính nghiệm; đánh giá ổn định phương pháp chỉnh hóa Kết liên quan đến trường hợp hệ số phụ thuộc thời gian luận án mà đề xuất chưa phổ biến Chỉ có vài kết tính nghiệm dạng toán đưa nghiên cứu D’haeyer cộng sự, Slodiˇcka Johansson Năm 2014, D’haeyer cộng xét tốn xác định nguồn phụ thuộc biến khơng gian cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc vào không gian thời gian Cụ thể, với miền Ω ⊂ Rn , họ xét toán xác định    ∂u + Lu = f (x)   u=0    u(x, 0) = u (x) nguồn thỏa mãn Ω × (0, T ), ∂Ω × (0, T ), (20) với x ∈ Ω, với T > thời điểm cuối, L tốn tử elliptic vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số phụ thuộc vào biến thời gian không gian, ∂Ω biên miền Ω Họ xác định hàm nguồn f (x) với điều kiện tốn thuận thêm thơng tin bổ sung từ liệu đo đạc thời điểm định u(x, T ) = ΨT (x) Họ chứng minh tính nghiệm đưa phương pháp lặp ổn định để giải toán Năm 2016, Slodiˇcka Johansson đưa kết tính nghiệm số tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian Họ xác định f (x) thỏa mãn    ∂u(x, t) + L(t)u(x, t) = f (x)h(t) Ω × (0, T ),   u=0 ∂Ω × (0, T ),    u(x, 0) = u (x) với x ∈ Ω, (21) với h(t) cho trước thông tin L(t), T, u(x, T ), Ω, ∂Ω tương tự (20) Quay lại với toán xác định nguồn mà đề xuất, chứng minh đánh giá n nh kiu Hăolder cho bi toỏn ny (nh lý 2.2.1) Phương pháp làm nhuyễn sử dụng để chỉnh hóa tốn Chúng tơi đạt đánh giỏ sai s kiu Hăolder cho nghim chnh húa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm hậu nghiệm (Định lý 2.3.2 2.3.5) Chúng đề xuất thuật tốn trình bày ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa sử dụng ii) Thứ hai, nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian khơng gian Bài tốn sau: Tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn  γ   ∂tα u + (−∆) u = f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),   (23) u(x, 0) = 0, x ∈ Rn ,    u(x, T ) = g(x), x ∈ Rn ∂α đạo α ∂t γ hàm bậc phân Caputo bậc α theo biến t, γ số thực dương, (−∆) toán tử Laplace bậc phân, g(x) liệu thời điểm cuối Các nghiên cứu thường tập trung vào toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian, theo biến không gian, khơng có nhiều kết tốn có phương trình theo biến khơng gian thời gian Năm 2014, Tartar cộng xét toán xác định hàm u(t, x) f (x) với t ∈ (0, T ) x ∈ Ω = (−1, 1) thỏa mãn   ∂β α   u(t, x) = −rβ (−∆) u(t, x) + f (x)h(t, x), (t, x) ∈ ΩT ,  β  ∂t    u(t, −1) = u(t, 1) = 0, < t < T, (24)   u(0, x) = 0, x ∈ Ω,      u(T, x) = ϕ(x), ¯ x ∈ Ω, Trong đó, T số thực dương, α ∈ (0, 1), x = (x1 , , xn ) ∈ Rn , ∂tα = đó, ΩT := (0, T ) × Ω, r > tham số, f (x) ∈ L2 (Ω), h(t, x) cho trước hàm khả vi liên tục, β ∈ (0, 1), α ∈ (1, 2) bậc đạo hàm bậc phân theo ∂β biến thời gian không gian, T > thời điểm cuối β đạo hàm bậc phân ∂t Caputo Với liệu thời điểm cuối T , tác giả chứng minh nghiệm tồn Năm 2018, Li Wei xét toán xác định thành phần phụ thuộc thời gian p(t) hàm nguồn có dạng f (x)p(t) thỏa mãn  β α  u(x, t) + f (x)p(t),  ∂ u(x, t) = −(−∆) (x, t) ∈ ΩT ,  0+    u(x, 0) = φ(x), ¯ x ∈ Ω,   u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ],     u(x , t) = g(t), x0 ∈ Ω, < t ≤ T, (25) đó, ΩT := Ω × (0, T ], Ω ⊂ Rn ; T > thời điểm cuối; α ∈ (0, 1), β ∈ (1, 2) α bậc đạo hàm bậc phân theo biến thời gian không gian; ∂0+ đạo hàm bậc phân Caputo Các tác giả chứng minh tính nghiệm đưa đánh giá ổn định cho toán Năm 2014, Tuấn cộng nghiên cứu toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến khơng gian thời gian, tốn họ ngồi thơng số tương tự (24) họ thay phương trình đầu ∂β (24) phương trình β u(t, x) = −rβ (−∆)α/2 u(t, x) + f (x)h(t) Hàm h lúc ∂t phụ thuộc vào biến thời gian t Ngồi ra, phương trình u(T, x) = ϕ(x), ¯ Các tác giả sử dụng phương pháp chặt cụt x ∈ Ω thay x ∈ Ω Fourier để giải toán này, họ nêu tồn nghiệm toán, họ đưa đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm hậu nghiệm Tuy nhiên, tác giả khơng đưa ví dụ số để minh họa cho kết họ Trong luận án, chứng minh đánh giá ổn định với bậc tối ưu cho toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian không gian không gian Hilbert L2 (Rn ) (Định lý 3.2.3 Nhận xét 3.2.4) Chúng sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa tốn t c cỏc ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm hậu nghiệm (Định lý 3.3.2 3.3.6) Chúng tơi đề xuất thuật tốn trình bày ví dụ số để minh họa cho kết iii) Thứ ba, chúng tơi nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic khơng gian Banach sử dụng phương pháp dựa lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa tốn Giả sử X không gian Banach với chuẩn · , A : D(A) ⊂ X → X toán tử tuyến tính khơng bị chặn cho −A sinh nửa nhóm giải tích {S(t)}t≥0 X (xem Định nghĩa 1.2.4), D(A) miền xác định A giả thiết D(A) trù mật X Với t ∈ [0, T ], ký hiệu u(t) hàm từ [0, T ] vào X F ∈ X , ta xác định hàm nguồn F từ toán    u (t) + Au(t) = F, t ∈ (0, T ),   (26) u(0) = 0,    u(T ) = g, với g ∈ X liệu đo thời điểm cuối Theo tìm hiểu chúng tơi, kết tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic khơng gian Banach cịn hạn chế, vài kết sớm dạng toán Iskenderov Tagiev; Rundell Tính nghiệm toán (26) chứng minh nghiên cứu Eidelman; Tikhonov Trong trường hợp F hàm phụ thuộc biến thời gian, tác giả chứng minh tính nghiệm Năm 2005, Tikhonov Eidelman xét tốn ngược khơng gian Banach E , với A tốn tử tuyến tính đóng với miền D(A) ⊂ E (có thể khơng trù mật E ) Lấy T > hàm ϕ = liên tục [0, T ] Bài toán xác định {u(t), p} thỏa mãn    ∂u(t) = Au(t) + ϕ(t)p, ∂t  u(0) = u0 , u(T ) = u1 , ≤ t ≤ T, (27) u0 , u1 ∈ D(A) Các tác giả chứng minh tính nghiệm tốn nói nghiệm mơ tả qua giá trị riêng toán tử A Với X không gian Banach, · chuẩn X , năm 1980, Rundell xét tốn tìm cặp hàm u(t), f thỏa mãn   du + Au = f, dt (28)  u(0) = u0 , u(T ) = u1 , A tốn tử tuyến tính X f ∈ X , thông tin bổ sung hai giá trị u hai điểm cố định (t = t = T > 0) Với giả thiết u0 , u1 ∈ D(A) (D(A) miền A, giả sử thêm A−1 : X → D(A) tồn A toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh {S(t)}t≥0 cho S(t) < 1, tác giả chứng minh tồn tính nghiệm tốn xác định nguồn cặp {u(t), f } t cho u(t) = S(t)u0 + S(t − τ )f dτ f = (I − S(T ))−1 (Au1 + AS(T )u0 ), với I toán tử đồng X Năm 1991, Eidelman sử dụng lý thuyết nửa nhóm để chứng minh tính nghiệm tốn xác định nguồn khơng gian Banach E , tác giả xét toán xác định cặp hàm {v(t), p} thỏa mãn ∂v = Av + f (t) + p, A toán tử tuyến tính khơng bị chặn, f (t) hàm ∂t liên tục [0, t1 ] lấy giá trị E , p ∈ E thành phần chưa biết thêm điều kiện biên: v(0) = v0 , v(t1 ) = v1 Năm 2007, Prilepko cộng đề xuất chỉnh hóa tốn xác định nguồn không gian Banach Tuy nhiên, tác giả không đưa đánh giá tốc độ hội tụ ví dụ số khơng thực Năm 2013, Hasanov cộng sử dụng lý thuyết nửa nhóm tốn tử để biểu diễn nghiệm chứng minh tính nghiệm tốn xác định nguồn cho phương trình truyền nhiệt ut = Au + F với liệu đo thời điểm cuối uT (x) := u(x, T ) Quay trở lại tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic không gian Banach đề xuất luận án, nói trên, chúng tơi sử dụng phương pháp dựa lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa tốn, chúng tơi đạt đánh giá sai s kiu Hăolder theo lut chn tham s kiu tiên nghiệm hậu nghiệm (Định lý 4.2.7 4.2.9) Chúng tơi sử dụng vài ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa 7.2 Cấu trúc luận án Nội dung luận án trình bày 04 chương Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số kết bổ trợ cần sử dụng luận án Trong Chương 2, luận án chứng minh đánh giá ổn định sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ) Trong Chương 3, luận án chứng minh đánh giá ổn định với bậc tối ưu sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa cho tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian không gian không gian Hilbert L2 (Rn ) Trong Chương 4, luận án sử dụng phương pháp dựa lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic khơng gian Banach Các kết luận án trình bày buổi seminar Bộ mơn Giải tích thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh, Hội thảo khoa học "Nghiên cứu dạy học Toán đáp ứng yêu cầu đổi Giáo dục nay" Trường Đại học Vinh, Nghệ An ngày 21/9/2019 Các kết luận án viết thành 03 báo có 01 đăng tạp chí Inverse Problems in Science and Engineering (SCIE, IF: 1.314), 01 đăng tạp chí Applicable Analysis (SCIE, IF: 1.107) 01 đăng tạp chí Applied Numerical Mathematics (SCIE, IF: 1.979) 10 Ngoài ra, ta định nghĩa chuẩn ||| · |||q không gian H p (Rn ) sau Định nghĩa 1.1.6 Cho q > Với v : Rn → R hàm đo được, ta ký hiệu e2q|ξ| |v(ξ)|2 dξ |||v|||q := Rn Định nghĩa 1.1.9 Với η := (η1 , , ηn ) ∈ Rn , ηj > 0, j = 1, , n, kí hiệu Mη,2 (Rn ) tập hợp hàm nguyên dạng mũ η theo biến x ∈ Rn thuộc L2 (Rn ) Định nghĩa 1.1.11 Giả sử ν > Hàm n Dν (x) := sin(νxj ) , x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , xj j=1 gọi nhân Dirichlet Trong luận án này, ta đặt tập hợp Mν := {x ∈ Rn : |xj | < ν, j = 1, 2, , n} Qν := Rn \ Mν Định nghĩa 1.1.14 Hàm Gamma xác định công thức sau ∞ Γ(z) = e−t tz−1 dt, z ∈ C, Rez > 0, Định nghĩa 1.1.16 Với T > 0, cho f hàm khả vi liên tục đoạn [0, T ] Khi đó, đạo hàm bậc phân Caputo với bậc α ∈ (0, 1) f (0, T ] kí hiệu ∂α α f xác định ∂t ∂α f (t) = ∂tα Γ(1 − α) t (t − s)−α ∂ f (s)ds, < t ∂s T Định nghĩa 1.1.17 Với α > 0, β > 0, hàm Mittag–Leffler Eα,β định nghĩa ∞ Eα,β (z) := k=0 1.2 zk , z ∈ C Γ(αk + β) Một số kiến thức nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.2.2 Giả sử A toán tử tuyến tính có miền xác định D(A) trù mật không gian Banach X i) Số λ ∈ C gọi giá trị quy tốn tử A tồn tốn tử tuyến tính bị chặn (λI − A)−1 X Tập tất giá trị quy tốn tử A gọi tập giải kí hiệu ρ(A) R(λ, A) = (λI − A)−1 gọi toán tử giải giải thức toán tử A, với λ ∈ ρ(A) ii) Tập σ(A) = C \ ρ(A) gọi tập phổ A 11 Định nghĩa 1.2.4 Ta gọi tập Ω xác định Ω := {z : ϕ1 < arg z < ϕ2 , ϕ1 < < ϕ2 } hình quạt Với z ∈ Ω, giả sử S(z) tốn tử tuyến tính bị chặn Họ {S(z)}z∈Ω nửa nhóm giải tích Ω thỏa mãn điều kiện đây: i) Với z ∈ Ω, z → S(z)x giải tích Ω; ii) S(0) = I (I toán tử đồng X ) Ngoài lim z→0, z∈Ω S(z)x = x, ∀x ∈ X ; iii) Với z1 , z2 ∈ Ω, ta có S(z1 + z2 ) = S(z1 )S(z2 ) Một họ {S(t)}t≥0 gọi nửa nhóm giải tích giải tích hình quạt Ω chứa nửa trục thực không âm Định nghĩa 1.2.5 Tốn tử A (có thể khơng bị chặn) tốn tử sinh nửa nhóm giải tích liên tục mạnh bị chặn {e−zA }Re z , cách chuyển sang chuẩn tương đương |||x||| = sup e−zA , cần thiết, ta giả sử e−zA ≤ 1, với Re z Re z Định nghĩa 1.2.6 Với A toán tử sinh s 0, ta xác định − cos(sr) irA dr G(s, A) := e r2 π R (1.5) Định nghĩa 1.2.10 Giả sử A tốn tử tuyến tính đóng, có miền xác định D(A) trù mật không gian Banach X , A thỏa mãn Định nghĩa 1.2.5, ω số thực dương V lân cận mặt phẳng phức C Ta xác định tập hợp Σ+ sau: ρ(A) ⊃ Σ+ := {λ : < ω < |argλ| ≤ π} ∪ V Với b > 0, công thức sau định nghĩa lũy thừa A−b toán tử A: A−b := z −b (A − Iz)−1 dz, 2πi C (1.7) C quỹ đạo nằm tập giải toán tử A từ ∞e−iv đến ∞eiv , −1 với ω < v < π Ngoài ra, Ab := A−b A0 = I Trong (1.7), b = n, n số ngun dương, tích phân giải tích Σ+ 1.3 1.3.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh Định nghĩa tốn đặt khơng chỉnh Xét phương trình Ax = y , tốn tìm nghiệm x ∈ X theo liệu y ∈ Y (X, Y hai không gian Banach, A : X → Y toán tử liên tục) gọi đặt chỉnh hai không gian Banach X, Y ba điều kiện sau thỏa mãn: 12 i) Với y ∈ Y tồn nghiệm x ∈ X mà thỏa mãn toán ii) Có khơng q nghiệm x ∈ X thỏa mãn toán với y ∈ Y iii) Bài tốn ổn định hai khơng gian X, Y , nghiệm x ∈ X toán phụ thuộc liên tục vào liệu y ∈ Y toán, tức với x, x0 ∈ X , y, y0 ∈ Y ta có x hội tụ x0 theo chuẩn · X y hội tụ y0 theo chuẩn · Y Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn, tốn trở thành đặt khơng chỉnh 1.3.2 Chỉnh hóa tốn đặt khơng chỉnh Một toán tử bị chặn S phụ thuộc tham số δ > 0, từ không gian Y vào không gian X gọi tốn tử chỉnh hóa cho toán Ax = y trường hợp cụ thể liệu sai số y δ , thỏa mãn điều kiện sau i) Tồn số δ1 > cho toán tử S xác định với δ ∈ [0, δ1 ] với y0 ∈ Y y0 − y δ Y ≤ δ ii) Với γ > 0, tồn số dương δ(γ, y δ ) ≤ δ1 mà thỏa mãn: y0 − y δ Y ≤ δ ≤ δ(γ, y δ ), kéo theo x0 − Sy δ X = x0 − xδ X ≤ γ Với việc định nghĩa toán tử chỉnh hóa trên, trường hợp δ(γ, y δ ) chọn không phụ thuộc vào liệu sai số y δ ta gọi cách chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm, cịn trường hợp δ(γ, y δ ) chọn phụ thuộc vào y δ ta gọi cách chọn tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm 1.3.3 Bậc tối ưu Trong mục này, chúng tơi trình bày số nội dung liên quan đến Bậc tối ưu dựa tham khảo nghiên cứu Tautenhahn công bố vào năm 1998 1.4 Phương pháp chỉnh hóa làm nhuyễn Trong mục này, chúng tơi tóm tắt số nội dung liên quan đến phương pháp làm nhuyễn Với phương pháp làm nhuyễn, ta giải tốn đặt khơng chỉnh trường hợp tổng qt, có tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic Nhờ phương pháp làm nhuyễn, ta thu đánh giá sai s kiu Hăolder cho nghim chnh húa v phng phỏp triển khai phần mềm tính tốn 13 CHƯƠNG BÀI TỐN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số biến thiên theo thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ) Các kết chương công bố báo: N V Duc, L D Nhat Minh and N T Thanh (2020), "Identifying an unknown source term in a heat equation with time-dependent coefficients", Inverse Problems in Science and Engineering https://doi.org/10.1080/17415977.2020.1798421 (SCIE, IF: 1.314) 2.1 Giới thiệu toán Ta xét toán xác định nguồn sau Bài tốn ISP1: Tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn:  ∂u   (x, t) = a(t)∆u(x, t) + f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),   ∂t x ∈ Rn , u(x, 0) = 0,     u(x, T ) = g(x), (2.2) x ∈ Rn , ∂u thay đổi nhiệt độ theo thời gian, hàm a(t) hệ số phụ thuộc ∂t thời gian, hàm f (x)h(t) nguồn nhiệt, ∆ toán tử Laplace Trong thực tế, liệu đo đạc thường chứa sai số Do đó, thay có liệu xác g(x) ta giả sử có liệu sai số g δ (x) ∈ L2 (Rn ) thỏa mãn g − g δ L2 ≤ δ , δ số dương cho trước biểu thị mức độ sai số đo đạc · L2 chuẩn L2 Rn Trong suốt chương này, ta sử dụng giả thiết Giả thiết 1: Hàm a(t) liên tục [0, T ] tồn số dương a a cho a ≤ a(t) ≤ a, với t ∈ [0, T ] Giả thiết 2: Hàm h(t) khả tích [0, T ] bị chặn h > Ngoài ra, h(t) thỏa mãn điều kiện sau: a) Tồn số dương h cho h(t) ≥ h, với t ∈ [0, T ] b) h(t) ≥ 0, với t ∈ [0, T ] T θ h(t)dt > với θ ∈ [0, T ) 14 Giả thiết 3: Hàm f (x) thỏa mãn điều kiện đây: a) f Hp ≤ Ep với số dương p Ep b) |||f |||q ≤ Eq với số dương q Eq Để thuận tiện việc trình bày, ta dùng ký hiệu sau T H(θ) := T h(t)dt, b := θ T a(t)dt, I(θ, τ ) := e−τ T s a(t)dt h(s)ds, (2.5) θ với θ ∈ [0, T ] τ ∈ R 2.2 Đánh giá ổn định Định lý 2.2.1 Giả sử Giả thiết thỏa mãn g L2 ≤ δ Khi i) Nếu Giả thiết 2(a) 3(a) thỏa mãn, với Ep > δ , f p 2(p+2) L2 ≤ C1 p Epp+2 δ p+2 , (2.17) với C1 số dương ii) Nếu Giả thiết 2(b) 3(b) thỏa mãn, với Eq > δ , f 2.3 L2 ≤ (H(0)) −q q+b δ b q+b q q+b Eq (2.18) Chỉnh hóa tốn xác định nguồn Đầu tiên, ta làm trơn hàm liệu sai số g δ để thu toán tử Sν (g δ ) Sν (g δ )(x) = π n (Dν ∗ g δ )(x) = πn Tiếp theo, ta xác định nghiệm chỉnh hóa f ν giải tốn: Tìm hàm f ν thỏa mãn  ν ∂v   (x, t) = a(t)∆v ν (x, t) + f ν (x)h(t),   ∂t v ν (x, 0) = 0,     ν v (x, T ) = Sν (g δ )(x), Dν (y)g δ (x − y)dy (2.23) Rn nghiệm xác f (x) cách x ∈ Rn , t ∈ (0, T ), x ∈ Rn , (2.24) x ∈ Rn Các định lý phát biểu đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm hậu nghiệm Định lý 2.3.2 Giả sử Giả thiết Khi i) Nếu Giả thiết 2(a) 3(a) thỏa mãn, với Ep > δ tham số chỉnh hóa ν chọn ν = Ep δ p+2 , tồn số Cp > cho đánh giá sai số sau f − fν p L2 ≤ Cp δ p+2 Epp+2 (2.31) 15 ii) Nếu Giả thiết 2(b) 3(b) thỏa mãn, với Eq > δ tham số chỉnh hóa ν 1 Eq chọn ν = ln , đánh giá sai số sau q+b δ f − fν L2 ≤ 1+ b q δ q+b Eqq+b , H(θ1 ) (2.32) với θ1 ∈ [0, T ) Giả sử < δ < g δ L2 Chọn τ > Tồn số dương νδ phụ thuộc vào δ thỏa mãn G(νδ ) = Sνδ (g δ ) − g δ L2 = τ δ (2.41) Định lý 2.3.5 Giả sử Giả thiết tham số chỉnh hóa νδ chọn theo (2.41) Khi đó, i) Nếu Giả thiết 2(a) 3(a) thỏa mãn, với Ep > δ , tồn số Cp∗ > cho f − f νδ p L2 ≤ Cp∗ δ p+2 Epp+2 (2.42) ii) Nếu Giả thiết 2(b) 3(b) thỏa mãn, với Eq > δ , tồn số Cq∗ > cho f − f νδ 2.4 q L2 b ≤ Cq∗ δ q+b Eqq+b (2.43) Thuật tốn ví dụ số Trong mục này, chúng tơi dùng ví dụ không gian chiều hai chiều để minh họa cho tính hữu hiệu thuật tốn 2.5 Kết luận Chương Các kết chương l a ỏnh giỏ n nh kiu Hăolder cho tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ) Sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa tốn nói đạt c ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder cho nghim chnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm với bậc tốt nghiên cứu trước Chúng đưa đánh giá sai số kiểu Hăolder cho nghim chnh húa theo lut chn tham s chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm mà nghiên cứu trước chưa đề cập đến Thiết lập thuật toán khơng lặp để giải số tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ) 16 CHƯƠNG BÀI TỐN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC BẬC PHÂN THEO BIẾN THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian không gian không gian Hilbert L2 (Rn ) Các kết chương công bố báo: N V Thang, N V Duc, L D Nhat Minh and N T Thanh (2021), "Identifying an unknown source term of a time-space fractional parabolic equation", Applied Numerical Mathematics, 166, 313-332 https://doi.org/10.1016/j.apnum.2021.04.016 (SCIE, IF: 1.979) 3.1 Giới thiệu toán ∂α = α Giả sử T số thực dương, α ∈ (0, 1), x = (x1 , , xn ) ∈ R Kí hiệu ∂t đạo hàm bậc phân Caputo bậc α theo biến t Với số γ > 0, ta xác định toán γ tử Laplace bậc phân (−∆) công thức n ∂tα γ (−∆) v(x) := F−1 (|ξ|γ F(v)(ξ))(x), γ v ∈ D((−∆) ) = H γ (Rn ) với H γ (Rn ) không gian Sobolev với bậc γ Ở F F−1 phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier ngược hàm v định nghĩa Chương Bài toán chúng tơi quan tâm có dạng sau Bài tốn ISP2: Tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn  γ   ∂tα u + (−∆) u = f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),   u(x, 0) = 0, x ∈ Rn ,    u(x, T ) = g(x), x ∈ Rn , (3.1) với γ > < α < Trong (3.1), hàm g(x) liệu đo đạc thời điểm cuối T Giả sử có liệu đo đạc g δ ∈ L2 (Rn ) thỏa mãn g − gδ L2 ≤ δ, với δ > số cho trước mô tả mức độ sai số liệu (3.2) 17 Ở đây, hàm h(t) (3.1) hàm khả vi liên tục [0, T ] thỏa mãn Giả thiết Chương 2, tức T h(t) ≥ 0, t ∈ [0, T ]; h(s)ds > 0, s ∈ [0, T ) (3.3) Trong chương này, ta giả sử hàm h(t) thỏa mãn thêm điều kiện sau, là: tồn số T0 ∈ [0, T ) cho h(t) ≥ η > 0, t ∈ [T0 , T ] Ngoài ra, với p > 0, ta giả sử tồn số dương E > δ thỏa mãn điều kiện f 3.2 Hp ≤ E (3.4) Đánh giá ổn định Định lý 3.2.3 Nếu f nghiệm toán (3.1) f g ≤ δ với δ ≤ E , tồn số C > cho f γ p L2 p ≤ Cδ γ+p E γ+p ≤ E, p > 0, (3.8) Nhận xét 3.2.4 Trong Định lý 3.2.3, đánh giá (3.8) có bậc tối ưu 3.3 Chỉnh hóa tốn xác định nguồn Ta tiếp tục sử dụng phương pháp làm nhuyễn Bài toán (3.1) xác định cặp hàm {u(x, t), f (x)} thay tốn tìm cặp hàm {v ν (x, t), f ν } thỏa mãn  γ   ∂tα v ν + (−∆) v ν = f ν (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),   (3.12) v ν (x, 0) = 0, x ∈ Rn ,    v ν (x, T ) = S (g δ )(x), x ∈ Rn , ν δ với Sν (g )(x) := π n (Dν ∗ g δ )(x) Bài toán (3.12) toán ổn định, ta chứng minh điều Định lí 3.3.1 Định lý 3.3.1 Bài tốn (3.12) ổn định Hơn nữa, {viν (x, t), fiν } nghiệm (3.12) tương ứng với liệu giδ , i = 1, 2, tồn số C¯ > cho f1ν − f2ν L2 ¯ + ν γ ) g1δ − g2δ ≤ C(1 L2 Sau định lý đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm Định lý 3.3.2 Giả sử điều kiện (3.4) thỏa mãn, với E > δ tham số chỉnh E p+γ hóa ν = Khi đó, tồn số C ∗ > cho δ f − fν p L2 γ ≤ C ∗ δ p+γ E p+γ 18 Trong luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm, giả sử < δ < g δ L2 , lấy τ > cho < τ δ < g δ L2 Ta đặt hàm G : (0, +∞) → (0, +∞) cho G(ν) = Sν (g δ ) − g δ L2 Tồn số νδ > phụ thuộc vào tham số δ cho G(νδ ) = Sνδ (g δ ) − g δ L2 = τ δ (3.23) Đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm phát biểu định lý sau Định lý 3.3.6 Giả sử điều kiện (3.4) thỏa mãn, tham số νδ chọn công thức (3.23) E > δ Khi đó, tồn số C ∗∗ > cho f − f νδ 3.4 p L2 γ ≤ C ∗∗ δ p+γ E p+γ Thuật tốn ví dụ số Trong mục này, thiết lập phương pháp giải số trực tiếp để tính tốn nghiệm chỉnh hóa f ν chúng tơi sử dụng ví dụ không gian chiều hai chiều 3.5 Kết luận Chương Các kết chương l t c ỏnh giỏ n nh kiu Hăolder với bậc tối ưu cho toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến khơng gian thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ) Tiếp tục sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa tốn đạt đánh giỏ sai s kiu Hăolder cho nghim chnh húa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm hậu nghiệm Xây dựng thuật toán trực tiếp để giải toán phần mềm Matlab, trình bày ví dụ khơng gian chiều hai chiều để minh họa cho tính hữu hiệu phương pháp chỉnh hóa 19 CHƯƠNG BÀI TỐN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TRONG KHƠNG GIAN BANACH Trong chương này, luận án nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic khơng gian Banach Các kết chương công bố báo: N V Duc, N V Thang, L D Nhat Minh and N T Thanh (2020), "Identifying an unknown source term of a parabolic equation in Banach spaces", Applicable Analysis https://doi.org/10.1080/00036811.2020.1800650 (SCIE, IF: 1.107) 4.1 Giới thiệu toán · , A : D(A) ⊂ X → X tốn tử tuyến tính khơng bị chặn cho −A sinh nửa nhóm giải tích {S(t)}t≥0 X , D(A) miền xác định A giả thiết D(A) trù mật X Với T số thực dương, giả sử S(T ) < (4.1) Giả sử X không gian Banach với chuẩn Với t ∈ [0, T ], ký hiệu u(t) hàm từ [0, T ] vào X F ∈ X , toán xác định nguồn mà luận án nghiên cứu có dạng sau Bài toán ISP3: Xác định F từ toán    u (t) + Au(t) = F,   u(0) = 0,    u(T ) = g, t ∈ (0, T ), (4.3) với g ∈ X liệu đo đạc thời điểm cuối T Giả sử ta có liệu sai số g δ ∈ X cho trước g δ thỏa mãn điều kiện g − g δ ≤ δ , δ > số cho trước biểu thị mức độ sai số Ngoài điều kiện trên, ta giả sử tồn số thực dương E > δ cho (I + Ap )F ≤ E , với số thực p ≥ Ap lũy thừa bậc phân A 20 4.2 Chỉnh hóa tốn xác định nguồn Trong mục này, luận án chỉnh hóa tốn ISP3 phương pháp dựa lý thuyết nửa nhóm Ta xấp xỉ tốn ISP3 tốn tìm hàm nguồn Fα sau    v (t) + Av(t) = Fα , t ∈ (0, T ),   (4.6) v(0) = 0,    v(T ) = (I + αAb )−1 g δ , với α > tham số chỉnh hóa, b số nguyên dương I toán tử đồng X Ta mơ tả nghiệm tốn xác định nguồn (4.3) tốn chỉnh hóa (4.6) thơng qua nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh −A Do u(0) = nên nghiệm u(t) (4.3) cho t u(t) = S(t)u(0) + t S(s)F ds = S(s)F ds 0 Hay t u(t) = S(s)F ds (4.1) Thay t = T tác động toán tử A lên hai vế (4.1), ta T S(s)F ds = (S(T ) − I)F Au(T ) = A Vì u(T ) = g nên ta có F = (S(T ) − I)−1 Ag (4.8) Nếu Fα nghiệm tốn chỉnh hóa (4.6) Fα biểu diễn công thức Fα = (S(T ) − I)−1 A(I + αAb )−1 g δ (4.9) Định lý sau phát biểu đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa Fα trường hợp luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm Định lý 4.2.7 Giả sử b > số nguyên điều kiện (I + Ap )F ≤ E thỏa mãn với p ≥ Khi đó, tồn số dương C ∗ , C ∗∗ cho  C ∗ (α −1b δ + αE) p ≥ b, (4.16) F − Fα ≤ C ∗∗ α −1b δ + α pb E ≤ p < b Đặc biệt, i) với p ≥ b α = δ E b b+1 , ta có b F − Fα ≤ 2C ∗ δ b+1 E b+1 ; (4.17) 21 ii) với p < b α = δ E b 1+p , ta có p F − Fα ≤ 2C ∗∗ δ 1+p E 1+p (4.18) Đối với trường hợp luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm, ta giả sử < δ < g δ Với b ∈ N, b > 0, xét hàm ρ : (0, +∞) → (0, +∞) cho ρ(α) := (I + αAb )−1 g δ − g δ , với α > (4.21) Lấy τ số cho τ > τ δ < g δ Khi đó, tồn tham số α = α(δ, τ ) cho ρ(α) = τ δ (4.28) Định lý sau phát biểu đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm Định lý 4.2.9 Giả sử b > số nguyên điều kiện (I + Ap )F ≤ E thỏa mãn với p ≥ Gọi Fαδ nghiệm tốn chỉnh hóa (4.6) với tham số chỉnh hóa α cho (4.28) Khi đó, tồn số dương C¯ C cho ¯ b−1 b E b , p ≥ b − 1, F − Fαδ ≤ Cδ F − Fαδ ≤ Cδ 4.3 p 1+p E 1+p , ≤ p < b − (4.29) (4.30) Thuật tốn ví dụ số Để minh họa cho tính hữu hiệu phương pháp chỉnh hóa, chúng tơi sử dụng ví dụ số khơng gian chiều 4.4 Kết luận Chương Các kết chương Thiết lập phương pháp chỉnh hóa dựa lý thuyết nửa nhóm cho tốn xác định nguồn không gian Banach đạt đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa sử dụng luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm hậu nghiệm Xây dựng thuật toán để giải số tốn này, ví dụ số cho thấy kết tốt thực tìm nghiệm chỉnh hóa cho trường hợp đơn giản không gian Banach 22 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án nghiên cứu đánh giá ổn định, phương pháp chỉnh hóa phương pháp số để giải toán xác định nguồn cho phương trình parabolic Các kết luận án Chúng nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert L2 (Rn ) đạt - Đánh giá ổn định cho toán xác định nguồn - Sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa tốn này, đạt c ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder cho nghim chnh hóa sử dụng luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm hậu nghiệm Các đánh giá sai số chúng tơi có bậc tốt kết nghiên cứu chủ đề - Đề xuất thuật tốn trình bày ví dụ số Chúng tơi nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân với biến thời gian không gian không gian Hilbert L2 (Rn ) đạt - Đánh giá ổn định với bậc tối ưu cho toán xác định nguồn - Mở rộng việc sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa tốn này, đạt đánh giá sai s kiu Hăolder cho nghim chnh húa s dng luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm hậu nghiệm - Đề xuất thuật tốn trình bày ví dụ số Chúng tơi nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic không gian Banach đạt - Phương pháp làm nhuyễn khơng sử dụng để chỉnh hóa tốn này, đề xuất phương pháp chỉnh hóa dựa lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa bi toỏn, t c ỏnh giỏ sai s kiu Hăolder cho nghiệm chỉnh hóa sử dụng luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm hậu nghiệm - Đề xuất thuật tốn trình bày ví dụ số 23 Kiến nghị Trong thời gian tới, quan tâm nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu đánh giá ổn định, phương pháp chỉnh hóa, phương pháp số giải tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic khơng gian Banach với hệ số phụ thuộc thời gian, hệ số có dạng phức tạp hơn, với đo đạc biên, với đo đạc miền Nghiên cứu đánh giá ổn định, phương pháp chỉnh hóa, phương pháp số giải toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân với trường hợp hệ số phụ thời gian, hệ số có dạng phức tạp hơn, với đo đạc biên, với đo đạc miền 24 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Nguyen Van Duc, Luong Duy Nhat Minh and Nguyen Trung Thanh (2020), "Identifying an unknown source term in a heat equation with time-dependent coefficients", Inverse Problems in Science and Engineering https://doi.org/10.1080/17415977.2020.1798421 (SCIE, IF: 1.314) Nguyen Van Duc, Nguyen Van Thang, Luong Duy Nhat Minh and Nguyen Trung Thanh (2020), "Identifying an unknown source term of a parabolic equation in Banach spaces", Applicable Analysis https://doi.org/10.1080/00036811.2020.1800650 (SCIE, IF: 1.107) Nguyen Van Thang, Nguyen Van Duc, Luong Duy Nhat Minh and Nguyen Trung Thanh (2021), "Identifying an unknown source term in a time-space fractional parabolic equation", Applied Numerical Mathematics, 166, 313-332 https://doi.org/10.1016/j.apnum.2021.04.016 (SCIE, IF: 1.979) ... dụng phương pháp số để giải toán xác định nguồn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm kết nghiên cứu toán ngược toán xác định nguồn cho phương trình parabolic Luận án đạt... chúng tơi tóm tắt dạng tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic mà luận án nghiên cứu tóm tắt kết mà luận án đạt i) Thứ nhất, chúng tơi nghiên cứu tốn xác định nguồn cho phương trình parabolic. .. hóa cho tốn xác định nguồn phương trình parabolic khơng gian Banach, theo tìm kiếm chúng tơi có số kết liên quan Với lý trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Về số toán xác định nguồn cho