Slide phương trình toán lý bài 3 bài toán elip hai chiều

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN ELIP HAI CHIỀU Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM HAI — CHIỀU 2013 / 44 Bài toán Dirichle phương trình Poisson Bài tốn vi phân Cho Ω miền khác rỗng, mở, hữu hạn mặt phẳng Oxy có biên đường cong kín Γ trơn khúc Cho f (x, y ) ∈ L2(Ω) Xét tốn: tìm u(x, y ) ∈ W 2(Ω) thỏa mãn ∂ 2u ∂ 2u (1) ∆u = + = f (x, y ), (x, y ) ∈ Ω ∂x ∂y u|(x,y )∈Γ = 0, (2) tức tìm u(x, y ) ∈ W02(Ω) = W01(Ω) ∩ W 2(Ω) thỏa mãn (1) Nghiệm u toán vi phân định nghĩa gọi nghiệm cổ ng.com điển hay nghiệmhttps://fb.com/tailieudientucntt giải tích toán (1), (2) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM HAI — CHIỀU 2013 / 44 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài toán yếu Giả sử tốn (1), (2) có nghiệm u ∈ W02(Ω), ∆u, f ∈ L2(Ω) Nhân vơ hướng L2(Ω) vế (1) với hàm thử v ∈ L2(Ω) ta ∂ 2u ∂ 2u + ∂x ∂y vdxdy = Ω fvdxdy , (3) Ω ∀v ∈ L2(Ω) Chú ý v gọi hàm thử ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM HAI — CHIỀU 2013 / 44 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài toán yếu Ngược lại, u ∈ W02(Ω) thỏa mãn (3) ∂ 2u ∂ 2u + −f ∂x ∂y vdxdy = 0, ∀v ∈ L2(Ω) Ω ∂ 2u ∂ 2u nên + − f (x, y ) = u ∂x ∂y thỏa mãn (1), (2) ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM HAI — CHIỀU 2013 / 44 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài toán yếu (1) Xét hàm thử v ∈ W0 (Ω) Lấy tích phân phần ta ∂ 2u ∂ 2u + ∂x ∂y vdxdy = Ω ∂u ∂v ∂u ∂v + ∂x ∂x ∂y ∂y − dxdy + Ω v ∂u ds, ∂ν Γ ν pháp véc tơ ngồi đường biên Γ, ds vi phân cung Γ ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM HAI — CHIỀU 2013 / 44 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài tốn yếu (1) Vì v ∈ W0 (Ω) thỏa mãn điều kiện biên (2) (3) cho ta ∂u ∂v ∂u ∂v + ∂x ∂x ∂y ∂y dxdy = − Ω fvdxdy , Ω (4) (1) W0 (Ω) ∀v ∈ Như vậy, u nghiệm (1), (2) u nghiệm (4) ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM HAI — CHIỀU 2013 / 44 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài toán yếu Trong (4) khơng có đạo hàm cấp u mà có đạo hàm cấp Do tốn ban đầu trở (1) thành: tìm u ∈ W0 (Ω) thỏa mãn (4) Đặt α(u, v ) = ∂u ∂v ∂u ∂v (1) + dxdy , ∀u, v ∈ W0 (Ω) ∂x ∂x ∂y ∂y Ω (1) L(v ) = − fvdxdy , ∀v ∈ W0 (Ω) Ω (1) Bài tốn trở thành: tìm u ∈ W0 (Ω) thỏa mãn (1) α(u, v ) = L(v ), ∀v ∈ W0 (Ω) (5) Đây toánhttps://fb.com/tailieudientucntt yếu ứng với toán (1), (2) ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM HAI — CHIỀU 2013 / 44 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Nghiệm suy rộng Nghiệm toán yếu (5) gọi nghiệm suy rộng toán (1), (2) Nếu u ∈ W02(Ω) nghiệm giải tích tốn (1), (2) nghiệm suy rộng toán yếu (5) Ngược lại, u vừa nghiệm suy rộng tốn (1), (2) vừa thuộc W02(Ω) cách lấy (1) tích phân phần ta suy ∀v ∈ W0 (Ω) ∂ 2u ∂ 2u + ∂x ∂y ng.com Ω TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) vdxdy = https://fb.com/tailieudientucntt fvdxdy Ω PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM HAI — CHIỀU 2013 / 44 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Nghiệm suy rộng Do ∂ 2u ∂ 2u + −f ∂x ∂y (1) vdxdy = 0, ∀v ∈ W0 (Ω) Ω (1) Do W0 (Ω) trù mật L2(Ω) nên ta suy ∂ 2u ∂ 2u + − f vdxdy = 0, ∀v ∈ L2(Ω) ∂x ∂y Ω ∂ 2u ∂ 2u Vậy + − f = Do nghiệm suy rộng ∂x ∂y (2) u ∈ W0 (Ω) nghiệm giải tích tốn (1), ng.com https://fb.com/tailieudientucntt (2) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM HAI — CHIỀU 2013 / 44 Phương pháp phần tử hữu hạn Ω hình chữ nhật Tam giác phân Xét trường hợp Ω miền hình chữ nhật Ω = {(x, y ) : a < x < b, c < y < d } Biên Γ miền Ω đoạn thẳng song song với trục tọa độ Để đơn giản ta giả sử a = 0, c = Ta chia miền Ω thành lưới đường thẳng song song với trục tọa độ b−a xi = ih, h = , a = N +1 d −c yj = jk, k = , c = 0, N, M ∈ N ng.com https://fb.com/tailieudientucntt M +1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP ELIP HCM HAI—CHIỀU 2013 10 / 44 Trường hợp miền đa giác không hình chữ nhật Cách tính tích phân phương pháp đổi biến ∂ϕi ∂ϕi ∂ϕi ∂ϕi + ∂x ∂x ∂y ∂y Aii = dxdy = T yj − yk J = + xk − xj J |J|d ξd η = T0 (yj − yk )2 + (xk − xj )2 d ξd η = |J| = T0 ng.com (yj − yk )2 + (xk − xj )2 = https://fb.com/tailieudientucntt |J| TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP ELIP HCM HAI—CHIỀU 2013 37 / 44 Trường hợp miền đa giác khơng hình chữ nhật Cách tính tích phân phương pháp đổi biến ∂ϕj ∂ϕj ∂ϕj ∂ϕj + ∂x ∂x ∂y ∂y Ajj = dxdy = T yk − yi J = + xi − xk J |J|d ξd η = T0 (yk − yi )2 + (xi − xk )2 = |J| ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP ELIP HCM HAI—CHIỀU 2013 38 / 44 Trường hợp miền đa giác khơng hình chữ nhật Cách tính tích phân phương pháp đổi biến ∂ϕk ∂ϕk ∂ϕk ∂ϕk + ∂x ∂x ∂y ∂y Akk = dxdy = T yi − yj J = + xj − xi J |J|d ξd η = T0 (yi − yj )2 + (xj − xi )2 = |J| ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP ELIP HCM HAI—CHIỀU 2013 39 / 44 Trường hợp miền đa giác khơng hình chữ nhật Cách tính tích phân phương pháp đổi biến ∂ϕi ∂ϕj ∂ϕi ∂ϕj + ∂x ∂x ∂y ∂y Aij = dxdy = T yj − yk yk − yi xk − xj xi − xk + J J J J = |J|d ξd η T0 (yj − yk )(yk − yi ) + (xk − xj )(xi − xk ) = |J| ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP ELIP HCM HAI—CHIỀU 2013 40 / 44 Trường hợp miền đa giác khơng hình chữ nhật Cách tính tích phân phương pháp đổi biến ∂ϕj ∂ϕk ∂ϕj ∂ϕk + ∂x ∂x ∂y ∂y Ajk = dxdy = T yk − yi yi − yj xi − xk xj − xi + J J J J = |J|d ξd η T0 (yk − yi )(yi − yj ) + (xi − xk )(xj − xi ) = |J| ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP ELIP HCM HAI—CHIỀU 2013 41 / 44 Trường hợp miền đa giác khơng hình chữ nhật Cách tính tích phân phương pháp đổi biến ∂ϕi ∂ϕk ∂ϕi ∂ϕk + ∂x ∂x ∂y ∂y Aki = dxdy = T yj − yk yi − yj xk − xj xj − xi + J J J J = |J|d ξd η T0 (yj − yk )(yi − yj ) + (xk − xj )(xj − xi ) = |J| ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP ELIP HCM HAI—CHIỀU 2013 42 / 44 Trường hợp miền đa giác không hình chữ nhật Sự hội tụ sai số Định lý Giả sử nghiệm giải tích u(x, y ) ∈ W02(Ω) ta có ||u − wN ||W 1(Ω) C1.h ||u − wN ||L2(Ω) C2.h2 ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP ELIP HCM HAI—CHIỀU 2013 43 / 44 Trường hợp miền đa giác khơng hình chữ nhật Ví dụ Ví dụ Cho Ω = {(x, y ) : < x < π, < x + y < π} với biên ký hiệu Γ Áp dụng phương pháp phần tử π hữu hạn chọn h = k = giải toán ∂ 2u ∂ 2u + = −2 sin(x + y ), (x, y ) ∈ Ω ∂x ∂y u(x, y ) = 0, (x, y ) ∈ Γ ng.com TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁNTP ELIP HCM HAI—CHIỀU 2013 44 / 44 ... https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM HAI — CHIỀU 20 13 / 44 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài toán yếu (1) Vì v ∈ W0 (Ω) thỏa mãn điều kiện biên (2) (3) cho ta ∂u ∂v... (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM HAI — CHIỀU 20 13 / 44 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài toán yếu (1) Xét hàm thử v ∈ W0 (Ω) Lấy tích... (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN TP ELIPHCM HAI — CHIỀU 20 13 / 44 Bài toán yếu nghiệm suy rộng Bài toán yếu Trong (4) khơng có đạo hàm cấp u