Slide phương trình toán lý bài 1 giải phương trình parabolic

GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 / 26 Nội dung Các phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt chiều ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 / 26 Nội dung Các phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt chiều Các phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt dừng hai chiều ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 / 26 Phương trình truyền nhiệt chiều Phương trình truyền nhiệt chiều Cho số a < b, T > Xét QT = (a, b) × (0, T ]; QT = [a, b] × [0, T ] Phương trình truyền nhiệt ut − uxx = f (x, t) thỏa điều kiện u(x, 0) = g (x), a < x < b điều kiện biên u(a, t) = ga (t), u(b, t) = gb (t), f (x, t), g (x), ga (t), gb (t) hàm số cho ng.com https://fb.com/tailieudientucntt trước TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 / 26 Phương trình truyền nhiệt chiều Sơ đồ sai phân Sơ đồ sai phân Ta lấy lưới sai phân x = mh, t = nτ, m, n = 0, 1, 2, 3, Xét sơ đồ sai phân dạng n n − 2umn + um−1 umn+1 − umn um+1 n − = f = f (xm , tn ) m τ h2 với điều kiện um0 = g (xm ), u0n = ga (tn ), uNn = gb (tn ) ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 / 26 Phương trình truyền nhiệt chiều Sơ đồ sai phân Bài toán thực tế Xét kim loại dài L = 10cm với c = 0.49cal /(s.cm.0C ), ∆x = 2cm, ∆t = 0.1s, u(x, 0) = 0, u(0, t) = 1000C , u(10, t) = 500C , t > Thanh kim loại nhôm với C = 0.2174cal /(g 0C ) ρ = 2.7g /cm3 ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 / 26 Phương trình truyền nhiệt chiều Sơ đồ sai phân Phương trình truyền nhiệt ∂u ∂ 2u = k , < x < 10, t > ∂t ∂x u(x, 0) = 0, u(0, t) = 100, u(10, t) = 50 k = c/(ρ.C ) = 0.835 Hãy tìm nhiệt độ kim loại x = 2cm, x = 4cm, x = 6cm, x = 8cm ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 / 26 Phương trình truyền nhiệt chiều ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Sơ đồ sai phân t–x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 https://fb.com/tailieudientucntt 10 GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 / 26 Phương trình truyền nhiệt chiều ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Sơ đồ sai phân t–x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 https://fb.com/tailieudientucntt 10 GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 / 26 Phương trình truyền nhiệt chiều ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Sơ đồ sai phân t–x 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 https://fb.com/tailieudientucntt 10 GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 / 26 Phương trình truyền nhiệt chiều Sơ đồ sai phân ẩn Phương trình truyền nhiệt ∂u ∂ 2u = k , < x < 10, t > ∂t ∂x u(x, 0) = 0, u(0, t) = 100, u(10, t) = 50 k = c/(ρ.C ) = 0.835 Hãy tìm nhiệt độ kim loại x = 2cm, x = 4cm, x = 6cm, x = 8cm ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 12 / 26 Phương trình truyền nhiệt chiều ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Sơ đồ sai phân ẩn t–x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 https://fb.com/tailieudientucntt 10 GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 13 / 26 Phương trình truyền nhiệt chiều ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Sơ đồ sai phân ẩn t–x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 https://fb.com/tailieudientucntt 10 GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 14 / 26 Phương trình truyền nhiệt chiều ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Sơ đồ sai phân ẩn t–x 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 https://fb.com/tailieudientucntt 10 GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 15 / 26 Phương trình truyền nhiệt dừng miền hình chữ nhật Phát biểu toán Cho a < b, c < d Xét mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy miền chữ nhật Ω Ω = {(x, y ) : a < x < b, c < y < d } Đường biên Ω ký hiệu Γ Xét tốn: tìm hàm u(x, y ) thỏa mãn phương trình Poisson ∂ 2u ∂ 2u ∆u = + = f (x, y ), (x, y ) ∈ Ω ∂x ∂y điều kiện biên: u(x, y ) = g (x, y ), (x, y ) ∈ Γ Trong f (x, yhttps://fb.com/tailieudientucntt ), g (x, y ) hàm cho trước ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 16 / 26 Phương trình truyền nhiệt dừng miền hình chữ nhật Lưới sai phân Hàm lưới Chia Ω thành ô nhỏ Chọn trước N, M > b−a d −c số nguyên, đặt h = k = N M Đặt xi = a + ih, yj = c + jk Mỗi điểm (xi , yj ) gọi nút lưới Tập hợp tất nút bên Ω ký hiệu Ωhk Mỗi hàm số xác định nút lưới gọi hàm lưới Kí hiệu u(xi , yj ) = uij Ta tính gần giá trị nghiệm u(x, y ) nút (xi , yj ) ký hiệu giá trị gần vij : vij ≈ u(xi , yj ) ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 17 / 26 Phương trình truyền nhiệt dừng miền hình chữ nhật Phương trình sai phân vi+1j − 2vij + vi−1j vij+1 − 2vij + vij−1 + = f (xi , yj ) h2 k2 với (xi , yj ) ∈ Ωhk vij = g (xi , yj ), (xi , yj ) ∈ Γhk , với Γhk tập hợp nút biên ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 18 / 26 Phương trình truyền nhiệt dừng miền hình chữ nhật Phương pháp lặp Seidel co dãn Với γ = (h/k)2 phương trình sai phân viết lại vi+1j + vi−1j + γ(vij+1 + vij−1) − 2(1 + γ)vij = h2fij Do vij = [vi+1j +vi−1j +γ(vij+1 +vij−1)−h2fij ] 2(1 + γ) Phương pháp lặp Seidel xuất phát từ xấp xỉ đầu (0) uij cho trước (m) vij = (m−1) (m) (m) (m−1) [vi+1j + vi−1j + γ(vij−1 + vij+1 ) − h2 fij ] 2(1 + γ) ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 19 / 26 Phương trình truyền nhiệt dừng miền hình chữ nhật Phương pháp lặp Seidel co dãn (m) Sau lần tính vij , ta lại tăng cường tốc độ hội tụ phép co dãn (m) vij (m) = λ.vij (m−1) + (1 − λ).vij ,1 < λ < Q trình tính lặp co dãn dừng lại sai số tương đối (m) δm = max i,j vij (m−1) − vij (m) vij × 100% δ, δ mức độ xác tương đối cho ng.com https://fb.com/tailieudientucntt trước TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 20 / 26 Phương trình truyền nhiệt dừng miền hình chữ nhật Ví dụ Ví dụ Tìm phân bố nhiệt độ u ổn định mỏng kim loại hình vng khơng có nguồn nhiệt có suất dẫn nhiệt Bản hình vng có cạnh dài đơn vị, đáy ln 0o C , đáy 100o C , cạnh trái 75o C , cạnh phải 50o C ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 21 / 26 Phương trình truyền nhiệt dừng miền hình chữ nhật Ví dụ ∂ 2u ∂ 2u ∆u = + = 0, ∂x ∂y (x, y ) ∈ Ω = {(x, y ) : < x < 1, < y < 1} điều kiện biên: u(x, 0) = 0, < x < 1, u(x, 1) = 100, < x < 1, u(0, y ) = 75, < y < 1, u(1, y ) = 50, < y < 1 Chọn N = M = ⇒ h = k = Với điều kiện biên ta có vi0 = 0, vi4 = 100, v0j = 75, v4j = 50, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 22 / 26 Phương trình truyền nhiệt dừng miền hình chữ nhật Ví dụ Phương trình sai phân vi+1j + vi−1j + vij+1 + vij−1 vij = tính theo công thức lặp Seidel (m) (m) vij (m) (m−1) vij−1 + vi−1j + vij+1 = (m−1) + vi+1j (0) với xấp xỉ đầu vij = ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 23 / 26 Phương trình truyền nhiệt dừng miền hình chữ nhật Ví dụ (m) Sau lần tính vij , ta lại tăng cường tốc độ hội tụ phép co dãn (m) vij (m) = λ.vij (m−1) + (1 − λ).vij , < λ = 1, < Quá trình tính lặp co dãn dừng lại sai số tương đối (m) δm = max vij (m−1) − vij (m) vij i,j × 100% δ, δ = 1% ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 24 / 26 Phương trình truyền nhiệt dừng miền hình chữ nhật Ví dụ Với i = 1, j = + 75 + + = 18, 75 Hiệu chỉnh để tăng tốc độ hội tụ (1) v11 = (1) v11 = 1, × 18, 75 + (1 − 1, 5) × = 28, 125 Tương tự tính tiếp (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) v21 , v31 , v12 , v22 , v32 , v13 , v23 , v33 (0) Vì vij = nên δ1 = > 1% Do ta tính lặp co dãn lần Q trình dừng lại δm < 1% ng.com https://fb.com/tailieudientucntt TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 25 / 26 Phương trình truyền nhiệt dừng miền hình chữ nhật Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2013 26 / 26 ... (1) v 11 = (1) v 11 = 1, × 18 , 75 + (1 − 1, 5) × = 28, 12 5 Tương tự tính tiếp (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) v 21 , v 31 , v12 , v22 , v32 , v13 , v23 , v33 (0) Vì vij = nên ? ?1 = > 1% Do ta tính... 1. 2 1. 3 1. 4 1. 5 1. 6 1. 7 1. 8 1. 9 https://fb.com/tailieudientucntt 10 GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2 013 14 / 26 Phương trình truyền nhiệt... https://fb.com/tailieudientucntt 10 GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TP HCM — 2 013 / 26 Phương trình truyền nhiệt chiều ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Sơ đồ sai phân t–x 1. 0 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4