Thông tin tài liệu
Mục lục MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP MỆNH ĐỀ I Tóm tắt lí thuyết Mệnh đề Mệnh đề chứa biến Mệnh đề phủ định Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo Mệnh đề tương đương Các kí hiệu ∀ ∃ II Các dạng toán Dạng Mệnh đề có nội dung đại số số học Dạng Mệnh đề có nội dung hình học Dạng Thành lập mệnh đề - Mệnh đề phủ định TẬP HỢP I Tóm tắt lí thuyết Tập hợp phần tử Cách xác định tập hợp Tập hợp rỗng Tập Hai tập hợp Tính chất II Các dạng toán Dạng Xác định tập hợp - phần tử tập hợp Dạng Tập hợp rỗng Dạng Tập Tập CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP I Tóm tắt lí thuyết Giao hai tập hợp Hợp hai tập hợp Hiệu phần bù hai tập hợp II Các dạng toán Dạng Tìm giao hợp tập hợp Dạng Hiệu phần bù hai tập hợp Dạng Sử dụng biểu đồ Ven cơng thức tính số phần tử tập hợp A ∪ B để giải toán CÁC TẬP HỢP SỐ I Tóm tắt lí thuyết Các tập hợp số học Các tập thường dùng R II Các dạng toán Dạng Xác định giao - hợp hai tập hợp Dạng Xác định hiệu phần bù hai tập hợp 11 11 11 11 11 11 12 12 12 13 13 18 21 25 25 25 25 25 25 25 25 25 29 31 37 37 37 37 37 38 38 40 41 48 48 48 48 49 49 53 MỤC LỤC 56 62 62 62 63 64 65 66 68 69 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ I Tóm tắt lí thuyết Hàm số tập xác định hàm số Cách cho hàm số Đồ thị hàm số Sự biến thiên hàm số Tính chẵn lẻ hàm số II Các dạng toán Dạng Tìm tập xác định hàm số Dạng Tính giá trị hàm số điểm Dạng Dùng định nghĩa xét tính đơn điệu hàm số Dạng Tính đơn điệu hàm bậc Dạng Xét tính chẵn lẻ hàm số HÀM SỐ Y = AX + B I Tóm tắt lí thuyết II Các dạng toán Dạng Vẽ đồ thị hàm số bậc Dạng Xác định hệ số a b số bậc Dạng Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc có chứa giá trị tuyệt đối Dạng Vẽ đồ thị hàm số cho hệ nhiều công thức Dạng Sự tương giao đường thẳng HÀM SỐ BẬC HAI I Tóm tắt lí thuyết Hàm số bậc hai Đồ thị hàm số bậc hai Chiều biến thiên hàm số bậc hai Phương trình hoành độ giao điểm Định lý Vi-ét Một vài công thức cần nhớ II Các dạng toán Dạng Vẽ đồ thị lập bảng biến thiên hàm số bậc hai Dạng Tìm tọa độ đỉnh giao điểm parabol với trục tọa độ Tọa độ giao điểm parabol (P) đường thẳng Dạng Dựa vào đồ thị biện luận theo m số giao điểm parabol (P) đường thẳng Dạng Xác định hàm số bậc hai biết yếu tố liên quan Dạng Các toán liên quan đồ thị hàm số trị tuyệt đối hàm bậc hai Dạng Các toán liên quan đồ thị hàm số trị tuyệt đối biến Dạng Tính đơn điệu hàm bậc hai ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II 73 73 73 73 73 73 73 74 74 74 75 77 81 84 88 88 88 88 91 93 96 98 103 103 103 103 103 104 104 105 105 105 Dạng Tìm m thỏa điều kiện cho trước ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I I Đề số 1a II Đề số 1b III Đề số 2a IV Đề số 2b V Đề số 3a VI Đề số 3b VII Đề số 4a VIII Đề số 4b 109 111 113 117 118 120 125 MỤC LỤC I II III IV V VI VII VIII IX X Đề số 1a Đề số 1b Đề số 2a Đề số 2b Đề số 3a Đề số 3b Đề số 4a Đề số 4b Đề số 5a Đề số 5b 125 127 129 131 132 134 135 138 140 142 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH I Tìm tập xác định phương trình Dạng Tìm điều kiện xác định phương trình II Phương trình hệ Tóm tắt lí thuyết Các phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ thường gặp Phương pháp giải phương trình dựa vào phương trình hệ Dạng Khử mẫu (nhân hai vế với biểu thức) Dạng Bình phương hai vế (làm căn) III Phương trình tương đương Dạng Phương pháp chứng minh hai phương trình tương đương Bài tập tổng hợp PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI I Tóm tắt lí thuyết II Các dạng toán Dạng Giải biện luận phương trình bậc Dạng Phương trình chứa ẩn dấu Dạng Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Dạng Phương trình chứa ẩn mẫu Phương trình bậc bốn trùng phương Dạng Biện luận theo m có áp dụng định lí Viète Bài tập tổng hợp PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN I Tóm tắt lí thuyết Phương trình bậc hai ẩn Hệ hai phương trình bậc hai ẩn Hệ ba phương trình bậc ba ẩn II Các dạng toán Dạng Giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn phương pháp phương pháp cộng đại số Dạng Hệ ba phương trình bậc ba ẩn Dạng Giải biện luận hệ phương trình bậc ẩn có chứa tham số (PP Crame) HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN I Hệ phương trình gồm phương trình bậc bậc hai II Hệ phương trình đối xứng loại III Hệ phương trình đối xứng loại Dạng Giải hệ phương trình đối xứng loại Dạng Tìm điều kiện tham số thỏa điều kiện cho trước IV Hệ phương trình đẳng cấp V Hệ phương trình hai ẩn khác 145 145 145 145 150 150 150 150 151 153 156 157 160 164 164 164 164 168 173 180 184 187 194 194 194 194 194 195 195 200 204 211 211 214 217 217 219 222 227 MỤC LỤC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG III I Đề số 1a II Đề số 1b III Đề số 2a IV Đề số 2b V Đề số 3a VI Đề số 3b 236 236 237 238 239 241 242 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẤT ĐẲNG THỨC I Tóm tắt lí thuyết Các khái niệm Tính chất II Các dạng toán Dạng Sử dụng phép biến đổi tương đương Dạng Áp dụng bất đẳng thức Cô-si Dạng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Dạng Sử dụng bất đẳng thức hệ Dạng Chứng minh bất đẳng thức dựa vào tọa độ véc -tơ Dạng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN I Tóm tắt lí thuyết Giải biện luận bất phương trình ax + b > Giải biện luận bất phương trình ax + b ≤ II Các dạng toán Dạng Giải bất phương trình bậc ẩn Dạng Giải biện luận bất phương trình bậc ẩn Dạng Tìm giá trị tham số để bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho trước Dạng Hệ bất phương trình bậc ẩn Dạng Giải biện luận hệ bất phương trình bậc ẩn Dạng Tìm giá trị tham số để hệ bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho trước DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT I Tóm tắt lí thuyết Nhị thức bậc Định lý dấu nhị thức bậc Các ví dụ minh họa II Các dạng toán Dạng Xét dấu tích - thương nhị thức bậc Dạng Xét dấu nhị thức có chứa tham số Dạng Giải bất phương trình tích Dạng Giải bất phương trình chứa ẩn mẫu thức Dạng Giải bất phương trình bậc chứa dấu giá trị tuyệt đối BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I Tóm tắt lí thuyết Bất phương trình bậc hai ẩn Hệ bất phương trình bậc ẩn II Các dạng toán Dạng Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn Dạng Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn Dạng Các toán thực tiễn 245 245 245 245 245 246 246 249 256 257 258 259 261 261 261 261 261 261 267 268 270 272 274 278 278 278 278 279 279 279 285 289 291 295 304 304 304 304 304 304 307 309 MỤC LỤC DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI I Tóm tắt lí thuyết Tam thức bậc hai Định lí dấu tam thức bậc hai Định lí dấu tam thức bậc hai Bất phương trình bậc hai ẩn II Các dạng toán Dạng Xét dấu tam thức bậc hai Dạng Tìm điều kiện tham số để tam thức bậc hai mang dấu Dạng Giải bất phương trình bậc hai Dạng Bài tốn có chứa tham số ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV I Đề số 1a II Đề số 1b III Đề số 2a IV Đề số 2b V Đề số 3a VI Đề số 3b VII Đề số 4a VIII Đề số 4b THỐNG KÊ BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT I Tóm tắt lí thuyết Bảng phân bố tần số tần suất Bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp II Các dạng toán Dạng Bảng phân bố tần số tần suất Dạng Lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp BIỂU ĐỒ I Tóm tắt lí thuyết Biểu đồ tần suất hình cột Đường gấp khúc tần suất Biểu đồ hình quạt II Các dạng toán Dạng Vẽ biểu đồ tần số tần suất hình cột Dạng Biểu đồ đường gấp khúc Dạng Biểu đồ hình quạt SỐ TRUNG BÌNH CỘNG SỐ TRUNG VỊ MỐT I Tóm tắt lí thuyết Số trung bình cộng Số trung vị Mốt II Các dạng toán Dạng Số trung bình Dạng Số trung vị Dạng Mốt PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN I Tóm tắt lí thuyết II Các dạng toán Dạng Tính phương sai độ lệch chuẩn bảng số liệu KHÔNG ghép lớp Dạng Tính phương sai độ lệch chuẩn bảng số liệu ghép lớp 320 320 320 320 320 320 320 320 322 324 330 334 334 335 336 337 338 339 339 341 343 343 343 343 343 344 344 346 352 352 352 352 352 353 353 356 361 365 365 365 365 365 366 366 367 368 374 374 375 375 377 MỤC LỤC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG V I Đề số 1a II Đề số 1b III Đề số 2a IV Đề số 2b V Đề số 3a VI Đề số 3b CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC I Tóm tắt lí thuyết Khái niệm cung góc lượng giác Số đo cung góc lượng giác II Các dạng toán Dạng Liên hệ độ rađian Dạng Độ dài cung lượng giác Dạng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG I Tóm tắt lí thuyết Định nghĩa Hệ Ý nghĩa hình học tang cơtang Công thức lượng giác Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt II Các dạng toán Dạng Dấu giá trị lượng giác Dạng Tính giá trị lượng giác cung Dạng Sử dụng cung liên kết để tính giá trị lượng giác Dạng Rút gọn biểu thức chứng minh đẳng thức CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Công thức cộng Dạng Công thức cộng II Công thức nhân đôi III Các dạng toán Dạng Tính giá trị lượng giác góc cho trước Dạng Rút gọn biểu thức cho trước Dạng Chứng minh đẳng thức lượng giác IV Công thức biến đổi Dạng Biến đổi biểu thức thành tổng thành tích Dạng Chứng minh đẳng thức lượng giác có sử dụng nhóm cơng thức biến đổi Dạng Dùng cơng thức biến đổi để tính giá trị (rút gọn) biểu thức lượng giác Dạng Nhận dạng tam giác Một số hệ thức tam giác ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG VI I Đề số 1a II Đề số 1b III Đề số 2a IV Đề số 2b V Đề số 3a VI Đề số 3b VII Đề số 4a VIII Đề số 4b 383 383 384 386 388 390 392 395 395 395 395 396 397 397 398 400 409 409 409 409 410 410 410 412 412 415 418 419 424 424 424 427 428 428 429 429 432 432 435 440 444 457 457 458 459 460 462 464 465 467 MỤC LỤC IX X Đề số 5a 468 Đề số 5b 469 10 MỤC LỤC Chương MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §1 I Tóm tắt lí thuyết Mệnh đề MỆNH ĐỀ Định nghĩa Mệnh đề logic (gọi tắt mệnh đề) câu khẳng định hoặc sai • Một mệnh đề khơng thể vừa vừa sai • Một câu khẳng định gọi mệnh đề Một câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai ! Những điểm cần lưu ý • Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh mệnh đề • Mệnh đề thường kí hiệu chữ in hoa Ví dụ: Q:“6 chia hết cho 3” • Một câu mà chưa thể nói hay sai chắn sai, khơng thể vừa vừa sai mệnh đề Ví dụ: “Có sống ngồi Trái Đất” mệnh đề • Trong thực tế, có mệnh đề mà tính sai ln gắn với thời gian địa điểm cụ thể: thời gian địa điểm sai thời gian địa điểm khác Nhưng thời điểm nào, địa điểm ln có giá trị chân lí sai Ví dụ: Sáng bạn An học Mệnh đề chứa biến Định nghĩa Những câu khẳng định mà tính đúng-sai chúng tùy thuộc vào giá trị biến gọi mệnh đề chứa biến Å ã mệnh đề Ví dụ: Cho P(x) : x > x với x số thực Khi P(2) mệnh đề sai, P Mệnh đề phủ định Định nghĩa Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P” gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P 11 12 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP • Mệnh đề P mệnh đề phủ định P hai câu khẳng định trái ngược Nếu P P sai, P sai P • Mệnh đề phủ định P diễn đạt theo nhiều cách khác Chẳng hạn, xét mệnh đề P: “2 số chẵn” Khi đó, mệnh đề phủ định P phát biểu P: “2 số chẵn” “2 số lẻ” Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo Định nghĩa Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo • Kí hiệu P ⇒ Q • Mệnh đề kéo theo sai P Q sai • P ⇒ Q cịn phát biểu “ P kéo theo Q”, “P suy Q” hay “Vì P nên Q” ! Chú ý • Trong tốn học, định lí mệnh đề đúng, thường có dạng: P ⇒ Q Khi ta nói P giả thiết, Q kết luận định lí, P điều kiện đủ để có Q, Q điều kiện cần để có P • Trong logic toán học, xét giá trị chân lí mệnh đề P ⇒ Q người ta khơng quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề P, Q Không phân biệt trường hợp P có phải nguyên nhân để có Q hay khơng mà quan tâm đến tính đúng, sai chúng Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất Việt Nam nằm châu Âu” mệnh đề Vì hai mệnh đề P: “Mặt trời quay xung quanh trái đất” Q: “Việt Nam nằm châu Âu” mệnh đề sai Định nghĩa Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q ! Mệnh đề đảo mệnh đề không thiết mệnh đề Mệnh đề tương đương Định nghĩa Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề có dạng “P Q” gọi mệnh đề tương đương • Kí hiệu P ⇔ Q • Mệnh đề P ⇔ Q hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P sai (Hay P ⇔ Q hai mệnh đề P Q sai) • P ⇔ Q cịn phát biểu “P Q”, “P tương đương với Q”, hay “P điều kiện cần đủ để có Q” Hai mệnh đề P, Q tương đương với hồn tồn khơng có nghĩa nội dung chúng nhau, mà nói lên chúng có giá trị chân lí (cùng sai) Ví dụ: “Hình vng có góc tù 100 số nguyên tố” mệnh đề ! Các kí hiệu ∀ ∃ • Kí hiệu ∀ (với mọi): “∀x ∈ X, P(x)” “∀x ∈ X : P(x)” • Kí hiệu ∃ (tồn tại): “∃x ∈ X, P(x)” “∃x ∈ X : P(x)” ! Chú ý • Phủ định mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” • Phủ định mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” 456 CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 52 (ĐH Đà Nẵng-1998) Chứng minh cos π 2π 3π − cos + cos = 7 Lời giải Kí hiệu T vế trái Nhân vế trái với sin π = ta π π π 2π π 3π π sin T = sin cos − cos sin + cos sin 7 Å7 ã 7Å 7 ã 2π 3π π 4π 2π = sin − sin − sin + sin − sin 7 7 π 3π 4π π = sin − sin + sin = sin 7 7 π π Như sin T = sin ⇒ T = 7 Bài 53 (ĐHQG Hà Nội-1995) Chứng minh rằng: √ tan 30◦ + tan 40◦ + tan 50◦ + tan 60◦ = cos 20◦ Lời giải Kí hiệu T vế trái đẳng thức cần chứng minh Ta có: √ √ sin 40◦ sin 50◦ + T = √ + + tan 40◦ + tan 50◦ = + cos 40◦ cos 50◦ √ sin 40◦ cos 50◦ + cos 40◦ sin 50◦ + = ◦ cos 40◦ cos 50 √ √ sin(40◦ + 50◦ ) = + + = ◦ ◦ ◦ cos 40 cos 50 cos 40 cos 50◦ √ √ 4 = + + = ◦ ◦ cos 40 sin 40 sin 80◦ Å ã √ ◦ √ √ cos 10 + √ 4 cos 10◦ + + = = = Ç cos 10◦ √ å3 cos 10◦ cos 10◦ √ √ cos 10◦ + (cos 10◦ + cos 30◦ ) = = ◦ cos 10 cos 10◦ √ √ ◦ ◦ 3.2 cos 20 cos 10 = = cos 20◦ ◦ cos 10 Ta có điều phải chứng minh ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG VI §4 I 457 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG VI Đề số 1a π Câu (1,0 điểm) Một đường trịn có bán kính 30 cm Tìm độ dài cung có số đo 15 ◦ 36 π π Lời giải Độ dài cung có số đo l1 = · 30 = 2π (cm) 15 15 π Độ dài cung có số đo 36 l3 = · 36 · 30 = 6π (cm) 180 π Câu (2,0 điểm) Cho < α < Xác định dấu giá trị lượng giác sau: a) sin(α − π); ã Å 17π +α b) cos Lời giải a) sin(α − π) = − sin α < (vì < α < Å 17π b) sin +α cos α > 0) ã = sin π nên sin α < 0); π π π + α + 8π = sin + α = cos(−α) = cos α > (vì < α < nên 2 √ 11 π Câu (3,0 điểm) Tìm sin x, cos x, cot x, sin 2x, cos 2x tan 2x biết tan x = −π < α < − √ √ 11 11 Lời giải tan x = ⇒ cot x = 44 225 π = + tan2 x = ⇒ cos x = − (vì −π < x < − ) cos x 49√ 15 11 sin x = tan x · cos x = − 15 √ 56 11 sin 2x = sin x cos x = 225 127 cos 2x = cos2 x − = − √ 225 sin 2x 56 11 tan 2x = = cos 2x 127 Câu (3,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau » a) A = sin2 x(1 + cot x) + cos2 x(1 + tan x); b) B = sin(a + b) cos(a + b) + cos(a − b) Lời giải a) Ta có » A = sin2 x(1 + cot x) + cos2 x(1 + tan x) = » = (sin x + cos x)2 = | sin x + cos x| sin2 x + sin x cos x + cos2 x 458 CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC b) Ta có sin a cos b + sin b cos a cos a cos b − sin a sin b + cos a cos b + sin a sin b sin a cos b + sin b cos a = cos a cos b = tan a + tan b B= Câu (1,0 điểm) Chứng minh tam giác ABC có ba góc A, B,C thỏa mãn sin A = cos B + cosC tam giác ABC vng Lời giải Theo đề ta có sin A = cos B + cosC B −C B +C cos ⇔ sin A = cos 2 A A A B −C ⇔ sin cos = sin cos 2 2 B −C A ⇔ cos = cos A C−B = 2 ⇔ A B −C = ñ2 A+B =C ⇔ A +C = B Do đó, tam giác ABC vuông B vuông C II Đề số 1b Câu (1,0 điểm) a) Đổi số đo góc 18◦ sang đơn vị radian b) Đổi số đo cung 3π sang độ, phút, giây 20 c) Cho đường trịn có bán kính 15cm Tìm độ dài cung có số đo Lời giải a) 18◦ = b) π π 10 3π = 27◦ 20 c) Độ dài cung có số đo Câu (2,0 điểm) Cho − π π 5π l = · 15 = (cm) 6 π < α < Xác định dấu giá trị lượng giác sau: a) sin(α − 12π); Å ã 5π −α b) tan Lời giải a) sin(α − 12π) = sin α < 0; Å ã 5π π π b) tan − α = tan − α + 2π = tan − α = cot α < 2 ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG VI Câu (3,0 điểm) b) Tính sin Lời giải a) A = a) Cho tan x = −3 Tính A = 459 sin x + cos x sin x − cos x π π − x biết cos x = − < α < π 5 tan x + 5(−3) + 11 = = tan x − 6(−3) − 25 π b) Ta có cos x = − ⇒ sin x = (do < x < π) 5 √ Å ã √ π π π 3 −4 − 3 sin − x = sin cos x − sin x cos = · − − · = 6 5 10 Câu (3,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: Å ã Å ã 2017π 2017π a) B = cos − a sin − b − sin(a − b) 2 b) C = − cos 2x + sin 2x · cot x + cos 2x + sin 2x Lời giải a) B = sin a cos b − sin a cos b + sin b cos a = sin b cos a b) Ta có sinx +2 sin x cos x cos x C= · cos2 x + sin x cos x sin x sin x(sin x + cos x) cos x · = = cos x(cos x + sin x) sin x Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc A, B,C thỏa mãn sin A sin B = + cosC Hỏi tam giác ABC tam giác gì? Lời giải Ta có sin A sin B = + cosC ⇔2 sin A sin B = − cos A cos B + sin A sin B ⇔ cos A cos B + sin A sin B = ⇔ cos(A − B) = ⇔A − B = ⇔A = B Vậy tam giác ABC cân C III Đề số 2a Å ã 3π π π 0, đó: sin α = − (cos α)2 = ; √ Å ã √ sin α 5 tan α = = : − =− ; cos α 3√ 2 cot α = =− tan α b) Ta có: √ Å ã π 25π π cos − α = cos 12π + − α = cos − α = sin α = 2 √ tan (37π + α) = tan (36π + π + α) = tan (π + α) = tan α = − Bài (3,0 điểm) Khơng sử dụng máy tính, tính: a) cos 2025◦ b) sin 11π 5π · sin 24 24 Lời giải √ a) Ta có ï Å ã Å ãò ï Å ã ò 11π 5π 11π 5π 11π 5π 2π π b) Ta có sin ·sin = − cos + + cos − = − cos − cos = 24√ 24 24 24 24 đ √24ơ 1 1+ + = 2 cos 2025◦ = cos (5 · 360◦ + 180◦ + 45◦ ) = cos (180◦ + 45◦ ) = − cos (45◦ ) = − ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG VI 465 3π sin α − cos α = Tính P = tan α − cot α ® sin α − cos α = Lời giải Ta có: sin2 α + cos2 α = 1, nên ta có hệ: sin2 α + cos2 α = 3π nên −1 < a < 0, −1 < b < Ta có hệ: Đặt a = sin α, b = cos α, π < α < ® ® a = 2b + a − 2b = ⇔ a2 + b2 = (2b + 1)2 + b2 = ® a = 2b + ⇔ 5b2 + 4b = 4 Suy a = − , b = − , hay sin α = − , cos α = − 5 5 4 Từ đó: tan α = , cot α = Do đó: P = − = 4 Bài (2,0 điểm) Cho góc α thỏa mãn: π < α < Bài (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A, B, C thỏa mãn hệ thức: √ 17 cos A sin B sinC + (sin A + cos B + cosC) = Hỏi tam giác ABC có đặc điểm gì? Lời giải Ta có: cos A sin B sinC = cos A (cos (B −C) − cos (B +C)) = − cos (B +C) cos (B −C) + cos2 A = − (cos 2B + cos 2C) + cos2 A 2 = − − sin B + − sin C + − sin2 A = sin2 B + sin2 C − sin2 A √ 17 Do đó: cos A sin B sinC + (sin A + cos B + cosC) = √ 17 2 ⇔ sin B + sin C − sin A + (sin A + cos B + cosC) = Ä ä Ä ä Ä ä 17 √ √ √ 2 ⇔ − cos B − cos B − cos C − cosC − sin B − sin B = Ç √ å2 Ç √ å2 Ç √ å2 3 ⇔ cos B − + cosC − + sin A − =0 2 √ cos B = cosC = = cos 30◦ √ ⇔ sin A = = sin 120◦ ® B = C = 30◦ ⇔ A = 120◦ Vậy, tam giác ABC cân đỉnh A góc A = 120◦ VII Đề số 4a Câu (1,0 điểm) a) Trên đường trịn lượng giác có gốc A, biểu diễn điểm M thỏa mãn cung π 2π AM có số đo + k (k ∈ Z) b) Xác định dấu biểu thức P = cos π 4π 9π 4π sin − tan cot 5 Lời giải a) Các điểm M biểu diễn đường tròn lượng giác sau: 466 CHƯƠNG CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC sin cos π 4π 4π < cos √ 4 Ta có : cos α = − cos2 α = ⇒ tan α = , cot α = 3 + 25 Vậy A = = − − Bài (2,0 điểm) Cho cos α = ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG VI 469 √ sin4 α − sin2 α − tan α = 2013 Bài (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức A = + sin2 α √ 1 = = cos2 α Lời giải Với tan α = 2013 ⇒ + tan α 2014 Ta có sin2 α = − cos2 α sin4 α − sin2 α − 5(1 − cos2 α)2 − 3(1 − cos2 α) − 14093 Vậy A = = =− 2 − cos α 8110378 + sin α A B A B Bài (3,0 điểm) Cho ∆ABC thỏa mãn sin cos3 = sin cos3 2 2 Chứng minh ∆ABC cân Lời giải A B sin sin B A B A = Ta có sin cos3 = sin cos3 ⇔ B A 2 2 cos3 cos3 Å ã Å ã A A B B 2 ⇔ tan + tg = tan + tg 2 Å ã Å2 ã A B A B A B 2 ⇔ tan − + tan + tan + tan tan =0 2 2 2 A B ⇔ tan = tan ⇔ A = B ⇔ ∆ABC cân C 2 X Đề số 5b Bài (1,0 điểm) a) Trên đường trịn có bán kính 20cm Tìm độ dài cung có số đo 15◦ b) Xác định dấu biểu thức sau A = sin 50◦ cos(−30◦ ) Lời giải π π = a) Số đo cung 15◦ chuyển sang rad 15 180 12 π 5π Vậy độ dài cung là: l = R.α = 20 = cm 12 b) Ta có A = sin 50◦ cos(−30◦ ) = sin 50◦ cos 30◦ > Bài (2,0 điểm) Chứng minh 3(sin4 α + cos4 α) − 2(sin6 α + cos4 6α) = với góc α Lời giải Ta có : sin4 α + cos4 α = (sin2 α + cos2 α)2 − sin2 α cos2 α = − sin2 α cos2 α sin6 α +cos6 α = (sin2 α)3 +(cos2 α)3 = (sin2 α +cos2 α)(sin4 α +cos4 α −sin2 α cos2 α) = 1−3 sin2 α cos2 α Bài (2,0 điểm) Đưa tổng sau dạng tích S = sin2 x − sin2 2x + sin2 3x − cos 2x − + cos 4x + − cos 6x Lời giải Ta có: S = sin2 x − sin2 2x + sin2 3x = + cos 4x cos 6x + cos 2x = − 2 = cos2 2x − cos 4x cos 2x = cos 2x(cos 2x − cos 4x) = cos 2x sin 3x sin x Bài (2,0 điểm) Rút gọn A = sin2 (45◦ + α) − sin2 (30◦ + α) − sin 15◦ cos(15◦ + 2α)? Lời giải Ta có: sin2 a − sin2 b = sin2 a − sin2 a sin2 b − sin2 b + sin2 a sin2 b = sin2 a(1 − sin2 b) − sin2 b(1 − sin2 a) = sin2 a cos2 b − sin2 b cos2 a = (sin a cos b + sin b cos a)(sin a cos b − sin b cos a) = sin(a + b) sin(a − b) Tức sin2 a − sin2 b = sin(a + b) sin(a − b) 470 CHƯƠNG CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Vậy sin2 (45◦ + α) − sin2 (30◦ + α) = sin[(45◦ + α) + (30◦ + α)] sin[(45◦ + α) − (30◦ + α)] = sin 75◦ sin(15◦ + 2α) = cos 15◦ sin(15◦ + 2α) Từ ta có A = cos 15◦ sin(15◦ + 2α) − sin 15◦ cos(15◦ + 2α) = sin(15◦ + 2α − 15◦ ) = sin 2α Bài (3,0 điểm) Chứng minh ∆ABC vuông ⇔ cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 Lời giải Ta có: cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 ⇔ cos(A + B) cos(A − B) + cos2 C = ⇔ cosC[−cos(A − B) + cosC] = ⇔ cosC[cos(A − B) + cos(A + B)] = ⇔ cos A cos B cosC = π0 A= cos A = π ⇔ cos B = ⇔ B = ⇔ ∆ABC vuông cosC = π C= ... 14 5 14 5 14 5 14 5 15 0 15 0 15 0 15 0 15 1 15 3 15 6 15 7 16 0 16 4 16 4 16 4 16 4 16 8 17 3 18 0 18 4 18 7 19 4 19 4 19 4 19 4 19 4 19 5 19 5 200 204 211 211 214 217 217 219 222 227 MỤC LỤC ĐỀ KIỂM... 74 75 77 81 84 88 88 88 88 91 93 96 98 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 4 10 4 10 5 10 5 10 5 Dạng Tìm m thỏa điều kiện cho trước ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I I Đề số 1a II Đề số 1b ... 10 9 11 1 11 3 11 7 11 8 12 0 12 5 MỤC LỤC I II III IV V VI VII VIII IX X Đề số 1a Đề số 1b Đề số 2a Đề số 2b Đề số 3a Đề số 3b Đề số 4a Đề số 4b Đề số 5a Đề số 5b
Ngày đăng: 11/03/2021, 14:49
Xem thêm:
